三角函数与解三角形46

1、理数4.64.6三角函数的综合应用三角函数的综合应用知识数据库知识数据库技能数据库技能数据库预测数据库预测数据库1 1三角函数是高中数学的基础，是解决高中数学问题的有力工三角函数是高中数学的基础，是解决高中数学问题的有力工具，也是高考必考知识点，教学中要注意把握具，也是高考必考知识点，教学中要注意把握“高考问题导航高考问题导航”中所中所涉及的四个高考问题，它们揭示了高考对本节知识的考查重点与方向涉及的四个高考问题，它们揭示了高考对本节知识的考查重点与方向，是本节复习的重点与主要题型，是本节复习的重点与主要题型2 2通过近几年的高考试题可以看出对此节内容高考命题多以三通过近几年的高考试题可以看出

2、对此节内容高考命题多以三角函数为背景，并以函数、方程、不等式、平面向量、解三角形等内角函数为背景，并以函数、方程、不等式、平面向量、解三角形等内容为载体，结合实际应用考查三角函数公式、性质、图象及应用，因容为载体，结合实际应用考查三角函数公式、性质、图象及应用，因此复习时，应立足基础，加强训练，学会建模，提高应用能力此复习时，应立足基础，加强训练，学会建模，提高应用能力4.6三角函数的综合应用3 3教学中教师应对本节所列例题有所选择，不一定要全部讲完教学中教师应对本节所列例题有所选择，不一定要全部讲完，对，对“预测数据库预测数据库”中所列练习也不一定要全部做完，对综合性较强中所列练习也不一定要

3、全部做完，对综合性较强的题目，不必要求所有学生完成的题目，不必要求所有学生完成高考问题高考问题1 1：考查三角函数求值与化简：考查三角函数求值与化简综合考查三角函数公式的应用，以化简与求值的形式出现，解综合考查三角函数公式的应用，以化简与求值的形式出现，解题时注意角的范围以及角之间关系的变化，一般为选择、填空题的中题时注意角的范围以及角之间关系的变化，一般为选择、填空题的中档题或解答题的容易题档题或解答题的容易题高考问题高考问题2 2：考查三角函数图象与性质：考查三角函数图象与性质综合考查图象变换与函数性质的应用，以函数综合考查图象变换与函数性质的应用，以函数y yA Asin(sin(xx)

4、()(A A0 0，0 0，| | | ) )为命题对象，以根据图象及性质确定函为命题对象，以根据图象及性质确定函数中的系数为主要命题形式，一般为选择、填空题中的中档题数中的系数为主要命题形式，一般为选择、填空题中的中档题高考问题高考问题3 3：考查求最值问题：考查求最值问题以复合函数为命题对象，考查指定区间上的最值问题，解决问以复合函数为命题对象，考查指定区间上的最值问题，解决问题的关键是转化基本函数，特别注意函数单调性的变化，一般为解答题的关键是转化基本函数，特别注意函数单调性的变化，一般为解答题中的容易题题中的容易题高考问题高考问题4 4：考查三角函数与其他知识的综合：考查三角函数与其他

5、知识的综合将三角函数与解三角形综合在一起，考查三角函数定义、公式将三角函数与解三角形综合在一起，考查三角函数定义、公式、图象与性质的运用，一般为解答题中的容易题、图象与性质的运用，一般为解答题中的容易题. . 1 1三角函数的求值与化简三角函数的求值与化简(1)(1)常用方法：直接应用公式进行降幂、消项；切割化弦，常用方法：直接应用公式进行降幂、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角；三角公式的逆用等异名化同名，异角化同角；三角公式的逆用等(2)(2)化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；使分母尽量不含三角函数；使被开

6、方数尽少；使项数尽量少；使分母尽量不含三角函数；使被开方数尽量不含三角函数量不含三角函数2 2求三角函数的值域或最值求三角函数的值域或最值求三角函数最值的常用方法有：求三角函数最值的常用方法有：(1)(1)配方法；配方法；(2)(2)化为一个角的化为一个角的三角函数形式，如三角函数形式，如y yA Asin(sin(xx) )k k等，利用三角函数的有界性等，利用三角函数的有界性求解；求解；(3)(3)数形结合法；数形结合法；(4)(4)换元法；换元法；(5)(5)基本不等式法等基本不等式法等三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要

7、注意题设中所给出的角的范围，还要注意弦函数的有界性设中所给出的角的范围，还要注意弦函数的有界性3 3三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质三角函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性三角函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、最值、对称性等要结合图象记忆性质，反过来要用性质巩固图象、最值、对称性等要结合图象记忆性质，反过来要用性质巩固图象，三角函数性质的讨论要遵循定义域优先的原则，研究函数的奇偶性，三角函数性质的讨论要遵循定义域优先的原则，研究函数的奇偶性、单调性、周期性、最值都要先考虑函数的定义域三角函数的图象、单调性、周期性、最值都要先考虑函数的定义域三角函数的图象

8、和性质，应重视从数和形两个角度认识，注意用数形结合的思想方法和性质，应重视从数和形两个角度认识，注意用数形结合的思想方法去分析问题，解决问题去分析问题，解决问题解这类题的关键是利用降幂公式，辅助角公式将题中三角式化解这类题的关键是利用降幂公式，辅助角公式将题中三角式化为某个角的弦函数，利用弦函数的图象和性质解答问题为某个角的弦函数，利用弦函数的图象和性质解答问题4 4三角函数在代数中的运用，精髓是三角函数在代数中的运用，精髓是“代换代换”，将数学中的问，将数学中的问题的变量用三角函数代替称为三角代换三角代换的原则是角的取值题的变量用三角函数代替称为三角代换三角代换的原则是角的取值范围决定三角函

9、数的取值范围，三角函数的取值范围必须确保被代换范围决定三角函数的取值范围，三角函数的取值范围必须确保被代换的变量的取值范围不发生变化，适合的条件不发生变化的变量的取值范围不发生变化，适合的条件不发生变化注意导数的几何意义，以及利用导数求三角函数的最值的方法注意导数的几何意义，以及利用导数求三角函数的最值的方法5 5解答三角函数应用题的一般步骤：解答三角函数应用题的一般步骤：(1)(1)阅读理解材料，三角函数应用题的语言形式多为文字语言，阅读理解材料，三角函数应用题的语言形式多为文字语言，图形语言，符号语言并用阅读理解中要读懂题目中所反映的实际问图形语言，符号语言并用阅读理解中要读懂题目中所反映

10、的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，把题目中出现的边角关系和三角关题的背景，领悟其中的数学本质，把题目中出现的边角关系和三角关系联系起来确立以什么样的三角形为模型系联系起来确立以什么样的三角形为模型(2)(2)建立变量关系，根据建立变量关系，根据(1)(1)的分析，把实际问题抽象成数学问题的分析，把实际问题抽象成数学问题，建立变量关系其中要充分运用数形结合的思想，图形语言和符号，建立变量关系其中要充分运用数形结合的思想，图形语言和符号语言并用的思维模式语言并用的思维模式(3)(3)讨论变量性质，根据讨论变量性质，根据(2)(2)中建立起来的变量关系，结合题目中建立起来的变量关系，结合题目的要

11、求，与已知数学模型的性质对照，讨论变量的有关性质，从而得的要求，与已知数学模型的性质对照，讨论变量的有关性质，从而得到所求问题的理论参数值到所求问题的理论参数值(4)(4)作出结论，根据作出结论，根据(3)(3)中得到的理论参数值按题目要求作出相中得到的理论参数值按题目要求作出相应的结论应的结论3 3(2010(2010年年黄冈模拟黄冈模拟) )已知函数已知函数y y2sin 2sin x x的定义域为的定义域为 a a，b b ，值域为，值域为 2,12,1，则，则b ba a的值不可能是的值不可能是( () )【解析解析】值域值域2,1含最小值不含最大值，故定义域小于一含最小值不含最大值，

12、故定义域小于一个周期，故选个周期，故选C.【答案答案】C【点评点评】1.1.本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力2 2将一个形式较复杂的三角函数化为某一个角的正弦函数，利将一个形式较复杂的三角函数化为某一个角的正弦函数，利用正弦函数的图象和性质解答问题是高考中常出现的题型解这类题用正弦函数的图象和性质解答问题是高考中常出现的题型解这类题的关键是利用降幂公式，辅助角公式将题中三角式化为某个角的正弦的关键是利用降幂公式，辅助角公式将题中三角

13、式化为某个角的正弦函数函数能力训练能力训练2 2关于关于x x的方程的方程sin sin x x cos cos x xa a0 0在区间在区间0,20,2上有且只有两个不同的实根上有且只有两个不同的实根(1)(1)求实数求实数a a的范围；的范围；(2)(2)求这两个实根的和求这两个实根的和例例3 3如图所示，某园林单位准备绿化一块直径为如图所示，某园林单位准备绿化一块直径为BCBC的半圆形空的半圆形空地，地，ABCABC外的地方种草，外的地方种草，ABCABC的内接正方形的内接正方形PQRSPQRS为一水池，其余地为一水池，其余地方种花若方种花若BCBCa, a, ABCABC，设，设AB

14、CABC的面积为的面积为S S1 1，正方形，正方形PQRSPQRS的的面积为面积为S S2 2. .(1)(1)用用a a，表示表示S S1 1和和S S2 2；(2)(2)当当a a固定，固定，变化时，求变化时，求 取得最小值时取得最小值时的值的值【指点迷津指点迷津】(1)(1)直接运用直角三角形的知识可求出直接运用直角三角形的知识可求出S S1 1，再通，再通过解方程求出正方形的边长从而求出面积过解方程求出正方形的边长从而求出面积S S2 2. .(2)(2)把把 的表达式化为同角同名三角函数，接着用换元法将问的表达式化为同角同名三角函数，接着用换元法将问题化为熟悉的形式，再利用导数知识

15、求得最值及结果题化为熟悉的形式，再利用导数知识求得最值及结果【点评点评】1.1.本题是三角函数在实际问题中的运用，是三角函数与本题是三角函数在实际问题中的运用，是三角函数与解三角形、导数、方程的综合解三角形、导数、方程的综合2 2此题是以实际生活为背景的求三角函数最值问题，经过三角变此题是以实际生活为背景的求三角函数最值问题，经过三角变换将函数式化为同角同名三角函数是解题的必经之路，接着用换元法将换将函数式化为同角同名三角函数是解题的必经之路，接着用换元法将问题化为熟悉的形式，再利用求导探索其单调性，最后由单调性求得最问题化为熟悉的形式，再利用求导探索其单调性，最后由单调性求得最值及结果，显得

16、整个解题过程流畅，简洁自然，很好地体现了函数这一值及结果，显得整个解题过程流畅，简洁自然，很好地体现了函数这一主干知识在解决问题中的重要地位主干知识在解决问题中的重要地位3 3本题容易忽视换元后新变量的取值范围，错误的使用均值不等本题容易忽视换元后新变量的取值范围，错误的使用均值不等式求得最小值使用均值不等式求最值必须要符合条件式求得最小值使用均值不等式求最值必须要符合条件“一正，二定，一正，二定，三相等三相等”能力训练能力训练3 3如图，如图，ABCDABCD是一块边长为是一块边长为100100米的正方形地皮，其中米的正方形地皮，其中ATPSATPS是一半径为是一半径为9090米的扇形小山，

17、米的扇形小山，P P是弧是弧TSTS上一点，其余部分都是平地，上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在现一开发商想在平地上建造一个有边落在BCBC与与CDCD上的长方形停车场上的长方形停车场PQCRPQCR，求长方形停车场的最大值与最小值，求长方形停车场的最大值与最小值【解析解析】如图，连结如图，连结APAP，设设PABPAB(0(0 9090) )，延长延长RPRP交交ABAB于于M M，则则AMAM90cos 90cos ，MPMP90sin 90sin ，PQPQMBMBABABAMAM10010090cos 90cos ，PRPRMRMRMPMP10010090s

18、in 90sin ，1 1解三角函数的求值化简问题必须明确求值的目标，解题时应解三角函数的求值化简问题必须明确求值的目标，解题时应在认准目标的前提下从题目特点去分析，寻找到合理，简洁的方法，在认准目标的前提下从题目特点去分析，寻找到合理，简洁的方法，切忌盲目运用公式沟通已知与未知之间的联系，灵活运用公式是关切忌盲目运用公式沟通已知与未知之间的联系，灵活运用公式是关键键2 2求三角函数的单调区间，周期，及判断函数的奇偶性，要注求三角函数的单调区间，周期，及判断函数的奇偶性，要注意化归思想的运用主要是通过恒等变换将函数式转化为基本三角函意化归思想的运用主要是通过恒等变换将函数式转化为基本三角函数类

19、型但要注意变形前后的等价性，要牢记基本三角函数的性质数类型但要注意变形前后的等价性，要牢记基本三角函数的性质3 3三角函数求最值的两个基本类型是：三角函数求最值的两个基本类型是：(1) (1) 化成一个角的一个三角函数如化成一个角的一个三角函数如a asin sin b bcos cos sin(sin() )，再利用单调性，有界性求最值；，再利用单调性，有界性求最值；(2) (2) 化成关于某三角函数的二次型，利用配方法转化为二次函化成关于某三角函数的二次型，利用配方法转化为二次函数在闭区间上求最值的问题，要注意三角函数的有界性数在闭区间上求最值的问题，要注意三角函数的有界性4. 4. 三角

20、函数应用题中，建立目标函数是关键，适当设角，可得三角函数应用题中，建立目标函数是关键，适当设角，可得到三角函数关系式，特别要注意定义域的限制到三角函数关系式，特别要注意定义域的限制例例2 2(2010(2010年年苏北四市二模苏北四市二模) )一走廊拐角处的横截面如图所示一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁，已知内壁FGFG和外壁和外壁BCBC都是半径为都是半径为1 m1 m的四分之一圆弧，的四分之一圆弧，ABAB、DCDC分别分别与圆弧与圆弧BCBC相切于相切于B B、C C两点，两点，EFEFABAB，GHGHCDCD，且两组平行墙壁的走廊，且两组平行墙壁的走廊宽度都是宽度都是1 m.1

21、 m.(1)(1)若水平放置的木棒若水平放置的木棒MNMN的两个端点的两个端点M M、N N分别在外壁分别在外壁CDCD和和ABAB上，上，且木棒与内壁圆弧相切于点且木棒与内壁圆弧相切于点P P，设，设CMNCMN(rad)(rad)，试用，试用表示木棒表示木棒MNMN的长度的长度f f( () )；(2)(2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，则求木棒长度若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，则求木棒长度的最大值的最大值【解析解析】如图，设圆弧如图，设圆弧FGFG所在的圆的圆心为所在的圆的圆心为Q Q，过，过Q Q点作点作CDCD的的垂线，垂足为点垂线，垂足为点T T，且交，且交MN

22、MN或其延长线于或其延长线于S S，并连结，并连结PQPQ，再过，再过N N点作点作TQTQ的垂线，垂足为的垂线，垂足为W W. .在在RtRtNWSNWS中，因为中，因为NWNW2 2，SNWSNW，所以，所以NSNS . .因为因为MNMN与圆弧与圆弧FGFG切于点切于点P P，所以，所以PQPQMNMN，基础过关基础过关【解析解析】由由f f( (x x) )coscos x x，g g( (x x) )sin sin x x，知，知D D正确正确【答案答案】D D4 4(2010(2010年年江西重点中学二模江西重点中学二模) )给出下列命题：给出下列命题：在在ABCABC中，若中，若A AB B，则，则sin sin A Asin sin B B；能力提升能力提升9 9(2010(2010年年苏南六校模拟苏南六校模拟)