上海市闸北区2015届高三二模数学理试题(含详细答案)

1、闸北区2014学年度第二学期高三数学（理科）期中练习卷考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码3. 本试卷共有18道试题，满分150分，考试时间120分钟一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分1.设幂函数的图像经过点，则函数的奇偶性为 .2.设复数，在复平面的对应的向量分别为，则向量对应的复数所对应的点的坐标为 .3.已知定义域为的函数的图像关于点对称，是的反函数，若，则 .

2、4.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为，其中，已知投篮一次得分的期望是2，则的最大值是 .5.设数列的前项和，则 .6.设函数，若存在互不相等的实数满足，则的取值范围 .7.若二项式展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是 .9.从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若是线段的中点，为原点，则的值是 .10.把正整数排成如图（a）的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的所有偶数，可得如图（b）三角形数阵，现将图（b）中的正整数安小到大的顺序构成一个数列 . （a）(b)二、选择题（15分）本大题共

3、有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律零分11.下列命题中，正确的个数是（1）直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行；（2）为异面直线，则过且与平行的平面有且仅有一个；（3）直四棱柱是直平行六面体（4）两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥（ ）A.0 B.1 C.2 D.312.在极坐标系中，关于曲线:，下列判断中正确的是（ ）A.曲线关于直线 B.曲线关于直线 C.曲线关于点对称 D.曲线关于点对称13.已知是正三角形内部的一点，,则的面积与的面积之比是（ ）A. B. C. D.三、解答题（

4、本题满分75分）本题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要步骤14.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图是圆柱体的一条母线，已知过底面圆的圆心，是圆上不与重合的任意一点，（1）求直线与直线所成角的大小；（2）将四面体绕母线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积15.（本题满分13分，第（1）小题各5分，第（2）小题各8分）如图所示，某市拟在长为道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图像，且图像的最高点为，赛道的后一部分为折线段，且.（1）求两点间的直线距离；（2）求折线段赛道长度的最大值.16.（本题

5、满分16分，第（1）小题5分，第（2）小题9分）已知圆，点，点在圆上运动，的垂直平分线交于点（1）求动点的轨迹方程；（2）过点且斜率为的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.17. （本题满分18，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（2）小题9分）设函数的定义域为，值域为，如果存在函数，使得函数的值域仍是，那么称是函数的一个等值域变换.（1）判断下列函数是不是函数的一个等值域变换?说明你的理由；，；，.（2）设函数的定义域为，值域为，函数的定义域为，值域为，那么“”是否是“是的一个等值变换”的一个必要条件？说明理由.

6、（3）设的定义域为，已知是的一个等值变换，且函数的定义域为，求实数的值.18. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）我们把一系列向量按次序排成一列，称之为向量列，记作.已知向量列满足：， .（1）证明：数列是等比数列；（2）设，问数列中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由. （3）设表示向量与间的夹角，若，对于任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.理科答案一 填空题1、偶函数； 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、1030二 选择题 11、B 12、A 13、B 三解答题14、（1） 5分 （2） 7分15、 解

7、（1）依题意，有 1分 又， 而， 1分 当时，又 3分（2）解：法一：在中，. 设，则.1分由正弦定理得，3分 故3分，当时，折线段赛道最长为.2分解法二 ： （2）在中， 由余弦定理得， 即；3分故，从而4分 即，当且仅当时等号成立.2分 亦即，设计为时，折线段赛道最长为.注：本题第（2）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方法，还可设计为：；点在线段的垂直平分线上等.16、（1）的垂直平分线交于点，.1分 ， 所以动点的轨迹是以点、为焦点的椭圆.2分 设椭圆的标准方程为，则，故椭圆的标准方程为2分（2） 直线l的方程为，联立直线和椭圆的方程得，即，易知点在椭圆内部

8、，所以直线l与椭圆必交于两点. 1分设，则，2分假设在y轴上存在定点满足题设，则. 因为以AB为直径的圆恒过点D，则.2分即，因为，所以(*)变为 .3分由假设得对于任意的，恒成立，即，解得. 因此，在y轴上存在点D，点D的坐标为3分17、（1）不是2分，即的值域为，当时，即的值域仍为，所以 是的一个等值域变换.2分（2）不必要性的反例：此时，但的值域仍为，即是的一个等值域变换.（反例不唯一）3分（3）定义域为，因为是的一个等值域变换，且函数的定义域为，所以的值域为，2分，1分所以，恒有，3分解得.3分18、（1）数列是等比数列 3分 （2） ， 2分 假设 中的第 项最小，由 ，当时，有，又由可得，即，.，或（