第4章Poisson过程

1、第第4 4章章 Poisson过程过程4.1 Poisson Poisson过程过程4.2 与与PoissonPoisson过程相联系的若干分布过程相联系的若干分布4.3 PoissonPoisson过程的推广过程的推广4.4 更新过程更新过程1 1798年入巴黎综合工科学校深造年入巴黎综合工科学校深造. 在毕业时，在毕业时，因优秀的研究论文而被指定为讲师因优秀的研究论文而被指定为讲师, 受到拉普拉受到拉普拉斯、拉格朗日的赏识斯、拉格朗日的赏识. 法国数学家法国数学家. 1781年年6月月21日生于法国卢瓦日生于法国卢瓦雷省的皮蒂维耶，雷省的皮蒂维耶，1840年年4月月25日卒于法国索镇日卒于

2、法国索镇. 泊松的科学生涯开始于研究微分方程及其在摆的运动和声泊松的科学生涯开始于研究微分方程及其在摆的运动和声学理论中的应用学理论中的应用. 他工作的特色是应用数学方法研究各类力学他工作的特色是应用数学方法研究各类力学和物理问题，并由此得到数学上的发现和物理问题，并由此得到数学上的发现. 他对积分理论、行星他对积分理论、行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献都有重要贡献. 1800年毕业后留校任教，年毕业后留校任教，1802年任副教授年任副教授, 1806年接替傅年接替傅里叶任该校教授里叶任该校教授. 18

3、08年任法国经度局天文学家年任法国经度局天文学家,1809年任巴黎年任巴黎理学院力学教授理学院力学教授. 1812年当选为巴黎科学院院士年当选为巴黎科学院院士.2(0-1)分布分布 随机变量随机变量 X 只可能有两个值只可能有两个值: 0 和和 1，其概率分布其概率分布为为：qpXPpXP1) 0( ,) 1(pqXDpXE)( ,)(二项分布二项分布 随机变量随机变量 X 为为n重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件A发生的次数，则发生的次数，则 X B (n, p)，概率分布为：，概率分布为：(),0,1,kn knP Xkp qknknpqXDnpXE)( ,)(复习复习3泊松分布泊松分布

4、 随机变量随机变量X 的所有可能取值为的所有可能取值为0, 1, 2, ，而取各个值的概率为而取各个值的概率为则随机变量则随机变量X 服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布，简记，简记为为P( )。)0( , 2 , 1 , 0 ,!e为常数kkkXPk)( ,)(XDXE泊松定理泊松定理 在二项分布中，设在二项分布中，设 np= 是常数，则有是常数，则有!elimkkXPkn4复习复习5 随机过程随机过程N(t)，t0称为计数过程，如果称为计数过程，如果N(t)表示从表示从0到到 t 时刻某一特定事件时刻某一特定事件A发生的次数，它发生的次数，它具备以下两个特点：具备以下两个特点： N(

5、t) 0且取值为整数；且取值为整数； 若若s t , 则则 N(s) N(t) 且且N(t) N(s)表示表示(s , t时时间内事件间内事件A发生的次数。发生的次数。4.1 Poisson4.1 Poisson过程过程计数过程计数过程6 ,0,1,2,!nttP N tsN snenn注：注：由由( 3 )可知过程有平稳增量可知过程有平稳增量; 由于由于E(N(t)= t, 常将常将 称为称为Poisson过程的过程的速率速率或强度或强度，表示单位时间内发生的事件的平均个数。，表示单位时间内发生的事件的平均个数。PoissonPoisson过程定义过程定义 计数过程计数过程N(t)，t0称为

6、参数为称为参数为 00的的Poisson过程，如果：过程，如果： (1) N(0)=0; (2) 过程有独立增量过程有独立增量; (3) 对任意的对任意的 s，t 0，7解解(0.5)1,(2.5)5)P NN(0.5)1,(2.5)(0.5)4)P NNN5 . 041! 1)5 . 04(e244! 4)24(e0155.0设设 表示在时间表示在时间 t 时到达的顾客数时到达的顾客数, 9:00为为0时刻时刻( )N t顾客到达某商店服从参数顾客到达某商店服从参数 人人/小时的泊松过程，小时的泊松过程，已知商店上午已知商店上午9:00开门，试求到开门，试求到9:30时仅到一位顾客，时仅到一

7、位顾客，而到而到11:30时总计已达时总计已达5位顾客的概率。位顾客的概率。4 PoissonPoisson过程在排队论中的应用过程在排队论中的应用(0.5)1) (2.5)(0.5)4)P NP NN8 若以若以N(t)表示表示0,t时间内发生事故的次数时间内发生事故的次数. Poisson过过程程 是很好的一种近似是很好的一种近似. 考虑保险公司每次考虑保险公司每次赔付都是赔付都是1, 每月平均每月平均4次接到索赔要求，则一年中它次接到索赔要求，则一年中它要付出的平均金额为多少？要付出的平均金额为多少？( ),0N t t 4 12(4 12)(12)(0),!nP NNnen 事故的发生

8、次数和保险公司接到的索赔数事故的发生次数和保险公司接到的索赔数(12)(0)4 1248.E NN解解: 设一年开始为设一年开始为0时刻，时刻，1月末为时刻月末为时刻1，则年末，则年末为时刻为时刻12：均值均值9设设 是一个计数过程，它满是一个计数过程，它满（1）（2）过程有平稳独立增量，）过程有平稳独立增量，（3）存在）存在 当当 时，时，（4）当）当 时，时，( ),0N t t (0)0;N0,0h ()( )1( ),P N thN thh0h()( )2( ).P N thN thPoisson过程的等价定义过程的等价定义10Poisson过程的等价性过程的等价性(说明说明)11证明

9、：只需要验证 服从参数为 的Poisson分布即可。记有因此令 得解此微分方程由 得 . 故( )N tt( )( ),0,1,2,.nP tP N tnn120( )( )1( )( ).1( ),P hP N hP hP hP h 0000()()0()( )0,( )0( )0 ()( )0( )( )( )(1( ).P thP N thP N thN tN tP N tP N thN tP t P hP tho h000()( )( )( ),P thP thP thh 0,h 00( )( ).PtP t 0( ).tP tKe0(0)(0)01PP N1K 0( ).tP teP

10、oisson过程的等价性过程的等价性(证明证明)12令令 ，得，得由归纳法得到由归纳法得到当当 时，时， 1n 0111() () ( ),()( )0 ( )1,()( ) 1 (),()( )2( ) ( )( ) ( )( )(1) ( )( )( ).nnnnnP thP N thnP N tn N thN tP N tnN thN tP N thn N thN tP t P hPt P ho hh P thPto h 1()( )( )( )( ),nnnnP thP tP tPthh 0h 1( )( )( ).nnnPtP tPt ()( )( ).!ntntP teP N tn

11、nPoisson过程的等价性过程的等价性(证明证明)于是于是13 反之，证明Poisson过程满足条件(1)-(4)，只须验证条件(3),(4)()( )1( )(0)11!hhP N thN tP N hNe0()1( )( ),!nnhhhhhhhn2()( )2( )(0)2()( ).!nhnP N thN tP N hNhehnPoisson过程的等价性过程的等价性(证明证明)14 事件 A 的发生形成强度为 的Poisson过程 如果每次事件发生时以概率 p 能够被记录下来，并以M(t)表示到 t 时刻被记录的事件总数，则 为一个强度为 的Poisson过程。( ),0.N t t

12、 ( ),0M t t p()0,( ).!mptpttP M tmem0( )( )|( ) ( )nP M tmP M tm N tmn P N tmn00()() (1) (1)()! !m nmnmmnttm nnntptp tCppeemnm n(1)0() (1) ()().!mnmmttp tptnptp tptpteeeemnmm即验证Poisson过程定义的应用过程定义的应用分析：分析： 由于每次事件独立，记录与不记录都与其他事件是否被记录独立。事件发生服从Poisson分布，所以M(t)具有平稳增量，只需验证M(t)服从均值为 的Poisson分布。pt15 设设N( t

13、), t0)是参数为是参数为的泊松过程的泊松过程, 事件事件A在在0,时间时间区间内出现区间内出现n次，试求次，试求:PN(s)=k|N()=n, 0kn,0st=0, t 内事件A不出现 PX1t=PN(t)=0=etXn的分布的分布 1111,0.tXFtP Xtet 即X1 服从均值为1/的指数分布. 21(2) 由泊松过程的平稳独立增量性,有 PX2t|X1=s=P在(s, s+t 内事件A不发生|X1=s X1=sX2s+t=PN(s+t) N(s)=0 |X1=s= PN(t) N(0)=0= PN(t)=0= et由独立增量性，与由独立增量性，与s无关无关 故X2与X1相互独立，

14、且X2也服从均值为1/的指数布.22由平稳增量性由平稳增量性(3) 对于一般 n1 和t0,以及 r1，r2，rn-10, 有PXnt |Xi=ri ,1in1=PN(t+r1+ +rn1) N(r1+r2+rn1)=0= PN(t) N(0)=0= et. 1,0.tnnFtP Xtet 即23 故Xn与X1 , Xn-1相互独立，且Xn也服从均值为1/的指数布.注注 (1) 上述定理的结果应该在预料之中上述定理的结果应该在预料之中,因为泊因为泊松过程有平稳增量松过程有平稳增量,过程在任何时刻都过程在任何时刻都“重新开重新开始始”,这恰好就是这恰好就是“无记忆性无记忆性”的体现的体现,正好与

15、指正好与指数分布的数分布的“无记忆性无记忆性”是对应的是对应的. (2) 泊松过程的另一个等价定义：泊松过程的另一个等价定义： 如果每次事件发生的时间间隔如果每次事件发生的时间间隔X1,X2,相互相互独立，且服从同一参数独立，且服从同一参数 的指数分布，则计数过的指数分布，则计数过程程N(t),t0是参数为是参数为 的泊松过程的泊松过程. (3)上述定义提供模拟泊松过程的途径上述定义提供模拟泊松过程的途径.24甲、乙两路公共汽车都通过某一车站，两路汽车的到达分别甲、乙两路公共汽车都通过某一车站，两路汽车的到达分别服从服从10分钟分钟1辆辆(甲甲)，15分钟分钟1辆辆(乙乙)的泊松分布的泊松分布

16、. 假定车总不假定车总不会满员，试问可乘坐甲或乙两路公共汽车的乘客在此车站所会满员，试问可乘坐甲或乙两路公共汽车的乘客在此车站所需等待时间的概率分布及其期望需等待时间的概率分布及其期望.例题例题解解:两路车混合到达过程为两路车混合到达过程为 ，)()()(21tXtXtX6/121甲、乙两路公共汽车到达情况的泊松分布甲、乙两路公共汽车到达情况的泊松分布 和和 的参数分别为的参数分别为 ，)(1tX)(2tX10/1115/12 公共汽车的到达时间间隔服从均值为公共汽车的到达时间间隔服从均值为6分钟的指数分钟的指数分布。分布。再由指数分布的无记忆性，再由指数分布的无记忆性，这位乘客的等待时这位乘

17、客的等待时间也服从均值为间也服从均值为6分钟的指数分布。分钟的指数分布。25 离去的人数离去的人数 是强度为是强度为3的的Poisson过程过程(小时小时为单位为单位). 设设8：00为为0时刻时刻, 则则( )N t12()(12)(4)(0),0,1,2,!nnttP NNkeekkk912(12)(4)9.9!P Ne 例题例题 早上早上8：00开始有无穷多个人排队等候服务，只有开始有无穷多个人排队等候服务，只有一名服务员，每个接受服务的时间是独立的服从均值为一名服务员，每个接受服务的时间是独立的服从均值为20min的指数分布。那么，中午的指数分布。那么，中午12：00为止平均多少人为止

18、平均多少人已离去，已有已离去，已有9个人接受服务的概率是多少？个人接受服务的概率是多少？解：解：其均值为其均值为12，即到，即到12：00为止，离去的人数为止，离去的人数平均为平均为12人人, 有有9个人接受过服务的概率为个人接受过服务的概率为26 1(),0;(1)!0,0Snnttetftnt 注：在排队论中称注：在排队论中称Sn 服从服从爱尔朗分布爱尔朗分布. 参数为参数为的泊松过程的泊松过程N(t),t0,事件事件A第第n 次出现的等待时间次出现的等待时间Sn服从服从 分布分布,其概率密度为：其概率密度为： ( , )nSn的分布的分布定理定理4-24-227( )( ),0!nktS

19、nk ntFtP StP N tnetk 1,1 !nnkkttSSk nk nttftFteekk 1,0.(1)!nttetnSnt=N(t)n=0, t内内A至少出现至少出现n次次证证: 因因Sn是事件是事件A 第第 n次出现的次出现的等待时间等待时间,故故28注：注：1), 的密度函数为的密度函数为 110,0,1,1!xxf xxexxe dxnn 22),XEXDX 若有 123),XYXY若且与独立，则独立，则12,.XYProof 2: 因为因为Sn=X1+X2+Xn， Xi均服从指数分布，而参数为均服从指数分布，而参数为指数分布即为指数分布即为1,所以所以Sn服从服从,.n2

20、9 已知仪器在已知仪器在 0 , t 内发生振动的次数内发生振动的次数 N(t) 是具有参数是具有参数 的的泊松过程。若仪器振动泊松过程。若仪器振动k (k 1)次就会出现故障，求仪器次就会出现故障，求仪器在时刻在时刻 t0 正常工作的概率。正常工作的概率。解：解：1(), 0( )(1)!0 , 0kktStetftkt 故仪器故仪器在时刻在时刻 t0 正常工作的概率正常工作的概率为为:010()()d(1)!ktkttPP Stetk 故障时刻即仪器发生第故障时刻即仪器发生第k次振动的时刻，次振动的时刻，Sk 服从服从 分布分布:01000()()!nktntP Ntken 例题例题30设

21、有设有n位顾客在位顾客在0时刻排队进入仅有一个服务员的系统时刻排队进入仅有一个服务员的系统.假定每位顾客的服务时间独立假定每位顾客的服务时间独立,均服从参数为均服从参数为的指数的指数分布分布.以以N(t)表示到表示到 t 时刻为止已被服务过的顾客人数时刻为止已被服务过的顾客人数.求求:（1）EN(t) ; （2）第）第n位顾客等候服务时间的数学期望位顾客等候服务时间的数学期望; （3）第第n位顾客能在位顾客能在 t 时刻之前完成服务的概率时刻之前完成服务的概率. 100( )1!knxxkxF xek ,n 例题例题31解解:（1）由新定义）由新定义, N(t),t0为强度为强度的的Poiss

22、on 过程，过程，故故 EN(t)=t ；（2）记第）记第n位顾客完成服务的时刻为位顾客完成服务的时刻为 ，根据定理，根据定理4-2, 第第n位顾客等候服务时间为位顾客等候服务时间为,nn 101,0!nkntnktPtFtetk （3）根据定理）根据定理4-2,11,nn11nnE1111111,nnniniiinX EEX3200. (1) (2)tPoissonaaW一理发师在时开门营业，设顾客按强度为 的过程到达，每个顾客理发需 分钟，求:第二个顾客到达后不需等待就直接理发的概率；第二个顾客到达后等待时间的平均值12221, SSXSS 设第一个顾客到达时间为第二个顾客到达时间为则二人

23、时间差，22(1), ()xaaXaP Xaedxe若则第二个顾客到达后不需等待就直接理发，例题例题33解解:22222(2),00, XaaXaXXaWXa若则第二个顾客到达后需要等待，等待时间分钟，故等待时间 201( )()1 .ataXEWwft dtatedtae3420 ()1,axaP Xaedxe 22( )( ),0tXXftFtet22( ) ()1,tXFtP Xte 4.2.2 事件发生时刻的条件分布事件发生时刻的条件分布 假设在假设在0, t 内事件内事件A已经发生一次，我们已经发生一次，我们要确定这一事件到达时间要确定这一事件到达时间X1的分布。的分布。泊松过程泊松

24、过程平稳独立增量过程平稳独立增量过程 可以认为可以认为0, t 内长度相等的区间包含这个事内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相等，或者说，这个事件的到达时件的概率应该相等，或者说，这个事件的到达时间应在间应在0, t 上服从均匀分布。上服从均匀分布。11|( )?P Xs N t 对于对于0st有有35即即条件条件分布函数分布函数为：为：1|( ) 10,0( ),01,X N tssFssttst条件分布密度条件分布密度为：为：11100其它|( ),( ),XNtstfst 11,11,0|111101t sstP Xs N tP N sN tN sP Xs N tP N tP N t

25、P N sN tN sseestetP N t0stX136在已知在已知N(t)=n的条件下，事件发生的的条件下，事件发生的 n个时刻个时刻S1， S2， ,Sn的联合密度函数为的联合密度函数为定理定理4-41212!( ,.,),0.nnnnf tttttttt 证明证明 设设 ，取，取 充分小使得充分小使得1210nntttttih1, 1,2,iiithtin11,1,2,( ) ()( )1,()()0,0,( )0( ( )iiiiiiiiiiP tSth in N tnP N thN tN tN thin N tP N tn 3711()11()!nnhthhhntnnnh eh

26、eeetnnhht 所以，所以，1max012122,1( )( ,)lim!, 0.iiiiinhni nnnP tSthin N tnf tth hhntttt 38 当当 时，时， 的条件分布与的条件分布与0, t 区间上服从均匀分布的区间上服从均匀分布的n个相互独立随机变量个相互独立随机变量 的顺序统计量的顺序统计量 的联合分的联合分布相同。布相同。 在已知在已知0, t 发生了发生了n次事件的前提下，各次事次事件的前提下，各次事件发生的时刻件发生的时刻 （不排序）可看作相互（不排序）可看作相互独立的随机变量，且都服从独立的随机变量，且都服从0, t 上的均匀分布。上的均匀分布。( )

27、N tn12,.,nS SS12,.,nY YY(1)(2)( ),.,nYYY12,.,nS SS说明说明39假设乘客按参数为假设乘客按参数为 的泊松过程来到一个火车站，若火的泊松过程来到一个火车站，若火车在时刻车在时刻 t 起程，求在起程，求在0, t内到达车站的乘客等待时间总内到达车站的乘客等待时间总和的期望，即求和的期望，即求其中，其中， 是第是第 i 个乘客的来到时刻。个乘客的来到时刻。iS( )1()N tiiEtS 例题例题在在N(t)给定的条件下，取条件期望，给定的条件下，取条件期望，解：解：( )111()|( )()|( )|( ).N tniiiiniiEtSN tnEt

28、SN tnntESN tn 40记记 为为n个独立的服从个独立的服从(0, t 上均匀分上均匀分布的随机变量，有布的随机变量，有12,.,nU UU111|( ),2()|( ).22nniiiiniintESN tnEUntntEtSN tnnt ( )( )112() ()|( )( )( ).222N tN tiiiiEtSE EtSN tN t tttEE N t所以所以41( )( )P N sk N tn 1knkknssCtt 参数为参数为 n 和和 s/t 的的二项分布二项分布( ),( )( )P N sk N tnP N tn ( ),( )( )( )P N sk N t

29、N snkP N tn ()() ()!()!()!ksn kt sntsetseknkten !()!()!kn knnstsknkt 设在设在0, t内事件内事件A已经发生已经发生n次次,且且0 s t,对对0 k n ,求在求在0, s内事件内事件A发生发生 k 次的概率次的概率.练习练习解：解：42( ) ()( )P N sk P N tsnkP N tn 设事件设事件A在在s时刻被记录的概率是时刻被记录的概率是 ，若以，若以 表示表示到到 t 时刻被记录的事件数，还是一个时刻被记录的事件数，还是一个Poisson过程么？过程么？解：解： 不是一个不是一个Poisson过程，虽然它具

30、有独立过程，虽然它具有独立增量性增量性. 但是，受但是，受 影响，不再有平稳增量性影响，不再有平稳增量性.可以证明，对可以证明，对 依然是依然是Poisson分布，参数与分布，参数与 有关有关. 的均值为的均值为 其中其中( )P s( )M t( )M t( )P s,( )t M t,( )t P s( )M t,tp01( ).tpP s dst例题例题430000,t|N(t)=m+ks|N(t)=m+k11( )( ).tttpPPdsP s dsP s dstt事件在内发生且被记录事件在 发生且被记录00( )( )|( ) ( )()(1)( ).kmkkP M tmP M tm

31、 N tmk P N tmkmkpp P N tmkm事实上，若对N(t)给定的条件下取条件期望，则有其中，p：440000( )|( ) ( )()()(1)()!()!()(1)! !()!()(1)()!().!km kmktkm kmktkmktkkmptP M tm N tmk P N tmkmktppemmkmktppem kmktppetmktpem()( ).!mpttpP M tmem从而从而所以所以454.3 Poisson4.3 Poisson过程的推广过程的推广4.3.1 非齐次非齐次Poisson过程过程4.3.2 复合复合Poisson过程过程464.3.1 4.3

32、.1 非齐次非齐次PoissonPoisson过程过程 齐次齐次Poisson过程，其强度过程，其强度是常数，意味着在不是常数，意味着在不同时刻，事件发生的速率都是个恒定值。同时刻，事件发生的速率都是个恒定值。当当Poisson过过程的强度程的强度随时间随时间t 变化时变化时,Poisson过程被推广成为非齐过程被推广成为非齐次次Poisson过程过程. 在实际中在实际中,非齐次非齐次Poisson过程也是比较常用的过程也是比较常用的.例例如在考虑设备故障率时如在考虑设备故障率时,由于设备使用年限的变化由于设备使用年限的变化,出故出故障的可能性会随之变化障的可能性会随之变化;放射性物质的衰变速

33、度放射性物质的衰变速度,会因会因各种外部条件的变化而随之变化各种外部条件的变化而随之变化;昆虫产卵的平均数量昆虫产卵的平均数量随年龄和季节的变化而变化等随年龄和季节的变化而变化等.47计数过程计数过程N(t),t0称为强度函数为称为强度函数为 的非平的非平稳或非齐次泊松过程，如果稳或非齐次泊松过程，如果 t (1)00;(2),02;(4)1.NN ttP N thN to hP N thN tt ho h有独立增量;(3)定义定义48 !.!t stkm tsm tktsu dutm tsm tP N tsN tneku duek 令令 ，计数过程，计数过程N(t),t0称为强度函数为称为强

34、度函数为 的非齐次的非齐次Poisson过程，如果过程，如果 0tm ts ds t (1)00;(2),0NN tt 有独立增量；有独立增量；等价定义（定理等价定义（定理4-64-6）(3) 对任意实数对任意实数t0，s0，N(t+s)-N(t)为具有参数为具有参数 的的Poisson分布，即：分布，即： ( )dt stm tsm tuu 称为非齐次称为非齐次Poisson过程的过程的均值函数均值函数(或累积强度函数或累积强度函数)49定理定理 设设N(t),t0是一个强度函数为是一个强度函数为 的非齐次泊松过的非齐次泊松过程，程， 的的反函数，对任意反函数，对任意t0，令，令 非齐次非齐

35、次Poisson过程的重要性在于不再要求平稳增量，过程的重要性在于不再要求平稳增量，从而允许事件在某些时刻发生的可能性较之另一些时刻从而允许事件在某些时刻发生的可能性较之另一些时刻来得大来得大; 非齐次非齐次Poisson过程与齐次过程与齐次Poisson过程可通过变换相过程可通过变换相互转化互转化. t 1mtm t 是是 1,NtN mt 则则 是一个强度为是一个强度为1的的Poisson过程。过程。转化定理转化定理 Nt 50证明：证明： （1） 只需验证定义中的条件只需验证定义中的条件14，条件，条件12较显较显然，下面验证条件然，下面验证条件34. 记记 ，则，则1( )( )v t

36、mt1( )( )( ( )NtN mtN v t设设11( ), ()vmtvhmth则则( ), ()tm vthm vh()( ) ( ) ( )( )v hvhm vhm vs dsv ho h1()()()NthN mthN vh1( )( )( )NtN mtN vvtvv htth( )tm v1( )vmt51000()( )1lim()( )1lim( )( )( )( )= lim1( )( )hhhP NthNthP N vhN vv ho hv ho hv ho h 即即()( )1( )P NthNtho h同理可得同理可得()( )2( )P NthNto h所以所

37、以 是参数为是参数为 1 的的Poisson过程。过程。 ,0Ntt52 设设N(t), t0是齐次泊松过程，强度为是齐次泊松过程，强度为1若给定强度函数若给定强度函数 ,0ss ，令，令 0,tm ts dsNtN m t 则则 是有强度函数为是有强度函数为 非齐次泊松过程非齐次泊松过程. t ,0Ntt 转化定理转化定理(2)(2)53设某设备的使用期限为设某设备的使用期限为10年，在前年，在前5年内它平均年内它平均2.5年需要维修年需要维修一次，后一次，后5年平均年平均2年需要维修一次，求它在使用期内只维修过年需要维修一次，求它在使用期内只维修过一次的概率。一次的概率。1,05,2.5(

38、 )1,510,2ttt 1051000511(10)( )2mt dtdtdt914.52(4.5)9(10)(0)1.1!2P NNee解解 ： 考虑非齐次泊松过程，强度函数考虑非齐次泊松过程，强度函数例题例题所以，所以，54设某路公共汽车从早上设某路公共汽车从早上5时到晚上时到晚上9时有车发出，时有车发出，乘客流量如下：乘客流量如下：5时按平均乘客为时按平均乘客为200人人/时计算；时计算；5时至时至8时乘客平均到达率按线性增加，时乘客平均到达率按线性增加，8时到达率时到达率为为1400人人/时；时；8时至时至18时保持平均到达率不变；时保持平均到达率不变；18时到时到21

39、时从到达率时从到达率1400人人/时按线性下降，到时按线性下降，到21时为时为200人人/时。假定乘客数在不相重叠时间间隔时。假定乘客数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。求内是相互独立的。求12时至时至14时有时有2000人来站乘人来站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。学期望。练习练习55解：将时间解：将时间5:0021:00平移为平移为016,依题意得依题意得乘客到达率为：乘客到达率为： 1613,134001400133,140030,400200tttttt 16t乘客到达率与时间关系56 !20002

40、8002000792000141228001400792000280097eXXP：dtXXE名乘客的概率为时有时在 人时乘客数的期望为时2800791412 XXE：57定义：定义：称随机过程称随机过程X(t),t0为复合为复合Poisson过程，如果过程，如果对于对于t0， X(t)可以表示为可以表示为其中其中N(t),t0是一个是一个Poisson过程，过程，Yi , i=1,2,是一族是一族独立同分布的随机变量，并且与独立同分布的随机变量，并且与N(t),t0也是独立的也是独立的. 1N tiiX tY 4.3.2 4.3.2 复合复合PoissonPoisson过程过程 复合复合Po

41、isson过程不一定是计数过程；过程不一定是计数过程；当当Yi 为常数时，可化为为常数时，可化为Poisson过程过程.58例子例子 到达体育场的公共汽车数是一泊松过程到达体育场的公共汽车数是一泊松过程,而每辆公共汽车而每辆公共汽车内所载的乘客数是一个随机变量。若各辆车内的乘客数内所载的乘客数是一个随机变量。若各辆车内的乘客数Yn服服从相同分布从相同分布, 且又彼此统计独立且又彼此统计独立, 各辆车的乘客数和车辆数各辆车的乘客数和车辆数N(t)又是统计独立的又是统计独立的, 则到达体育馆的总人数则到达体育馆的总人数X(t)是一个复合泊松是一个复合泊松过程过程, 其中：其中：( )1( ),0.N tnnX tYt 保险公司接到的索赔次数服从一个保险公