一元一次方程应用题精选拔高题型全含详细答案可编辑

1、一兀一次方程的应用1、列方程解应用题的基本步骤和方法:步骤要求注息事项审题读懂题目、弄清题意、找出能够表 示应用题全部含义的相等关系审题是分析解题的过程， 解答过程中不用体现出来设元设未知数把各个量用含未知数的代数式表小出来设未知数一般是问什么，就直接设什么为X,即直接设元直接设兀后困难时，可以间接设兀列方程根据等量关系列出方程避免列出恒等式解方程解这个方程，求出未知数的值如果是间接设元，求出的未知数还需要利用其他算式得到所求的量检验把方程的解代入方程检验，或根据实际问题进行检验列一一次方程解应用题检验的步骤在解答过程中不用写出来方程的解要符合实际问题作答写出答案，作出结论这一步在列方程解应用

2、题中必不可少，是一种规范要求注意：(1)初中列方程解应用题时，怎么列简单就怎么列 (即所列的每一个方程都直接的表示题意)，不用担心未知数过多，简化审题和列方程的步骤，把难度转移到解方程的步骤上.(2)解方程的步骤不用写出，直接写结果即可.(3)设未知数时，要标明单位，在列方程时，如果题中数据的单位不统一，必须把单位换算成统一单 位，尤其是行程问题里需要注意这个问题.2、设未知数的方法：设未知数的方法一般来讲，有以下几种：(1) “直接设元”：题目里要求的未知量是什么，就把它设为未知数，多适用于要求的未知数只有一个 的情况；(2) “间接设元”：有些应用题，若直接设未知数很难列出方程，或者所列的

3、方程比较复杂，可以选择 间接设未知数，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用.(3) “辅助设元”：有些应用题不仅要直接设未知数，而且要增加辅助未知数，但这些辅助未知数本身 并不需要求出，它们的作用只是为了帮助列方程，同时为了求出真正的未知量，可以在解题时消去.(4) “部分设元”与“整体设元”转换：当整体设元有困难时，可以考虑设其一部分为未知数，反之 亦然，如：数字问题.模块一：数字问题(1)多位数字的表示方法：一个两位数的十位数字、个位数字分别为a、b,(其中a、b均为整数,1waw9, 0 <b <9 )则这个两位数可以表示为10a+b.一个三位数的百位数字为a,十位数字

4、为b,个位数字为 c,(其中均为整数，且1waw9, 0<b <9 ,0 <c<9)则这个三位数表示为：100a+10b+c.(2)奇数与偶数的表示方法：偶数可表示为2k,奇数可表示为2k+1 (其中k表示整数).(3)三个相邻的整数的表示方法：可设中间一个整数为 a,则这三个相邻的整数可表示为a-1,a,a +1 .【例1】一次数学测验中，小明认为自己可以得满分，不料卷子发下来一看得了96分，原来是由于粗心把一个题目的答案十位与个位数字写颠倒了，结果自己的答案比正确答案大了36,而正确答案的个位数字是十位数字的 2倍.正确答案是多少？【解析】此题中数据 96与列方程无

5、关.与列方程有关的量就是小明粗心后所涉及的量.设正确答案的十位数字为 x,则个位数字为2x ,依题意,得(10M2x+x) (10x+2x) =36 ,解之得 x = 4.于是2x =8 .所以正确答案应为 48.【答案】48【例2】 某年份的号码是一个四位数，它的千位数字是 2,如果把2移到个位上去，那么所得的新四位数比原四位数的2倍少6,求这个年份.【解析】设这个年份的百位数字、十位数字、个位数字组成的三位数为x,则这个四位数字可以表示为2M1000 +x,根据题意可列方程：10x+2=2(2M1000+x )6 ,解得 x = 499【答案】2499年【例3】 有一个四位数，它的个位数字

6、是 8,如果将个位数字 8调到千位上，则这个数就增加117,求这个四位数.【解析】设由原数中的千位数字、 百位数字和十位数字组成的三位数为x,则这个四位数可以表示为 10x+8,则调换后的新数可以表示为 8000十x,根据题意可列方程10x+8=8000+x117 ,解得x = 875,所 以这个四位数为8758【例4】 五一放假，小明的爸爸开车带着小明和妈妈去郊游，他们在公路上匀速行驶，下表是小明每隔1小时看到的路边里程碑上数的信息.你能确定小明在7:00时看到的里程碑上的数是多少吗？时间里程碑上数的特征7:00是一个两位数，它的个位数字与叶位数字之和是78:00十位数字和个位数字与7:00

7、时所看到的正好颠倒了9:00比7:00时看到的两位数中间多一个0【解析】设小明在7:00时看到的两位数的十位数字是x,则个位数字是 7-x,根据题意可列方程：q00x+(7 x gH0(7 x )+xj=H0(7 x)+x q00x+(7 x解得 x=1,所以 7x = 6.【答案】小明在 7:00时看到的两位数是 16.模块二：日历问题(1)、在日历问题中，横行相邻两数相差1,竖列相邻两数相差 7.(2)、日历中一个竖列上相邻 3个数的和的最小值时 24,最大值时72,且这个和一定是 3的倍数.(3)、一年中，每月的天数是有规律的，一、三、五、七、八、十、十二这七个月每月都是31天，四、六、

8、九、十一这四个月每月都是30天，二月平年28天，闰年29天，所以，日历表中日期的取值是有范围的.【例5】 下表是2011年12月的日历表，请解答问题：在表中用形如下图的平行四边形框框出4个数,(1)若框出的4个数的和为74,请你通过列方程的办法，求出它分别是哪4天？(2)框出的4个数的和可能是26吗？为什么？星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六123r 4. 6891011_13-1516171819202122292425262T羽3031【解析】(1)设第一个数是x,则根据平行四边形框框出 4个数得其他3天可分别表示为x+1,x + 6,x + 7.根据题意可列方程：x+(x+1 )

9、+(x+6 )+(x+7 )=74 ,解得x=15；所以它分别是：15, 16, 21, 22;(2)设第一个数为x,则4x+14=26, x=3,本月3号是周六，由平行四边形框框出4个数，得出结论：无法构成平行四边形.【答案】(1) 15, 16, 21, 22; (2)无法构成平行四边形.【例6】 如图，框内的四个数字的和为28,请通过平移长方形框的方法，使框内的数字之和为68,这样的长方形的位置有几个？能否使木g内的四个数字之和为49?若能，请找出这样的位置；若不能，请说明理由.S一四五4八34567S9101112U141516171S19212223242526112829【解析】(

10、1)设四个数字是a, a+1 , a+7 , a+8 ,根据题意可列方程：a+a+1+a+7+a+8=68 ,解得 a =13.则平移后的四个数是13、14、20、21.33(2)设四个数子是 x, x+1, x+7, x+8 ,贝U4x+16=49, x=.不合题息，舍去.4【答案】平移后的四个数是13、14、20、21,这样的长方形的位置只有1个；不存在能使四个数字的和为49的长方形.【例7】 把2012个正整数1, 2, 3, 4,，2012按如图方式排列成一个表.(1)用如图方式框住表中任意 4个数，记左上角的一个数为 x,则另三个数用含 x的式子表示出 来，从小到大依次是 .(2)由

11、(1)中能否框住这样的 4个数，它们的和会等于 244吗？若能，则求出x的值；若不能， 则说明理由.1234567S91011121314151817 I13192021222324 1252627232a3。氮32333435383T3839我14 1 【解析】(1)二.记左上角的一个数为 x, 另三个数用含 x的式子表示为：x+8, x+16, x+24.(2)不能.假设能够框住这样的4个数，则：x+(x+8)+(x + 16)+(x + 24)= 244,解得x=49.49是第七行最后一个数，不可以用如图方式框住.【答案】(1) x+8, x+16, x+24; (2)不能.模块三：和差

12、倍分问题和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几.(1)当较大量是较小量的几倍多几时，较大量=较小量尺倍数+多余量；(2)当较大量是较小量的几倍少几时，较大量=较小量M倍数-所少量.【例8】一部拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的 2;第二天耕了剩下部分的 1 ,还剩下42公顷没耕完， 33则这片地共有多少公顷？【解析】设这片地共有 x公顷，第一天耕了这片地的 2 ,则耕地x公顷，第二天耕了剩下部分的 -,则第 333一，12121.一二天耕地一 mJ X=-x （公顷），根据题意可列万程：x-x-1x = 42 ,解得x=189.33939【答案】189.【例9】 牧羊人赶着一群羊寻找一个

13、草长得茂盛的地方，一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来，他对牧羊人说：“你赶的这群羊大概有 100只吧！"牧羊人答道：“如果这群羊增加一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊一半的一半，连你这只羊也算进去，才刚好凑满100只.”问牧羊人的这群羊共有多少只 ？【解析】设这群羊共有 x只，根据题意可列方程：2x+1x+1 x+1 =100 ,解得x = 36.24【答案】36【例10】有粗细不同的两支蜡烛， 细蜡烛之长时粗蜡烛之长的 2倍，细蜡烛点完需1小时，粗蜡烛点完需2小 时，有一次停电，将这样的两支未使用过的蜡烛同时点燃，来电时，发现两支蜡烛所剩的长度一 样，问停电的时间有多

14、长？【解析】设停电时间为 x小时，粗蜡烛长l米，则细蜡烛长21米，那么细蜡烛每小时点燃 21米，粗蜡烛没小11. 一 2时点燃米，根据题意可列万程：21 21，x=1 -x ,解得x=223【答案】停电时间为 2小时3【例11】2006年我市在全国率先成为大面积实施“三免一补”的州市，据悉，2010年我市筹措农村义务教育经费与“三免一补”专项资金3.6亿元【由中央、省、市、县（区）四级共同投入，其中，中央投入的资金约2.98亿元，市级投入的资金分别是县（区）级、省级投入资金的1.5倍、18倍】，且2010年此项资金比 2009年增加1.69亿元.（1） 2009年我市筹措农村义务教育经费与“三

15、免一补”专项资金多少亿元？（2） 2010年省、市、县（区）各级投入的农村义务教育经费与“三免一补”专项资金各多少亿元？（3）如果按2009-2010年筹措此项资金的年平均增长率计算，预计2011年，我市大约需要筹措农村义务教育经费与“三免一补”专项资金多少亿元（结果保留一位小数）？【解析】（1） 3.611.69=1.91 （亿元）.（2）设市级投入x亿元，则县级投入 2x亿元，省级投入 tx亿元，3182121由题意得：2.98+ x+x=3.6,解得 x=0.36 .所以一x=0.24 （亿兀），-x=0.02 （亿兀）.318318169，一（3） 3.6M1+169 定6.8 （亿兀

16、）.1.91【答案】（1） 1.91亿元；（2）省、市、县分别投入0.02亿元、0.36亿元、0.24亿元；（3） 6.8亿元.模块四：行程问题一、 行程问题路程=速度刈寸间相遇路程=速度和 冲目遇时间追及路程=速度差 也及时间二、流水行船问题顺流速度=静水速度+水流速度逆流速度=静水速度-水流速度1水流速度=X （顺流速度逆流速度） 2三、火车过桥问题火车过桥问题是一种特殊的行程问题，需要注意从车头至桥起，到车尾离桥止，火车所行距离等于桥长加上车长，列车过桥问题的基本数量关系为：车速X过桥时间=车长+桥长.【例12】有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、

17、丙背向而行.甲每分钟走 40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米.出发后，甲和乙相遇后 3分钟和丙 相遇，求花圃的周长.【解析】设甲、乙相遇时间为t分钟，则甲、丙相遇时间为 （t+3%钟，根据题意，由相遇路程相等可列方程 t 38 -36 ）=3 40 36【答案】8892米【例13】某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到 15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站,则此人此时骑摩托车的速度应为多少？【解析】设此人从家里出发到火车开车的时间为x小时，根据题意可列方程：30（x -） =18（x +）

18、,解得x =1 ,1530 ° 一左 271 一”60（千米/时）6060此人打算在火车开车前 10分钟到达，骑摩托车的速度应为【答案】27【例14】甲、乙两车同时从 A, B两地出发，相向而行，在A, B两地之间不断往返行驶.甲车到达B地后,在B地停留了 2个小时，然后返回 A地；乙车到达 A地后，马上返回B地；两车在返回的途中又 相遇了，相遇的地点距离 B地288千米.已知甲车的速度是每小时60千米，乙车的速度是每小时40千米.请问：A, B两地相距多少千米？2x -288 x 288【解析】设A、B两地相距x千米，根据题意可列方程： 8888=2,解得x = 4204060【例

19、15】某人骑自行车从 A地先以每小时12千米的速度下坡后，再以每小时9千米的速度走平路到 B地,共用了 55分钟.回来时，他以每小时8千米的速度通过平路后，再以每小时4千米的速度上坡，1 .从B地到A地共用11小时，问A、B两地相距多少千米?【解析】间接设未知数，设从A地到B地共用x小时，根据题意可列方程:5512t -I 55 -t b 9 = 3t 4 -1 3602-3t8,155解得t=,所以A、B两地相距12t+1 t区9=9 (千米)460【答案】9千米【例16一人步行从甲地去乙地，第一天行若干千米，自第二天起，每一天都比前一天多走同样的路程，这样10天可以到达乙地；如果每天都以第

20、一天所行的相同路程步行，用15天才能到达乙地；如果每天都以第一种走法的最后一天所行的路程步行到乙地，需要几天？【解析】设a是第一次第一天走的路程，b是第二天起每天多走的路程，x是所求的天数.则根据题意可列方程：15a =a + (a +b) + (a +2b) + (a +3b) + (a +4b) + (a +5b) +(a +6b) + (a +7b) +(a +8b) + (a +9b), 解得a =9b .又 15a =x(a+9b ),解得 x=7.5 .【答案】7.5天【例17】一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后， 再从甲港到乙港航行需 3小时,水流速度增加后

21、，从乙港返回甲港需航行多少小时？【解析】设小船在静水中的速度为a ,原来的水速为b ,则2(a -b) =3( a -2 b),解得a =4b ,故所求时间为2(a -b) =1 (小时).(a 2b)【答案】1【例18】一个人乘木筏在河面顺流而下，漂到一座桥下时此人想锻炼一下身体，便跳入水中逆水游泳，10分钟后转身追赶木筏，终于在离桥1500米远的地方追上木筏，假设水流速度及此人游泳的速度都一直不变，那么水流速度为多少？【解析】因为向上游了 10分钟，所以返回追赶也要 10分钟(流水中的相遇时间与追及时间都与水流速度无1关)，即水流20分钟的路程为1500米，水流速度为1.5+1=4.5 (

22、千米/时).3【例19】一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时，一天，小船从早晨6点由A港出发顺流行至 B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立即返回，1小时后找到救生圈.问：(1)若小船按水流速度由 A港漂流到B港需多少小时？(2)救生圈是何时掉入水中的？【解析】(1)设小船在静水中的速度为a,水流速度为b ,则6(a+b) =8(ab),解得a = 7b,故小船按水流速度由A港漂流到B港所需时间为6(a+b)=48 (小时)；b(2)设小船行驶x小时后，救生圈掉入水中，则 (6x+1)b+(ab)M1=(6x)(a+b),将a=7b代入上式，得到x=5 ,故救生圈是上

23、午11点掉入水中的【答案】48 ; 5模块五：工程问题工作总量=工作时间作效率各部分工彳量之和=1【例20】有甲、乙、丙三个水管，独开甲管5小时可以注满一池水；甲、乙两管齐开，2小时可注满一池水；甲、丙两管齐开，3小时注满一池水.现把三管一齐开，过了一段时间后甲管因故障停开，停开后2小时水池注满.问三管齐开了多少小时？111【解析】由题意知，甲管注水效率为 1，甲、乙两管的注水效率之和为 ，甲、丙两管的注水效率之和为 ，523设三管齐开了 x小时，根据题意可列方程：1x + H+1-2 h+2 ) = 1,解得x= 523519【答案】±小时19【例21】检修一住宅区的自来水管道，甲

24、单独完成需 14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天.前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后 2天由乙、丙两人合作完成，问乙中途离开了几天？1111-【解析】设乙中途离开了 x天，根据题意可列方程 X7+ 7-x +21 + =1,解得x = 3141818 12【答案】乙中途离开了 3天【例22】某中学库存若干套桌凳，准备修理后支援贫困山区学校，现有甲、乙两木工组，甲每天修桌凳16套，乙每天修桌凳比甲多 8套，甲单独修完这些桌凳比乙单独修完多用20天，学校每天付甲组 80元修理费，付乙组 120元修理费.(1)问该中学库存多少套桌凳？(2)在修理过程中，学校要派一名工人进行

25、质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有三种修理方案：由甲单独修理；由乙单独修理；甲、乙合作同时修理.你认为哪种方案省时又省钱为什么？【解析】(1)设该中学库存x套桌凳，根据题意可列方程：_x_x_=20 ,解得x=960 .16 24(2)方案所需费用:方案所需费用:方案所需费用:960，一、x（80 +10 ）=5400 （兀）； 16960x（120 +10 ）=5200 （元）；960 80 120 10 =504016 24综上，方案最省钱.【答案】(1) 960套；(2)方案最省钱.模块六：商品销售问题在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、标价、售价、打折等概念

26、，在了解这些基本概念的基础上，还必须掌握以下几个等量关系：.一.一一、.一利润标彳=进价K(1+利润率)利润=售价进价利润率=迸乔X100%禾旭=进价邓J润率实际售价=标价布折率【例23】某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4% ,使得利润增加了 8个百分点，求经销这种商品原来的利润率.【解析】设经销这种商品原来的利润率为x,原进价为a,根据题意可列方程：a(1 +x) =a(1 -6.4%)(1 +x +8%),解得 x =17% .【答案】17%【例24】某商品月末的进货价为比月初的进货价降了8%,而销售价不变，这样，利润率月末比月初高 10%,问月初的利润率是多少？【解析

27、】设月初进货价为a元，月初利润率为x,则月初的销售价为a(1+x)元，月末进货价为a(1-8%)元, 销售价为a(1 -8%血+(x+10% )元，根据月初销售价与月末销售价相等可列方程：a(1+x)=a(1 -8% )3+(x+10%)解得 x=0.15.100 -x =6007即二者的比例是:A: B =1:6 ,则涨价前每千克的成本为15 6075 /一、 取在八斗十=(兀)，销售价为127.5元,【例25】某公司生产一种饮料是由 A, B两种原料液按一定比例配制而成，其中A原料液的成本价为15元/千克，B原料液的成本价为 10元/千克，按现行价格销售每千克获得70%的利润率.由于市场竞

28、争，物价上涨，A原料液上涨20%, B原料液上涨10%,配制后的总成本增加了12%,公司为了拓展市场，打算再投入现总成本的25%做广告宣传，如果要保证每千克利润不变，则此时这种饮料的利润率是多少？【解析】原料液 A的成本价为15元/千克，原料液B的成本价为10元/千克，涨价后，原 A价格上涨20%,变为18元；B上涨10%,变为11元，总成本上涨12%, 设每100千克成品中，二原料比例 A占x千克，B占(100-x)千克，则涨价前每100千克成本为15x+10(100-x )，涨价后每100千克成本为18x+11(100 x ),+ 1)1 2%得 x=,所以7根据题意可列方程：18x+1Q

29、1 0-0x) = x>(1 0 1-00利润为7.5元.原料涨价后，每千克成本变为12元，成本的25%为3元，保证利润为7.5元,则利润率为：7.5 *(12 +3 )=50% .【答案】50%.模块七：方案决策问题在实际生活中，做一件事情往往会有多种选择，这就需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络 的使用，到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，把每一种方案的结果先算出来，进行比较后 得出最佳方案.【例26】某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后， 必须由开发商代为租赁 5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做

30、出选择：方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%.方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%,但要缴纳租金的10%作为管理费用.(1)请问：投资者选择哪种购铺方案,5年后所获得的投资收益率更高？为什么？(注:投资收益率投资收益实际投资额父100% )5年后两人获得的收(2)对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么益将相差5万元.问：甲、乙两人各投资了多少万元?【解析】（1）设商铺标价为x万元，则0 7x按万案一购买，则获投资收益 （120%-1）x+x，10%M5 = 0.7x,投资收益率

31、为 _x 100% =70% x按方案二购买，则获投资收益 （120% -0.85 +x 10% x（1 -10%）x3 = 0.62x ,投资收益率为 "好X100%定72.9% .0.85x所以投资者选择方案二获得的投资收益率高.（2）由题意得，0.7x0.62x=5,解得x =62.5 ,所以甲投资了 62.5万元，乙投资了 53.125万元【答案】略【例27】有一个只允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人.一天王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能有3人通过道口，此时，自己前面还有36个人等待通过，通过道口后， 还需7分钟到达学校.（1）若绕道而行，要 15

32、分钟到达学校。从节省时间考虑，王老师应选择绕道去学校还是选择通 过拥挤的道口去学校？（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后秩序恢复正常（每分钟仍有3人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少？【解析】（1）王老师通过道口去学校，需要36 +7 =19 >15 ,故从节省时间角度考虑，他应选择绕道去学校；3（2）设维持秩序时间为 x分，则维持秩序这段时间内过道口的有3x人，维持好秩序后过道口的有 （36-3x）人，根据题意可列方程：理=x +360 +6 ,解得x=339【答案】（1）从节省时间角度考虑，王老师应选择绕道去学校；（2）维持秩序的时间是

33、 3分钟【例28】老师带着两名学生到离学校 33千米远的博物馆参观.老师乘一辆摩托车，速度为25千米/小时.这 辆摩托车后座可带乘一名学生，带人后速度为20千米/小时.学生步行的速度为5千米/小时.请你设计一种方案，使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3小时.【解析】设学生为甲、乙二人.乙先步行，老师带甲乘摩托车行驶一定路程后，让甲步行，老师返回接乙， 然后老师搭乘乙，与步行的甲同时到达博物馆.设老师带甲乘摩托车行驶了x千米，则用时 上小时，比乙多行了 3（20-5 ）=0x（千米）.这时老202043x师让甲步行前进，而自己返回接乙，遇到乙时，用了：x+（25+5）=喙（小时）.乙遇到老师时，已经步行了 '三十3x：5=3x（千米），离博物馆还有33-Wx（千米）.要使师生三人能同时到达博物20 40883馆，甲、乙二人搭乘摩托车的路程应相同，则有x=33-x,解得x=24.即甲先乘摩托车 24千8米，用时1.2小时，再步行9千米，用时1.8小时，共计3小时.因此，上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3个小时.【答案】略模块八：配套问题“配套”型应用题中有三组数据：（1）车间工人的人数；（2）每人每天平均能生产的不同的零件数；（3）不同零件的配套比.（利用（1） （3）得到等量关系，构造方程）一般地说，（2）