第二章 控制系统的数学模型(第四讲)

1、方块图和信号流图1第4讲方块图的简化方块图的简化等效变换等效变换方块图和信号流图2第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 引言引言2.1 微分方程的建立微分方程的建立2.2 传递函数传递函数2.3 系统方框图及其简化系统方框图及其简化(重点重点)2.4 信号流程图和梅逊公式信号流程图和梅逊公式2.5 脉冲响应与非线性方程的线性化脉冲响应与非线性方程的线性化方块图和信号流图32.4.4 2.4.4 方块图的简化方块图的简化等效变换等效变换（重点）（重点） 为了由系统的方块图写出它的闭环传递函数，通常需要对方块图进行等效变换。方块图的等效变换必须遵守一个原则，即变换前后各变量之间的传递

2、函数保持不变即变换前后各变量之间的传递函数保持不变。在控制系统中，任何复杂系统主要由典型环节的方块经串联、并联和反馈串联、并联和反馈三种基本形式连接而成。R R( (s s) )C C( (s s) )（a a）)(1sU)(2sU)(1sG)(2sG)(3sGR R( (s s) )G G( (s s) )C C( (s s) )（b b）图图2-23 2-23 环节的串联连接环节的串联连接 （1 1）串联连接）串联连接 几个函数方块首尾相连，前一个方块的几个函数方块首尾相连，前一个方块的输出是后一个方块的输入量。输出是后一个方块的输入量。方块图和信号流图4特点：特点：前一环节的输出量就是后

3、一环节的输入量。前一环节的输出量就是后一环节的输入量。 )()()()()()()()()()()()()()()()(123231212211sRsGsGsGsUsGsCsRsGsGsUsGsUsRsGsU)()()()()()(321sGsGsGsGsRsC结论：结论：串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积。串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积。niisGsG1)()(上述结论可推广到上述结论可推广到n n个环节相串个环节相串联，其等效传递函数为联，其等效传递函数为： 要求出第三个环节的输出与第一个环节的输入之间要求出第三个环节的输出与第一个环节的输入之间的传递函数时，则有：

4、的传递函数时，则有：表明：三个环节的串联可以用表明：三个环节的串联可以用一个等效环节来代替。一个等效环节来代替。方块图和信号流图5（a a）R R( (s s) )C C( (s s) )(2sG)(1sG)(3sG)(2sC)(1sC)(3sCG G( (s s) )（b b）R R( (s s) )C C( (s s) )图2-24 环节的并联连接 特点：特点：各环节的输入信号是相同的，均为各环节的输入信号是相同的，均为R(s)R(s)， 输出输出C(s)C(s)为各环节的输出之和，即为各环节的输出之和，即: : （2 2）并联连接）并联连接并联结构定义：并联结构定义：输入信号相同，各环节

5、输出信号进行代数求和，作为输入信号相同，各环节输出信号进行代数求和，作为总的输出信号，称这种结构为并联结构。总的输出信号，称这种结构为并联结构。方块图和信号流图6)()()()()()()()()()()()()()(321321321sRsGsGsGsRsGsRsGsRsGsCsCsCsC)()()()()()(321sGsGsGsGsRsC结论：结论：并联环节的等效传递函数等于并联环节的等效传递函数等于 所有并联环节传递函数的代数和所有并联环节传递函数的代数和。)()(1sGsGniin为相并联的环节数该结论推广到n个环节并联的结构为：当然还有“-”的情况。方块图和信号流图7（3 3）反馈

6、连接）反馈连接（a a）C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)H(s)E E( (s s) )B B( (s s) )G(s)为前向通道的传递函数H(s)为反馈通道的传递函数反馈信号在相加点处既可为“”又可为“”，为“”时是正反馈；为“”是负反馈。实际中常采用负反馈（b b）R R( (s s) )C C( (s s) )图图2-25 2-25 环节的反馈连接环节的反馈连接)()()(sGsEsC)()()(sGsBsR)()()()(sGsCsHsR)()()()()(sCsGsHsGsR)()()()()(1 sXsGsCsHsG)()(1)()()()(sHsGsGsR

7、sCs反馈回路的传递函数：反馈回路的传递函数：方块图和信号流图8 上述三种基本变换（串联、并联、反馈变换）串联、并联、反馈变换）是进行方框图等效变换的基础。 对于较复杂的系统,例如当系统有信号交叉或反馈环交叉时,仅靠这三种方法是不够的。 系统方框图中，常出现信号或反馈环相互交叉的现象，可采用将信号相加点相加点（汇合点）或信号分支分支点（引出点）点（引出点）作适当的等效移动，先消除各种形式的交叉，再进行等效变换，再进行三种形式的基本变换，实现方块图简化。方块图和信号流图9信号相加点的移动：信号相加点的移动：分两种情况：前移和后移分两种情况：前移和后移。移动原则：信号相加点移动前后输出量与输入量的

8、关系不变。移动原则：信号相加点移动前后输出量与输入量的关系不变。方法：方法：必须在移动相加信号的传递通道上增加增加一个环节。 前移：1G（S） 后移：G（S）信号分支点的移动：信号分支点的移动：分两种情况：前移和后移。分两种情况：前移和后移。移动原则：信号相加点移动前后输出量与输入量的关系不变。移动原则：信号相加点移动前后输出量与输入量的关系不变。方法：方法：在移动分支信号的传递通道上增加增加一个环节。 前移： G（S） 后移： 1G（S）注意：两个相邻的信号相加点和两个相邻的信号分注意：两个相邻的信号相加点和两个相邻的信号分支点可以互换位置。但，支点可以互换位置。但，相邻的相加点与分支点的相

9、邻的相加点与分支点的位置不能简单互换。位置不能简单互换。方块图和信号流图10（4 4）相加点等效移动）相加点等效移动等效移动规则： 相加点移动前后总的输出保持不变。相加点移动前后总的输出保持不变。C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s) )比比较较点点前前移移 比比 较较 点点 后后 移移C C ( ( s s ) )R R ( ( s s ) )G (s)Q Q ( ( s s ) )G(s)C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s) )C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)G(s)Q Q( (s s)

10、)()()()()()()()(sGsGsQsRsQsGsRsC)()()()()()()()(sGsQsGsRsGsQsRsC图图2-26 2-26 比较点移动示意图比较点移动示意图方块图和信号流图11R R( (s s) )分分支支点点（引引出出点点）前前移移G(s)C C( (s s) )C C( (s s) ) 分分 支支 点点 （ 引引 出出 点点 ） 后后 移移R R( (s s) )G (s)R R( (s s) )C C( (s s) )C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)G(s)C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)R R( (s s)

11、)()()(sGsRsC)()(1)()()(sRsGsGsRsR左图图2-27 2-27 分支点移动示意图分支点移动示意图 右（5 5）分支点等效移动）分支点等效移动等效移动规则：分支点移动前后所得分支信号保持不变。分支点移动前后所得分支信号保持不变。方块图和信号流图12方块图和信号流图13用方块图的等效变换法则，求图2-28所示系统的传递函数C(s)/R(s) R R( (s s) )A A- -B BC C( (s s) )1G2G3G4G1H2H- -C解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统，如果不对它作适当的变换，就难以应用串联、并联和反馈连接的等效变换公式进行化简。本题的求解方法是把

12、图中的点A先前移至B点，化简后，再后移至C点，然后从内环到外环逐步化简，其简化过程如下图。例2-10图2-28方块图和信号流图14R R( (s s) )- - - -C C( (s s) )1G2H5G6G7G21GH51G25561HGGG211255125211255152161617111111GHGHGGGHGGHGHGGGGGHGGGGG 反馈公式 4325GGGG 串联和并联方块图和信号流图1521121432432151211255177)(1)(11)()()(GHGHGGGGGGGGGGGHGHGGGGGsGsRsC将例2-9的系统方块图简化 - - - -C CB BA

13、A（c c）方方块块图图11sC21sC)(1sUC)(sUr)(1sI)(sUc)(sUc)(2sI11R21R)(1sUC12- - - -1RsC211R21RsC11sC21)(sUc)(sUr例2-11比较点B前移分支点A后移方块图和信号流图16- - -sCR111sCR221sCR21)(sUr)(sUc- -12- - - -1RsC211R21RsC11sC21)(sUc)(sUr- -sCR21) 1)(1(12211sCRsCR)(sUr)(sUc1)(121221122121sCRCRCRsCCRR)(sUr)(sUc图2-29 方块图的简化过程 简化提示：分支点A后移

14、比较点B前移比较点1和2交换。 方块图和信号流图17（1）三种基本形式的结构图）三种基本形式的结构图G1G2G2G1G1G2G1G2G1G2G1G1G21+串串 联联并并 联联反反 馈馈5、小结、小结方块图和信号流图18三种典型结构（串联、并联、反馈）可直接利用公式简化。三种典型结构（串联、并联、反馈）可直接利用公式简化。相邻的比较点（综合点、相加点）可互换位置。相邻的比较点（综合点、相加点）可互换位置。相邻的分支点（引出点）可互换位置。相邻的分支点（引出点）可互换位置。1）不是不是典型结构，典型结构，不可不可直接利用公式。直接利用公式。2）比较点与分支点）比较点与分支点相邻相邻时，时，不可直

15、接不可直接互换位置。互换位置。前向通道中，各传函乘积保持不变（前向通道传前向通道中，各传函乘积保持不变（前向通道传函保持不变）函保持不变）反馈通道中，各传函的乘积保持不变（反馈通道反馈通道中，各传函的乘积保持不变（反馈通道传函保持不变）传函保持不变）方块图和信号流图19注意：引出点移动注意：引出点移动G1G2G3G4H3H2H1abG41G1G2G3G4H3H2H1方块图和信号流图20G2H1G1G3注意：综合点移动注意：综合点移动 向同类移动向同类移动G1G2G3H1G1方块图和信号流图21G1G4H3G2G3H1作用分解作用分解H1H3G1G4G2G3H3H1方块图和信号流图22作业作业2

16、-5（a）(c)，2-6（b）(d)，2-7，2-8，2-10（b），），2-11方块图和信号流图232.4.5 信号流图和梅逊公式（信号流图和梅逊公式（SJMasonSJMason）2.4.5.1信号流图中的基本概念信号流图中的基本概念 信号流图信号流图和方框图类似，和方框图类似，都可用来表示系统结构和信号都可用来表示系统结构和信号传送过程中的数学关系。因而传送过程中的数学关系。因而信号流图也是一种数学模型信号流图也是一种数学模型。 方框图及其等效变换虽然对分析系统的性能很有效，但方框图及其等效变换虽然对分析系统的性能很有效，但是对于比较复杂的系统，方框图的变换和化简往往显得比较是对于比较复

17、杂的系统，方框图的变换和化简往往显得比较繁琐、费时，并易于出错。如采用信号流图，则可利用繁琐、费时，并易于出错。如采用信号流图，则可利用梅逊梅逊公式公式，不需作任何变换便可直接得出系统中任何两个变量之不需作任何变换便可直接得出系统中任何两个变量之间的数学关系间的数学关系。 信号流图信号流图是一种将线性代数方程组用图形表示的方法。例如：例如：因果增益节点 输出方向2x1x1122xax 12a方块图和信号流图24201bxaxx102dxcxx写成写成因果关系因果关系式式, ,绘制绘制因果关系图因果关系图 在信号流图中，用小圆圈在信号流图中，用小圆圈“O”O”表示变量，并称其为表示变量，并称其为

18、节点节点。节。节点之间用加权的有向线段连接，称为点之间用加权的有向线段连接，称为支路支路，箭头的方向表示信号，箭头的方向表示信号传输的方向。通常在支路上标明前后两个变量之间的数学关系，传输的方向。通常在支路上标明前后两个变量之间的数学关系，又称为又称为增益增益。0210bxxax0210 xdxcx例如例如：方块图和信号流图251x5x432,xxx源节点（输入节点）源节点（输入节点）：仅具有输出支路的节点仅具有输出支路的节点。汇节点（输出节点）：仅有输入支路的节点。汇节点（输出节点）：仅有输入支路的节点。混合节点混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。图中的前向通路：前向通路：从输入节点开

19、始，沿支路箭头方向，最终到达输出节点的通路，称之前向通路。在前向通道中每个节点只经过一次。2.4.5.2信号流图中的基本术语信号流图中的基本术语1Mixed nodeinput node(source)1x2x3x4x5x6x23a32a34a45a25a44a24a12a43a1235453a图中的图中的 有时信号流图中没有一个节点是仅有输入支路的。我们只要定义信号流图中任一变量为输出变量，然后从该变量节点引出一条增益为1的支路，即可形成一输出节点，如图中的方块图和信号流图261Mixed nodeinput node(source)1x2x3x4x5x6x23a32a34a45a25a44

20、a24a12a43a1235453a 前向通路总前向通路总增益：增益：前向通路上各支路增益之乘积，称为前向通路总增益 ，用 表示。kp54321xxxxx145342312paaaa5421xxxx2452412paaa521xxx32512paa回路（闭通路）回路（闭通路）: :232xxx2342xxxx343xxx2352xxxx23542xxxxx3543xxxx44xx 32231aaL 3243242aaaL 3253253aaaL 325345244aaaaL 43345aaL 5345346aaaL 447aL 起点和终点在同一节点，且信号通过每个节点仅一次的闭合通路。方块图和

21、信号流图27回路增益回路增益：aL232xxx和44xx 2352xxxx和44xx 不接触回路：不接触回路：在信号流图中，可以有两个或两个以上不接触回路。不接触回路不接触回路1Mixed nodeinput node(source)1x2x3x4x5x6x23a32a34a45a25a44a24a12a43a1235453a回路中所有支路增益的乘积称为回路中所有支路增益的乘积称为回路增益回路增益，用用 表示表示 。回路之间没有公共节点，这种回路称不接触回路。方块图和信号流图28信号流图的性质信号流图的性质:信号流图适用于线性系统。信号流图适用于线性系统。支路表示一个信号对另一个信号的函数关系

22、，信号只能沿支路箭支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，信号只能沿支路箭头方向传递。头方向传递。在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的信号送在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的信号送到所有的输出支路。到所有的输出支路。具有输入和输出支路的节点称为混合节点，混合节点通过增加一具有输入和输出支路的节点称为混合节点，混合节点通过增加一个具有单位增益的支路，可作为输出节点。个具有单位增益的支路，可作为输出节点。对于一个给定的系统，信号流图不是唯一的。对于一个给定的系统，信号流图不是唯一的。 原因原因:描述同一个系统的方程可以表示为不同的形式。描述同一个系统的方程可以表示为不

23、同的形式。方块图和信号流图29表表2-22-2列出了信号流图的列出了信号流图的等效变换规则等效变换规则: :方块图和信号流图302.4.5.3 2.4.5.3 信号流图的绘制信号流图的绘制s画出图画出图2-312-31所示系统方块图的信号流图。所示系统方块图的信号流图。HRBC1G2G3G4G1A2A图2-31系统方块图 用小圆圈表示各变量对应的节点21,AA只需在比较点后设置一个节一个节点点便可。也即可以与前面的比较点共用一个节点。 需设置两个节点两个节点，分别表示引出点和比较点，注意图中的 1e2eR1e1-H2G1G3G4G1e2e例2-12 由微分方程绘制由微分方程绘制 方程，这与画方

24、块图差不多。方程，这与画方块图差不多。由系统方块图绘制来绘制信号流程图。由系统方块图绘制来绘制信号流程图。解：解：在比较点之后的引出点在比较点之后的引出点在比较点之前的引出点在比较点之前的引出点方块图和信号流图312.4.5.4 梅逊公式梅逊公式 formulagainsMason 信号流图特征式，它是信号流图所表示的方组的系数矩信号流图特征式，它是信号流图所表示的方组的系数矩阵的行列式。阵的行列式。在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益，其分母总是 ，变化的只是其分子。 kkPP1式中 :P 系统总增益（总传递函数） :k 前向通路的个数 kP第k条前向通路总增益: )()3()

25、2()1 () 1(1mmLLLL)1(L)2(L)(mL所有单独回路增益之和；所有单独回路增益之和； 所有两两互不接触回路增益乘积之和；所有两两互不接触回路增益乘积之和； 所有任意所有任意m m个不接触回路增益乘积之和。个不接触回路增益乘积之和。 :k为不与第为不与第k k条前向通路相接触的那一部分信号流图的条前向通路相接触的那一部分信号流图的 值，称为第值，称为第k k条前向通路特征式的条前向通路特征式的余因子余因子。 方块图和信号流图32求图2-33（a）所示信号流图的总增益)()(15sXsX(a)1x2x3x4x12a23a34a42a32a45a44a5x35a52a(b)1x2x

26、3x4x5x11453423121aaaaP(c)2x1x3x5x44235231211 aaaaP例2-13方块图和信号流图33互互不不接接触触互互不不接接触触(d)2x3x(e)2x4x4x(f)2x5x(g)2x3x5x32231aaL 4234232aaaL 443aL 524534234aaaaL 5235235aaaL 44322312aaaL 4452352322aaaaL (a)1x2x3x4x12a23a34a42a32a45a44a5x35a52a确定系统回路的个数：确定系统回路的个数：确定不接触的回路：确定不接触的回路：方块图和信号流图344452352344322352

27、35235234234442342332233523124445342312)(1)1 (aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaP利用Masons gain formula 求图2-34所示系统的闭环传递函数。123456R(s)C(s)1G2G3G4G6G5G7G1H2H解：前向通路有3个 16543211543211GGGGGP165421254612GGGGP143721316321HGGGGP图2-34 某系统的信号流图 例2-14方块图和信号流图354个单独回路141454HGL27222632HGGL2546326542HGGGL254324265432HGGGGL

28、21LL 与互不接触2172412HHGGGL21754254322546272111HHGGGHGGGGHGGGHGGHG方块图和信号流图36总结v从原理图画系统方块图的方法v方块图的简化 基本连接方式串联、并联和反馈的简化 比较点、分支点的移动v信号流图及Masons Gain Formula方块图和信号流图37 在建立控制系统数学模型时，常常遇到非线性问题非线性问题。非线性：非线性：是指系统（或元件）的输出量与输入量间的静态特性不是直线关系。 严格说来，任何系统都存在不同程度的非线性。对于非线性系统，要用非线性微分方程非线性微分方程来描述。但对非线性微分方程没有统一的、成熟的解法，有时甚至是无法求解的。 但是许多非线性系统在一定条件下在一定条件下可近似地认为是线性