机械工程控制基础5-稳定性

1、机械工程控制基础机械工程控制基础2013.112013.11主讲人：高爱华主讲人：高爱华 机械类专业必修课机械类专业必修课机械与动力工程学院机械与动力工程学院1 1、课程准备、课程准备7 7、系统的性能指标与校正、系统的性能指标与校正2 2、绪、绪 论论4 4、系统的时间响应分析、系统的时间响应分析3 3、系统的数学模型、系统的数学模型5 5、系统的频率特性分析、系统的频率特性分析6 6、系统的稳定性分析、系统的稳定性分析第一讲第一讲 稳定性概念稳定性概念 Routh判据判据依据上述实例可得如下结论：依据上述实例可得如下结论： A系统稳定与否取决于系统内部条件，系统稳定与否取决于系统内部条件，

2、而与输入无关；而与输入无关；A系统发生不稳定必有适当的反馈作用；系统发生不稳定必有适当的反馈作用；A控制理论中讨论的稳定性是输入为控制理论中讨论的稳定性是输入为零而初始状态不为零的稳定性。稳零而初始状态不为零的稳定性。稳定性是指自由响应的收敛性定性是指自由响应的收敛性二、稳定性的定义和条件二、稳定性的定义和条件1.1.稳定性定义稳定性定义定义：定义：系统稳定性系统稳定性是指系统在是指系统在干扰作用干扰作用下下偏离平衡位偏离平衡位置置，当，当干扰撤除干扰撤除后，系统后，系统自动回到平衡位置自动回到平衡位置的能力。的能力。系统稳定性说明系统稳定性说明 1： 若系统在若系统在初始状态的影响初始状态的

3、影响下，由它所引起的系统的下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移时间响应随着时间的推移，逐渐，逐渐衰减并趋向于衰减并趋向于0 0（即回（即回到平衡位置），则称到平衡位置），则称系统为稳定的系统为稳定的；反之，由它所引起；反之，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移而的系统的时间响应随着时间的推移而发散发散（即偏离平衡（即偏离平衡位置越来越远），位置越来越远），则称系统是不稳定的则称系统是不稳定的。)()()()()(01)1()(1txtxatxatxatxaioonnnono nitsinitsitBeAeAtxiio1211)()(0lim1211 nitsinitsitiieAe

4、A nitsinitsitiieAeA1211lim tstkelimtjknitsinitsiteAeAeAii 1211limknitsinitsitAeAeAii 1211limktskAeAk 线性系统的线性系统的稳定性稳定性是系统的固有特性，仅与系统是系统的固有特性，仅与系统的结构与参数有关；非线性系统的稳定性不仅与系统的结构与参数有关；非线性系统的稳定性不仅与系统的结构与参数有关，而且还与的结构与参数有关，而且还与系统的输入有关系统的输入有关。系统稳定性说明系统稳定性说明 2：2.2.稳定性充要条件稳定性充要条件 系统稳定的充要条件是系统所有特征根的实部系统稳定的充要条件是系统所有

5、特征根的实部小于小于0 0，或系统传递函数的所有极点均分布在，或系统传递函数的所有极点均分布在ss平面的左半平面内。平面的左半平面内。 临界稳定的系统极易因为系统的结构和参临界稳定的系统极易因为系统的结构和参数的细微变化而变成不稳定的系统。因此，数的细微变化而变成不稳定的系统。因此，临界稳定往往也归结为不稳定的一种。临界稳定往往也归结为不稳定的一种。三、关于稳定性的相关提法三、关于稳定性的相关提法1. 1. 李亚普诺夫意义下的稳定性李亚普诺夫意义下的稳定性)(o 若若o o为系统的平衡工作点，为系统的平衡工作点，扰动使系统偏离此工作点的起扰动使系统偏离此工作点的起始偏差（即初态）不超过域始偏差

6、（即初态）不超过域，由扰动引起的输出（这种初态由扰动引起的输出（这种初态引起的零输入响应）及其终态引起的零输入响应）及其终态不超过预先给定的整数不超过预先给定的整数，则，则系统是稳定的，反之，系统是系统是稳定的，反之，系统是不稳定的。不稳定的。3. 3. “小偏差小偏差”稳定性稳定性 系统初始偏差（初态）不超过某一微小范围时的稳系统初始偏差（初态）不超过某一微小范围时的稳定性，称之为定性，称之为“小偏差稳定性小偏差稳定性”或或 “局部稳定性局部稳定性”。4. 4. “大范围大范围”渐近稳定性渐近稳定性 若系统在任意初始条件下都保持渐近稳定，则系统若系统在任意初始条件下都保持渐近稳定，则系统称为

7、称为“大范围渐近稳定大范围渐近稳定”，反之，系统是不稳定的。，反之，系统是不稳定的。2. 2. 渐近稳定性渐近稳定性 就是线性系统的稳定性，要求由初始状态引起的就是线性系统的稳定性，要求由初始状态引起的响应最终衰减为零。渐近稳定性满足李氏稳定性定响应最终衰减为零。渐近稳定性满足李氏稳定性定义；对非线性定义，这两种稳定性是不同的。义；对非线性定义，这两种稳定性是不同的。四、四、Routh稳定判据稳定判据1. 1. 系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件设系统的特征方程为：设系统的特征方程为：0)(0111asasasasDnnnn两边同除两边同除an)()(210111nnnnnnnssssssa

8、asaasaasniinnnjijijinniinsssssss122,111)1(依据上式，依据上式，s的同次幂前系数应对等的同次幂前系数应对等 要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：须满足以下两个条件：A特征方程的各项系数都不等于特征方程的各项系数都不等于0；A特征方程的各项系数的符号相同。特征方程的各项系数的符号相同。按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为系统特征方程的各项系数全大于为系统特征方程的各项系数全大于0 0，此即系统稳定的必

9、要条件。，此即系统稳定的必要条件。niinnnkjikjikjinnnjijijinnniinnsaasssaassaasaa103,2, 132, 1211)1(.2. 2. 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件对系统的特征方程：对系统的特征方程：0)(0111asasasasDnnnn其各阶系数按下列形式排成其各阶系数按下列形式排成RouthRouth表：表：ns1ns2ns3ns2s1s0sna2na4na6na1na3na5na7na1A2A3A4A1B2B3B4B1D2D1E1F13211nnnnnaaaaaA15412nnnnnaaaaaA17613nnnnnaaaaaA12131

10、1AAaaABnn131512AAaaABnn141713AAaaABnn元素计算方法：元素计算方法：RouthRouth判据判据：RouthRouth表中表中第一列各元符号改变的次数第一列各元符号改变的次数等于系等于系统统特征方程特征方程具有具有正实部特征根的个数正实部特征根的个数。因此系统稳定的充。因此系统稳定的充要条件可表述为：要条件可表述为：RouthRouth表中第一列各元的符号均为正。表中第一列各元的符号均为正。实例分析实例分析1 1 系统特征方程系统特征方程0301119)(234sssssD试用试用RouthRouth表判断其稳定性。表判断其稳定性。4s3s2s1s0s1193

11、011103030012030301111)19(1123030111)30(改变符号一次改变符号一次改变符号一次改变符号一次解：解：由由Routh判据：判据：系统不稳定。系统不稳定。3. 3. 系统稳定的特殊情况系统稳定的特殊情况（1）如果在）如果在RouthRouth表中任意一行的第一个元素为表中任意一行的第一个元素为0 0，而其后各元不全为，而其后各元不全为0 0，则在计算下一行的元素时，将趋向于无穷大。于是则在计算下一行的元素时，将趋向于无穷大。于是RouthRouth表计算无法继表计算无法继续，为了克服这一困难，续，为了克服这一困难，用一个很小的正数用一个很小的正数代替第一列的代替第

12、一列的0 0，然后计，然后计算算RouthRouth表的其余各元。若表的其余各元。若上下各元符号不变，且第一列元素符号均上下各元符号不变，且第一列元素符号均为正，则系统特征根中有共轭的虚根。此时，系统为临界稳定系统。为正，则系统特征根中有共轭的虚根。此时，系统为临界稳定系统。（2）如果）如果Routh表中任意一行的所有元素都为表中任意一行的所有元素都为0，Routh表的计算无法表的计算无法继续。此时，可以利用该行的上一行的元素构成一个辅助多项式，并用继续。此时，可以利用该行的上一行的元素构成一个辅助多项式，并用多项式的导数的系数组成多项式的导数的系数组成Routh表的下一行。这样，表的下一行。

13、这样，Routh表就可以计表就可以计算下去。算下去。 出现这种情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相出现这种情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭的纯反的实根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭的纯虚根（即系统自由响应维持某一频率的等幅振荡，系统临界稳定），虚根（即系统自由响应维持某一频率的等幅振荡，系统临界稳定），或是以上几种根的组合。或是以上几种根的组合。实例分析实例分析2 2 系统特征方程：系统特征方程：04244)(2345ssssssD试用试用RouthRouth表判断其稳定性。表判断其稳定性。解

14、：列解：列RouthRouth表如下：表如下：4s3s2s1s0s1421442024 42448425s0004改变符号一次改变符号一次实例分析实例分析3 3 系统特征方程：系统特征方程：0502548242)(2345ssssssD试用试用RouthRouth表判断其稳定性。表判断其稳定性。解：列解：列RouthRouth表如下：表如下：8964s3s2s1s0s124252485000024507 .1125s00500RouthRouth表中出现表中出现0 0元行，构造辅元行，构造辅助多项式如下：助多项式如下：050482)(24sssF取取F F( (s s) )对对s s的导数得新

15、方程：的导数得新方程：0968)(3sssF用上式中的系数用上式中的系数8 8和和9696代替代替0 0元元行，继续进行运算。行，继续进行运算。改变符号一次 此表第一列各元符号改变次数为此表第一列各元符号改变次数为1 1，因此断定该系统，因此断定该系统包含一个具有正实部的特征根，系统是不稳定的。包含一个具有正实部的特征根，系统是不稳定的。根据根据RouthRouth判据，判据，2p2p的辅助多项式应该存在的辅助多项式应该存在p p对实部符号对实部符号相异、虚部数值相同的共轭复根。这些特征根可以通过相异、虚部数值相同的共轭复根。这些特征根可以通过解辅助多项式得到。解辅助多项式得到。本例中辅助多项

16、式为：本例中辅助多项式为：050482)(24sssF解此辅助多项式可得：解此辅助多项式可得：5; 1jss这两对复根是原特征方程的根的一部分。这两对复根是原特征方程的根的一部分。五、相对稳定性的检验五、相对稳定性的检验应用应用RouthRouth判据可检验判据可检验稳定系统稳定系统的的相对稳定性相对稳定性方法如下方法如下：A将将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令平面的虚轴向左移动某个数值，即令sz（ 为正实数为正实数），代入系统特征方程，则得到关于，代入系统特征方程，则得到关于z的特征方程；的特征方程；A利用利用Routh表和表和Routh判据对新的特征方程进行稳判据对新的特征方程进行稳定性

17、判别。如果新系统稳定，则说明原系统特征方定性判别。如果新系统稳定，则说明原系统特征方程的根均在新的虚轴之左边，程的根均在新的虚轴之左边， 越大，系统相对稳定越大，系统相对稳定性越好。性越好。 系统传递函数方框图如系统传递函数方框图如下图所示，已知下图所示，已知T1T10.1s0.1s，T2T20.25s0.25s，试求，试求: :实例分析实例分析4 4)(sXi)(sXo)1)(1(21sTsTsK解：解：（1 1）求）求系统稳定时系统稳定时K K值的取值范围值的取值范围（1 1）系统稳定时系统稳定时K值的取值范围；值的取值范围；（2 2）若要求系统的特征根均若要求系统的特征根均 位于位于s1

18、线的左侧，线的左侧，K值值的取值范围。的取值范围。KssTTsTTKsHsGsGsGB221321)()()(1)()(0)()(221321KssTTsTTsD040401423Ksss因为：因为：将将T T1 1和和T T2 2代入得：代入得：列列RouthRouth表如下：表如下：0400404014KK140 K3s2s1s0s14014K4014404014K0K40解之得系统稳定时解之得系统稳定时K K的取值范围为：的取值范围为：由由RouthRouth表和表和RouthRouth判据得：判据得：（2 2）令）令s sz z1 1，代入特征方程得：，代入特征方程得：040) 1(4

19、0) 1(14) 1(23Kzszz02740151123Kzzz即：即：列列RouthRouth表如下：表如下：02740040192KK8 . 4675. 0 K3s2s1s0s115112740K1127401511K02740K解之得：解之得：由由RouthRouth表和表和RouthRouth判据得：判据得：与与(1)的结果比较可知，的结果比较可知，K的取值范围变小了。的取值范围变小了。A系统稳定性是指系统在干扰作用下偏离平衡位置，系统稳定性是指系统在干扰作用下偏离平衡位置，当干扰撤除后，系统自动回到平衡位置的能力当干扰撤除后，系统自动回到平衡位置的能力；六、本讲小结六、本讲小结A系

20、统稳定的充要条件是所有特征根具有负实部，或系统稳定的充要条件是所有特征根具有负实部，或系统传递函数的所有极点均分布在系统传递函数的所有极点均分布在s平面的左半平面平面的左半平面;作业：作业：教材：教材： 5.15.4, 5.7ARouth稳定判据是稳定判据是Routh表的第一列元素均大于表的第一列元素均大于0。利用利用Routh稳定判据不仅可判定系统的稳定性，而且稳定判据不仅可判定系统的稳定性，而且可以确定某些参数的取值范围和相对稳定性。可以确定某些参数的取值范围和相对稳定性。第二讲第二讲 Nyquist 稳定判据稳定判据一、一、 Nyquist稳定判据稳定判据判据提出：判据提出：该稳定性判据

21、由该稳定性判据由H.NyquistH.Nyquist于于19321932年提出，在年提出，在19401940年以后得到广泛应用。年以后得到广泛应用。判据原理：判据原理：将闭环系统的特征方程将闭环系统的特征方程 1+G(s)H(s)=0 1+G(s)H(s)=0 与开环与开环频率特性频率特性G GK K(j )(j )联系起来，从而将系统特性从联系起来，从而将系统特性从复域引入频域来分析。复域引入频域来分析。判断方法：判断方法：通过通过G GK K(j)(j)的的NyquistNyquist图，利用图解法来判明图，利用图解法来判明闭环系统的稳定性。闭环系统的稳定性。NyquistNyquist稳

22、定判据的数学基础是复变函数中的幅角原理。稳定判据的数学基础是复变函数中的幅角原理。1.1.幅角原理（幅角原理（CauchyCauchy定理）定理）)()()()()(2121nmpspspszszszsKsFjvusF)( 设设F F(s)(s)在在ss平面上平面上除有限个奇点外除有限个奇点外为单值的连续正则为单值的连续正则函数，并设函数，并设ss平面上解析点平面上解析点s s映射到映射到 F F(s)(s)平面上为点平面上为点F F(s)(s)，或为从原点指向此映射点的向量或为从原点指向此映射点的向量F F(s)(s)。若在。若在ss平面上任意平面上任意一封闭曲线一封闭曲线L Ls s，只要

23、此曲线不经过，只要此曲线不经过F F(s)(s)的奇点，的奇点，则在则在F(s)平面上必有一条对应的曲线平面上必有一条对应的曲线LF，也是一条封闭曲线。，也是一条封闭曲线。 当解析点当解析点s s按顺时针方向沿按顺时针方向沿L Ls s变化一周时变化一周时，向量，向量F F( (s s) )将按顺将按顺时针方向时针方向旋转旋转N N 周周，即，即F F( (s s) )以原点为中心顺时针旋转以原点为中心顺时针旋转NN 周，周，这就等于曲线这就等于曲线L LF F顺时针包围原点顺时针包围原点NN 次。若令次。若令Z Z 为包围于为包围于L Ls s内内的的F F( (s s) )的零点数，的零点

24、数，P P 为包围于为包围于L Ls s 内的内的F(s)F(s)的极点数，则有的极点数，则有取任意拉氏函数：取任意拉氏函数：js1s2ssLReIm)(sF)(1sF)(2sFFL向量向量F F(s)(s)的相位为的相位为njjmiipszssF11)()()( 假设假设 L Ls s 内只包围了内只包围了F F(s) (s) 的一个零点的一个零点z zi i ，其它零极点均，其它零极点均位于位于L Ls s 之外，当之外，当s s沿沿L Ls s 顺时针移动一周时，向量（顺时针移动一周时，向量（s sz zi i ）的相位角变化为的相位角变化为22 弧度，而其余相位角的变化为弧度，而其余相

25、位角的变化为 0 0。即向量即向量F F(s)(s)的相位角变化为的相位角变化为22，或者说，或者说 F F(s) (s) 在在 F F(s) (s) 平面上沿平面上沿 L LF F 绕原点顺时针转了一圈。绕原点顺时针转了一圈。N ZPjsizizs1p1z2p3psLIm)(sFReFL)(sF 若若ss平面上的封闭曲线包围平面上的封闭曲线包围F(s)F(s)的的Z Z个零点，则在个零点，则在 F F(s)(s)平面上的映射曲线平面上的映射曲线L LF F将绕原点顺时针将绕原点顺时针Z Z圈，而若圈，而若ss平面内平面内的封闭曲线包围这的封闭曲线包围这F F(s)(s)的的P P 个极点，则

26、平面上的映射曲线个极点，则平面上的映射曲线L LF F将绕原点逆时针转将绕原点逆时针转P P圈。圈。FsLLsFs平平面面映映射射平平面面)()()()()()(2121nmpspspszszszsKsF 2. Nyquist 2. Nyquist 稳定判据稳定判据设闭环传递函数方框图对应的开环传递函数为：设闭环传递函数方框图对应的开环传递函数为：)().()()(.)()()()(2121mnpspspszszszsKsHsGsGnmK?X i (s)G(s)H(s)X o (s)其闭环传递函数为：其闭环传递函数为： )()(1)()(sGsHsGsGB特征方程特征方程 0)()(1sGsH

27、)()(1)(sGsHsF令令则有：则有：nnpspspssssssssFnn).()().()()(2121)(sGB)(sF)(sGK零点零点极点零点极点零点极点相同相同 定常线性系统稳定的充要条件定常线性系统稳定的充要条件是其闭环特征方程的全部根具是其闭环特征方程的全部根具有负实部，即在有负实部，即在ss右半平面内没有极点，也就是说，右半平面内没有极点，也就是说，F F(s)(s)在在ss平平面的右半平面没有零点。面的右半平面没有零点。)(1)()()(1)()(sGsGsHsGsGsGKB)(1)()(1)(sGsHsGsFK因为因为:故有：故有： 为研究为研究F F(s)(s)有无零

28、点位于有无零点位于ss平面的右半平面平面的右半平面，可选择一，可选择一条条包围整个包围整个ss右半平面右半平面的的封闭曲线封闭曲线LsLs，如图。，如图。LsLs由两部分组由两部分组成，其中，成，其中，L L1 1为为到到+ +的整个虚轴，的整个虚轴，L L2 2为半径为半径R R趋于趋于无穷大的半圆弧。因此，无穷大的半圆弧。因此，L Ls s封闭地包围了整个封闭地包围了整个ss平面的右半平面的右半平面。这一封闭曲线平面。这一封闭曲线LsLs即为即为ss平面上的平面上的 Nyquist Nyquist 轨迹。当轨迹。当到到+ +，轨迹的方向为顺时针方向。，轨迹的方向为顺时针方向。 由于在由于在

29、应用幅角原理应用幅角原理时，时，L Ls s不能通过不能通过F F(s)(s)函数的任何极点函数的任何极点，所以当函数所以当函数F F(s)(s)有若干极点处于有若干极点处于ss平面的虚轴或原点处时，平面的虚轴或原点处时，L Ls s应以这些点为圆心，以无穷小为半径的圆弧按逆时针方向应以这些点为圆心，以无穷小为半径的圆弧按逆时针方向绕过这些点。由于绕过这些点的圆弧的半径为无穷小，因此，绕过这些点。由于绕过这些点的圆弧的半径为无穷小，因此，可以认为可以认为L Ls s曲线仍然包围了整个曲线仍然包围了整个ss平面的右半平面。平面的右半平面。j j j01L2Lsj j j01L2Ls00 设设F

30、F(s)(s)1 1G G(s)(s)H H(s)(s)在在ss右平面有右平面有Z Z个零点和个零点和P P个极点，由幅个极点，由幅角原理，当角原理，当s s沿沿ss平面上的平面上的NyquistNyquist轨迹移动一周时，在轨迹移动一周时，在 F F 平面平面上的映射曲线上的映射曲线L LF F将顺时针包围原点将顺时针包围原点NNZ ZP P圈。圈。因为因为: : G(s)H(s)F(s)1 可见可见GHGH平面是将平面是将FF平面的虚轴右移一个单位所构成的平面的虚轴右移一个单位所构成的复平面。复平面。FF平面上的坐标原点，就是平面上的坐标原点，就是GHGH平面上的（平面上的（1 1，j0

31、j0）点，点，F F(s)(s)的映射曲线的映射曲线L LF F包围原点的圈数就等于包围原点的圈数就等于G(s)H(s)G(s)H(s)的映射曲的映射曲线线L LGHGH包围（包围（1 1，j0j0）点的圈数。）点的圈数。ImRe)0, 1(j0)(sFF1FLImRe)0, 1(j)()(sHsGGH1GHL0 由于任何物理上可实现的开环系统，其由于任何物理上可实现的开环系统，其G GK K(s)(s)的分母的分母的阶次的阶次n n 必不小于分子的阶次必不小于分子的阶次 m m ，即，即n n m m ，故有：，故有： 这里这里ss是指其模而言，所以，是指其模而言，所以，ss平面上半径为平面

32、上半径为的半圆映射到的半圆映射到GHGH平面上为原点或实轴上的一点。平面上为原点或实轴上的一点。 mnmnsHsGs 当const当0)()(lim 因为，因为，L Ls s为为ss平面上的整个虚轴再加上半径为无穷大的半圆平面上的整个虚轴再加上半径为无穷大的半圆弧，而弧，而ss平面上半径为无穷大的半圆弧映射到平面上半径为无穷大的半圆弧映射到 GHGH平面上只是平面上只是一个点，它对于一个点，它对于G G(s)(s)H H(s) (s) 的映射曲线的映射曲线L LGHGH对某点的包围情况无影对某点的包围情况无影响，所以响，所以G G(s)(s)H H(s)(s)的绕行情况只考虑的绕行情况只考虑s

33、s平面的虚轴映射到平面的虚轴映射到GHGH平面上的开环平面上的开环NyquistNyquist轨迹轨迹G G(j(j) )H H(j(j) )即可。即可。 闭环系统稳定的充要条件是闭环系统稳定的充要条件是F F(s)(s)在在ss平面的右半平面无零平面的右半平面无零点，即点，即 Z Z0 0。因此，如果。因此，如果G G(s)(s)H H(s)(s)的的NyquistNyquist轨迹逆时针包围轨迹逆时针包围（1 1，j j0 0）点的圈数）点的圈数N N 等于等于G G(s)(s)H H(s)(s)在在ss平面的右半平面的极平面的右半平面的极点数点数P P 时，有时，有N N P P，闭环系

34、统稳定。，闭环系统稳定。 综上所述，综上所述，NyquistNyquist稳定判据表述如下：当稳定判据表述如下：当到到+ +时，若时，若GHGH平面上的开环频率特性平面上的开环频率特性G G( (j j) )H H( (j j) )逆时针包围逆时针包围（1 1，j j 0 0）点的）点的P P 圈，则闭环系统稳定。圈，则闭环系统稳定。P P 为为G(G(s) s)H H(s)(s)在在ss平平面的右半平面的极点数。面的右半平面的极点数。 对于开环稳定的系统，有对于开环稳定的系统，有P P0 0，此时闭环系统稳定的充要条，此时闭环系统稳定的充要条件是，系统的开环频率特性件是，系统的开环频率特性G

35、 G( (j j) )H H( (j j) )不包围（不包围（1 1，j j 0 0）点。）点。 如图是如图是P P=0=0的系统的开环奈氏图。的系统的开环奈氏图。(a)(a)图不包围图不包围(-1(-1，j j 0) 0)点，它所对应的闭环系统稳定；点，它所对应的闭环系统稳定； (b)(b)图对应的闭环系统不图对应的闭环系统不稳定。稳定。ImRe)0, 1(j0KGH0ImRe)0, 1(j0KGH0(a)(b)实例分析实例分析 1 1实例分析实例分析 2 2已知某系统的开环传递函数为：已知某系统的开环传递函数为：) 1)(1)(12() 1)(1()()(321221sTsTsTsTsTs

36、TKsHsGba其开环传递函数的奈氏图如下：其开环传递函数的奈氏图如下：ImRe)0, 1(j0KGH0 由开环传递函数可知，由开环传递函数可知，P P =1=1，即在即在ss平面的右半平面有一个极点。平面的右半平面有一个极点。其奈氏轨迹逆时针包围其奈氏轨迹逆时针包围 (-1(-1，j 0)j 0)点一点一圈，所以闭环系统仍是稳定的。圈，所以闭环系统仍是稳定的。 这就是所谓的开环不稳定而闭环这就是所谓的开环不稳定而闭环稳定。开环不稳定是指开环传递函数稳定。开环不稳定是指开环传递函数在在ss平面的右半平面有极点。显然，平面的右半平面有极点。显然，此时的开环系统是非最小相位系统。此时的开环系统是非

37、最小相位系统。3. 3. 开环含有积分环节的开环含有积分环节的NyquistNyquist轨迹轨迹轨迹特点：轨迹特点：当系统中串联有积分环节时，开环传递函数当系统中串联有积分环节时，开环传递函数有位于有位于s平面坐标原点处的极点平面坐标原点处的极点 。设开环传递函数设开环传递函数 vniivmjjKsTssTKsHsGsG11) 1() 1()()()(式中，式中，v v 为系统中积分环节的个数，当为系统中积分环节的个数，当s s 沿无穷小沿无穷小半圆弧逆时针方向移动时，有半圆弧逆时针方向移动时，有jrres0lim映射到映射到GHGH平面上的平面上的NyquistNyquist轨迹为：轨迹为

38、： 因此，当因此，当s s沿小半圆从沿小半圆从0 0变化到变化到0 0时，时， 角从角从/2/2变化到变化到/2/2，这是，这是GHGH平面上的平面上的NyquistNyquist轨迹将沿无穷大半径按顺时针方向从轨迹将沿无穷大半径按顺时针方向从v v/2/2转到转到- - v v/2 /2 。jvvrresvniivmjjreserKsTssTKsHsGjrjr0lim11limlim) 1() 1()()(00已知某系统的开环传递函数为已知某系统的开环传递函数为) 1()3()()(sssKsHsGImRe)0, 1(j0 0GH 0分析分析：G G(s)(s)H H(s)(s)在在ss平面

39、的右半平面平面的右半平面有一个极点，为有一个极点，为s=1s=1，所以，所以，P P =1=1。 实例分析实例分析 3 3 当当 由由-变到变到+ + 时，开时，开环奈氏轨迹逆时针包围环奈氏轨迹逆时针包围(-1(-1，j j 0)0)点一圈，所以，点一圈，所以，闭环系统是稳闭环系统是稳定的。定的。显然，此时的开环系统显然，此时的开环系统是非最小相位系统。是非最小相位系统。由于G(s)H(s)分母中有一个积分环节，所以，映射到GH平面上就是半径为 按顺时针方向从- /2 到+ /2 的圆弧。在s平面上，当 由- 变到+ 时，经过=0 时，实例分析实例分析 4 4已知某系统的开环传递函数为：已知某

40、系统的开环传递函数为：) 12)(1() 14()()(2sssssHsG当当= =0 0 时，时，180jHjG当当= = 时，时，270jHjG故奈氏曲线将穿越负实轴，在交故奈氏曲线将穿越负实轴，在交点处，有点处，有 180jHjGImRe) 0, 1(j00GH0由此可算得：由此可算得：6 .10221221GH 当当 由由- - 变到变到+ + 时，经过时，经过=0 =0 时，由于时，由于G G(s)(s)H H(s)(s)分母中有分母中有两个积分环节，所以，影射到两个积分环节，所以，影射到GHGH平面上就是半径为平面上就是半径为 按顺时针按顺时针方向从方向从 到到- - 的圆弧。因的

41、圆弧。因 P P = 0= 0，当，当 由由-变到变到+ + 时，开环时，开环奈氏轨迹顺时针包围奈氏轨迹顺时针包围(-1(-1，j j 0)0)点两圈，所以，闭环系统不稳定。点两圈，所以，闭环系统不稳定。四四. . 关于关于NyquistNyquist判据的几点说明判据的几点说明ANyquist判据是在判据是在GH平面平面判别系统的稳定性判别系统的稳定性；ANyquist判据判据证明复杂，但应用简单证明复杂，但应用简单；A开环稳定与闭环稳定之间的关系开环稳定与闭环稳定之间的关系；A开环开环Nyquist轨迹是对称的。轨迹是对称的。)()()()(jHjGjHjG)()()()(jHjGjHjG

42、实例分析实例分析 5 5已知系统的开环传递函数为：已知系统的开环传递函数为：) 1)(1()()(21sTsTKsHsG 开环奈氏轨迹如右边图所示。开环奈氏轨迹如右边图所示。因为因为P P = 0= 0，当，当 由由-变到变到+ + 时，开环奈氏轨迹不包围时，开环奈氏轨迹不包围(-1(-1，j j 0)0)点，所以，不论点，所以，不论K K 取任何正值，取任何正值，其所对应的闭环系统都是稳定的。其所对应的闭环系统都是稳定的。ImRe)0, 1(j0KGH0 从开环传递函数的特点可知，从开环传递函数的特点可知，当当 =+ =+ 时，相位为时，相位为-，当，当 由由0 0变到变到+ + 时，开环奈

43、氏轨迹到时，开环奈氏轨迹到不了第二象限。所以，当不了第二象限。所以，当 由由-变到变到+ + 时，开环奈氏轨迹不会包围时，开环奈氏轨迹不会包围(-1(-1，j j 0)0)点，闭环系统总是点，闭环系统总是稳定的。由此可知，开环为最小相位系统时，只有三阶及其以上，稳定的。由此可知，开环为最小相位系统时，只有三阶及其以上，其闭环系统才有可能不稳定。其闭环系统才有可能不稳定。实例分析实例分析 6 6已知某系统的开环传递函数为已知某系统的开环传递函数为:) 1)(1)(1() 1)(1()()(32154sTsTsTsTsTKsHsG右图是对应不同右图是对应不同K 奈氏曲线，奈氏曲线，且曲线且曲线(1

44、)所对应的所对应的K 值大于曲值大于曲线线(2)的的K 值。当值。当 由由- 变到变到+ 时，开环奈氏轨迹顺时针包围时，开环奈氏轨迹顺时针包围(-1，j 0)点，所以，闭环系统不点，所以，闭环系统不稳定。若减小稳定。若减小K 值得曲线值得曲线(2)，当当 由由- 变到变到+ 时，开环奈时，开环奈氏轨迹不包围氏轨迹不包围(-1，j 0)点，所以，点，所以，闭环系统稳定。闭环系统稳定。ImRe)0, 1(j0KGH0) 1 ()2(保持系统稳定的保持系统稳定的方案有方案有:减小减小K值值;增大增大 T4,T5. 实例分析实例分析 7 7某系统的开环传递函数为：某系统的开环传递函数为：) 1()()

45、(TssKsHsGImRe)0, 1(j0GH0 右图为其开环奈氏曲线。右图为其开环奈氏曲线。显然，只要显然，只要K0K0，无论取何值，无论取何值，其对应的闭环系统都是稳定的。其对应的闭环系统都是稳定的。此例中只有一个积分环节，而此例中只有一个积分环节，而且是二阶系统，相位最多为且是二阶系统，相位最多为- - 所以，闭环系统一定是稳定的。所以，闭环系统一定是稳定的。系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为: :) 1)(1)(1() 1()()(3214sTsTsTssTKsHsG实例分析实例分析 8 8 前导环节在系统中的重要作用前导环节在系统中的重要作用右图为开环奈氏曲线。其中曲右图为开环

46、奈氏曲线。其中曲线（线（1 1）的）的T T4 4较小，即前导作用较小，即前导作用较弱，曲线包围了较弱，曲线包围了（-1-1，j j0 0）点，所对应的闭环系统不稳定。点，所对应的闭环系统不稳定。ImRe)0, 1(j0GH0) 1 ()2(曲线曲线 (2) (2) 的的 T T4 4 较大，即导前作较大，即导前作用较强，曲线不包围用较强，曲线不包围 (-1(-1，j j 0)0)点，点，所对应的闭环系统稳定。所对应的闭环系统稳定。实例分析实例分析 9 9 前导环节和积分环节的作用前导环节和积分环节的作用系统的开环传递函数为：系统的开环传递函数为：) 1() 1()()(122sTssTKsH

47、sGT T1 1、T T2 2取值不同时的奈氏曲线见下图：取值不同时的奈氏曲线见下图：ImRe)0, 1(j0GH 0 021TT ImRe)0, 1(j0GH 0 021TT ImRe)0, 1(j0GH 0021TT 由图可知：（由图可知：（1 1）T T2 2大，表示导前环节作用大，可使系统稳定；大，表示导前环节作用大，可使系统稳定；（2 2）开环系统中串联的积分环节越多，开环）开环系统中串联的积分环节越多，开环NyquistNyquist轨迹越容易包轨迹越容易包围点（围点（1 1，j0j0）。）。五五. . 具有延时环节的系统的稳定性分析具有延时环节的系统的稳定性分析)(sXi)(1s

48、Gse)(sE)(sXossKessesGsG11)()(1) 1(1)(1sssG若若则则)()(1jGjGK)()(1jGjGKjKejGjG)()(1故故具有延时环节的系统传递函数结构图为：具有延时环节的系统传递函数结构图为：延时环节不改变原频率特性幅值的大小，但改变其相角的大小。延时环节不改变原频率特性幅值的大小，但改变其相角的大小。对上述具有延时环节的单位反馈系统，其特征方程为：对上述具有延时环节的单位反馈系统，其特征方程为：0)(11 sesG即即此时系统处于临界状态，故有：此时系统处于临界状态，故有：1)(1 sesG) 1 (1)(1jG)2()(1jG786. 015. 1解

49、得：解得：ImRe)0, 1(j0GH0015.0 此例说明，串联延时环节对系统稳定性是不利的。即使原系统稳定，但串入延时环节后系统可能会不稳定。此例， 1.15，系统不稳定。A了解幅角原理基本概念及与系统稳定性关系；了解幅角原理基本概念及与系统稳定性关系；六、本讲小结六、本讲小结A掌握掌握Nyquist判据稳定性判断方法；判据稳定性判断方法；作业：作业：教材：教材： 5.10A明确明确Nyquist判据稳定性时的特点；判据稳定性时的特点；第三讲第三讲 Bode 稳定判据稳定判据一一 BodeBode判据原理判据原理判据原理判据原理：将开环将开环Nyquist极坐标图采用开环极坐标图采用开环B

50、ode对对数坐标图以进行系统稳定性判断。数坐标图以进行系统稳定性判断。判据对应关系判据对应关系：ImRe)0, 1(j0GH021c34GHlg20cGH1801g1234对应关系描述对应关系描述：ANyquist图上的图上的单位圆单位圆对应于对应于Bode图上的图上的0dB线线；ANyquist图上的图上的负实轴负实轴对应于对应于Bode图上的图上的-180 线线。二二 穿越原理穿越原理穿越穿越：开环开环Nyquist轨迹在点轨迹在点(-1, j0）以左穿过负实轴。）以左穿过负实轴。正正 /负穿越负穿越：沿频率沿频率增加的方向，开环增加的方向，开环Nyquist轨迹自轨迹自上而下（相位增加）

51、穿过点上而下（相位增加）穿过点(-1, j0）以左的负实轴为正）以左的负实轴为正穿越，反之为负穿越。穿越，反之为负穿越。半次正半次正 /负穿越负穿越：沿频率沿频率增加的方向，开环增加的方向，开环Nyquist轨轨迹自点迹自点(-1, j0）以左的负实轴开始向下称为半次正穿越，）以左的负实轴开始向下称为半次正穿越，反之为半次负穿越。反之为半次负穿越。正半次穿越GH180负半次穿越 对应于对应于Bode图上，在开环图上，在开环对数幅频特性为正值的频率对数幅频特性为正值的频率范围范围内，沿内，沿增加的方向，增加的方向，对数相频特性曲线自下而上穿对数相频特性曲线自下而上穿过过180度线度线为正穿越；反

52、之，为负穿越。为正穿越；反之，为负穿越。A对数相频特性曲线对数相频特性曲线自自180度线度线开始向上，为开始向上，为半次正穿越半次正穿越；A对数相频特性曲线对数相频特性曲线自自180度线度线开始向下，为开始向下，为半次负穿越半次负穿越。三三 BodeBode判据判据在在BodeBode图上，图上，当当由由0 0变为变为+时时，在开环，在开环对数幅频特对数幅频特性为正值的频率范围内性为正值的频率范围内，开环，开环对数相频特性对对数相频特性对-180-180度线度线正穿越与负穿越的次数之差为正穿越与负穿越的次数之差为 P P/2/2时，闭环系统稳定，时，闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。否则闭环系

53、统不稳定。闭环系统稳定的充要条件闭环系统稳定的充要条件： 当当P P0 0时，若开环对数幅频特性比其对数相频特性时，若开环对数幅频特性比其对数相频特性先交于横轴，即先交于横轴，即c c g g ，则闭环系统不稳定，则闭环系统不稳定。GHlg203cGH18001c2c 若开环对数幅频特性曲线对横轴若开环对数幅频特性曲线对横轴有多个剪切频率，如图，则取剪切有多个剪切频率，如图，则取剪切频率最大的来判别稳定性，因为若频率最大的来判别稳定性，因为若用用c3c3 判别系统稳定性，则用判别系统稳定性，则用c1c1、 c2c2判别，自然也是稳定的。判别，自然也是稳定的。Bode判据的优点判据的优点：ABo

54、de图可以用作图可以用作渐近线渐近线的方法作出，故比较简便；的方法作出，故比较简便；ABode图上的图上的渐近线渐近线，可以粗略的判别系统的稳定性；，可以粗略的判别系统的稳定性；ABode图上可以图上可以明确明确哪些环节是哪些环节是造成不稳定的主要因素造成不稳定的主要因素，从而从而对其中参数进行合理选择或校正对其中参数进行合理选择或校正；A在调整开环增益在调整开环增益K时，只需将时，只需将Bode图中的对数幅频特性图中的对数幅频特性上下平移即可，很容易看出保证稳定性所需的增益值。上下平移即可，很容易看出保证稳定性所需的增益值。四四 系统的相对稳定性系统的相对稳定性相位裕度相位裕度：相位裕度相位裕度：在在为剪切频率为剪切频率c时，相频特性时，相频特性 GH 距距-180线的相位差值线的相位差值。)(180cReImgK1G