第3章时域瞬态响应

1、第三章第三章 时域瞬态响应分析时域瞬态响应分析3.1 典型输入信号3.2 一阶系统的瞬态响应3.3 二阶系统的瞬态响应3.4 时域分析性能指标3.5 高阶系统的瞬态响应 时域分析时域分析是指在时间域内研究系统在一定输入信号的作用下，其输出信号随时间的变化情况。 控制系统的输出响应是由瞬态响应瞬态响应和稳态响应稳态响应两部分组成。瞬态响应：瞬态响应：系统在某一典型信号输入作用下，其系统输出量从初始状态到稳定状态的变化过程。瞬态响应也称动态响应或过渡过程或暂态响应。稳态响应稳态响应：系统在某一典型信号输入的作用下，当时间趋于无穷大时的输出状态，稳态响应有时也称为静态响应。3.1 3.1 典型输入信

2、号典型输入信号分析瞬态响应，选择典型输入信号，有如下优点1) 数学处理简单，在给定典型信号作用下，易确定系统的性能指标， 便于系统分析和设计；2) 在典型信号作用下的瞬态响应，往往可以作为分析系统在复杂信号作用下的依据；3) 便于进行系统辨识，确定未知环节的参数和传递函数。 常用的典型输入信号有阶跃信号、斜坡信号、阶跃信号、斜坡信号、加速度信号、脉冲信号及正弦信号。加速度信号、脉冲信号及正弦信号。1 1）阶跃函数）阶跃函数00( )0( )tr tataR ssat)(tr0 这意味着t=0 时突然加到系统上的一个幅值不变的外作用。 幅值a =1的阶跃函数，称为单位阶跃函数单位阶跃函数，用1(

3、t)来表示。 一般将阶跃函数作用下的系统的响应特性作为评价系统动态性能指标的依据。2 2）斜坡函数）斜坡函数200( )0( )tr tattaR ss 表示在t =0时刻开始，以恒定速度 a 随时间变化的函数，也称为速度函数速度函数。 当a =1的斜坡函数，称为单位斜坡函数单位斜坡函数。t)(tr0a13 3）加速度函数）加速度函数2300( ) 02( )tr tattaR ss 表示在t =0时刻开始，以恒定加速度随时间变化的函数，也称为抛物线函数抛物线函数。 当a=1/2的加速度函数，称为单位加速度函数单位加速度函数。t)(tr04 4）脉冲函数）脉冲函数000 0( )lim 0(

4、)ttr tatR sa 或 当a=1时的脉冲函数，称为单位脉冲函数单位脉冲函数,记为(t)。 当系统输入为单位脉冲函数时，其输出响应称为脉冲响应函数。由于(t)函数的拉氏变换等于1，因此系统传递函数即为脉冲响应函数的象函数。at)(tr05 5）正弦函数）正弦函数220 0( )sin 0( )tr tattaR ss 正弦函数(或余弦函数)是控制系统常用的一种典型外作用，系统在正弦函数作用下的响应，即频率响应。( )r t02ta 211112tttttt积分积分积分求导求导求导各函数之间的关系各函数之间的关系 究竟采用哪种典型信号来分析和研究系统，需要参照系统正常工作时的实际情况。系统的

5、输入量是突变的，采用阶跃信号。如室温调节系统。系统的输入量是随时间等速变化，采用斜坡信号作为实验信号。系统的输入量是随时间等加速变化，采用抛物线信号。系统为冲击输入量，则采用脉冲信号。系统的输入随时间往复变化时，采用正弦信号。3.2 3.2 一阶系统的瞬态响应一阶系统的瞬态响应 能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，它的典型形式为一阶惯性环节。0( )1( )( )1iXsG sX sTs闭环极点(特征根)：-1/T3.2.1 3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应1( )1( ) ( )iix ttX ss11Ts ( )ix t( )ox t单位阶跃输入为 输出为01

6、1( )( )( )1111 11iXsG s X sTssTsTsssT单位阶跃响应为)0(1)(10tetxtT1/Txo(t)=1-e-t/Tx0(t)01tT2T3T4T63.2%86.5%95.0%98.2%1) 一阶惯性系统总是稳定的，无振动；2) 经过时间T，曲线上升到0.632的高度，反过，用实验的方法测出响应曲线达到0.632的时间，即是惯性环节的时间常数；3) 经过时间3T4T，响应曲线达稳定值的9598，可以认为其调整过程已经完成，故一般取调整时间(34)T ；4) 在t0处，响应曲线的切线斜率为1/T。特点特点ln1-xo(t) 与时间与时间t 成线性关系成线性关系判别

7、系统是否为惯性环节测量惯性环节的时间常数111ln1()(1()1otTotTox teex ttxtT 3.2.2 3.2.2 一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应21( )1( ) ( )iix tttX ss 11Ts ( )ix t( )ox t单位斜坡输入为 单位阶跃响应为输出为02211( )( )( )11 1iXsG s X sTssTTsssT)0()(10tTeTttxtT11( )( )( )(1) ( ) ttTTioe tx tx tttTTeTeteT ，误差：输入为斜坡函数时, 一阶系统存在稳态误差T 。3.2.3 3.2.3 一阶系统的单位脉冲响应一阶系

8、统的单位脉冲响应( )( ) ( )1iix ttX s11Ts ( )ix t( )ox t单位斜坡输入为 单位阶跃响应为101( )(0)tTx tetT输出为0( )( )( )11 11iXsG s X sTTssTT10.368T21T斜率/1( )t Tox teT输输 入入输输 出出1111( ) ( )( )1( ) ( )11( )( ) ( )tTittTitTix ttx ttTTex ttx tex ttxteT 三种响应关系三种响应关系三种输入关系三种输入关系11( )1( ) ( )( )( )1( ) ( )tdx tdttx tdtdtdx tdttx tdtd

9、t一阶系统三种典型输入信号及响应关系一阶系统三种典型输入信号及响应关系积分时间常数由零初始条件确定线性定常系统的重要性质线性定常系统的重要性质系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导数。系统对于输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分，积分时间常数则由零输出的初始条件确定。注意：注意：性质只适用于任何线性定常系统，不适用于线性时变系统和非线性系统。3.3 3.3 二阶系统的瞬态响应二阶系统的瞬态响应 能用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。二阶系统总包含两个贮能元件，能量在两个元件之间相互转换，引起系统具有往复振荡的趋势 。如RLC网络就是一个典型的二阶系统。22222

10、( )( )( ) 21 =21oinnnXssX sssT sT s 阻尼比无阻尼自然频率 n系统的特征方程：系统的特征方程：0222ssn特征方程的根（闭环极点）特征方程的根（闭环极点）21,21nnp 显然，特征根的性质取决于阻尼比的大小，而特征根在复平面的分布决定系统的性能。21,21 nnpj 特征根位于s平面的左半部（1 1）0 1（过阻尼）两不相等的负实根（过阻尼）两不相等的负实根1p2p21nn21nn1,2npj 特征根共轭纯虚根，位于s平面的虚轴上（4 4） = 0（无阻尼）一对共轭纯虚根（无阻尼）一对共轭纯虚根n1p2pn21,221,21 1 0 1nnnnppj（-1

11、（）或 特征根位于s平面的右半部（5 5） 0（负阻尼）两根实部为正（负阻尼）两根实部为正21nn1p2p1p2p3.3.1 3.3.1 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应21,21 nnpj 1 1）0 1（过阻尼）两不相等的负实根（过阻尼）两不相等的负实根222( )(1)(1)nnnnnsss2222222112(1 1)2(1 1)22(1)(1)1( )1 11nnnnnonnnnssXsssss 22(1)22(1)221( )12(1 1)1 2(1 1) (0)nntotx teet 特点特点：单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无稳态误差。1,2npj 4 4） =

12、0（无阻尼）一对共轭纯虚根（无阻尼）一对共轭纯虚根222222( )( )( )2oninnXssX ssss20222211( )( )( )ninnsXss X sssss0( )1cosnx tt 0( )1cosnx tt 特点：特点：无阻尼的等幅振荡，振荡频率n。 n无阻尼固有频率21,221,21 1 0 1nnnnppj（-1（）或 5 5） 0（负阻尼）两根实部为正（负阻尼）两根实部为正020( )1(cossin) 1ntddx tett （-1）22(1)22(1)2211( )12(1 1)1 2(1 1) nntotx tee （）正正正正正正-1 0，振荡发散 -1，

13、单调发散 上述五种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼、过阻尼系统和负阻尼。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示：单位阶跃响应极点位置特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根 衰减振荡一对共轭复根(左半平面） 等幅周期振荡一对共轭虚根 无阻尼, 0njs2, 1欠阻尼, 1o22, 11nnjs临界阻尼，1)(2, 1重根ns过阻尼，1122, 1nns发散振荡一对共轭复根(右半平面）10, 负阻尼22, 11nnjs单调发散两个互异正实根1 ，负阻尼122, 1nns020 ( )1(cossin)1ntddx tett （-1）正正22(1)22(1)2

14、21 1( )12(1 1)1 2(1 1) nntotx tee （）正正正正0(0) ( )1 cosnx tt 22(1)22(1)221 1( )12(1 1)1 2(1 1) nntotx tee （）负负负负(1) ( )1(1)ntonx tet 201sin()1(01) ( )ntdetx t结论结论1）二阶系统的阻尼比决定了其振荡特性 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定。 = 0 时，等幅振荡。0= ts 时，)()()(oooxxtx通常由响应曲线的一对包络线近似计算。xo(t)在整个瞬态响应过程中总包络在这对曲线内，同时包络线对称于稳态分量。02 ( )1sin()1nt

15、dex tt n2e11t- xo(t)t01T2T3Tn1T n2e11t-包络线方程为：2( )11nteh t ( )( )( )( )( )( )ooooox txxh txx 代入有2(0.05 0.02)1n ste 为或22lnln 111ln1ssnntt2lnln 1snt当较小时，取1123 4 snsntt，=0.02， =0.05 jdn0s2s1n极点位置与阻尼角极点位置与阻尼角 当阻尼比 一定时，无阻尼自振角频率n 越大，则调整时间ts 越短，系统响应越快。当 较大时，前面两式的近似度降低。 当n 一定时，变化 求ts 的极小值，可得当 = 0.707 左右时，系统

16、单位阶跃响应的调整时间ts 最短，即响应最快。5 5）振荡次数）振荡次数N N调节时间ts内响应曲线振荡的次数。05. 0,302. 0,4tnns2122nddT02. 0,1205. 0,15 . 122dsTtN02. 0,Mln205. 0,Mln5 . 1NppN 仅与 有关。 越大，N越小，系统平稳性越好。 二阶系统的动态性能由n和决定。 增加 降低振荡，减小超调量Mp和振荡次数N。系统快速性降低，tr、tp 增加。 一定，n越大，系统响应快速性越好， tr、tp、ts 越小。 Mp 、N仅与 有关，而tr、tp、ts与 、n有关，通常根据允许的最大超调量来确定 。 一般选择在0.

17、4 0.8之间，然后再调整n以获得合适的瞬态响应时间。结论结论小 结 对于欠阻尼二阶系统，极点的阻尼角（阻尼比）决定响应的平稳性；阻尼比（阻尼角）一定时，极点与虚轴的距离决定响应的快速性。jdn0s2s1n极点位置与阻尼角极点位置与阻尼角【例】 图(a)所示为一机械系统，当在质量M上施加8.9N的阶跃力后，其位移的时间响应曲线如图(b)所示，试求系统的质量M、弹簧刚度K和粘性阻尼系数B。(a) 机械系统 (b) 时间响应曲线 22oooid xtdxtMBKxtf tdtdt 222221112oninnKXsMBKF sMsBsKKKssssMM【解】根据牛顿第二定律，可得：在零初始条件下进

18、行拉氏变换，整理后得：此系统为比例环节与二阶振荡环节的串联。210.0029 0.030.6pMe由 22( )1.96 (/ )1pdnnrasdts由 根据拉氏变换的终值定理，有 0020limlimlim18.9 lim0.038.9 297(/)0.03ooitsssxtsXssG s F ssMsBsKsKN m2229777.3()1.9622 0.6 1.96 77.3181.8(/ )nnKMKgBMNm s3.5 3.5 高阶系统的瞬态响应高阶系统的瞬态响应 一般的高阶机电系统可以分解成若干一阶惯性环节和二阶振荡环节的叠加。其瞬态响应即是由这些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应

19、函数叠加组成。对于一般单输入单输出的线性定常系统，其传递函数可表示为1111111112211( )()( )() = (2)()(2)mmommnninnmmmmqrijjjijx sk sbsbsbx ssa sasak sbsbsbmnqrnspss ，输入为单位阶跃时，其响应函数：1112211( )()1( )( )()(2)mmommoqriijjjijx sk sbsbsbx sx sssspss 如果其极点相不相同：2022211()1( )()(1)qrjjjjjjioijijjjjsx sssps 经拉氏反变换，得：20112( )cos(1) sin1)jjijjqrtp

20、 tijjlijrtjjljc teetet 可见，一般高阶系统瞬态响应是由一些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加组成的。当所有极点均具有负实部时，系统稳定。 类似于低阶系统，高阶系统的极点的位置决定系统响应的基本形态。极点位于除原点外的虚轴上 等幅振荡极点位于右半复平面 发散极点位于左半复平面 收敛 在收敛的情况下，收敛速度取决于极点与虚轴的距离，收敛的平稳性基本取决于极点与负实轴的夹角（零点也有影响） 1 1）主导极点）主导极点 当部分极点与虚轴的距离远小于其他极点时，称其为主导极点，非主导极点的影响可以忽略。j0s平面平面s2s1主导主导极点极点j0s平面平面s1主导主导极点极点时间常数时间常数1（主导极点（主导极点对应的时间常数）对应的时间常数）51( )(1)(5)1G ssss例：11( )(1)(0.21)1G ssss或 (0)G注意：近似时应保证系统增益不变。近似前后的单位阶跃响应曲线近似前后的单位阶跃响应曲线xo(t)近似xo(t)222101( )(1)(510)1G sssssss 例：0s平面平面s2s1-0.50.87-2.51.94s3s4 一般情况下，与虚轴距离是其他极点与虚轴距离的4-5倍及以上的极点可略去。xo(t)近似xo(t)2 2）零点与主导极点：）零点与主导极点： 当零点与虚轴的距离远大于主