第03章平面问题的直角坐标解答

1、第三章 平面问题的直角坐标解答Theory of Elasticity and Finite Element Method弹性力学与有限元q 逆解法与半逆解法、多项式解答逆解法与半逆解法、多项式解答q 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲q 位移分量的求出位移分量的求出q 简支梁受均匀分布荷载简支梁受均匀分布荷载q 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力主要内容主要内容3.1 逆解法与半逆解法、多项式解答逆解法与半逆解法、多项式解答体力为常量时体力为常量时，按应力法求解平面问题，可转化为按应力法求解平面问题，可转化为求解一个应力函数求解一个应力函数f f ，它在区域内满足应力函数表示，它在区域内

2、满足应力函数表示的相容方程的相容方程(2-25)：024422444yyxxfff相容方程：相容方程：(2-25)应力边界条件：应力边界条件：)()()()(sfmlsfmlysyxyxsxyx(2-15)同时在边界上满足应力边界条件同时在边界上满足应力边界条件(2-15)(2-15)：逆解法与半逆解法、多项式解答逆解法与半逆解法、多项式解答求得应力函数后，由下式求得应力函数后，由下式(2-24)求应力分量，然求应力分量，然后求应变和位移分量。后求应变和位移分量。yxyxyfxyxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(22222fff由于相容方程由于相容方程( (2-25) )是偏微分方

3、程，其通解不能是偏微分方程，其通解不能写成有限项数的形式，一般不能直接求解，只能采写成有限项数的形式，一般不能直接求解，只能采用逆解法与半逆解法。用逆解法与半逆解法。024422444yyxxfff相容方程：相容方程：(2-25)逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法逆解法：逆解法： (1)先假设一满足先假设一满足相容方程相容方程( (2-25) )的应力函数的应力函数 f f ; ;024422444yyxxfff(2-25) (2)由式由式( (2-24) )，根据应力函数，根据应力函数 f f 求得应力分量求得应力分量; ;yxyxyfxyxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(2222

4、2fff逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法 (3)在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的弹性体，根据主要边界上的面力边界条件形状的弹性体，根据主要边界上的面力边界条件( (2-15) )或或次要边界上的积分边界条件次要边界上的积分边界条件, , 分析这些应力分量对应于分析这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决什么样的问题。解决什么样的问题。（或者根据已知面力确定应力函数（或者根据已知面力确定应力函数或应力分量表达式中的待定系数）或应力分量表达式中的待定系数） syx

5、yysxyxxmlsfmlsf)()()()(逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法 (1) (1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、几何形状、受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力学得，如材料力学得到的初等结论，假设到的初等结论，假设部分或全部应力分量部分或全部应力分量的函数形式；的函数形式；半逆解法：半逆解法：yxyxyfxyxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(22222fff (2) (2)按式按式(2-24)(2-24)，由应力推出应力函数，由应力推出应力函数f f的一般形式（含待的

6、一般形式（含待定函数项）；定函数项）； (3) (3)将应力函数将应力函数f f代入代入相容方程进行校核，进而求得应力函相容方程进行校核，进而求得应力函数数f f的具体表达形式；的具体表达形式；024422444yyxxfff逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法 (5) (5)根据边界条件确定未知函数中的待定系数；考察应力根据边界条件确定未知函数中的待定系数；考察应力分量是否满足全部应力边界条件。如果都能满足，则所得出的分量是否满足全部应力边界条件。如果都能满足，则所得出的解就是正确解，否则要重新假设应力分量，重复上述过程并进解就是正确解，否则要重新假设应力分量，重复上述过程并进行求解。行求解。

7、(4)(4)将应力函数将应力函数f f代入代入式式(2-24)(2-24)，由应力函数求得应力分量，由应力函数求得应力分量yxyxyfxyxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(22222fff逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法逆解法和半逆解法的求解过程带有逆解法和半逆解法的求解过程带有“试算试算”的性质的性质，显然弹性力学解的唯一性定理是逆解法和半逆解法，显然弹性力学解的唯一性定理是逆解法和半逆解法的理论依据。的理论依据。逆解法解平面问题及其多项式解答逆解法解平面问题及其多项式解答下面用逆解法求出几个简单的平面问题（下面用逆解法求出几个简单的平面问题（矩形薄板矩形薄板）的解答。体力不计，

8、即的解答。体力不计，即fx= =fy=0=0，应力函数取为多项式。应力函数取为多项式。1 1、取应力函数为一次式：、取应力函数为一次式：f f= =a+ +bx+ +cy显然，不论各系数取何值，总能满足相容方程显然，不论各系数取何值，总能满足相容方程(2-25):(2-25):代入方程代入方程(2-24)(2-24)024422444yyxxfff求得应力分量：求得应力分量： x= = y = = xy = = 0yxyxyfxyxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(22222fff逆解法解平面问题及其多项式解答逆解法解平面问题及其多项式解答代入应力边界条件方程代入应力边界条件方程(2

9、-15):(2-15):结论：结论：（1 1）线性应力函数对应于无体力、无面力、无应力的力线性应力函数对应于无体力、无面力、无应力的力学状态；学状态；（2 2）将平面问题的应力函数加上一个线性函数，并不影）将平面问题的应力函数加上一个线性函数，并不影响应力分布。响应力分布。0yxff不论弹性体形状如何，也不论坐标系如何选择，均求得不论弹性体形状如何，也不论坐标系如何选择，均求得面力分量：面力分量：)()()()(sfmlsfmlysyxyxsxyx逆解法解平面问题及其多项式解答逆解法解平面问题及其多项式解答2 2、取应力函数为二次式：、取应力函数为二次式：f f= =ax2+ +bxy+ +c

10、y2显然，不论各系数取何值，相容方程显然，不论各系数取何值，相容方程(2-25)(2-25)总能满足总能满足；代入方程代入方程(2-24)(2-24)求得应力分量：求得应力分量： x= =2c， y = =2a， xy= = yx=-=-b代入应力边界条件方程代入应力边界条件方程(2-15)(2-15)，求得各边界上面力分布，求得各边界上面力分布如下：如下： afbfyx2,上边界：上边界： 下边界：下边界：左边界：左边界：右边界：右边界：afbfyx2,bfcfyx,2bfcfyx,2逆解法解平面问题及其多项式解答逆解法解平面问题及其多项式解答因此，二次式能解决矩形板受均匀拉压力或剪力的问题

11、因此，二次式能解决矩形板受均匀拉压力或剪力的问题afbfyx2,上边界：上边界：下边界：下边界：左边界：左边界：右边界：右边界：afbfyx2,bfcfyx,2bfcfyx,2逆解法解平面问题及其多项式解答逆解法解平面问题及其多项式解答3 3、取应力函数为三次式：、取应力函数为三次式：f f= =ay3显然，不论各系数取何值，相容方程显然，不论各系数取何值，相容方程(2-25)(2-25)总能满足；总能满足；代入方程代入方程(2-24)(2-24)求得应力分量：求得应力分量： x= = 6ay ， y = =0 ， xy= = yx= = 0代入应力边界条件方程代入应力边界条件方程(2-15)

12、(2-15)，求得各边界上面力分，求得各边界上面力分布如下：布如下：0, 0yxff上边界：上边界： 下边界：下边界：左边界：左边界：右边界：右边界：0, 0yxff0,6yxfayf0,6yxfayf逆解法解平面问题及其多项式解答逆解法解平面问题及其多项式解答结论：结论：（1 1）上下边界）上下边界无面力；无面力；（2 2）左右边界为线性水平面力，并能合成为一个力偶，）左右边界为线性水平面力，并能合成为一个力偶，因而能解决矩形梁受纯弯曲的问题。因而能解决矩形梁受纯弯曲的问题。0, 0yxff上边界：上边界： 下边界：下边界：左边界：左边界：右边界：右边界：0, 0yxff0,6yxfayf0

13、,6yxfayf逆解法解平面问题及其多项式解答逆解法解平面问题及其多项式解答4 4、如果应力函数取四次或四次以上的多项式，、如果应力函数取四次或四次以上的多项式，则其中的系数必须满足一定的条件，才能满足则其中的系数必须满足一定的条件，才能满足相容方程。相容方程。( (例如：当应力函数取四次多项式例如：当应力函数取四次多项式ax4 + bx3y + cx2y2 + dxy3 + ey4，求此条件）求此条件）例题例题例例1 1：已知函数已知函数f f= =a(x4 -y4)，试检查它能否作为应力函试检查它能否作为应力函数？若能，试求出应力分量（不计体力），并求出如数？若能，试求出应力分量（不计体力

14、），并求出如图所示矩形薄板边界上的面力。图所示矩形薄板边界上的面力。例题例题解：按逆解法解：按逆解法 1 1、将、将f f=a(x4-y4)代入相容方程，可知其是满足的。因代入相容方程，可知其是满足的。因此，它有可能作为应力函数。此，它有可能作为应力函数。2 2、将、将f f代入式（代入式（2 22424），得出应力分量：），得出应力分量：0),(12),(12),(2222222yxyxaxyfxyxayxfyyxxyyyxxfff例题例题0, 0,2222322hhxhhyShhxNydyfMdyfFahdyfF3 3、由边界形状和应力分量反推出边界上的面力：、由边界形状和应力分量反推出边

15、界上的面力：在主要边界上：在主要边界上：在在次要边界上：次要边界上：0122222hyxyhyyfaxfhy)(,)(,xy0)(,12)(,2222lxxyylxxxfayflx例题例题0)(,12)(,2222lxxyylxxxfayflx0, 0,2222322hhxhhyShhxNydyfMdyfFahdyfF例题例题例例2 2：习题：习题3 33 3(Lh)例题例题解：按逆解法解：按逆解法 1 1、将、将f f代入相容方程，可知其是满足的。因此，它代入相容方程，可知其是满足的。因此，它有可能成为该问题的解。有可能成为该问题的解。2 2、将、将f f代入式（代入式（2 22424），得

16、出应力分量：），得出应力分量：)41 (23),(0),(12),(22222322hyhFyxyxyfxyxhFxyxfyyxxyyyxxfff例题例题3 3、由边界形状和应力分量反推出边界上的面力：、由边界形状和应力分量反推出边界上的面力：0, 0,2xyyhy在主要边界上：在主要边界上：因此，在因此，在y = = h/2的边界面上，无任何面力作用，即的边界面上，无任何面力作用，即0, 0yxff在在x=0=0，l的次要边界上：的次要边界上：)41 (23)(, 0)(, 02200hyhFffxxxyyxxx)41 (23)(,12)(,223hyhFfyhFlflxlxxyylxxx)

17、41 (23, 0,12223hyhFhFxyxyyx例题例题各边界面上的面力分布如图所示：各边界面上的面力分布如图所示：在在x=0,=0,l的次要边界上，其主矢量和主矩如下：的次要边界上，其主矢量和主矩如下：因此上述应力函数可解决悬臂梁在左端受集中力因此上述应力函数可解决悬臂梁在左端受集中力F作用的问题作用的问题)41 (23,12,)41 (23, 0, 00, 0,222322hyhFfyhFlflxhyhFffxffhyyxyxyx例题例题例例3 3：习题：习题3 35 5例题例题解：解：例题例题例题例题例题例题例题例题q逆解法与半逆解法、多项式解答逆解法与半逆解法、多项式解答q 矩形

18、梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲q 位移分量的求出位移分量的求出q 简支梁受均匀分布荷载简支梁受均匀分布荷载q 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力主要内容主要内容3.2 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲_逆解法逆解法问题：问题：矩形截面长梁（长度矩形截面长梁（长度 l 远大于深度远大于深度 h），），宽度远宽度远小于深度和长度（近似于平面应力问题），或者远大于深小于深度和长度（近似于平面应力问题），或者远大于深度和长度（近似于平面应变问题），两端受相反的力偶作度和长度（近似于平面应变问题），两端受相反的力偶作用而弯曲，体力不计。（设梁宽为单位宽度用而弯曲，体力不计。（设梁宽为单位宽度1，每单位宽

19、，每单位宽度上力偶的矩为度上力偶的矩为M）矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲结论：结论：（1 1）上下边界）上下边界无面力；无面力；（2 2）左右边界为线性水平面力，并能合成为一个）左右边界为线性水平面力，并能合成为一个力偶，因而能解决矩形梁受纯弯曲的问题。力偶，因而能解决矩形梁受纯弯曲的问题。0, 0yxff上边界：上边界：下边界：下边界：左边界：左边界：右边界：右边界：0, 0yxff0,6yxfayf0,6yxfayf当应力函数为三次式：当应力函数为三次式：f f= =ay3矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲解：逆解法解：逆解法求得应力分量：求得应力分量： x= = 6ay ， y = =0 ， x

20、y= = yx= = 0024422444yyxxfffyxyxyfxyxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(22222fff(1)假定应力函数：假定应力函数：由上一节可知，当满足相容方程由上一节可知，当满足相容方程(2-25)(2-25)的应力函数为三次式的应力函数为三次式 f f= =ay3 时，时，能解决矩形梁受能解决矩形梁受纯弯曲的问题。纯弯曲的问题。(2)求应力分量：求应力分量：代入方程代入方程(2-24)(2-24)矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲(3)考察应力分量是否满足边界条件？若要满足，系数考察应力分量是否满足边界条件？若要满足，系数a如何取值？如何取值？上下两边界：上下

21、两边界：没有面力作用，代入应力边界条件没有面力作用，代入应力边界条件(2-15)(2-15)，得上下边界处，得上下边界处 y = =0 ， xy= = yx= = 0。由于梁内应力分量分布为由于梁内应力分量分布为 x= = 6ay ， y = =0 ， xy= = yx= = 0，显然上述条件成立。显然上述条件成立。矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲左右两边界：左右两边界：(a): :没有切向面力作用，代入应力边界没有切向面力作用，代入应力边界条件条件(2-15)(2-15)，得，得 xy= = 0，这也能满足。这也能满足。因为所有各点均有上述条件成立。因为所有各点均有上述条件成立。(b): :应用

22、圣维南原理，由主应力合成的应用圣维南原理，由主应力合成的主矢量为主矢量为0 0，合成的主矩等于面力的力，合成的主矩等于面力的力偶矩偶矩M，即有，即有Mydydyhhlxxhhlxx22,022,0)(,0)(将应力分量代入，可得将应力分量代入，可得32hMa 从而有从而有0,123xyxyyxyIMyhM x= =6ay , y= =0, xy= =0矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲与材料力学中解答完全相同，与材料力学中解答完全相同，即各纤维只受按直线分布的弯应即各纤维只受按直线分布的弯应力。如左图所示力。如左图所示组成力偶的面力必须按左图所组成力偶的面力必须按左图所示的直线分布，解答示的直线分布

23、，解答(3-1)才是完才是完全精确的；否则会有误差。但是全精确的；否则会有误差。但是根据圣维南原理，只在两端附近根据圣维南原理，只在两端附近有显著误差，而离开两端较远处有显著误差，而离开两端较远处，误差可以不计。，误差可以不计。0,123xyyxyIMyhM例题例题例例2 2：习题：习题3 37 7解：按逆解法解：按逆解法 1 1、将、将f f代入相容方程，可知其是满足的。代入相容方程，可知其是满足的。2 2、将、将f f代入式（代入式（2 22424），得出应力分量：），得出应力分量：)3(),(0),(662),(222222DyAyxyxyfxyxDxyCyBxfyyxxyyyxxfff

24、例题例题3 3、考察边界条件、考察边界条件0)(, 0)(22hyxyhyy在主要边界上，应精确满足式（在主要边界上，应精确满足式（2 21515）：）：第一式自然满足，由第二式有第一式自然满足，由第二式有：043)(22DhAhyxy（a）)3(06622DyADxyCyBxyyx)()()()(sfmlsfmlysyxyxsxyx例题例题在在次要边界次要边界x=0=0上上，只给出了面力的主失量和主矩，只给出了面力的主失量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分边界条件代替：应用圣维南原理，用三个积分边界条件代替：由此得由此得：ShhxxyhhxxNhhxxFdyMydyFdy2/2/02/2/0

25、2/2/01)(1)(1)(SNFDhAhhMChFB334122（b）)3(6622DyADxyCyBxyx例题例题结合（结合（a a）、（）、（b b）求解：求解：代入应力分量，得代入应力分量，得：SFDhAhDhA32410433223hFDhFASS)41 (23)623(01212222333yhhFyhFhFxyhFyhMhFSSSxyySNx推论推论如果区域内的平衡微分方程和相容方程已如果区域内的平衡微分方程和相容方程已经满足，且除了最后一个小边界外，其余的应经满足，且除了最后一个小边界外，其余的应力边界条件也都分别满足。则可以推论出，最力边界条件也都分别满足。则可以推论出，最后

26、一个小边界上的三个积分应力边界条件（即后一个小边界上的三个积分应力边界条件（即主失量和主矩条件）必然是满足的。主失量和主矩条件）必然是满足的。q 逆解法与半逆解法、多项式解答逆解法与半逆解法、多项式解答q 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲q 位移分量的求出位移分量的求出q 简支梁受均匀分布荷载简支梁受均匀分布荷载q 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力主要内容主要内容3.3 位移分量的求解位移分量的求解本节所解决的问题：按应力求解时，如果已求出应本节所解决的问题：按应力求解时，如果已求出应力分量，如何求对应的位移分量？力分量，如何求对应的位移分量？ 以矩形梁的纯弯曲为例，由应力分量求解位移

27、分量以矩形梁的纯弯曲为例，由应力分量求解位移分量1、假定考虑平面应力问题、假定考虑平面应力问题。首先将上节所求应力分。首先将上节所求应力分量代入物理方程量代入物理方程(2-12)xyxyxyyyxxEEE)1(2)(1)(10 xyyxyEIMyEIM0 xyyxyIM位移分量的求解位移分量的求解2 2、将应变分量代入平面问题的几何方程、将应变分量代入平面问题的几何方程(2-8)(2-8)：0,xyyxyuxvyEIMyvyEIMxu前两式分别积分，可得前两式分别积分，可得)(2, )(221xfyEIMvyfxyEIMu代入第三式，并整理可得代入第三式，并整理可得xEIMdxxdfdyydf

28、)()(21位移分量的求解位移分量的求解等式左右两边分别为等式左右两边分别为 y 和和 x 的函数，要想对于所有的的函数，要想对于所有的 y 和和 x 均成立，只可能两边都等于同一常数均成立，只可能两边都等于同一常数w w：xEIMdxxdfdyydf)()(21wxEIMdxxdfdyydf)()(21分别积分，可得分别积分，可得022012)(,)(wwxxEIMxfuyyf位移分量的求解位移分量的求解代入位移分量公式，并整理可得代入位移分量公式，并整理可得其中表示刚体位移量的常数其中表示刚体位移量的常数u0 ， 0 和和 w w ，须由约束条，须由约束条件确定。件确定。022022wwx

29、xEIMyEIMvuyxyEIMu(d)位移分量的求解位移分量的求解对于同一个截面，对于同一个截面， x 为常量，因此上式也是常量。于为常量，因此上式也是常量。于是可见，同一截面上的各垂直线段的转角相等，即截是可见，同一截面上的各垂直线段的转角相等，即截面仍然保持为平面。面仍然保持为平面。由位移分量的公式，可知不论约束条件如何，可求由位移分量的公式，可知不论约束条件如何，可求得得垂直线段的转角垂直线段的转角为为由位移分量第二式，可知不论约束条件如何，可求由位移分量第二式，可知不论约束条件如何，可求得得梁的各纵向纤维的曲率梁的各纵向纤维的曲率是是就是材料力学中求梁的挠度时所用的基本公式。就是材料

30、力学中求梁的挠度时所用的基本公式。wxEIMyu0uyxyEIMuwEIMx22102222wxxEIMyEIMv几何方程及刚体位移几何方程及刚体位移4 4、由切应变的定义，可得出线段由切应变的定义，可得出线段PAPA和和PBPB之间的直角的改变量（之间的直角的改变量（即切即切应变应变）由两部分组成，一部分由）由两部分组成，一部分由y方方向的位移向的位移v引起，即引起，即x方向的线段方向的线段PAPA的转角；另一部分由的转角；另一部分由x方向的位移方向的位移u引起，即引起，即y方向的线段方向的线段PBPB的转角，由的转角，由此此xvdxvdxxvvtanyudyudyyuutan位移分量的求解

31、位移分量的求解分两种约束情况讨论：分两种约束情况讨论：简支梁和悬臂梁简支梁和悬臂梁。下面根据约束条件来确定位移分量中的刚体位移下面根据约束条件来确定位移分量中的刚体位移常数常数u0 ， 0 和和w w 。位移分量的求解位移分量的求解1、简支梁的约束条件为、简支梁的约束条件为:0)(,0)(, 0)(0,0, 00, 0ylxyxyxu将位移分量代入上述约束条件，可求出三个常数，代回得将位移分量代入上述约束条件，可求出三个常数，代回得22)(2,)2(yEIMxxlEIMvylxEIMu(3-3)022022wwxxEIMyEIMvuyxyEIMu位移分量的求解位移分量的求解2、悬臂梁、悬臂梁其

32、左端自由，右端完全固定。在梁的右端，对于任其左端自由，右端完全固定。在梁的右端，对于任何何 y 值要求两个位移均为值要求两个位移均为0。在多项式解答中，此条件。在多项式解答中，此条件是无法满足的。实际工程上，这种完全固定的约束条件是无法满足的。实际工程上，这种完全固定的约束条件也是不大可能实现的。为此，与材料力学中一样，也是不大可能实现的。为此，与材料力学中一样，假设假设右端截面的中点不移动，该点的水平线段不转动右端截面的中点不移动，该点的水平线段不转动。022022wwxxEIMyEIMvuyxyEIMu位移分量的求解位移分量的求解根据上述分析，对于根据上述分析，对于悬臂梁悬臂梁，其约束条件

33、为，其约束条件为0)(, 0)(, 0)(0,0,0,ylxylxylxxu222)(2,)(yEIMxlEIMvyxlEIMu(3-4)可求出三个常数，代回可得可求出三个常数，代回可得0, 02, 0020wwlEIMllEIMu将位移分量代入上述约束条件将位移分量代入上述约束条件022022wwxxEIMyEIMvuyxyEIMu位移分量的求解位移分量的求解以上是以平面应力问题为例推导了相应的应变分量以上是以平面应力问题为例推导了相应的应变分量和位移分量解。对于和位移分量解。对于平面应变情况下的梁平面应变情况下的梁( (梁梁宽度远大宽度远大于深度和长度）于深度和长度），须在以上的应变分量和

34、位移分量的，须在以上的应变分量和位移分量的公式中，将公式中，将 E 和和 作如下替换，即可求解。作如下替换，即可求解。112EE位移分量的求解位移分量的求解小结：小结：1 1、对于纯弯曲梁问题，弹性力学与材料力学解、对于纯弯曲梁问题，弹性力学与材料力学解答在应力、应变等方面是一致的。答在应力、应变等方面是一致的。2 2、以后凡是由应力分量求位移分量的过程，均、以后凡是由应力分量求位移分量的过程，均可以参照上述步骤进行求解。可以参照上述步骤进行求解。小结小结按逆解法求解平面问题的一般步骤：按逆解法求解平面问题的一般步骤：(1)假定应力函数，并检核是否满足相容方程假定应力函数，并检核是否满足相容方

35、程(2-25)(2-25)：(2) 代入方程代入方程(2-24)(2-24)，求应力分量：，求应力分量：024422444yyxxfffyxyxyfxyxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(22222fff(3)考察应力分量是否满足边界条件，据此求出其中考察应力分量是否满足边界条件，据此求出其中的待定系数。的待定系数。小结小结xyxyxyyyxxEEE)1 ( 2),(1),(1(4)将所求应力分量代入物理方程，可求得应变分量；将所求应力分量代入物理方程，可求得应变分量；(5)将所求应变分量代入平面问题的几何方程将所求应变分量代入平面问题的几何方程(2-8)(2-8) ，通过积分求位移

36、分量，其中会引入表示刚体位移的通过积分求位移分量，其中会引入表示刚体位移的三个待定常数三个待定常数u0 ，v0 和和 w 。根据边界上约束位移边界根据边界上约束位移边界条件确定这三个待定常数。条件确定这三个待定常数。xyyxyuxvyvxu,课后作业课后作业作业：习题作业：习题3 36 6q 逆解法与半逆解法、多项式解答逆解法与半逆解法、多项式解答q 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲q 位移分量的求出位移分量的求出q 简支梁受均匀分布荷载简支梁受均匀分布荷载q 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力主要内容主要内容3.4 简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载问题：问题：矩形截面简支梁，长度为矩形

37、截面简支梁，长度为 2l ，深度为深度为 h，宽度宽度远小于深度和长度（典型的平面应力问题），受均布荷载远小于深度和长度（典型的平面应力问题），受均布荷载 q ，由两端的反力，由两端的反力ql 维持平衡。（设梁宽为单位宽度维持平衡。（设梁宽为单位宽度1 1）简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载解：按半逆解法的步骤进行求解。解：按半逆解法的步骤进行求解。(1)(1)假定应力分量的函数形式；假定应力分量的函数形式；)(2)(2)(222xlqxlqxlqlMx)()()(3212yfyxfyfxx所以可假设所以可假设qxxlqqlQxy)()()(21yfyxfxy所以可假设所以可假设由材料力学可知，

38、弯应力由材料力学可知，弯应力 x 主要由弯矩引起的，即主要由弯矩引起的，即由材料力学可知，切应力由材料力学可知，切应力 xy 主要由剪力引起的主要由剪力引起的，即即简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载由于由于q 不随不随 x 变化，因此可假定应力变化，因此可假定应力 y 也不随也不随 x 变化，即应力变化，即应力 y 只是只是 y 的函数：的函数： y = f(y)。教材中正是采用了第三种假设。教材中正是采用了第三种假设。由材料力学可知，挤压应力由材料力学可知，挤压应力 y 主要由直接荷载主要由直接荷载 q 引引起的，即起的，即qy简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载(2)(2)由应力推出应力函数的一

39、般形式由应力推出应力函数的一般形式)(),(22yfxyxyf对对 x 积分可得积分可得)()()(2),(212yfyxfyfxyxf其中有三个关于其中有三个关于 y 的待定函数。的待定函数。将应力分量代入方程将应力分量代入方程(2-24)(2-24)，在无体力情况下，有，在无体力情况下，有简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载(3)(3)由相容方程求应力函数；由相容方程求应力函数；0)(2)()()(2122424414244dyyfddyyfdxdyyfdxdyyfd上述二次方程对所有上述二次方程对所有 x 均应满足，故其系数和自由项均应满足，故其系数和自由项均必须为均必须为0 00)(2)(

40、,0)(,0)(2242441444dyyfddyyfddyyfddyyfd 将上步所得将上步所得应力函数的一般形式应力函数的一般形式代入无体力情况下代入无体力情况下的相容方程，整理后有的相容方程，整理后有简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载0)(2)(,0)(,0)(2242441444dyyfddyyfddyyfddyyfd由上述三个方程可求得三个待定函数的一般形式：由上述三个方程可求得三个待定函数的一般形式：2345223123610)()()(KyHyyByAyfGyFyEyyfDCyByAyyf根据第一节内容，应力函数中的一次式不影响应力分布，根据第一节内容，应力函数中的一次式不影响应力

41、分布，故上述各式中与应力分布无关的一次式均已忽略。故上述各式中与应力分布无关的一次式均已忽略。)()()(2),(212yfyxfyfxyxf简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载(4)(4)由应力函数求应力分量由应力函数求应力分量校核应力分量：校核应力分量：代入平衡微分方程和相容方程，可知上述应力分量代入平衡微分方程和相容方程，可知上述应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。其中的是满足平衡微分方程和相容方程的。其中的9 9个待定常个待定常数由边界条件来确定。数由边界条件来确定。)23()23(2622)26()26(22223232GFyEyCByAyxDCyByAyKHyByAyFEyxBAy

42、xxyyx将应力函数将应力函数 f f 代入式代入式(2-24)(2-24)，可得应力分量：，可得应力分量：简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载在这个问题中，在这个问题中，y 轴是对称轴，应力函数轴是对称轴，应力函数 f f 应为应为 x 的的偶函数偶函数（ x 和和 y 应为应为 x 的偶函数，的偶函数， xy 是是 x 的奇函数的奇函数）如果不考虑对称性条件，在考虑了所有的边界的边界条如果不考虑对称性条件，在考虑了所有的边界的边界条件后，也可以得到相同的结果，但计算量会增加许多。件后，也可以得到相同的结果，但计算量会增加许多。对于任何问题，凡是具有对称性（或反对称性）的，宜对于任何问题，凡是具

43、有对称性（或反对称性）的，宜先考虑对称性条件，可以简化问题的求解，减少计算量。先考虑对称性条件，可以简化问题的求解，减少计算量。得到：得到：E=F=G=0 )()()(2),(212yfyxfyfxyxf由由简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载(5)(5)考察边界条件考察边界条件将应力分量在相应边界处的值代入上述条件，可计算出将应力分量在相应边界处的值代入上述条件，可计算出4 4个待定常数个待定常数: :0)(,)(, 0)(222hyxyhyyhyyq223023qDhqCBhqA首先考察上下两边的主要边界条件：首先考察上下两边的主要边界条件：0)43(0)43(02480248222323Ch

44、BAhxChBAhxDChBhAhDChBhAh简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载由于在左右边界上均没有水平面力，这就要求当由由于在左右边界上均没有水平面力，这就要求当由 x=l 时，对于任何时，对于任何 y 值，均有值，均有 x = 0 。由。由(i)式知，这式知，这是不可能的，除非式中的是不可能的，除非式中的 q=H=K=0 。为此，应用圣维为此，应用圣维南原理，只能要求此部分边界上合成的主矢量和主矩为南原理，只能要求此部分边界上合成的主矢量和主矩为0。对于右边界，有。对于右边界，有:hqhqlHK10, 032其次考察左右两边的次要边界条件其次考察左右两边的次要边界条件qldyydydyh

45、hlxxyhhlxxhhlxx222222)(,0)(, 0)(将将( (i) )式代入，可得式代入，可得简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载将单位宽度截面梁的惯性矩将单位宽度截面梁的惯性矩I、静矩静矩S、弯矩弯矩M和剪力和剪力FS的的表达式代入上式可得：表达式代入上式可得：综上所述，将各待定常数代入，可得应力分量的最终解综上所述，将各待定常数代入，可得应力分量的最终解答为：答为：)4(6)21)(1 (2)534()(6223222223yhxhqhyhyqhyhyqyxlhqxyyxISFhyhyqhyhyqyIMsxyyx222)21)(1(2)534(3-6)简支梁受均布荷载简支梁受均布荷

46、载 1 1、对于对于lh的长梁的长梁， y 与与 h 同阶，同阶，x 与与 l 同阶。因此同阶。因此应力解答中有三种数量级，分别为应力解答中有三种数量级，分别为 q(l/h)2、 q(l/h) 、 q。2 2、弯应力弯应力 x的第一项与的第一项与q(l/h)2同阶大小，为主要应力；同阶大小，为主要应力； 3 3、切应力切应力 xy与与q(l/h)同阶大小，为次要应力；同阶大小，为次要应力；4 4、挤压应力挤压应力 y及弯应力及弯应力 x的第二项均与的第二项均与q同阶大小，为同阶大小，为更次要应力。更次要应力。应力分布特点应力分布特点)4(6)21)(1 (2)534()(6223222223y

47、hxhqhyhyqhyhyqyxlhqxyyx简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载 1 1、弯应力弯应力 x的第一项为主要应力，并的第一项为主要应力，并且与材料力学解答相同，而第二项正是且与材料力学解答相同，而第二项正是弹性力学才有的修正项，它只与弹性力学才有的修正项，它只与q同阶大同阶大小；小；2 2、切应力切应力 xy为次要应力，也与材料力为次要应力，也与材料力学解答完全相同；学解答完全相同；3 3、挤压应力挤压应力 y在材料力学中一般不考在材料力学中一般不考虑，它只与虑，它只与q同阶大小。同阶大小。4 4、两者的区别中主要反映在最小的量两者的区别中主要反映在最小的量级上。级上。比较弹性力学与

48、材料力学对该问题的解答比较弹性力学与材料力学对该问题的解答ISFhyhyqhyhyqyIMsxyyx222)21)(1 (2)534(ISFyIMsxyyx简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载 （1 1）弹性力学解法中，严格地考虑并满足区域内的平衡微分方弹性力学解法中，严格地考虑并满足区域内的平衡微分方程、几何方程、物理方程及边界上的全部边界条件（小边界上应用程、几何方程、物理方程及边界上的全部边界条件（小边界上应用圣维南近似），因此解答是较精确的。圣维南近似），因此解答是较精确的。（2 2）材料力学解法中，许多方面作了近似处理，只能得出近似材料力学解法中，许多方面作了近似处理，只能得出近似的解答

49、。例如平面截面假设导出位移、应变和应力沿横向均为直线的解答。例如平面截面假设导出位移、应变和应力沿横向均为直线分布；在平衡条件中，忽略了挤压应力分布；在平衡条件中，忽略了挤压应力 y的作用，并且考虑的是有的作用，并且考虑的是有限部分物体的平衡，而不是微分单元体的平衡；在主要边界上，没限部分物体的平衡，而不是微分单元体的平衡；在主要边界上，没有严格考虑应力边界条件。有严格考虑应力边界条件。（3 3）两者的区别中主要反映在最小的量级上，故材料力学的解两者的区别中主要反映在最小的量级上，故材料力学的解答尽管近似，但对杆件是足够精确的（此时答尽管近似，但对杆件是足够精确的（此时lh ），否则不能用），

50、否则不能用材料力学的解法来求解。材料力学的解法来求解。比较弹性力学与材料力学在解法上的区别比较弹性力学与材料力学在解法上的区别课后作业课后作业作业：习题作业：习题311q 逆解法与半逆解法、多项式解答逆解法与半逆解法、多项式解答q 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲q 位移分量的求出位移分量的求出q 简支梁受均匀分布荷载简支梁受均匀分布荷载q 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力主要内容主要内容3.5 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力问题：问题：如图，无限长的楔形体受重力和液体压力，试求应如图，无限长的楔形体受重力和液体压力，试求应力分量。力分量。楔形体受重力和液体压力楔形体受重

51、力和液体压力解：按半逆解法的步骤进行求解。解：按半逆解法的步骤进行求解。( (1) )首先从量纲分析入手，来假定应力分量的函数形式首先从量纲分析入手，来假定应力分量的函数形式 楔形体内任意点的应力由重力和液体压力所引楔形体内任意点的应力由重力和液体压力所引起，两部分应力分别与起，两部分应力分别与 1g 和和 2g 成正比，而应力量成正比，而应力量纲（纲（L-1MT-2）只比）只比 1g 和和 2g 的量纲（的量纲（L-2MT-2）高一次幂的长度量纲，因此应力只能是高一次幂的长度量纲，因此应力只能是 1g 和和 2g 与与 x 和和 y 的一次式相乘，亦即应力中只能包的一次式相乘，亦即应力中只能

52、包含含 x 和和 y 的的纯一次式纯一次式。楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力( (2) )由应力推出应力函数的一般形式；由应力推出应力函数的一般形式；3223),(dycxyybxaxyxf（3）校核应力函数）校核应力函数此纯三次多项式自然满足相容方程此纯三次多项式自然满足相容方程 由方程由方程(2-24)(2-24)可知，应力函数应比应力的长度量纲提可知，应力函数应比应力的长度量纲提高二次幂，所以应力函数应为高二次幂，所以应力函数应为 x 和和 y 的纯三次式，而的纯三次式，而纯三次多项式只有四项，即纯三次多项式只有四项，即楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力(4)由应力

53、函数求应力分量由应力函数求应力分量cybxyxgybyaxyfxdycxxfyxyyyxx222662212222fff将应力函数将应力函数 f f 代入式代入式(2-24)(2-24)，可得应力分量：，可得应力分量：校核应力分量：校核应力分量：代入平衡微分方程和相容方程，可知上述应力分量代入平衡微分方程和相容方程，可知上述应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。其中的是满足平衡微分方程和相容方程的。其中的4 4个待定常个待定常数由边界条件来确定。数由边界条件来确定。楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力(5)考察边界条件：考察边界条件：只有两个边界，均为主要边界（大边界只有两个边界，均

54、为主要边界（大边界），都应精确满足应力边界条件；），都应精确满足应力边界条件；将应力分量在相应边界处的值代入上述条件，得到如将应力分量在相应边界处的值代入上述条件，得到如下待定常数下待定常数: :0)(,)(020 xxyxxgy6, 02gdc首先考察左边界上的应力边界条件：首先考察左边界上的应力边界条件：楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力其次考察右边界上的应力边界条件，由于没有面力，故：其次考察右边界上的应力边界条件，由于没有面力，故：0)(0)(tantanyxyxyyxxyxmlml将该边界的外法线方向余弦和应力分量在相应边界处的将该边界的外法线方向余弦和应力分量在相应边界处的值代入上述条件值代入上述条件32122cot3cot6,cot2ggagbcybxgybyaxdycxmlxyyx22,26,62sin,cos1可求解得到如下待定常数可求解得到如下待定常数: :楔形体受重力和液体压