流体力学第五章(涡旋动力学基础)

1、1第五章 涡旋动力学基础流体的涡旋运动大量存在于自然界中，如大气中的气旋、反气旋、龙卷、台风等，大气中的涡旋运动对天气系统的形成和发展有密切的关系。台风龙卷2大尺度海洋环流3因此，针对流体的涡旋运动进行分析，介绍涡旋运动的描述方法、认识涡旋运动的变化规律及其物理原因是十分必要的。流体涡度：它是反映流体旋转特征或者旋转强度的一个重要物理量。 整个流体区域内涡度都为零时，流体运动为无旋的； 流体区域内有一点涡度不等于零时，则对应流体运动为有旋的。4VVV一般情况：流体运动可以表示为：重点讨论涡旋部分的变化特征及其产生的原因第二节 涡度方程 主要内容第一节 环流定理涡旋运动无旋运动5第一节 环流定理

2、ll dV速度环流的定义ll它反映了流体沿曲线 运动的趋势，是标量，但具有一定的方向性。在流场中任取一个封闭的物质环线 （形状大小可变，由流点组成的闭合曲线）。 l6如取定曲线方向：0，流体有顺 运动的趋势，（逆时针为正方向，对应气旋环流）；0，流体有逆 运动的趋势，（顺时针为负方向，对应反气旋环流）。lllll dV7反映了流体涡度与速度环流之间的联系。根据环流的定义，应用斯托克斯公式 流体涡度 /lim)(0nV流体某点的涡度矢量在单位面元的法向分量等于单位面积速度环流的极限值8一、凯尔文定理（速度环流的守恒定理）()()()dddVd dlV dldlVllldtdtdtdt环流随时间的

3、变化率（环流的加速度）加速度环流环流加速度9()()dddVV dldllldtdtdt环流的加速度 = 加速度的环流2()(/2)0llld dlVV dVd Vdt()()()dddVd dlV dldlVllldtdtdtdt10。 凯尔文(Kelvin)环流定理 11凯尔文(Kelvin)环流定理 （1）理想流体 （2）质量力仅为有势力pFdtVd 1 F下面来考虑特定条件下的 dtd运动方程（欧拉方程）： （仅受质量力和压力梯度力）；12()11()ddVdlldtdtdlp dllldp dll pFdtVd 1环流变化方程：梯度取旋度为零1p dll F13梯度取旋度为零1()1

4、1 ()()1 ()pp dldppdpd 将线积分转化为面积分14)(pf ),(Tpf 正压流体：斜压流体：等压面、等密度面、等温面重合（平行）等压面、等密度面斜交15理想正压流体，在有势力的作用下，则速度环流不随时间变化，这就是凯尔文定理。 1()0lddVdldtdtpd （3）假设流体是正压的)(pf 等压面、等密度面平行16说 明：由此可知，理想正压流体，在有势力的作用下，流体运动涡度强度不随时间变化，无旋流动中的流点不可能获得涡度；反之，涡旋流动中的流点也不可能失去涡度。17以上讨论了特定条件下速度环流的守恒定理或者约束关系。而实际上，流体运动中必定出现环流的不守恒（变化）现象，

5、也即环流的产生和起源，这才是更普遍条件下的环流变化情况。 18二、速度环流的起源涡度的产生 VVpFdtVd 312 对于粘性可压缩流体，NS运动方程为：对粘性扩散项进行处理（矢量运算法则），将其表示为：2()()VVVD 143dVFpDdt 将其代入运动方程，整理后可得到：19143dVFpDdt 对上式沿闭合曲线积分，即可得到反映环流变化的方程：143ddVdldtdtF dlp dldlD dl 14()3F dlp dldlD d 1F dlp dldl 20速度环流的变化，主要由于以下3项所引起：（1）非有势力的作用，例如：柯氏力；（2）压力-密度项（流体的斜压性所引起的）；（3）

6、粘性涡度扩散（与涡度的空间不均匀分布有关） （1） （2） （3）1ddVdlF dlp dldldtdt 21称为皮叶克尼斯定理，反映了压力-密度项（斜压性）引起环流的变化。若作理想流体假设，且质量力为有势力，则环流定理变为：进一步作正压流体假设，则皮叶克尼斯定理退化为了Kelvin环流定理：0dtd1()dpddt 22皮叶克尼斯定理的应用：海陆风、信风、山谷风的简单解释海风（陆风）山谷风海洋陆地白天（夜间）2322VVVVV 221()23VVVpgVVt 第二节 涡度方程 对于粘性流体运动，纳维斯托可斯方程为：方程的平流项变换： 方程变为 ：)(31)(2VVgPVVtVdtVd24

7、VVVVV 方程各项取旋度（ ）： 221()23VVVpgVVt （1）（）（2）（）（3）（）（4）（）（5） （6） （7）（2 2）、（）、（5 5）、（）、（6 6）=0（任意物理量的梯度取旋度为零） （3 3） V25221dpVVdt 221VVVpt 就是涡度方程，或者称之为弗里德曼亥姆霍兹方程 。（4 4） 2111ppp 可得到方程：221()23VVVpgVVt （1）（）（2） （3）（）（4）（）（5） （6） （7）整理合并后，有：26（1）力管项或斜压项它表明了压力密度变化可以引起流体涡度矢的变化，其物理实质是流体的斜压性。（2）散度项它表明了流体在运动过程中体积

8、的收缩或膨胀，将会引起流体涡度矢的变化。 （3）扭曲项 流场的非均匀性，引起涡度的重新分布。（4）粘性扩散项 涡度分布的非均匀性引起的。 221dpVVdt 涡度方程讨论：27（1）力管项或斜压项当流体是斜压时，等密度面与等压面不平行，是斜交的。在三维图中构成了管状分布，称之为力管（当流体的等密度面与等压面斜交时，以相邻等密度面与相邻等压面为周界，可以构成一条管道，称之为力管）当流体正压时，等密度面与等压面平行，力管项为零221dpVVdt 涡度方程讨论：28（2）散度项考虑流点有散度（有相对体积变化），则辐散使涡度减小，辐合使涡度增大221dpVVdt 涡度方程讨论：29进一步讨论进一步讨论：1.当不考虑流体粘性时，粘性扩散项不出现2.散度项和扭曲项对个别流点可引起其涡度变化，但对流体整体而言，这两项不会引起流体整体涡度的变化（流体中辐合辐散共存，其作用使涡度重新分布，但不改变整体结果；扭曲项也是使涡度重新分配）3.真正直接引起流点涡度矢变化的是流体的斜压性真正直接引起流点涡度矢变化的是流体的斜压性30llll dl dPl dFdt