第1章线性空间与线性变换讲义

1、1.1 线性空间的基本概念线性空间的基本概念1定义定义：设：设 F 是复数的一个非空集合，若满足是复数的一个非空集合，若满足1）F中包含中包含0和和1；2）F对数的四则运算封闭对数的四则运算封闭则称集合则称集合F是一个是一个数域数域（field）例子：例子：有有理理数数域域实实数数域域复复数数域域:QRC整整数数集集不不是是数数域域:Z本教程所见数域都是实数域本教程所见数域都是实数域R或者是复数域或者是复数域C第第1 1章章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换线性空间的定义线性空间的定义2定义：设定义：设 V 是一个非空集合，是一个非空集合，F 为数域，为数域，a a, , b b, , g

2、 g V, 对于任意的对于任意的a a, , b b V, 总有唯一的元素总有唯一的元素 g g V与之对应，与之对应，称称 g g 为为a a 与与b b 的和，的和，记作记作 g g = =a a + +b b，且，且;)1(a ab bb ba a+ += =+ +);()()2(g gb ba ag gb ba a+ + += =+ + +，存在零元素：存在零元素：a ab ba aa ab b= =+ + ,)3(VV; 0,)4(= =+ + b ba ab ba a，存在负元素存在负元素VV;0为为并记并记为零元素，为零元素，称称b bb b;a ab ba ab b 为为并记并

3、记的负元素，的负元素，为为称称3对于任意的对于任意的 l l F 及任意的及任意的a a V ，总有唯一的元素总有唯一的元素d d V 与之对应，与之对应，称称d d 为为l l与与a a 的积，记作的积，记作 d d = = lala，且，且a aa a= =1)8(a allaal l)()()5(= =lblblalab ba al l+ += =+ +)()7(aalalaa a l l+ += =+ +)()6(则则称称V 为数域为数域 F 上的线性空间，上的线性空间，称称V 的元素为向量，的元素为向量，称满足称满足(1)-(4)的和为加法，的和为加法，满足满足(5)-(8)的积为数

4、乘。的积为数乘。4定义加法：定义加法：T2211),(nnyxyxyx+ + + += =+ +b ba a,),(T21nxxx= =a a,),(T21nnRxxx = =b b,|),(TRxxxxxxRnnn = =2121例例1. 实数域上全体实数域上全体 n 维向量的集合维向量的集合Rk 定义数乘：定义数乘：,),(T21nkxkxkxk= =a a上的线性空间。上的线性空间。是数域是数域RRn上的线性空间。上的线性空间。是数域是数域CCn例例2 2 实数域实数域 R上的全体上的全体 mn 矩阵，对矩阵的加法矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成和数乘运算构成 R上的线性空间，记作上的

5、线性空间，记作 Rmn,nmnmnmnmRCBA = =+ +,nmnmnmRDA = =l l Rmn是一个线性空间。是一个线性空间。,)(|RaaAARijnmijnm = = = 5对于多项式的加法、数乘多项式构成对于多项式的加法、数乘多项式构成线性空间。线性空间。111010 , =+=+nnnnP xaxa xa aaR6例例3 3 次数小于次数小于n 的多项式的全体，记作的多项式的全体，记作 Pxnp00001+ + + += = xxnxQn 对于多项式的加法和乘数运算不构成对于多项式的加法和乘数运算不构成线性空间线性空间n -1次多项式的全体次多项式的全体0 01 + + +

6、+= =aaxaxaxQn-1n-1n-1n例例4 4.对运算不封闭对运算不封闭xQn7例例5 5 在区间在区间a, b上全体实连续函数，对函数的上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域加法与数和函数的数量乘法，构成实数域R上的上的线性空间，记作线性空间，记作Ca, b。8,)()(baCxgxf + + Ca, b是一个线性空间。是一个线性空间。,)(| )(,上连续上连续在在baxfxfbaC= =( ) , kf xC a b ,)(),(baCxgxf 例例6 6 正实数的全体正实数的全体 R+ ，在其中定义加法及乘数，在其中定义加法及乘数 运算为运算为 + +

7、= = = RbaRaaabba,l ll ll l验证验证 R+对上述加法与乘数运算构成线性空间对上述加法与乘数运算构成线性空间900 or 0kkaaaa=( 1)aaaa= = 定义定义: : 设设V 是一个线性空间，是一个线性空间，a a1, a a2, a anV 若若 (1) a a1, a a2, a an 线性无关，线性无关， (2) a aV , a a 可由可由a a1, a a2, a an 线性表示，线性表示， a a = = x1a a1+ x2a a2+ +xna an 则称则称a a1, a a2, a an 为为V 的一组基，的一组基， 称称 x1, x2 ,

8、, xn为为a a 在基在基a a1, a a2, a an 下的坐标，下的坐标， 称称 n 为为V 的维数，记作的维数，记作 dimV = n 。11维数，基与坐标维数，基与坐标12例例1 1 设设2 2, , ,abRa b c dRcd =则则2 2R 是实数域是实数域 R 上的线性空间。上的线性空间。自然基自然基 = = = = = = = =100001000010000122211211EEEE,22211211dEcEbEaEdcbaA+ + + += = = =13 = = = = = =100210321321a aa aa a,例例2 设设123,aaaaaa下的坐标。下的

9、坐标。求求a a = = (1,0,- -1)T 在在基基为为 R3 的一组基，的一组基，14123411011110,11100000AAAA=2 2R 1211= = A例例3 求求中的元素中的元素，在基，在基下的坐标。下的坐标。定理定理: 设设a1, a2, ar (1rn)是是 n 维线性空间维线性空间V 中中的的r个线性无关的向量，个线性无关的向量，则存在则存在V 中中n-r个向量个向量ar+1, an 使得使得a1, ,ar , ar+1, an 成为成为V 的基的基.基的扩张定理基的扩张定理基变换与坐标变换基变换与坐标变换定义定义: : 设设V 是一个线性空间，是一个线性空间，a

10、 a1, a a2, a anV b b1, b b2, b bnV 为为V 的两组基，若的两组基，若11112121212122221122nnnnnnnnnnpppppppppbaaabaaabaaabaaabaaabaaa=+=+ =+=+ =+=+ 【基变换公式基变换公式】Pnn),(),(2121a aa aa ab bb bb b= =，即即的的则则 P 称为由基称为由基12,naaaaaa到基到基12,nbbbbbb【基变换公式基变换公式】转移矩阵（或过渡矩阵），其中转移矩阵（或过渡矩阵），其中 = =nnnnnnpppppppppP21222211121118例例3 设设3R1

11、23,aaaaaa123,bbbbbb是是中的两组基，求由基中的两组基，求由基到基到基的转移矩阵的转移矩阵P P ； 1231231001002 ,1 ,0 ;1 ,1 ,1321111aaabbbaaabbb = 定理定理: : 设设V 是线性空间是线性空间，a a1, a a2, a an , b b1, b b2, b bn 是是V 的两组基，的两组基，P 是由基是由基a a1, a a2, a an到到b b1, b b2, b bn 的的 过渡矩阵，则过渡矩阵，则xPy1 = =是由是由 x 到到 y 的坐标变换公式，其中的坐标变换公式，其中TnTnyyyyxxxx),(,),(21

12、21= = =2020例例4 设设3R123,aaaaaa是是中的两组基，中的两组基，下的坐标下的坐标a a在在基基1231231001002 ,1 ,0 ;1 ,1 ,1321111aaabbbaaabbb = 123,bbbbbb下的坐标。下的坐标。向量是向量是 1, 2,1，求，求 在在基基a a21定义定义: : 设设V 是数域是数域F上的线性空间，上的线性空间，W 是是V 的非空子集，的非空子集， 若对于若对于V 中的加法和数乘二种运算，中的加法和数乘二种运算， W 是数域是数域F 上的线性空间，则称上的线性空间，则称W 是是V 的子空间。的子空间。定理定理: : 设设V 是数域是数

13、域F上的线性空间，上的线性空间，W 是是V 的非空子集，的非空子集， 若若W 对于对于V 中的加法和数乘二种运算封闭中的加法和数乘二种运算封闭，即，即则称则称W 是是V 的子空间。的子空间。WW + + b ba ab ba a则则,)(1WkFkW a aa a则则,)2(1.2 子空间与维数定理子空间与维数定理22,|),(TRxxxxWnn = =220例例1. 实数域上实数域上 n 维向量的集合维向量的集合的子空间。的子空间。是是则则nRW例例2. 设设A为为mn 矩阵，矩阵，向量的集合向量的集合,|)(nRxAxxAN = = =0。或核空间或核空间的零空间的零空间并称为并称为的子空

14、间的子空间是是则则)(,)(ARANn,|FxxxxxxWmmm + + + += =212211a aa aa a生成的生成的为由为由并称并称的子空间的子空间是是则则mWVWa aa aa a,21例例3. 设设V 是数域是数域F上的线性空间，上的线性空间，,Vm a aa aa a21V 的子空间的子空间, 记作记作 = =mWa aa aa a,21 = = = =nmWWb bb bb ba aa aa a,212211等价，等价，与与向量组向量组若若,nmb bb bb ba aa aa a2121则则21WW = =定理定理: 设设V 是是F上的线性空间，上的线性空间，Vnm b

15、bb ba aa a,11,|21WW + +b ba ab ba a为为W1与与 W2 的和，记作的和，记作 W1+ W2 定义定义: 设设W1, W2 是线性空间是线性空间V 的子空间，称集合的子空间，称集合称集合称集合|21WW a aa aa a且且为为W1与与 W2 的交，记作的交，记作 W1 W2 定理定理: 设设W1, W2 是线性空间是线性空间V 的子空间，则的子空间，则W1+ W2 与与 W1W2 都是都是V 的子空间。的子空间。称称 W1+ W2 为为W1与与 W2 的和空间，的和空间，称称 W1W2 为为W1与与 W2 的积空间。的积空间。|),(TRxxRx = =00

16、例例4. 线性空间线性空间R3的子空间的子空间|),(TRyyRy = =00,|),(TRyxyxRxy = =0求求 Rx+ Ry ， Rx+ Rxy 和和Rx Rxy 。,|),(TRyxyxRRyx = =+ +0 xyR= =,|),(TRyxyxRRxyx = =+ +0 xyR= =),(T000= =yxRR |),(TRxxRRxyx = =00 xR= =例题 411234124212121212(,) |20,span,(1, 1,0,1) ,(1,0,2,3) ,.TTTRVx xxxxxxVVV VVa aaaa aaa=+=+=+设设的的两两个个子子空空间间其其中中

17、求求例题2 22 213|021.2.3.PWARAPPAWRWW =已已知知， 令令证证明明：是是的的子子空空间间；求求的的基基与与维维数数；求求中中矩矩阵阵的的一一般般形形式式定理定理(维数公式维数公式): 设设V1, V2 是线性空间是线性空间V 的子空间，则的子空间，则)dim()dim(dimdim212121VVVVVV+ + += =+ +维数公式维数公式例例5 设设V1, V2 是是n维线性空间维线性空间V 的子空间，若的子空间，若nVV + +21dimdim则则V1, V2 中必有非零的公共向量。中必有非零的公共向量。子空间的直和子空间的直和定义：设定义：设V1, V2 是

18、线性空间是线性空间V 的子空间，若对每个向量的子空间，若对每个向量a V1+ V2 都有唯一的分解式都有唯一的分解式221121VaVaaaa + += =,则称则称V1与与V2 的和的和V1+ V2是直和，记作是直和，记作 V1 V2 。|),(TRxxRx = =00例例1. 线性空间线性空间R3的子空间的子空间|),(TRyyRy = =00求求 Rx Ry ，Rx Ryz 。,|),(TRyxyxRRyx = = 0 xyR= =,|),(TRzyzyRyz = =0,|),(TRzyxzyxRRyzx = = 3R= =定理：设定理：设V1, V2 是线性空间是线性空间V 的子空间，

19、则下列命题等价的子空间，则下列命题等价(2) 向量向量 0 的分解式是唯一的；的分解式是唯一的；(4) V1的一组基与的一组基与V2 的一组基的的一组基的简单并简单并是是V1+ V2的基；的基；(1) V1与与V2 的和的和V1+ V2是直和是直和;(3) V1 V2 = 0; (5) dim(V1+ V2) = dimV1 + dimV2 。例例2. 设设,|nnTRAAAAV = = =1,|nnTRAAAAV = = =221VVRnn = = 证明：证明：定理：设定理：设U 是线性空间是线性空间V 的子空间，则存在的子空间，则存在V 的的子空间子空间W，使得，使得V = U W。称称W

20、 是是U在在V中的直和补。中的直和补。1.3 线性空间的同构线性空间的同构121211212,(1),()( )( );(2),()( ),.V VFVVVkFkkVVVV ab ab a bab ab a ba aa a +=+=+ = = 定定义义设设都都是是数数域域 上上的的线线性性空空间间，若若存存在在一一个个到到的的双双射射使使得得，则则称称与与是是同同构构的的，记记作作这这里里的的映映射射称称为为同同构构映映射射同构的性质同构的性质同构保持线性关系不变。同构保持线性关系不变。定理：数域定理：数域F上两个有限维线性空间同构的充上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数分

21、必要条件是他们有相同的维数.应用：借助于空间应用：借助于空间Fn中已经有的结论和方法可中已经有的结论和方法可以研究一般线性空间的线性关系。以研究一般线性空间的线性关系。1.4 线性变换线性变换定义定义 设设V 为线性空间，为线性空间， V 上的变换上的变换 T : V V 若满足若满足(1)()( )( )(2)()( )TTTT kkTababababaaaa+=+=+= =则称则称 T 为为 V 上的线性变换。上的线性变换。例例1. 设设T 为为R2上的线性变换，上的线性变换， T : R2R2T (a) = a （如图）（如图）T 把向量把向量 a 绕原点逆时针绕原点逆时针旋转旋转 q

22、q 角度变换为角度变换为a 。xyOaa q q称称T为旋转为旋转 变换。变换。例例2. 设设T 为为R3上的线性变换，上的线性变换， T : R3R3 = = 0yxzyxTnRxAxxT = =,)(例例3. 设设T 为为 上的线性变换，上的线性变换， nRnnRRT:其中矩阵其中矩阵A是是 n 阶方阵阶方阵.线性变换的性质：设线性变换的性质：设T是是V上的线性变换，则上的线性变换，则(2)()( )TTaaaa= = (1)(0)0T= =11221122(3)()()()()mmmmT xxxx Tx Tx Taaaaaaaaaaaa+=+=+1212(4),(),(), ()mmTTTaaaaaaaaaaaa若若线线性性无无关关，则则线线性性无无关关. .线性变换的矩阵线性变换的矩阵定义定义 设设 T 为为 V 上的线性变换，上的线性变换，a a1, a a2, , ,a an为为 V 的基的基 + + + += =+ + + += =+ + + += =.)(,)(,)(22112222112