线性代数1行列式期末复习

1、上页下页结束返回首页期末复习 第一章上页下页结束返回首页1.全排列全排列把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个个元素的元素的全排列全排列（或排列）（或排列）.nnn个不同的元素的所有排列的种数，通常用个不同的元素的所有排列的种数，通常用Pn表示表示.nPn )1( n)2( n123 !.n 比如比如5901476328就是就是09这十个数字的全排列这十个数字的全排列.上页下页结束返回首页 在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序. nstiiiii21stii 例如例如 排列排列32514 中，中， 定义定义 我们规

2、定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个个不同的自然数，规定由小到大为不同的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序.2.排列的逆序数排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序上页下页结束返回首页定义定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数.例如例如 排列排列32514 中，中， 3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31010故此排列的故此排列的逆序数为逆序数为3+1+0+1+0=5.上页下页结束返回首页计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为

3、偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.3. 排列的奇偶性排列的奇偶性算出排列中每个元素的逆序数算出排列中每个元素的逆序数;每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.上页下页结束返回首页4、n阶行列式的定义阶行列式的定义nnnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn212222111211212.)1(21 记记作作的的代代数数和和个个元元素素的的乘乘积积取取自自不不同同行行不不同同列列的的阶阶行行列列式式等等于于所所有有个个数数组组成成的的由由定义定义).det(ija简记作简记作的元素的元素称为行列式称为行列式数数)det(i

4、jijaa为这个排列的逆序数为这个排列的逆序数的一个排列，的一个排列，为自然数为自然数其中其中tnpppn2121上页下页结束返回首页5、对换的定义定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的过程叫做元素不动，这种作出新排列的过程叫做对换对换将相邻两个元素对调，叫做将相邻两个元素对调，叫做相邻对换相邻对换定理定理1 1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性上页下页结束返回首页行列式的三种表示方法 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212121222

5、21112111 nnqpqpqptaaaD22111 nppptnaaaD21211 上页下页结束返回首页行列式与它的转置行列式相等。行列式与它的转置行列式相等。互换行列式的两行（列），行列式的值变号。互换行列式的两行（列），行列式的值变号。如果行列式有两行（列）相同，则行列式为如果行列式有两行（列）相同，则行列式为 0 。用数用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素，乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用数等于用数 k 乘此行列式。乘此行列式。行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面。若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行

6、列式等于若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于0 。如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个行如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。对应的行一样。行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加后再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。性质性质上页下页结束返回首页用定义计算（证明）用定义计算（证明）二、计算（证明）行列式2 2用数学归纳法用数学归纳法3 用行列

7、式的性质用行列式的性质4 利用范德蒙行列式利用范德蒙行列式 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值列式的值上页下页结束返回首页例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D将第将第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 2上页下页结束返回首页 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna上页

8、下页结束返回首页例例3 3nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 设设,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 证明证明P14-10P14-10上页下页结束返回首页例例4 4 计算2n阶行列式nnddccbbaaD22 P15-11P15-11解解将第将第2n行行依次依次与第与第2n-1、 2n-2、2行对调，行对调，(共共2n-2次）；次）；将第将第2n列列依次依次与第与第2n-1、 2n-2、2列对调，列对调，(共共2n-2次）。次）。得：得：dcdcbabadcbaDn0000000

9、02 2(n-1)上页下页结束返回首页dcdcbabadcbaDn000000002 由上例结论，可得)1(222nnDDD)1(2)( nDbcad递推得)2(222)( nnDbcadD21)3(23)()(DbcadDbcadnn nbcad)( 上页下页结束返回首页例例4 证明证明cos100012cos100012cos00cos0002cos100012cosnDn 证证对阶数对阶数n用数学归纳法用数学归纳法.,2,1,2cos122cos11cos,cos cos221结论成立结论成立时时当当所以所以因为因为 nnDD 上页下页结束返回首页得得按按最最后后一一行行展展开开现现将将

10、的的行行列列式式也也成成立立等等于于下下证证对对于于阶阶数数的的行行列列式式结结论论成成立立假假设设对对阶阶数数小小于于,.,nDnn.cos221DDDnnn ,)2cos(,)1cos( ,21-n nDnDn由归纳假设由归纳假设 )2cos()1cos(cos2 nnDn.结论成立结论成立所以对一切自然数所以对一切自然数 n;cos)2cos()2cos(cos nnnn 上页下页结束返回首页naaaaD001001001111321 例例5 5 计算计算n 阶行列式阶行列式021 naaa，其其中中解解naaaaa00100100011113221 2211cac D爪型行列式爪型行列

11、式上页下页结束返回首页nniiaaaaa00000000011113221 )3(11nicacii nniiaaaa221)1( 上页下页结束返回首页例例6 6 计算计算n 阶行列式阶行列式0,111111111111111121321 nnaaaaaaaD其中其中解解Dnaaaaaaa0000001111131211 )2(1nirri 上页下页结束返回首页nniiaaaaaa000000000111132211 )3(11nicaacii nniiaaaaaa32211)1( nniiaaaaa3211)1( 上页下页结束返回首页例例7计算计算.43213213213211xaaaaaa

12、xaaaaaxaaaaaxDnnnn 上页下页结束返回首页解解列列都都加加到到第第一一列列，得得将将第第1, 3 , 2 nxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxniinniinniinniinD32121212111 上页下页结束返回首页提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得.1111)(3222211xaaaxaaaxaaaaxnnnnii 上页下页结束返回首页. )()(11 niiniiaxaxaxaaaaaxaaaxaxDnniin 23122121111010010001)(后后一一列列，得得倍倍加加到到最最列列的的将将第第列列，倍倍加加到到第第列列的的列列，将将第第倍倍加

13、加到到第第列列的的将将第第)(1,3)(12)(121naaa 上页下页结束返回首页在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作nijaij1 nija.Mij ，记记ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质 ;,0,1jijiDDAaijnkkjki当当当当 ;,0,1jijiDDAaijnkjkik当当当当 .,0,1jijiij当当，当当其中其中上页下页结束返回首页314231315

14、0111111)1( 例例43142313150111253 D13rr 34rr P21-13P21-13D的（的（i,j）元的余子式和代）元的余子式和代数余子式记为数余子式记为Mij与与Aij，求，求:14131211)1(AAAA 41312111)2(MMMM解：解：3142313150111111 -2 2 0 21 -1 0 0011222511)1(31 =4上页下页结束返回首页41312111)2(MMMM41312111AAAA 3141313150111251 34rr 0010313150111111 0 -1 0 0311501111)1()1(24 =0说明：此例利用了余子式与说明：此例利用了余子式与aij的值无关，而只与下标有关。的值无关，而只与下标有关。上页下页结束返回首页1. 1. 用克拉默法则解方程组的两个条件用克拉默法则解方程组的两个条件(1)(1)方程个数等于未知