线性规划求最值(详细)

1、1.二元一次二元一次方程方程Ax+By+C=0 对应的图形为对应的图形为 . 2.二元一次二元一次不等式不等式Ax + By + C(0 (或或0) 时时, 直线画成直线画成虚线虚线;区域区域不包括不包括边界直线边界直线 0(或或0)时时,- - - - -实线实线.区域区域包括包括- - - - - - -(), () 4. P(x0,y0)在在Ax+By+C0Ax0+By0+C0同侧同号，同侧同号， 异侧异号异侧异号6. 6.二元一次不等式二元一次不等式Ax+By+C 0(0) 对应对应区域判别方法区域判别方法:直线定界，特殊点定域；直线定界，特殊点定域；当当C0时时,取原点取原点 0,0

2、 为特殊点，为特殊点，当当C=0时时, 1,0 或或 0, 1 为特殊点。为特殊点。特殊点法特殊点法 若点坐标代入若点坐标代入适合适合不等式则不等式则此点所在的区域此点所在的区域为为需画需画的区域，的区域， 否则否则是是另一侧区域另一侧区域为需画区域。为需画区域。直线直线Oxyx+y=0 x=3x-y+5=0-55例例：画出不等式组画出不等式组 表示的平面区域表示的平面区域.3005xyxyx注：注：不等式组不等式组表示的平面区域是各不等式表示的平面区域是各不等式所表示平面区域的所表示平面区域的公共部分公共部分。1.点点(-1,2)和和(3,- 3)在直线在直线3x+y-a=0两侧，则两侧，则

3、a的范围的范围 .解：解：点点(-1,2)和和(3,- 3)在直线在直线3x+y-a=0的两侧，将这两的两侧，将这两 点坐标代入点坐标代入3x+y-a=0后，后，符号相反符号相反，(-3+2+a)(9-3-a) 0， 得得1a6.2.点点(-1,2) 在在5x+y-a0表示的区域内，则表示的区域内，则a的范围的范围 .-5+2-a -3 4x164y12x+2y8x0 ,y0222333zzxyyx （ ）化 为求求z=2x+3y的最值的最值例例1.O34A16482xyx（4）解方程组）解方程组 得点得点A(4,2)146342maxz (3)直线过点直线过点 时时纵纵截距最大截距最大，此时

4、此时z最大最大,过点过点 时时z最小最小(1)画区域画区域233z表示斜率为，纵截距为的一组平行线A补补(1)(1)求求z=x+4yz=x+4y的最值的最值 (2)(2)求求z=x+2yz=x+2y的最值的最值)3 , 2(BOminZ0 注：斜率越大，注：斜率越大， 倾斜角越大倾斜角越大02. ,01满足xx yyxy 求求z=x-yz=x-y的最值的最值O1xy AB( (3 3) )平平移移直直线线yx (4)直线过点直线过点 时时纵截距纵截距-z最小，最小，z最大最大; 过过点点 时时纵截距纵截距-z最大，最大，z最小最小.(1)画区域画区域(2)1化化为为，斜斜率率为为 ，纵纵截截距

5、距为为- - 的的一一组组平平行行线线 zxyyxzzlAB交点交点A(1,0),B(0,1)maxminZ101,Z011. 注意：注意： 目标函数化为斜截式后，目标函数化为斜截式后， 分析斜率大小；分析斜率大小；z z的的系数符号系数符号。01. ,2323满足xx yxyxy 求求z=x-yz=x-y的最值的最值(2)1化化为为， 斜斜率率为为 ，纵纵截截距距为为- - 的的 一一组组平平行行线线 zxyyxzzl( (3 3) )平平移移直直线线yx (4)直线过点直线过点 时时z值值最大最大;过过点点 时时z值值最小最小.OABAB解方程组求交点解方程组求交点A(1,1),B(0,3

6、)maxminZ110,Z033 基本概念：基本概念：z=2x+y线性目标函数在线性约线性目标函数在线性约束条件下的最值束条件下的最值 的问题的问题满足约束条件的解满足约束条件的解(x,y)可行解可行解组成的集合组成的集合使使目标函数目标函数取取得得最值最值的的可行解可行解目标函数目标函数，线性目标函数线性目标函数 1255334xyxyx线性约束条件线性约束条件： 最优解最优解可行解：可行解：可行域可行域: :（阴影部分）（阴影部分）最优解：最优解：线性规划问题：线性规划问题：x-4y+3=0 x-4y+3=03x+5y-25=03x+5y-25=0 x=1x=12x+y=2x+y=1 1x

7、yo可行域可行域A（5，2）B（1，1）A(5,2),B(1,1)即不等式组的解即不等式组的解转化转化转化转化转化转化四个步骤：四个步骤：1.画画：画可行域：画可行域4.答答： 3. 求：求：求交点点的坐标，并求最优解求交点点的坐标，并求最优解2.2.移移：线性目标函数表示的一组平行线中，利用平移方：线性目标函数表示的一组平行线中，利用平移方 法找出法找出与可行域公共点且纵截距最大或最小的直线与可行域公共点且纵截距最大或最小的直线理解记忆：理解记忆：三个转化三个转化约束条件约束条件可行域可行域目标函数目标函数Z=Ax+ByZ=Ax+By一组平行线一组平行线BZxyA最优解最优解 寻找平行线的寻

8、找平行线的 最大最大( (小小) ) 纵截距纵截距一、目标函数一、目标函数1AzAxByyxzBB 即表示一组平行线，1AzBB其中为斜率，为纵截距，当当B0时时,当直线当直线向上向上平移时平移时,所对应的截距随之所对应的截距随之增大增大;z .-向下向下-减小减小. Z .当当B0)0)取得最大值的最优解有无数个取得最大值的最优解有无数个, ,求求m mxy01 x) 1 , 1 (A)522, 1 (C) 1 , 1 (B)3 , 5(Azmxyymxz化为解：0m重合时与直线直线ACzmxy上的每一点都是最优解线段ACACkmk斜率207155223ACk207m1212xxyyaxby

9、),(),(2211yxByxAAB )0 , 0(),(OyxP特殊地xyOP0:),(00CByAxlyxPd22)()(byax22)()(byax22yx 22yx OPk),(),(baAyxP2PAOP2OP) 0 , 0 (),(OyxPPAOPk22yx 222121()()xxyyABk2200BACByAxPAkxy402. ,340例满足xx yxyy 最小值求xyxz222最小值补：求22yxzO1) 122yxz （解：)0 , 1(),(MyxP其中的最小值由图知12PMM12 AM22yx 补：),(yxP其中的最小值由图知2OP2d54169400d2516)(

10、min22yxA434xy B（d为为O到直线到直线AB距离）距离）),(yxP112minz12 PM2OP03204202)2(yyxyxyx满足，最大值求xyOPkxyxy00:解O),(yxP其中BAC)23, 1 (042032Cyxy得解23)(maxOCkxyOCOPOAkkk由图知1.z=Ax+By(A,B为常数为常数)可化为可化为 表示表示 与与 平行的一组平行线平行的一组平行线,其中其中 为截距。为截距。BzxBAyBzxBAy 2. 2. 表示定点表示定点P P(x x0 0,y,y0 0) 与可行域内的动点与可行域内的动点M M(x,yx,y) 连线的连线的斜率斜率00 xxyyz3. 表示定点表示定点Q （x0,y0)到可行域内的动点到可行域内的动点N(x,y)的的距离距离 或距离平方。或距离平方。20202020)()()()(yyxxzyyxxz或小结：目标函数的常见类型小结：目标函数的常见类型0520402)2(yxyxyxyx满足，最小值求2510) 1 (22yyxz的范围求112