第八章 静电场中的导体和电介质2

1、Xian Jiaotong UniversityAiping Fang 5 / 7 / 2012已知导体球壳已知导体球壳 A 带电量为带电量为Q ，导体球，导体球 B 带电量为带电量为q (1) 将将A 接地后再断开，电荷和电势的分布；接地后再断开，电荷和电势的分布；解：解：0AUQ0QA与地断开后与地断开后, qQA10044RqrqUBArR1R2B-q电荷守恒电荷守恒(2) 再将再将 B 接地，电荷和电势的分布。接地，电荷和电势的分布。A 接地时，内表面电荷为接地时，内表面电荷为 -q外表面电荷设为外表面电荷设为Q设设B上的电量为上的电量为q0内EqQ内根据孤立导体电荷守恒根据孤立导体电

2、荷守恒例例5：求：求：(1)(2)University physics AP FangqQQ外内qqQ外20100444RqqRqrqUB021211RRrRrRqrRq204RqqUAB 球圆心处的电势球圆心处的电势总结：总结： (有导体存在时静电场的计算方法有导体存在时静电场的计算方法) 1. 静电平衡的条件和性质静电平衡的条件和性质: 2. 电荷守恒定律电荷守恒定律3. 确定电荷分布，然后求解确定电荷分布，然后求解0内EC导体UQArR1R2B-qUniversity physics AP FangUniversity physics AP Fang一、静电场中的电介质一、静电场中的电介

3、质l 电介质：电介质：绝缘体绝缘体 (电阻率超过电阻率超过108 Wm)l 实验结论实验结论(置于电场中的置于电场中的)电介质电介质电场电场+Q -Q+ + + + + + + + + + + + + + +- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -rUU0rEE0电介电介质的质的相对相对介电介电常数常数名名 称称r名名 称称r干燥空气干燥空气1.000 59聚丙烯聚丙烯3.3乙醇乙醇26蒸馏水蒸馏水81石英玻璃石英玻璃4.2变压器油变压器油2.4云母云母6钛酸钡钛酸钡103 1048-2 静电场中的电介质静电场中的电介质静电计静电计 r 电介质的相

4、对介电常数电介质的相对介电常数介质中电场减弱介质中电场减弱1rUniversity physics AP Fang二、电介质极化二、电介质极化 电介质电介质分子电结构分子电结构无极分子无极分子有极分子有极分子 + -l qp无外场时无外场时(热运动热运动)整体对外整体对外不显电性不显电性0p University physics AP Fang-+有外场时有外场时(电子电子) 位移极化位移极化(分子分子) 取取向极化向极化束缚电荷束缚电荷束缚电荷束缚电荷0EEE /0EEE 无极分子电介质无极分子电介质 有极分子电介质有极分子电介质外电场越强，束缚电荷越多，极化越强外电场越强，束缚电荷越多，极

5、化越强 三、介质中的电场三、介质中的电场 极化电荷面密度极化电荷面密度 电介质极化的宏观表现电介质极化的宏观表现在垂直于外电场的端面上出现极化电荷，其面密度的大在垂直于外电场的端面上出现极化电荷，其面密度的大小反映介质极化的程度小反映介质极化的程度 （1）电极化强度）电极化强度电偶极子排列的有序程度反映了介质被极化的程度电偶极子排列的有序程度反映了介质被极化的程度, 排列愈排列愈有序，说明极化愈强烈。有序，说明极化愈强烈。PV宏观上无限小微观宏观上无限小微观上无限大的体积元上无限大的体积元每个分子的每个分子的电偶极矩电偶极矩VplimPii 定义定义PUniversity physics AP

6、 Fang量纲量纲 P2mCUniversity physics AP Fang（2）电极化强度与介质中电场强度的关系）电极化强度与介质中电场强度的关系EPr) 1(0 （3）电极化强度与极化电荷的关系）电极化强度与极化电荷的关系SSPqdSPqddSPndSqdd nPnPnP 实验表明：对于大多数常见实验表明：对于大多数常见的各向同性的电介质，有的各向同性的电介质，有电介质中任意一点的极化程度都应该由该点的电介质中任意一点的极化程度都应该由该点的总场强总场强来来决定的。决定的。极化电荷面密度极化电荷面密度University physics AP Fang r+-00+-EE0E 设两个金

7、属平板，设两个金属平板， 均匀各向同性均匀各向同性电介质中的电场强度为电介质中的电场强度为0EEE000E0E000ErEE0实验表明实验表明:00000r0)11 (r而而适用 各向同性的均匀电介质充满整个各向同性的均匀电介质充满整个条件 空间，或电介质的表面为等势面空间，或电介质的表面为等势面University physics AP Fang8-3 电位移矢量电位移矢量D 有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电介质在电场中电介质在电场中产生束缚电荷产生束缚电荷影响原电场分布影响原电场分布 以两个金属平板为例以两个金属平板为例u 无电介质时：无电介质时： r+-00+-E0E S00

8、0dSSESu 加入向同性的均匀电介质时：加入向同性的均匀电介质时：SSES)(1d00SSESr00d0)11 (r0q定义：定义：电位移矢量电位移矢量EEDr0 电介质的介电常数电介质的介电常数University physics AP FangGausss Law in Dielectrics(iSD dSq S内） 通过任意封闭曲面的电通过任意封闭曲面的电位移通量位移通量 = 该封闭面包围自该封闭面包围自由电荷的代数和。由电荷的代数和。dSDSdSES不仅与高斯面内包围的自由电荷有关，而且与不仅与高斯面内包围的自由电荷有关，而且与极化电荷有关极化电荷有关 只与包围在高斯面内的自由电荷有

9、关只与包围在高斯面内的自由电荷有关 (1)iiSqSD内,0dSSES) (1d00 (2) 电位移线电位移线由于闭合面的电位移通量等于被包围的自由电荷，由于闭合面的电位移通量等于被包围的自由电荷，所以所以D线发自正线发自正自由电荷自由电荷 止于负止于负自由电荷。自由电荷。qSPSd+-+- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -DEP r0q(3) 解题的思路解题的思路:DE例：例：半径为半径为R0 ，带电量为，带电量为Q 的导体球置于各向同性的均匀电介的导体球置于各向同性的均匀电介质中，如图所示，两电介质的相对电容率分别为质中，如图所示，两电介质的相对电

10、容率分别为er1和和er2，外层半径分别为外层半径分别为R1和和R2 。R1R2求：求：R0Q解：解：iiSqSD0drDr24(1) 电电场的分布；场的分布；(2) 紧贴导体球表面处的极化电荷；紧贴导体球表面处的极化电荷；(3) 两电介质交界面处的极化电荷。两电介质交界面处的极化电荷。(1)电场的分布电场的分布1r2r)(0 )(00RrrRQ)( 0 )(4002RrrRrQDUniversity physics AP FangR1R2R0Q1r2rr由由E=D/e ，得，得4 3 2 1 01E)(0Rr 21024rQEr)(10RrR22034rQEr)(21RrR2044rQE)(

11、2rR (2) 紧贴导体球表面处的极化电荷紧贴导体球表面处的极化电荷Q)(1d0QQSES)(14022QQErQQr)11 (1将将E2代入代入-QUniversity physics AP FangR1R2R0Q1r2rr(3) 两电介质交界面处的极化电荷两电介质交界面处的极化电荷 (Q-Q)QQ-Q)(1d0QQQQSESQQQrr)11(12)(14032QQErQQr)11 (2将将E3代入代入所以，两电介质交界面处的极所以，两电介质交界面处的极化电荷为化电荷为University physics AP Fang电容只与导体的几何因素和介质有关，电容只与导体的几何因素和介质有关，与导

12、体是否带电无关与导体是否带电无关8-4 电容器的电容电容器的电容一、孤立导体的电容一、孤立导体的电容单位：法拉单位：法拉( F )VQ孤立导体的电势孤立导体的电势QV孤立导体的电容孤立导体的电容C + +QVE 求求半径为半径为 R 孤立导体球的电容。孤立导体球的电容。电势为电势为04QVRRC04电容为电容为RUniversity physics AP Fang若若 R = Re , 则则 C = 714 F 若若 C = 1 10 3 F , 则则 R = ?C = 1 10 -3 F啊啊,体体积还积还这么这么大大!1.8米米9m通常，由彼此绝缘，相距很通常，由彼此绝缘，相距很近的两导体构

13、成电容器。近的两导体构成电容器。极板极板极板极板+ Q- Q VVQ使两导体极板带电使两导体极板带电Q两导体极板的电势差两导体极板的电势差二、二、电容器的电容电容器的电容电容器的电容电容器的电容QCVUniversity physics AP Fang电容器电容的大小取决于极板的形状、电容器电容的大小取决于极板的形状、大小、相对位置以及极板间介质。大小、相对位置以及极板间介质。 电容器的分类电容器的分类形状：形状：平行板、柱形、球形电容器等平行板、柱形、球形电容器等介质：介质：空气、陶瓷、涤纶、云母、电解电容器等空气、陶瓷、涤纶、云母、电解电容器等用途：用途：储能、振荡、滤波、移相、旁路、耦合

14、电容器等。储能、振荡、滤波、移相、旁路、耦合电容器等。University physics AP Fang 电容器的应用：电容器的应用： 在电力系统中，电容器可用来储存电荷或电能，也是在电力系统中，电容器可用来储存电荷或电能，也是提高功率因数的重要元件；在电子电路中，电容器则是获提高功率因数的重要元件；在电子电路中，电容器则是获得振荡、滤波、相移、旁路、耦合等作用的重要元件。得振荡、滤波、相移、旁路、耦合等作用的重要元件。 电容器电容的计算电容器电容的计算 QEVQCVUniversity physics AP Fang1. 平行板电容器平行板电容器S r+-Ed VrE0dSdSVVqCrr

15、0021/dSC0真空真空rdEdVV021 讨论讨论(1) 电容与电介质的相对介电常数电容与电介质的相对介电常数 r 成正比；成正比；(2) 电容与极板面积电容与极板面积 S 成正比，与极板间的距离成正比，与极板间的距离 d 成反比。成反比。SSSDDUniversity physics AP Fang2. 球形电容器球形电容器R1R2 r+ q- qE204rqEr12210214RRRRVVqCr122104RRRRC真空真空2121d4d2021RRrRRrrqlEVV 讨论讨论(1) 若若R1 R2-R1，则，则 )(21RrR211204RRRRqrdSCr/0(2) 若若R2 R

16、1，则，则 104RCrUniversity physics AP Fang3. 柱形电容器柱形电容器RaRbL(同轴电缆同轴电缆) rRa rrEr02abrRRLVVLVVqCln202121baRRlEVVd21)(baRrRabrRRln20+ l- lRbbaRRrrrd20University physics AP Fang rRbRaabRRLCln20真空真空 讨论讨论若若Ra Rb-Ra，则，则 dSCr/0dSRRLRRRLCrabarabr0002/ln2dSabRRdLRSa 2RaRb4. 电容器并联电容器并联 UqC UCCCUk).(21kCCC.215. 电容器

17、串联电容器串联 qUC1qUUUk.21KCCC1.1121 各电容上电压相同各电容上电压相同 各电容上电量相同各电容上电量相同 University physics AP Fang设有两根半径均为设有两根半径均为a 的平行长直导线，它们轴线之间的的平行长直导线，它们轴线之间的距离为距离为d ，且，且d a ，例例1：d2a单位长度平行直导线间的电容。单位长度平行直导线间的电容。解：解：求：求：设两根导线单位长度上的设两根导线单位长度上的带电量分别为带电量分别为l，+l -l 由高斯由高斯 定理，两导线间任一点定理，两导线间任一点 P 的电场强度为的电场强度为O xP)(2200 xdxE两导

18、线间的电势差为两导线间的电势差为BAlEVdadarEdA Badarxdxd)11(20aad ln0adln0University physics AP Fang单位长度导线间的电容为单位长度导线间的电容为adVCln0d2a+l -lO xPA Badln0例例2： 求：求：解：解：University physics AP Fang平行板电容器，极板面积为平行板电容器，极板面积为S，板间间距为，板间间距为d，现充有两种，现充有两种电容率分别为电容率分别为e1和和e2，厚度分别为，厚度分别为d1和和d2的均匀电介质，如的均匀电介质，如图所示。图所示。1d2d此平行板电容器的电容。此平行板

19、电容器的电容。设两极板带电荷面密度分别为设两极板带电荷面密度分别为+s 和和-s，12取圆柱形高斯面，由高斯定理，得取圆柱形高斯面，由高斯定理，得SSSDD11E 22E 两板间的电势差两板间的电势差BAlEVd1211021ddddddlElE2211ddroroA BUniversity physics AP Fang电容为电容为122121ddS2211/ddSVqCu 各层电介质中的电场强度不同；各层电介质中的电场强度不同；u 此电容器相当于两个电容器的串联。此电容器相当于两个电容器的串联。121d2d1C2C111dSC222dSCSdSdC2211121111CCUniversit

20、y physics AP Fang平板电容器中充介质的另一种情况平板电容器中充介质的另一种情况 推广推广1S2S12SA B122211SSS11D22D由于极板内为等势体由于极板内为等势体VVV21dVE211EdVEED2211/由由和和得得221111SSSd22111121SSSEEUniversity physics AP Fang两板间的电势差两板间的电势差22111SSSddEV电容为电容为2211SSSdSVqCdSS2211u 各层电介质中的电场强度相同；各层电介质中的电场强度相同；u 此电容器相当于两个电容器的并联。此电容器相当于两个电容器的并联。1S2S12dd1C2Cd

21、SC111dSC222212211CCdSSCUniversity physics AP Fang例例3： 一单芯同轴电缆的中心为一半径为一单芯同轴电缆的中心为一半径为R1的金属导线，外层一金的金属导线，外层一金属层。其中充有相对介电常数为属层。其中充有相对介电常数为 r 的固体介质，当给电缆加的固体介质，当给电缆加一电压后，一电压后，E1 = 2.5E2 ，若介质最大安全电势梯度为若介质最大安全电势梯度为E 电缆能承受的最大电压？电缆能承受的最大电压？解：解：用含介质的高斯定理用含介质的高斯定理rEr02125 . 2 RR *102ERr21dRRVEr2121dd2*10RRRRrrrE

22、Rrr12*1lnRRER1R2R求：求： r 1E2E5 . 2ln*1ER215 . 2 EE AB以平行板电容器充电过程为例，来计算电场能量。以平行板电容器充电过程为例，来计算电场能量。 设设0t 时间内，从时间内，从B 板向板向A 板迁移的电荷量为板迁移的电荷量为 q = q ( t ) ，)(tq)(tqCqU 将将 dq的电荷由的电荷由B 板移到板移到A 板，板，电源需作的功为电源需作的功为 qCqqUAdddCQqCqAAQ2dd20极板上电量从极板上电量从0 Q 时，电源时，电源所作的总功为所作的总功为+Q-Q则，两极板间的电势差为则，两极板间的电势差为8-5 电场能量电场能量University physics AP FangCQAWe22QUCU21212对于平行板电容器对于平行板电容器EdU dSCVESdEWe222121University physics AP Fang2021EVWw能量密度能量密度VwWdd 计算电场能量密度的普遍公式，计算电场能量密度的普遍公式，不论电场均匀与否不论电场均匀与否，也不论是静电场还是非静电场都是