高等代数 矩阵

1、一、基本概念和重要结果一、基本概念和重要结果 1.Binet-Cauchy公式公式 设矩阵设矩阵Amn Bnm =Cmm ，则，则(1) 当当mn时，时，|C|=0(2) 当当m=n时，时，|C|=|A|B|(3) 当当mm-r X必必为非高矩阵。为非高矩阵。7.相似矩阵相似矩阵 (1)相似矩阵有相同的特征多项式，特征根及相同相似矩阵有相同的特征多项式，特征根及相同的迹，相似矩阵的行列式相等，秩相等。的迹，相似矩阵的行列式相等，秩相等。 (2) 矩阵相似于对角形的条件：矩阵相似于对角形的条件： b. A有有n个不同的特征根，则个不同的特征根，则A相似于对角形。相似于对角形。 a. A有有n个线

2、性无关的特征向量个线性无关的特征向量 A相似于对角形相似于对角形 c.设设n阶矩阵阶矩阵A有有s个不同的特征根个不同的特征根 ,A的属于的属于 的线性无关特征向量的个数为的线性无关特征向量的个数为ni， A相似于对角形。相似于对角形。s,21innsii1 f.A的最后一个不变因子是不同的一次因式的乘的最后一个不变因子是不同的一次因式的乘积，则积，则A相似于对角形。相似于对角形。 d.A的初等因子都是一次因式的初等因子都是一次因式 A相似于对角形相似于对角形. e.A的最小多项式无重根的最小多项式无重根 A相似于对角形。相似于对角形。 g. A是实对称矩阵，则是实对称矩阵，则A正交相似于对角形

3、。正交相似于对角形。 h. Am=I，则，则A相似于对角形。相似于对角形。 i. A2=A，则，则A相似于对角形。相似于对角形。 j. A正定，正定，C是实对称矩阵，则是实对称矩阵，则AC相似于对角形。相似于对角形。 (3) A与与B是同一线性变换在不同基下的矩阵，则是同一线性变换在不同基下的矩阵，则A与与B相似。相似。 k. A有有n个不同的特征根个不同的特征根, A与与B可换可换,则则B相似于对角形相似于对角形. l. 若若A相似于对角形相似于对角形, f是多项式是多项式,则则f(A)相似于对角形相似于对角形. (4) 矩阵矩阵A与与B相似相似等价。与BIAI 8. 矩阵的分解矩阵的分解

4、b. 利用若当标准形利用若当标准形:对任意矩阵对任意矩阵A，存在可逆矩阵，存在可逆矩阵P,使使P-1AP=J，其中，其中J为若当标准形。为若当标准形。 c. 对矩阵的阶数用数学归纳法。对矩阵的阶数用数学归纳法。 d. 利用矩阵运算。利用矩阵运算。 (1) 分解矩阵的方法：分解矩阵的方法： a. 初等变换法：设初等变换法：设r(A)=r,则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵P,Q使使000rIPAQ e. 利用不变子空间对矩阵分解。利用不变子空间对矩阵分解。 (2)常见的矩阵分解：常见的矩阵分解： a. 若若r(A)=r，则，则 ，其中，其中r(Bi)=1.riiBA1 b. 对任意对任意n阶方阵阶方阵

5、A，有，有A=B+C，其中，其中BT=B,CT=-C. c. 若若A为为mn阶矩阵且阶矩阵且r(A)=1，则，则A=Bm1C 1n,且且r(B)=r(C)=1. d. 若若r(A)=r,则则Amn =BmrC rn,其中其中r(B)=r(C)=r. e.若若r(A)=r,则则0.|Q|0|P|,000，其中QIPAr f. A=TBT-1,其中其中B是上三角形矩阵且对角线上的元是上三角形矩阵且对角线上的元素是素是A的特征根。的特征根。 g. 若若r(A)=r,则则A=PR，R是上三角形的矩阵，其主是上三角形的矩阵，其主对角线上前对角线上前r个元素为个元素为1，后，后n-r个元素为个元素为0而而

6、|P|0. h. A=BC,其中其中BT=B,CT=-C. i. 对任意对任意n阶矩阵阶矩阵A有有A=BU，其中，其中B是半正定矩阵，是半正定矩阵，U为酉矩阵。为酉矩阵。 j. A是实矩阵且是实矩阵且|A|0，则，则A=BT，其中，其中B是正定矩是正定矩阵，阵，T是正交矩阵。是正交矩阵。 k. A是实方阵且是实方阵且|A|0，则，则A=TQ ，其中，其中T是正交是正交矩阵，矩阵，Q是上三角正线矩阵。是上三角正线矩阵。 l. A是实对称矩阵是实对称矩阵,则则A=BT,其中其中B为半正定矩阵为半正定矩阵,T为正交矩阵。为正交矩阵。 n. 对任意对任意n阶方阵阶方阵A，有，有A=B+C，其中，其中B

7、相似于对相似于对角形矩阵，角形矩阵，C为幂零矩阵且为幂零矩阵且BC=CB. m. A是正定矩阵，则是正定矩阵，则A=Bk，其中，其中B为正定矩阵。为正定矩阵。A是正定矩阵是正定矩阵 A=CTC,其中其中|C|0. A=T，其，其中中是正线上三角形矩阵。是正线上三角形矩阵。 9. 矩阵的特征多项式及特征根矩阵的特征多项式及特征根 若存在非零向量若存在非零向量X,使使AX= X, 则则 称为称为A的特征根的特征根, X称为称为A的属于特征根的属于特征根 的特征向量的特征向量, 称称为为A的特征多项式，的特征多项式，A的特征根是的特征根是 的根的根, A的属于的属于 的特征向量是方程组的特征向量是方

8、程组 的所有非零解的所有非零解.|)(AIf)(f0)(XAI (1) n阶方阵阶方阵A的特征多项式的特征多项式,|)(111nnnnaaaAIf其中其中niiikkkkkiiiiiiAa2112121)1(特别地，特别地，. |) 1(,11Aaaannniii (2) 若若nAAAM21Ai是是ni阶方阵，则阶方阵，则niiniAIMIi1| (3) 设设 是矩阵是矩阵A的特征多项式，则的特征多项式，则f(A)=0.)(f (4)设设A,B是是n阶方阵，则阶方阵，则AB与与BA有相同的特征有相同的特征多项式，从而有相同的特征根。多项式，从而有相同的特征根。 (5)设设 是是A的最小多项式，

9、的最小多项式， 是是A的特征的特征多项式，则多项式，则 与与 有相同的不可约因式，从而有相同的不可约因式，从而有相同的根，有相同的根， 是是 的最后一个不变因的最后一个不变因子，若子，若 满足满足h(A)=0，则，则)(g)(f)(g)(f)(gAI )(h).(| )(hg (6)若若Ai是方阵，则是方阵，则A的最小多项式等于的最小多项式等于Ai的最小多项式的的最小多项式的最小公倍式。最小公倍式。nAAAM21 (7) 若若 是是A的特征根，则的特征根，则 是是 的特征根（的特征根（ 是任一是任一多项式）。多项式）。n,21)(,),(),(21n)(A)( (8)属于不同特征根的特征向量线

10、性无关。属于不同特征根的特征向量线性无关。 (9)X是是A的属于的属于 的特征向量的特征向量,则则X是是 的属于的属于 的特征向量。的特征向量。)(A)( (10)X是是A的属于的属于 的特征向量且的特征向量且|A|0，则，则X是是A-1的属于的属于 的特征向量。的特征向量。1 (11) 属于属于A的同一特征根的同一特征根 的特征向量加上零向的特征向量加上零向量构成的线性空间的维数小于等于量构成的线性空间的维数小于等于 的重数。的重数。111|11PAkkAPPAAAkEAEkAAnn 注：注：1)2()1()()(,PPBABAkEBrkEArkE|BkE|AkEBkEABAnnnn进而进而

11、由211212111,PPPCAPPCBPPBAPP其中由 2.构造分块矩阵是证明有关矩阵秩的结论的一种常构造分块矩阵是证明有关矩阵秩的结论的一种常用的、有效的方法。用的、有效的方法。 3. 如果已知条件中出现如果已知条件中出现A*，一般地，都要用到，一般地，都要用到AA*=A*A=|A|E这一结论。这一结论。二、基本方法二、基本方法 1.若若A可逆可逆, 求求A-1一般有两种方法一般有两种方法(当当A具体给出时具体给出时): (1)伴随矩阵的方法，伴随矩阵的方法，A-1=A*/|A|. (2)初等变换方法，初等变换方法，(A,E)（初等行变换）（初等行变换）(E,A-1). 4. A,BPn

12、n,AB=E,则则A,B可逆且可逆且A-1=B是求是求A-1的的一种常用方法。一种常用方法。 5. 求求n阶矩阵阶矩阵A的最小多项式的方法：的最小多项式的方法： (1) A的最小多项式是的最小多项式是A的特征多项式的特征多项式 的因式，且与的因式，且与 有相同的一次因式有相同的一次因式(可能重数不同可能重数不同),这样可以确定这样可以确定A的最小多项式的范围。的最小多项式的范围。|)(AIf)(f (2) 将将 化成标准形化成标准形, 就是就是A的最小多项式的最小多项式. AI )(nd (3) 如果如果A是分块对角矩阵是分块对角矩阵 sAAAA21Ai的最小多项式是的最小多项式是gi(x),

13、i=1,s，则，则A的最小多项式的最小多项式是是g1(x),g2(x),gs(x). 6.求方阵求方阵A的的Jordan标准形：标准形： (1) 先求先求n阶矩阵阶矩阵A的全部初等因子：的全部初等因子： ,)(11r,)(22r,srs)(（其中（其中 可能相同，指数可能相同，指数r1,r2,rs也可也可能相同）则能相同）则A的的Jordan标准形由标准形由s个个Jordan块构成：块构成：s,21sJJJJ21一个初等因子一个初等因子 对应一个对应一个Jordan块块Ji ,iri)(iirriiiiJ11 (2) 利用特征向量的方法求利用特征向量的方法求A的的Jordan标准形。标准形。

14、APnn,如果如果 是是A的单特征值，则对应一阶的单特征值，则对应一阶Jordan块块Ji=( )，如果，如果 是是A的的ri(ri1)重特征值，重特征值，属于属于 有有k个线性无关的特征向量，则有个线性无关的特征向量，则有k个以个以 为为对角元素的对角元素的Jordan块，这些块，这些Jordan块的阶数之和等块的阶数之和等于于 ri.iiiii 例如，例如，5是是3阶矩阵阶矩阵A的的3重特征值重特征值,如果如果r(5E-A)=0，则则A5E.如果如果r(5E-A)=1,则则AJ1,如果如果r(5E-A)=2,则则AJ2，其中：，其中：,51551J,515152J 例如，例如，5是是4阶矩

15、阵阶矩阵A的的4重特征值，如果重特征值，如果r(5E-A)=2,则则A的的Jordan标准形由两个标准形由两个Jordan块组成，如果块组成，如果(5E-A)2=0,则则AJ1,如果如果 (5E-A) 3=0,则则AJ2，其中：，其中：,5155151J5151552J 7.求求n阶矩阵阶矩阵A的初等因子的方法：的初等因子的方法： (1)将将 E-A用初等变换化成标准形，求出用初等变换化成标准形，求出A的所有的所有不变因子，然后将每个次数大于零的不变因子分解成不变因子，然后将每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因子方幂的积，所有这些一次因子式互不相同的一次因子方幂的积，所有这些一次因子

16、式的方幂（相同的必须按出现的次数计算）就是的方幂（相同的必须按出现的次数计算）就是A的所的所有初等因子。有初等因子。 (2)先求出先求出A的所有行列式因子的所有行列式因子 .利用利用 求出求出A的不变因子的不变因子 .然后如然后如(1)求求出出A的所有初等因子的所有初等因子. )(,),(),(21nDDDnkDDdDdkkk,2, 1,)()()(),()(111)(,),(),(21nddd (3)用初等变换将用初等变换将 化成对角形，用相应结论化成对角形，用相应结论求出求出A的所有初等因子。的所有初等因子。AE 8.证明证明n阶复数矩阵阶复数矩阵A与对角矩阵相似的方法：与对角矩阵相似的方

17、法： (1)A有有n个线性无关的特征向量；个线性无关的特征向量； (2)A的最小多项式没有重根；的最小多项式没有重根； (3)A的初等因子都是一次的。的初等因子都是一次的。 9. n阶矩阵阶矩阵A的不变因子，行列式因子，初等因子的不变因子，行列式因子，初等因子三者之间的关系：三者之间的关系：;, 2 , 1),()()()(21nkdddDkk(1)(2)nkDDdDdkkk,2, 1,)()()(),()(111 (3) 利用初等因子求不变因子；利用初等因子求不变因子； 在在A的全部初等因子中的全部初等因子中,将同一个一次因将同一个一次因子子 ,(i=1, 2, , s)的方幂的那些初等因子

18、按降幂的方幂的那些初等因子按降幂排列，当这些初等因子的个数不足排列，当这些初等因子的个数不足n时，就在后面时，就在后面补上适当个数的补上适当个数的1，凑成，凑成n个。个。ijjnnjrjrjrj11)(,)(,)( (j=1,2,s),(rnjrn-1jr1j), 于是于是), 2 , 1( ,)()()()(2121nidisiirsrri (4)A的所有初等因子的乘积等于的所有初等因子的乘积等于A的所有不变因的所有不变因子的乘积子的乘积,等于等于 .|)(AIf三、例题三、例题 解答解答:答案是答案是“1620”. 1.(天津大学天津大学,2004年年)设设3阶方阵阶方阵A的特征值为的特征

19、值为 ,方阵方阵B与与A相似相似,设设B*是是B的伴随矩阵的伴随矩阵,则行列式则行列式 .31,21,21|12)21(|3*12IBBD一一.填空题填空题 解答解答:答案是答案是“3”. 2.(大连理工大学大连理工大学,2004年年) 设设 是三维列向量是三维列向量, 是是 的转置矩阵的转置矩阵,若若则则 = .T111111111TT 3.(大连理工大学大连理工大学,2005年年)设设 均为均为n维列向维列向量量: ,则则A=I+ 可逆可逆,A-1= .,2TT 解答解答:答案是答案是“ ”.TnI31 4.(东南大学东南大学,2003年年) 设设 设设 ,其中其中 表示表示 的转置的转置

20、,则则An= .),31,21, 1 (),3 , 2 , 1 (TA T 解答解答:答案是答案是“ ”.123332123121131n111213121222321233132333Ta ba ba baAa ba ba babbba ba ba ba那么那么2()()()()TTTTAllA 1 12 23 3TTiilaba baba 注：若秩注：若秩 , 则则 可分解为两个矩阵的乘可分解为两个矩阵的乘积，有积，有 之规律，从而之规律，从而 .以以3阶为例：阶为例：()1r AA2AlA1nnAlA 解答解答:答案是答案是“0”,“1”. 解答解答:答案是答案是“ ”.427 5.(同

21、济大学同济大学,2002年年)设设 其中其中 表示表示 的转置的转置,则则|A|= ,秩秩(A)= .),2,3 ,2, 1(,TA T 6.(中南大学中南大学,2003年年) 设设3阶方阵阶方阵A的行列式的行列式|A|=1/2, A-1为为A的逆矩阵的逆矩阵, A*为为A的伴随矩阵的伴随矩阵,则则 = .1*)21(AA 解答解答:答案是答案是“Pij”. 解答解答:答案是答案是“ ”.)2(51AIn 7.(中南大学中南大学,2003年年)设设A为为n阶可逆矩阵阶可逆矩阵,如果交换如果交换A的第的第i行与第行与第j行得到行得到B,则则BA-1= . 8.(中南大学中南大学,2004年年)

22、已知已知n阶方阵阶方阵A满足满足A2+2A-3I=0,则则(A+4I)-1= . 9.(中南大学中南大学,2004年年) 假设假设A是是n阶方阵阶方阵,满足满足AAT=I, |A|2), 试求试求(A*)*(用用A表示表示, 这里这里A*表示表示A的古典伴随方的古典伴随方阵阵, 即即A*的的(i, j)位元素是位元素是A的的(j, i)位元素的代数余子式位元素的代数余子式). 考点点拨考点点拨: 主要是对初等矩阵的定义和性质主要是对初等矩阵的定义和性质, 矩阵矩阵之间的运算之间的运算, 矩阵与行列式计算的关系矩阵与行列式计算的关系,以及矩阵的伴以及矩阵的伴随和逆的求出及性质的考查随和逆的求出及

23、性质的考查.解解: 若若A可逆可逆, 则则A*A=|A|In, 于是于是A*(A*)*=(|A|In)*=|A|n-1In,而而A*=|A|A-1，代入可解得，代入可解得(A*)*=|A|n-2A () 若若A不可逆不可逆,则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵P,Q,st:000rIPAQ 对于矩阵对于矩阵 , 注意到它的阶注意到它的阶n2, 那么由它那么由它的伴随的秩的伴随的秩12,则则A2=0.dcbaA 解解: (1)注意到矩阵注意到矩阵A的特征多项式为的特征多项式为|xI-A|=x2-(a+d)x+ad-bc.那么由那么由Hamilton-Cayley定理定理，显然矩，显然矩阵阵A满足方程满足

24、方程x2-(a+d)x+ad-bc=0. (2)设矩阵的最小多项式为设矩阵的最小多项式为 ，由，由Ak=0,k2,可可知：知： ，而由，而由A为为2阶矩阵，显然有阶矩阵，显然有 的次的次数不超过数不超过2，则，则 .于是有于是有A2=0. )(mkm|)()(m2|)(m 例例4.1.7 (华中科技大学，华中科技大学，2005年年)证明：任一证明：任一n阶方阶方阵可以表示成一个数量矩阵阵可以表示成一个数量矩阵(具有具有kI形式的矩阵形式的矩阵)与一与一个迹为个迹为0的矩阵之和。的矩阵之和。 证明：对于任意证明：对于任意n阶矩阵阶矩阵A，不妨设，不妨设tr(A)=a,令令k=(a/n)，那么有，

25、那么有A=kI+(A-kI).只要证明只要证明A-kI是一个迹是一个迹为为0的矩阵即可的矩阵即可.tr(A-kI)=tr(A)-tr(kI)=a-n(a/n)=0. 注：矩阵的迹的定义和性质：注：矩阵的迹的定义和性质： (1)设设A=(aij)nn，那么，那么A的主对角线上的元素之和的主对角线上的元素之和a11+a22+ann称为矩阵称为矩阵A的迹，记为的迹，记为tr(A). (2)若若A,B都是都是n阶矩阵，阶矩阵，k为某个常数，那么有为某个常数，那么有tr(A+B)=tr(A)+tr(B),tr(kA)=ktr(A),tr(AB)=tr(BA). (3)对于对于n阶矩阵阶矩阵A,它的迹它的

26、迹tr(A)是它的所有特征值之是它的所有特征值之和。和。 (4)注意到注意到tr(P-1AP)=tr(PP-1A)=tr(A)，显然，相似，显然，相似的矩阵有着相同的迹。的矩阵有着相同的迹。 例例4.1.8 (华中科技大学，华中科技大学，2007年年)设设A为二阶方阵，为二阶方阵，若有方阵若有方阵B, 使得使得AB-BA=A,证明：证明：A2=0. 注意到注意到|A|=-(a2+bc).显然要证显然要证A2=0,只需证只需证|A|=0即即可，用反证法。可，用反证法。 证明：由条件证明：由条件AB-BA=A,两边同时取迹，有两边同时取迹，有tr(A)=tr(AB-BA)=tr(AB)-tr(BA

27、)=0.注意到注意到A是二阶矩是二阶矩阵，于是可令阵，于是可令 那么有那么有acbaAbcabcaA22200 若若|A|0, 则由则由AB-BA=A有有AB=BA+A=(B+I)A, 两边取两边取行列式并约去行列式并约去|A|可得可得: |B|=|B+I|. 同样由同样由AB-BA=A可得可得: BA=AB-A=A(B-I), 两边取行列式并约去两边取行列式并约去|A|可得可得|B|=|B-I|.于是有于是有|B|=|B-I|=|B+I|.那么若令那么若令4321bbbbB 代入上面的等式可得代入上面的等式可得b1+b4=1且且b1+b4=-1.这显然矛盾这显然矛盾. 于是有于是有|A|=0

28、,即即A2=0. 例例4.1.9 (西安交通大学，西安交通大学，2005年年)设设A为可逆阵为可逆阵,u,v为为n维列向量，证明：当满足条件维列向量，证明：当满足条件1+vTA-1u0时，矩时，矩阵阵A+uvT必可逆，必可逆，(其中，其中，vT表示表示v的转置的转置) 证明：对下面矩阵证明：对下面矩阵 作分块矩阵的第三类作分块矩阵的第三类初等变换，注意到第三类初等变换不改变矩阵的行初等变换，注意到第三类初等变换不改变矩阵的行列式值列式值AuvT1TTTuvAvAuv011 AuuAvAuvTT0111 即有即有: |A+uvT|=(1+vTA-1u)|A|.注意到注意到A可逆可逆,那么那么|A

29、|0,又由题目条件又由题目条件1+vTA-1u0 ,可可知知|A+uvT|0 ，即，即A+uvT可逆。可逆。 那么有：那么有：AuuAvuvAvTTT01011 例例4.1.10 (北京航空航天大学，北京航空航天大学，2003年年)设设A,B都是都是n阶实矩阵，秩阶实矩阵，秩(A)(n/2),秩秩(B)(n/2), 证明：对任意实证明：对任意实数数a，行列式，行列式|A+aB|=0. 那么有那么有|A+aB|=10 。这说明题目的条件出了问题，。这说明题目的条件出了问题，将条件改为将条件改为r(A)(n/2), r(B)(n/2). 若记方程组若记方程组(A+aB)x=0的解空间为的解空间为W

30、,注意到若注意到若xU,xV,那么有那么有Ax=0且且aBx=0,相加得相加得(A+aB)x=0.即有即有xW,于是有于是有UV W . 那么那么dim(UV )dim(W),注意到注意到: dim(U)+dim(V)-dim(UV )=dim(U+V)n 那么有那么有dim(W)dim(UV ) dim(U)+dim(V)-n(n/2)+(n/2)-n=0.从而由从而由dim(W)=n-r(A+aB)0可得可得r(A+aB)1,都有：都有：Ak=Ak-1=A. 两边同时取行列式两边同时取行列式,并利用条件并利用条件AC=CA,易得易得 证明证明:首先不妨设首先不妨设A可逆，对矩阵可逆，对矩阵

31、 作分块矩作分块矩阵的初等行变换阵的初等行变换,有：有：DCBABCADBADCBAICAI1100111| | |ABADCA BADACA BCDADCAA BADCB 例例4.1.12 (东北大学，东北大学，2002年年)设设A,B,C,D均为均为n阶方阶方阵阵,且且AC=CA,证明证明:. |CBADDCBA 两边同时对两边同时对tn取极限取极限,注意到两边都是关于变量注意到两边都是关于变量tn的的多项式多项式,显然连续显然连续,有有|CBADDCBA 对于一般情形对于一般情形,设设 =tI+A,那么显然使得那么显然使得|tI+A|=0成成立的立的t值只有有限个值只有有限个,于是可取到

32、一列于是可取到一列tn,使得使得 tn=0,且且tnI+A可逆可逆,显然显然tnI+A与与C可交换可交换,那么有那么有:Alimn|)( |CBDAItDCBAItnn考点考点2：分块矩阵的运算、乘积、行列式、伴随与逆：分块矩阵的运算、乘积、行列式、伴随与逆 例例4.2.1 (清华大学，清华大学，2006年年)设设A为为mn矩阵矩阵, B为为nm矩阵矩阵,证明证明: 存在存在mn矩阵矩阵C, 使得使得A=ABC当且当且仅当仅当r(A)=r(AB). 证明证明: (1)必要性必要性: 若存在若存在mn矩阵矩阵C使得使得A=ABC,那那么有么有r(A)=r(ABC) r(AB) r(A),显然有显

33、然有: r(A)= r(AB). 考点点拨考点点拨:主要对分块矩阵及矩阵乘积和原矩阵的秩主要对分块矩阵及矩阵乘积和原矩阵的秩之间的关系，矩阵相抵标准形的形式和灵活变换之间的关系，矩阵相抵标准形的形式和灵活变换,以及以及矩阵的分块初等变换和秩之间的联系的考查矩阵的分块初等变换和秩之间的联系的考查. (2)充分性：充分性： 若若r(A)= r(AB),那么设矩阵那么设矩阵A的列向量张成的线性的列向量张成的线性空间为空间为U,记记 有有),(21mB).,(21mAAAAB 显然显然AB的每个列向量都是的每个列向量都是A的列向量的线性组合的列向量的线性组合,若记若记AB的列向量张成的线性空间为的列向

34、量张成的线性空间为V. 那么有那么有:.UV 注意到矩阵的秩等于它的列秩注意到矩阵的秩等于它的列秩,那么由那么由r(A)= r(AB)可知可知:dim(U)=dim(V).于是有于是有:U=V.mmAcAcAc12211111mmnnnnAcAcAc2211mmAcAcAc22221122 令令C=(cij)mn,那么显然有那么显然有A=ABC. . 则有则有: 设矩阵设矩阵),(21nA 这就意味着矩阵这就意味着矩阵A的列向量与矩阵的列向量与矩阵AB的列向量互相等的列向量互相等价价,也就有矩阵也就有矩阵A的列向量可由矩阵的列向量可由矩阵AB的列向量线性表出的列向量线性表出. 证明证明: 注意

35、矩阵左乘右乘可逆阵都不会改变其秩注意矩阵左乘右乘可逆阵都不会改变其秩, 由由I=B-1B=BB-1, 代入等式代入等式r(I-AB)+r(I+BA)=n, 并令并令C=B-1易得易得r(A+C)+r(A-C)=n. (这里注意对任意矩阵这里注意对任意矩阵S,有有r(-S)=r(S).)即有即有(n-r(A+C)+(n-r(A-C)=n.那么那么dimker(A+C)+dimker(A-C)=n. 例例4.2.2 (上海交通大学，上海交通大学，2005年年)对于对于n阶方阵阶方阵A及及n阶可逆矩阵阶可逆矩阵B,假设假设r(I-AB)+r(I+BA)=n.求证求证r(A)=n. 由上可知由上可知A

36、+C的核空间与的核空间与A-C的核空间的直和就是的核空间的直和就是全空间全空间Rn,于是于是 ,有有x=x1+x2,使得使得(A+C)x1=0,(A-C)x2=0.那么利用这两个等式有那么利用这两个等式有 0=Ax=A(x1+x2)=C(x2-x1) x2=x1.nRx 若若 ker(A+C)ker(A-C) ,则有则有可得可得 ,由由C可逆知可逆知 . ()0,()0,A CA C0C0 由于是直和由于是直和,而而x1=x2ker(A+C)ker(A-C)，所以，所以有有x2=x1=0,于是有于是有x=0.也即有也即有r(A)=n. 证明证明: 显然有显然有r(AB)r(B),下面证明下面证

37、明r(B)r(AB). 作矩阵作矩阵C=Q-1(In,0)P-1,即有即有:CA=In. 例例4.2.3 (北京航空航天大学北京航空航天大学,2004年年)设设A和和B分别为分别为mn,ns矩阵矩阵.证明证明:若若A的秩为的秩为n,则秩则秩(AB)=秩秩(B).QIPAn0 由题知由题知r(A)=n,于是存在两个可逆矩阵于是存在两个可逆矩阵P,Q使得使得 于是有于是有r(B)=r(InB)=r(CAB)r(AB),那么有那么有r(B)=r(AB). 例例4.2.4 (东南大学东南大学,2002年年)设设A为为n阶矩阵阶矩阵.试证试证:A2=A的充要条件为的充要条件为r(A)+r(I-A)=n.

38、 证明证明:注意到作分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩注意到作分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,那么由那么由 于是有于是有: r(A)+r(I-A)=r(A-A2)+n. 于是于是r(A)+r(I-A)=n的充要条件是的充要条件是r(A-A2)=0,也即也即A2=A. IAAIAAAIAAAAIAAAIA00000022 知知IAArAIAr00002 证明证明: (1)考查以下矩阵考查以下矩阵 对它作分块矩阵的初等变换有对它作分块矩阵的初等变换有: 例例4.2.5 (北京理工大学，北京理工大学，2003年年)设设A,B,C分别为分别为nm,mp,pq矩阵矩阵.(1)证明：秩证明：秩(AB)+秩

39、秩(BC)秩秩(B)+秩秩(ABC);(2)证明：若存在自然数证明：若存在自然数N,使得方阵使得方阵G满足满足:秩秩(GN)=秩秩(GN+1),则有则有:秩秩(GN)=秩秩(GN+1)=秩秩(GN+2)=BCBAB0ABCBBABCBABCABBCBAB000000 于是有于是有:)()(00000)()(ABCrBrABCBrBCBABrBCABrBCrABr 其中那个不等号的得出如下：比较矩阵其中那个不等号的得出如下：比较矩阵 和和 ，取出矩阵，取出矩阵AB的行向量中的一个极大的行向量中的一个极大线性无关组线性无关组(它的个数为它的个数为r(AB),那么这组向量的伸长那么这组向量的伸长组对

40、应于矩阵组对应于矩阵(AB,0)的行向量必然也是线性无关的的行向量必然也是线性无关的.然后取出矩阵然后取出矩阵BC的行向量中的一个极大线性无关组的行向量中的一个极大线性无关组BCAB00BCBAB0(它的个数为它的个数为r(BC),那么这组向量的伸长组对应于矩那么这组向量的伸长组对应于矩阵阵(B,BC)的行向量必然也是线性无关的的行向量必然也是线性无关的.这两组伸长这两组伸长组合在一起显然也线性无关组合在一起显然也线性无关. 看矩阵看矩阵 的行向量的行向量,显然它至少有显然它至少有r(AB)+r(BC)个线性无关的行向量个线性无关的行向量.BCBAB0 可得可得:BCBABrBCABrBCrA

41、Br000)()( (2)考查矩阵考查矩阵G的的Jordan标准形标准形. 不妨设不妨设1)0()0(1PJJJPGskk 其中矩阵其中矩阵J代表不为零的特征值所对应的代表不为零的特征值所对应的Jordan块块,于是有于是有:1)0()0(1PJJJPGNNkNkNs11111)0()0(1PJJJPGNNkNkNs 注意到注意到J是个满秩的方阵是个满秩的方阵,所以所以J任何次方的秩都等任何次方的秩都等于它自己于它自己. 显然若要显然若要r(GN)=r(GN+1),必然有必然有 由于零矩阵乘以任何矩阵都为零矩阵由于零矩阵乘以任何矩阵都为零矩阵,于是有于是有:0)0()0(1NkNksJJ)(0

42、0)()()(21JrJrGrGrGrNNNN 例例4.2.6 (上海大学，上海大学，2005年年)设设A是是n阶矩阵阶矩阵,C是是nm矩阵矩阵,r(B)=r(C)=m,求证：求证：A2=A的充要条件是的充要条件是A=CB且且BC=I. 证明证明: (1)充分性：充分性： 若若A=CB且且BC=I,那么显然有那么显然有: A2=(CB)(CB)=C(BC)B=CB=A (2)必要性：必要性： 若若A2=A,那么我们需要从那么我们需要从A=CB推出推出BC=I. 将将A=CB代入代入A2=A可得可得CBCB=CB (I) 于是可取于是可取D=Q-1(Im,0)mnP-1. 注意到注意到r(C)=

43、m,那么一定可以找到那么一定可以找到n阶可逆矩阵阶可逆矩阵P和和m阶可逆矩阵阶可逆矩阵Q使得使得QIPCmnm0 有有:DC=Im.同理可取矩阵同理可取矩阵F使得使得BF=Im.将等式将等式(I)两两边同时左乘边同时左乘D并右乘并右乘F即得即得BC=I. 考点考点3： 矩阵的标准形矩阵的标准形,矩阵相似的条件矩阵相似的条件 例例4.3.1 (清华大学，清华大学，2003年年)设方阵设方阵A在实数域在实数域R上是否相似于对角形（即有实方阵上是否相似于对角形（即有实方阵P使使 P-1AP为对角形）为对角形）?在复数域在复数域C上呢？给出证明上呢？给出证明.012326113A 考点点拨考点点拨:对

44、对 矩阵的标准形的求出矩阵的标准形的求出,以及如何判以及如何判定两个矩阵之间是否相似的考查定两个矩阵之间是否相似的考查. 解：解：A的特征多项式为的特征多项式为 ,显然显然A的最小多项式的最小多项式 为为 .那么在那么在实数域上实数域上A的初等因子组为的初等因子组为 ，显然不是一，显然不是一次因子的乘积，那么在实数域上次因子的乘积，那么在实数域上A不可能相似于对角不可能相似于对角矩阵矩阵.) 1)(1(|)(2AIf)(m) 1)(1()(2m) 1(),1(2 而若在复数域上，显然而若在复数域上，显然A的初等因子组的初等因子组为为 ,都为一次因子都为一次因子,那么矩阵那么矩阵A必必有完全的特

45、征向量系有完全的特征向量系,显然相似于对角矩阵显然相似于对角矩阵. )(),(),1(ii 例例4.3.2 (浙江大学，浙江大学，2006年年)三阶矩阵三阶矩阵A,B,C,D具有具有相同的特征多项式相同的特征多项式,证明其中必有两个矩阵相似证明其中必有两个矩阵相似. 证明证明:三阶矩阵的特征多项式的形式有三阶矩阵的特征多项式的形式有: 其中其中a,b,c为互不相等的常数为互不相等的常数.),()(2ba,)(3a),)()(cba 若四个矩阵若四个矩阵A,B,C,D的特征多项式都为的特征多项式都为 ,那么那么对应于对应于 的不变因子组只能为以下三种：的不变因子组只能为以下三种：3)(a3)(a

46、;)( , 1 , 13a;)(),( , 12aa)(),(),(aaa 那么那么A,B,C,D必有两个矩阵有相同的不变因子组必有两个矩阵有相同的不变因子组,所所以必有两个矩阵相似以必有两个矩阵相似. 若四个矩阵若四个矩阵A,B,C,D的特征多项式都为的特征多项式都为 ,那么对应于那么对应于 的不变因子组只能为以下的不变因子组只能为以下两种：两种：)()(2ba)()(2ba);()( , 1 , 12ba)(),( , 1baa 仍然仍然A,B,C,D必有两个矩阵有相同的不变因子组必有两个矩阵有相同的不变因子组,所所以必有两个矩阵相似以必有两个矩阵相似. 这时显然这时显然A,B,C,D都相

47、似都相似. 若四个矩阵若四个矩阵A,B,C,D的特征多项式都为的特征多项式都为 ,那么对应于那么对应于 的不变因子组只能为以下的不变因子组只能为以下一种：一种：)()(cba)()(cba)()(,1 ,1cba 综上所述综上所述,不论何种情况不论何种情况,四个矩阵四个矩阵A,B,C,D中都必中都必有两个矩阵相似有两个矩阵相似. 考点考点4: 行列式因子、不变因子、初等因子与矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子与矩阵的Jordan标准形，矩阵的有理标准形标准形，矩阵的有理标准形考点点拨考点点拨: :对矩阵的行列式因子、不变因子、初等因对矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子子, ,利用初等因子求出矩阵的利用初等因子求出矩阵的JordanJordan标准形，标准形，以及利以及利用不变因子求出矩阵的有理标准形的考查用不变因子求出矩阵的有理标准形的考查,其中包括其中包括了利用了利用Jordan标准形的形式计算矩阵的幂和判断矩标准形的形式计算矩阵的幂和判断矩阵的秩满足何种关系的考查阵的秩满足何种关系的考查. 例例4.4.1 (清华大学，清华大学，2006年年)设设k是任意的正整数是任意的正整数,求求Ak（A的的k次幂）次幂）.010650211A 显然显然A的特征值为的特征值为1(二重二重),-6(一