第07章05常系数线性微分方程

1、第1章 集 合第5节 常系数线性微分方程 在上一节我们已经看到，一般线性微分方程的通解问题我们没有完全解决。那是因为一般线性微分方程对于我们来说太复杂了。但是，如果线性微分方程的系数都是常数就简单了。由此，为了完全解决问题，我们只讲常系数线性微分方程 我们从二阶常系数齐次线性微分方程开始。 设（待定）是（5.22）的解。代入（5.22）结论：是（5.22）的解的充要条件是是方程的根。称为（5.22）的特征方程。（1） 设有两个不相同的实根：。此时（5.22）有两个解且。所以（5.22）的通解（2）设有二重实根：。此时（5.22）有解。用常数变异法，设是（5.22）的解。代入（5.22）。取（我

2、们只需要一个简单的。为什么不取？），则有（5.22）另一个解。所以（5.22）的通解（3）设有复数根：。，。记。，。是（5.22）的解。完全类似可以验证也是（5.22）的解。所以（5.22）的通解 上面我们已经穷举了全部三种可能。现把我们得到的结果列于下表。特征方程的根的通解两个不相同的实根：二重实根：复数根：解的方法：（i）写出特征方程；（ii）解特征方程得到所有的根；（iii）根据特征方程根的情况和上表（熟练默写）给出通解。P3174 例5.1解、（1）方程的特征方程有两个不同的实根。的通解（2）方程的特征方程有两个不同的实根。的通解（3）方程的特征方程有二重实根。的通解（4）方程的特征方

3、程有复根。的通解【例5.2】求方程满足的特解解、方程的特征方程有二重实根。的通解 由得。所要求的特解我们把前表所列结果推广到阶常系数齐次线性方程（5.2）与下表。特征方程的根（5.2）的解单根实根：复根：重根实根：复根：（5.2）的特征方程的全部根，上表正好给出个线性无关的解。配上个任意常数再加起来就得到（5.2）的通解。【例5.3】(1)求方程的通解(2)求方程的通解(3)求方程的通解解、（1）方程的特征方程有三重实根。有三个线性无关的解。的通解（2）方程的特征方程有两个二重复根。有四个线性无关的解。的通解（3）方程的特征方程有二重实根和单复根。有四个线性无关的解。的通解5.2 二阶常系数非

4、齐次线性方程（考点） 二阶常系数非齐次线性方程的一般形式是前面我们已经懂得了求相应齐次方程的通解。如果我们能够求出（5.12）的随便一个特解，把上述通解和此特解加起来就是（5.12）的通解。因此，现在关键是求出（5.12）的随便一个特解。对于一般的来说，（5.12）太复杂了，我们无法求一个特解。我们只讲两种简单的。1（考点）。其中是可实可复的常数，而是已知的可实可复的多项式。因为多项式乘的各阶导数结果都是多项式乘，所以我们假设要找的特解是，其中是某个多项式。 （i）设不是特征方程的根。（5.3多）左边多项式的次数与的次数相等。而右边是次多项式。因而肯定是某次多项式其中待定。 （ii）设是特征方

5、程的单根。（5.3多）左边多项式的次数与的次数相等。而右边是次多项式。因而肯定是某次多项式注意到在（5.3多）中不出现，因而可任意。为了简单（我们只需要随便一个特解，当然越简单越好）取。其中待定。 （iii）设是特征方程的二重根。（5.3多）左边多项式的次数与的次数相等。而右边是次多项式。因而肯定是某次多项式注意到在（5.3多）中不出现，因而可任意。为了简单（我们只需要随便一个特解，当然越简单越好）取。其中待定。 上面我们已经穷举了全部三种可能。现把我们得到的结果总结于下。 当是特征方程的重根时，其中待定。（0重根即不是根）。特解是。这称为特解的形式（有时只考解的形式）。 待定系数的求法： （

6、i）设，把代入得（5.3多）；（ii）比较（5.3多）两边同次幂的系数得一个关于的方程组，解此方程组就得到。有了，也就有了特解。求通解的方法： （i）求出的通解；（ii）求出的特解；（iii）的通解是。【例5.4】求方程的特解解、在方程中，。不是特征方程的根。设。代入有，即。比较得解得。特解。有两不等实根。的通解【例5.5】求方程的通解解、在方程中，。是特征方程的二重根。设。代入有。解得。的通解【例5.6】设微分方程的积分曲线与另一曲线在处有相同切线，求此积分曲线方程解、对于参数方程，时。初值问题。的根是。设。代入有。的通解代入初值条件得。解得。所要求的积分曲线是2(i) 辨认类型：。记。模仿

7、前面推理知道，方程有如下形式的特解其中是待定的次多项式。(ii)求通解的方法：(a) 解特征方程得根；(b) 把解的形式代入方程（待定系数法）求得待定多项式，从而得到特解； (c)根据得到的通解； (d) 的通解是。【例5.7】求方程的一个特解解、。解特征方程得。设。代入代入方程且合并同类项得比较两边得。特解。（相应齐次方程的通解。的通解）【例5.8】求解方程，其中为实常数.解、。解特征方程得。相应齐次方程的通解为（1）设。不是特征方程的根。可设的特解为。代入方程得解得。特解。的通解为（2）设。是特征方程的单根。可设的特解为。代入方程得解得。特解。的通解为【例5.9】求方程的通解解、解特征方程

8、得。相应齐次方程的通解为根据叠加原理，方程分为两个方程和。 。且不是特征方程的根。可设特解特解为。代入得解得。特解。且不是特征方程的根。可设特解特解为。代入得解得。特解。的特解。通解5.3 欧拉方程（i）辨认类型：（ii）解法：先作变换。代入欧拉方程，使欧拉方程变为常系数线性方程（自变量为t）。解此常系数方程得。则，原欧拉方程的解为。【例5.11】求微分方程的通解解、这是一个欧拉方程。作变换。代入方程得解此常系数方程的通解的通解为即习题讲解1求下列微分方程的通解：(5) 解、的特征方程的全部根是：。线性无关的特解：。所以的通解是2写出下列各微分方程的特解（实）形式：(7) 解、记，变为。这是一

9、个一阶线性方程。3求下列方程的通解：(5) ； 解、的特征方程的全部根是二重根：。相应齐次方程的通解是分为两个方程和。求的特解。不是特征方程的根。设特解。求的特解。不是特征方程的根。设特解。的特解。的通解5设函数在内具有二阶导数，且是的反函数(1) 试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程；解、根据P107 4，。代入并化简得要满足的方程习题75A类1求下列微分方程的通解：*(1) ；*(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；*(6) 2写出下列各微分方程的特解（实）形式：*(1) ；(2) ；*(3) ；(4) ；*(5) ；(6) ；*(7) ；(8) 3求下列方程的通解：*(1) ；(2

10、) ；*(3) ；(4) ；(5) ；(6) 4求解下列初值问题：(1) ，；*(2) ，；(3) ，；(4) ，5求下列欧拉方程的通解：(1) ；*(2) 6设函数连续，且满足，求B类1求下列微分方程的通解：*(1) （为常数）；*(2) ；(3) ；(4) *2已知，是二阶线性非齐次方程的三个解，求此微分方程*3求一个以，为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解4设对于，曲线上点处的切线在轴上的截距等于，求的一般表达式*5设圆柱形浮筒直径为，铅直放入水中，当稍向一下压后突然放手，浮筒在水中上下振动的周期为，求浮筒的质量总 习 题 七1选择题：(1) 函数满足的一个微分方程是A.

11、B.C.D.(2) 设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通解是A. B. C. D.(3) 微分方程的特解形式可设为A.B.C.D.*(4) 已知是微分方程的解，则的表达式为A. B.C. D. 2填空题：(1) 微分方程的通解是(2) 微分方程满足的解为*(3) 微分方程满足初始条件的特解为*(4) 欧拉方程的通解为*(5) 微分方程满足的特解为3在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于（常数）(1) 求的方程；(2) 当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值*4用变量代换化简微分方程，并求其满足的特解*5设函数在内具有二阶导数，且是的反函

12、数(1) 试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件的解6某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为）问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？（kg表示千克，km/h表示千米/小时）*7设位于第一象限的曲线过点，其上任一点处的法线与轴的交点为，且线段被轴平分(1) 求曲线的方程；(2) 已知曲线在上的弧长为，试用表示曲线的弧长*8 证明：曲率恒为常数的曲线是圆或直线*9. 细菌繁殖的控制细菌是通过分裂而繁殖的，细菌繁殖的速率与当时细菌的数量成正比（比例系数为），在细菌培养基中加入毒素可将细菌杀死，毒素杀死细菌的速率与当时的细菌数量和毒素的浓度之积成正比（比例系数为），人们通过控制毒素浓度的方法来控制细菌的数量现在假设在时刻毒素的浓度为，它以常