P14第十四章 空间插值

1、已知数据函数关系式未知数据012345678901234567890123456701234567012345678901234567（1）规则采样（2）随机采样（4）成层随机采样（5）聚集采样（3）断面采样（6）等值线采样其数学表达式为： ievv 其中ev表示待估点变量值，iv表示 i点的变量值。 i点必须满足如下条件： ),min(21eneeeidddd 其中 22jijiijyyxxd 表示点 i(xi, yi)与点 j(xj, yj)间的欧几里德距离。 图2-2 最近邻插值的实现 坐标数据 变量值数据 插值： 寻求距待估点距离最近的点 插值区域或点坐标 选点方式 插值结果 其数学表

2、达式为： iievnv1 其中ev表示待估点变量值，iv 表示i 点的变量值。是给定的区 域，n 是给定区域内点的数目。 其 数 学 表 达 式 为 ： njjjevwv1 其 中 ve（ j=1, ,n） 是 点 （ xj, yj） 的 变 量 值 ， wj是 其 对 应 的 权 重 系 数 权 重 系 数 wj一 般 由 下 式 给 出 ： niejejjdfdfw1)( 其 中 n 是 已 知 点 数 ，ejdf 表 示 对 于 插 值 点 (xe, ye) 与 已 知 点 (xj, yj) 之 间 距 离ejd的 权 重 函 数 。 ejdf最常用的一种形式是： bejejddf1 b

3、 是合适的常数。当 b 取值为 1 或 2 时，对应的是距离倒数插值和距离倒数平方插值。b 也可以对不同的已知点选择不同的值，即 bj。 nieiiedcv1mkeekkeyxav1),( ve为待估点（xe, ye）的变量值，ak为第k项系数，k(xe,ye)为依据坐标xe, ye的第k项，m是由拟和次数决定的多项式总项数。 次数第k项表达式k(x ,y)总数011112月3日x y324月6日x2 xy y2637月10日x3 x2y xy2 y310411月15日x4 x3y x2y2 xy3 y415516-20 x5 x4y x3y2 x2y3 xy4 y520221ppP0b 平

4、面 ybxbb210 斜 平 面 25423210ybxybxbybxbb 二 次 曲 面 1pnQpUF同多元回归分析一样，可用F分布进行检验，其检验统计量为：njjjevwv1上式的插值误差为： njjjeeevwvvv12varvar 图 2-7 最优插值实现 坐标数据 变量值数据 插值： 求权重系数 插值区域或点坐标 选点方 式 插值结 果 空间相关函数模型 克里金插值：认为任何在空间连续性变化的属性是非常不规则的，不能用简单平滑数学函数进行模拟，可以用随机表面给予较恰当的描述。目的：提供确定权重系数最优的方法和并能描述误差信息理论假设：任何变量的空间变化表现为三个主要成分的和：A.与

5、恒定均值或趋势有关的结构性成分；B.与空间变化有关的随机变量，即区域性变量；C.与空间无关的随机噪声项或剩余误差项。即差异的稳定性和可变性，一旦结构性成分确定后，剩余的差异变化属于同质变化，不同位置之间的差异仅是距离的函数。 公式1:u半方差：定量描述区域性变化的第一步，它为空间插值、优化采样方案提供了有益信息。同时为了得到半方差图，必须先得到拟合半方差的理论模型: 球面模型、指数模型和线性模型等；半方差的估算公式: u半方差图：“梁(Sill)、变程(Range)与核(Nugget)方差” 拟合后半方差图的用途是确定局部内插需要的权重因i 其过程与加权移动插值类似，但不是按一种固定的函数 计

6、算i，而是按采样点数据的半方差图的统计分析原理 计算。r(h) = var Z(x) Z(x+h) = E Z(x) Z(x+h)2 2,1212)(1jiNEggNs74. 2)2830()3435()3833()2929()3532()3336()4037()3641()3633()3738()4137()3739()3330()3834()3737()3938()3939()3735()3835()3935()4042()3535()3536()4237()4243()3637()3738()4337()3538()3836()3735(311,121222222222222222222

7、22222222222222NEss如下：u计算搜索范围内已知数据点的距离矩阵；u将所得数值代入球面模型，得到相应的半方差矩阵A、b;u计算得A-1，由公式A-1 b=( )得权重；u这些数据点与未知点之间的距离矩阵；u计算未知点插值后数值；u估计方差。 块克里金插值：克服克里金点模型的缺点，估算方差结果小于点克里金插值，生成的平滑插值表面不会发生凹凸现象。 ESRICaveat: we are treating IDW like weighted mean, and the standard deviation like a weighted standard deviation. In r

8、eality, you shouldnt develop confidence intervals for data that is autocorrelatedPower = 2, search = 150Power = 2, search = 600Power = 4, search = 600Power = 2, search = 230 ESRI ESRI Paul Bolstad, GIS Fundamentals Paul Bolstad, GIS Fundamentals ESRIUniversalExponentialCircular ESRI, ArcView Help1d1

9、FeTstTgstNENE%6 .413 .32,12131,05.1,12131,05.bggNshjihh22)(121 N(h)1i2h) Z(xiZ(xi)2N(h)1Variogram models must be “positive definite” so that the covariance matrix based on it can be inverted (which occurs in the kriging process). Because of this, only certain models can be used.We can enter some num

10、bers in Mathcad and see how the variogram changes.Variogram with a lag size of 5m and a lag tolerance of 2.5m. Variogram with a lag size of 10m and a lag tolerance of 5m. ArcGIS Geostatistical AnalystPractical Geostatistics 2000Z(x) = m(x) + g(h) + ”3 components: structural (constant mean), random s

11、patially correlated component and residual error. Descriptive StatisticsN.W. CornerIDWVariogramKrigingMean36.34039.93741.2Limits30-4234-4534.7 - 4532-4237.6 - 44.6Range-12-11-10.3-10-7SplineIDWSoil_K Paul Bolstad, GIS FundamentalsThe Entire Process Can Now Be Performed Automatically,With Little to No Human Interaction1Clark and Harper Practical Geostatistics 2000. Ecosse North America, Llc1Clark and Harper Practical Geostatistics 2000. Ecosse North America, LlcWhat happens if our sample data is not Normal?Basically, make the data n