第4章 机械振动

1、力学 振动力学授课教师 杨宏春4.1 简谐振动的动力学方程与运动学方程简谐振动的动力学方程与运动学方程4.1.1 典型简谐振动的动力学方程典型简谐振动的动力学方程(1) 弹簧谐振子弹簧谐振子)()(tkxtF 谐振子模型谐振子模型牛顿第二定律牛顿第二定律22d)(d)(ttxmtF F o x x y (2) 单摆单摆回复力方程回复力方程)(tmgF 牛顿第二定律牛顿第二定律 22d)(d)(ttlmtF xtx222dd mk 2 222dd tlg 2 (3) 复摆复摆回复力矩方程回复力矩方程 mghM 刚体转动定律刚体转动定律22ddtIM 222dd tImgh 2 (4) LC振荡电

2、路振荡电路 tiLdd 线圈电动势线圈电动势 tiCCqUd1电容电压电容电压iti222dd LC12 讨论讨论 各类简谐振动问题的动力学方程具有相同形式的微分方程各类简谐振动问题的动力学方程具有相同形式的微分方程 动力学方程中，动力学方程中， 2 包含了各典型振动的具体特征包含了各典型振动的具体特征例例4.1.1 比重计圆筒半径为比重计圆筒半径为 d，液体密度为，液体密度为 ，不计液体粘滞阻力不计液体粘滞阻力证明证明：用力下压处于平衡的比重计，放手后比重计将作简谐振动：用力下压处于平衡的比重计，放手后比重计将作简谐振动 证明证明：以比重计平衡位置为原点建立图示坐标系：以比重计平衡位置为原点

3、建立图示坐标系平衡时平衡时gVmg 偏离平衡位置位移为偏离平衡位置位移为 x 时时mggxdVF )2(2gxdF 2)2( 由牛顿第二定律可得比重计运动的动力学方程为由牛顿第二定律可得比重计运动的动力学方程为xmgdtx4dd222 定义定义 得得mgd42 xtx222dd 4.1.2 简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程xtx222dd 简谐振动动力学方程的一般形式简谐振动动力学方程的一般形式0dd222 xtx 动力学方程的解动力学方程的解运动学方程运动学方程)cos( tAx(1) 运动学方程运动学方程简谐振动的速度、加速度简谐振动的速度、加速度)sin(dd tAtxv)cos

4、(dd2 tAtav F o x x y 简谐振动总能量简谐振动总能量222212121kAkxmE v(2) 描述简谐振动的解析参量描述简谐振动的解析参量振幅振幅 (A) 谐振子距离平衡位置最大位移的绝对值谐振子距离平衡位置最大位移的绝对值振幅还表示了振动系统的总能量振幅还表示了振动系统的总能量 E A2，(E =kA2/2)024681012141618-1.0-0.50.00.51.0 xt+024681012141618-1.0-0.50.00.51.0 xt+024681012141618-1.0-0.50.00.51.0 xt+全振动全振动 谐振子从某振动状态开始，发生周而复始的一

5、次变化谐振子从某振动状态开始，发生周而复始的一次变化周期周期(T) 谐振子完成一次全振动所需时间谐振子完成一次全振动所需时间频率频率(f) 单位时间内谐振子完成全振动的次数单位时间内谐振子完成全振动的次数角频率角频率( ) 谐振子在谐振子在 2 秒秒内所作的全振动的次数内所作的全振动的次数 22 T )cos()(cos tATtAT1 初相位初相位 ( ) 振子的初始振动状态振子的初始振动状态相位相位 ( t+ ) 振子振子 t 时刻的振动状态时刻的振动状态024681012141618-1.0-0.50.00.51.0 xt+ 课堂讨论课堂讨论：相位参量的双值问题及求解：相位参量的双值问题

6、及求解 )()(arctantxtt v)cos( tAx运动学方程运动学方程)sin(dd tAtxv速度方程速度方程结论结论：时刻：时刻 t，相位参数的双值问题可以通过运动学方程和速度方程判定，相位参数的双值问题可以通过运动学方程和速度方程判定例例4.1.2 已知已知 A=0.12 m，T=2 s。当当t=0 时，时，x0=0.06 m，且，且 vx0求求：(1) 谐振动方程谐振动方程(2) 当当 t=2 s 时，质点的位置、速度、加速度时，质点的位置、速度、加速度(3) 由初始时刻到由初始时刻到 x=-0.06 m 处所需的最短时间处所需的最短时间解解：(1) 因因 T = 2 s2 T

7、 3 A=0.12 m，T=2 s，x0=0.06 m)cos( tAx3 运动学方程运动学方程)3cos(12. 0 tx0sin0 Av(2) 当当 t=0.5 s 时，质点的位置、速度、加速度时，质点的位置、速度、加速度x= 0.104 m， v= -0.189 m/s， a=-1.03 m/s2(3) 当当 x= -0.06 m 时，由运动学方程时，由运动学方程34,323)3cos(12. 006. 0 tt由题意，质点沿由题意，质点沿 x 负方向运动到负方向运动到 x= -0.06 m所需时间最短所需时间最短10)3sin(12. 0 ttv例例4.1.3 证明匀速圆周运动在证明匀

8、速圆周运动在x轴上的分量是一简谐振动轴上的分量是一简谐振动 x A v 024681012141618-1.0-0.50.00.51.0 xt+证明证明：物体角速度：物体角速度 ，初始位置与，初始位置与 x 轴夹角为轴夹角为 ，时刻，时刻 t 在在 x 轴上的位移轴上的位移)cos( tAx满足简谐振动运动学方程，匀速圆周运动在满足简谐振动运动学方程，匀速圆周运动在 x 轴上的分量是简谐振动轴上的分量是简谐振动讨论讨论： 代表物体运动的角速度，又称简谐振动的角速度或角频率代表物体运动的角速度，又称简谐振动的角速度或角频率 匀速圆周运动在匀速圆周运动在 x 轴上的分量是简谐振动的轴上的分量是简谐

9、振动的物理图像物理图像 高中简谐振动的高中简谐振动的物理实验物理实验 (3) 简谐振动的几何描述简谐振动的几何描述旋转矢量法旋转矢量法A 物理模型物理模型 x A v 024681012141618-1.0-0.50.00.51.0 xt+B 旋转矢量方法：旋转矢量方法：用矢量作匀速圆周运动的图形来表示简谐振动用矢量作匀速圆周运动的图形来表示简谐振动例例4.1.4 如图，如图，A=20 cm，m=10 g，T=4 s；t=0时，时，x0=-10 cm，此时，此时，vx0求求：(1) t=1 s 时的位移时的位移(2) 何时物体第一次到达何时物体第一次到达 x =10 cm (3) 经多少时间第

10、二次到达经多少时间第二次到达x=10 cm，此时的速度、加速度，此时的速度、加速度 第二次第二次 t=0,m=10g A=20cm x0 t=1 第一次第一次 解解：由题给条件和旋转矢量方法，初始时刻振幅矢量位置：由题给条件和旋转矢量方法，初始时刻振幅矢量位置22 T 32 )322cos(20 tx(2) 第一次到达第一次到达 x=10 cm时，时，m刚运动了半个周期刚运动了半个周期 (1) t=1s 时时 32.17)322cos(20)1( x(cm) 221 Tt(s) (3) 物体需再旋转物体需再旋转2 /3再次到达再次到达 x=10 cm，从，从t=0算起，需经时间间隔算起，需经时

11、间间隔 第二次第二次 t=0,m=10g A=20cm x0 t=1 第一次第一次 T+ T/3=10/3 (s) 将将 t=10/3 s 代入速度、加速度计算公式代入速度、加速度计算公式21.27)sin( tAv(cm/s) 67.24)cos(2 tAa(cm/s2) F o x x y 4.2简谐振动简谐振动的能量的能量谐振子谐振子势能势能)(cos2121222 tkAkxEp谐振子谐振子动能动能)(sin21212222 tAmmEkv(1) 简谐振动简谐振动的的瞬时瞬时机械能机械能2222221212121kAAmkxmEEEkp v谐振子谐振子机械能机械能(2) 简谐振动简谐振

12、动的能量平均值的能量平均值弹簧振子在一个周期内的平均动能、平均势能弹簧振子在一个周期内的平均动能、平均势能2022041d )(cos211d1kAttkATtETETTpp 2022041d )(sin211d1kAttkATtETETTkk 221kAEEEkp 结论结论 谐振子的瞬时能量谐振子的瞬时能量守恒守恒、且等于一个周期的平均总能量、且等于一个周期的平均总能量 平均动能、平均势能等于总平均能量的一半平均动能、平均势能等于总平均能量的一半(3) 简谐振动简谐振动的能量的能量与动力学方程与动力学方程2221)dd(21kxtxmEEEkp 简谐振动的能量简谐振动的能量简谐振动能量守恒简

13、谐振动能量守恒0dd tExtx222dd mk 2 例例4.2.1 定滑轮的半径定滑轮的半径 R，转动惯量，转动惯量 I，弹簧劲度系数弹簧劲度系数 k，物体质量物体质量 m证明证明：将物体拉离平衡位置后的自由振动为简谐振动：将物体拉离平衡位置后的自由振动为简谐振动 (不计体系的不计体系的 摩擦摩擦)证明证明：以平衡位置为原点，建立坐标系，物体系的机械能为：以平衡位置为原点，建立坐标系，物体系的机械能为mgyyykxImE 2022)(212121 v对上式求时间一次导对上式求时间一次导0dd222 RImkyty2RImk 定义定义xtx222dd 有有(4) 微振动系统的简谐近似微振动系统

14、的简谐近似 系统在平衡位置作微振动，将势能函数在系统在平衡位置作微振动，将势能函数在 x=0 附近作级数展开附近作级数展开 202200)(dd21)(dd)()(00 xxxExxxExExExxpxxppp在平衡位置处，势能的一阶导数为零，忽略高阶级数项在平衡位置处，势能的一阶导数为零，忽略高阶级数项 20220)(dd21)()(0 xxxExExExxppp 保守力为保守力为 )(dddd0220 xxxExEFxxpp 结论结论：作微振动的系统一般都可以看作为简谐振动的系统：作微振动的系统一般都可以看作为简谐振动的系统 例例4.2.2 长为长为 L 的刚性轻杆一端连质量为的刚性轻杆一

15、端连质量为 m 的小球，另一端可绕的小球，另一端可绕 o 点转动，点转动， 刚性轻杆中点与弹簧相连并使其在水平位置平衡，弹簧的劲度系数为刚性轻杆中点与弹簧相连并使其在水平位置平衡，弹簧的劲度系数为 k 求求：系统微振动的固有周期：系统微振动的固有周期 解解：设轻杆平衡时弹簧伸长量为：设轻杆平衡时弹簧伸长量为 y0，由力矩平衡，由力矩平衡kmgyLkymgL2200 轻杆顺时针转过轻杆顺时针转过 微小角时，弹簧被拉长微小角时，弹簧被拉长 yykLLyykmgLM22)(0 2Ly 42kLM 222ddtmLIM 4dd2222kLtML mk42 kmT422 4.3 阻尼振动受迫振动共振阻尼

16、振动受迫振动共振4.3.1 阻尼振动阻尼振动 (1) 阻尼振动的相关概念阻尼振动的相关概念阻尼振动阻尼振动：物体在阻尼情形下的振动：物体在阻尼情形下的振动摩擦阻尼摩擦阻尼：物体在摩擦阻尼情形下的振动：物体在摩擦阻尼情形下的振动辐射阻尼辐射阻尼：物体在有物体在有能量向外辐射下的振动能量向外辐射下的振动阻尼振动周期阻尼振动周期：阻尼振动完成一次完全振动所需的时间：阻尼振动完成一次完全振动所需的时间说明说明：阻尼振动的周期只是一种准周期：阻尼振动的周期只是一种准周期 阻尼振动的周期比相应简谐振动的周期长阻尼振动的周期比相应简谐振动的周期长设阻尼振动的阻力为设阻尼振动的阻力为 ，讨论质点的振动情况，讨

17、论质点的振动情况v f(2) 案例分析案例分析 v kxF22ddtxmmaF 0dd2dd022 xtxtx 振子固有频率振子固有频率m2 mk 20 阻尼因素或衰减常数阻尼因素或衰减常数B 微分方程的解微分方程的解I 小阻尼情形小阻尼情形0220 )cos(0 teAxt02202TT 220 0.00.81.0-1.0-0.50.00.51.0 x=-e-txtx=e-tA 动力学方程动力学方程对数衰减对数衰减TeAeATtAtATtt )(00ln)()(ln品质因素品质因素)()()(2TETtEtEQ 0.00.81.0-1.0-0.50.00.

18、51.0 x=-e-txtx=e-tteAmEtxmkxE 220202221)dd(2121 对小阻尼情形对小阻尼情形 211202 TeQII 临界阻尼情形临界阻尼情形0220 )(21tCCext 0 T0.00.81.0-1.0-0.50.00.51.0 x=-e-txtx=e-tIII 过阻尼情形过阻尼情形0220 0tteAeAx)(2)(1202202 T0.00.81.0-1.0-0.50.00.51.0 xt例例4.3.2 水平桌面上弹簧振子质量水平桌面上弹簧振子质量 m=0.5 kg，劲度系数，劲度系数 k=250 N/m ，与桌面，与桌

19、面 摩擦阻力为摩擦阻力为 - v，设初始振幅，设初始振幅 A0=5.0 cm，初相位，初相位 0=3 /2，2s 后振动曲后振动曲 线的包络线下降到线的包络线下降到 1.0 cm求求：(1) 和和 ； (2) 振动的角频率；振动的角频率；(3) 振动的初速度振动的初速度 解解(1) 8 . 0520020 eAAAAt/s 8 . 02 mNs/m (2) 3 .22220 rad/s (3)sin()cos(0000 teAteAttv当当 t=0 时时 12. 1sincos000000 vv AAm/s (1) 受迫振动的相关概念受迫振动的相关概念4.3.2 受迫振动受迫振动 受迫振动受

20、迫振动：系统在持续周期外力：系统在持续周期外力(简谐力简谐力)作用下发生的振动作用下发生的振动受迫力受迫力：振动系统所受的周期性外力：振动系统所受的周期性外力(2) 案例分析案例分析设所受周期性外力为设所受周期性外力为 ，阻尼振动的阻力为阻尼振动的阻力为 ptFFcos0 v fA 动力学方程动力学方程220ddcosddtxmptFtxkx 令令mk 0 m2 mFf00 ptfxtxtxcosdd2dd02022 B 动力学方程的解动力学方程的解)cos()cos(102200 ptAeAxt22222004)(ppfA 22012arctanpp 讨论：受迫振动特征讨论：受迫振动特征05

21、1015202530-20246810 x=A0e-tcos(t+)+Acos(pt+)x=Acos(pt+)x=A0e-tcos(t+) xtI 受迫振动受迫振动 = 减幅振动减幅振动 + 稳定振动稳定振动II 强迫力频率对稳定振动振幅的影响强迫力频率对稳定振动振幅的影响稳定态运动参量稳定态运动参量 )cos(1 ptAx)2cos(10 ptvv22022202200)(4)/( pppfpkmpFv22222004)(ppfA 当当 p0A0p当当kFA02202 p当当2200max2 fAIII 位移共振位移共振22222004)(ppfA 2202 p2200max2 fA0dd

22、pA 发生位移共振时，强迫力频率始终小于系统固有振动频率发生位移共振时，强迫力频率始终小于系统固有振动频率 弱阻尼情况下，受迫力频率近似等于系统固有频率弱阻尼情况下，受迫力频率近似等于系统固有频率 无阻尼位移共振时，无阻尼位移共振时，AIV 速度共振速度共振)2cos(10 ptvv22022200)(4 pppfv0dd0 pv0 p 20maxf v 发生速度共振条件：强迫力频率等于系统固有振动频率发生速度共振条件：强迫力频率等于系统固有振动频率 弱阻尼情形，位移共振频率近似等于速度共振频率或系统固有频率弱阻尼情形，位移共振频率近似等于速度共振频率或系统固有频率 无阻尼速度共振时，无阻尼速

23、度共振时，v0V 稳定受迫振动情形的能量特征稳定受迫振动情形的能量特征稳定受迫情形下，时刻稳定受迫情形下，时刻 t 系统机械能系统机械能)(cos)(sin2121)dd(21122012222 ptptmAkxtxmEconstpmAdttETET )(41)(120220 稳定受迫情形下，系统一个周期的稳定受迫情形下，系统一个周期的平均平均机械能机械能 不同时刻不同时刻 t，系统机械能，系统机械能不守恒不守恒 系统平均机械能系统平均机械能守恒守恒，表明系统能量阻尼损耗与受迫力输入能量相等，表明系统能量阻尼损耗与受迫力输入能量相等VI 受迫力输入能量与系统阻尼损耗能量的相位关系受迫力输入能量

24、与系统阻尼损耗能量的相位关系稳定受迫振动情形下，一个周期内受迫力输入能量稳定受迫振动情形下，一个周期内受迫力输入能量1001000sind)sin(cosdcos2 AFtptptFxptFWpTf 20122202d)(sind)(2pAmtpttApxdtdxWpT WWf 于是于是02sin01 fmpA 在稳定受迫振动下，受迫力输入能量相位在稳定受迫振动下，受迫力输入能量相位超前超前于阻尼损耗能量相位于阻尼损耗能量相位稳定受迫振动情形下，一个周期内阻尼损耗能量稳定受迫振动情形下，一个周期内阻尼损耗能量稳定受迫振动情形下，一个周期内系统平均能量守恒稳定受迫振动情形下，一个周期内系统平均能

25、量守恒4.4 振动的合成与分解振动的合成与分解4.4.1 振动的分解振动的分解例例4.4.1 设设 f(t) 是以是以 2 为周期的非简谐振动，其波形函数为为周期的非简谐振动，其波形函数为 101011)(tttf用傅里叶级数方法，将该非简谐振动分解为若干简谐振动的叠加用傅里叶级数方法，将该非简谐振动分解为若干简谐振动的叠加 解解：依：依傅里叶级数定理傅里叶级数定理，f(t) 是奇函数，故有是奇函数，故有an=0 (n=0,1,2)，可得，可得 knknnnnttnttnbn2012)/(4)cos1(2dsindsin1001(1) 周期性振动分解周期性振动分解f(t) 的傅里叶级数为的傅里

26、叶级数为 tnnttttfsin15sin513sin31sin4)( 任何周期性非简谐振动都可以视任何周期性非简谐振动都可以视 为若干简谐振动的叠加为若干简谐振动的叠加 周期性非简谐振动频谱为周期性非简谐振动频谱为分离分离频谱频谱 周期性振动依周期性振动依傅里叶级数定理傅里叶级数定理分解分解(2) 非周期性振动分解非周期性振动分解例例4.4.2 计算由计算由 2N (N为整数为整数)个正弦波组成的有限正弦波列的傅里叶积分个正弦波组成的有限正弦波列的傅里叶积分 解解：有限正弦波列函数可表示为：有限正弦波列函数可表示为 000202sin)( NtNttAtf依依傅里叶积分公式傅里叶积分公式可得

27、可得xexfFxd)(21)(i - 02020/20i -02sin2dsin20 NAtetANtF( )在在 0处有一个极大值，处有一个极大值， 0 称为称为中心频率中心频率 任何非周期性非简谐振动都可以视为若干简谐振动的叠加任何非周期性非简谐振动都可以视为若干简谐振动的叠加 非周期性非简谐振动频谱为非周期性非简谐振动频谱为连续连续频谱频谱 周期性振动依周期性振动依傅里叶积分定理傅里叶积分定理分解分解4.4.2 振动的合成振动的合成(1) 同偏振方向、同频率的简谐振动合成同偏振方向、同频率的简谐振动合成 2 x 1 )cos(111 tAx)cos(222 tAx)cos(21 tAxx

28、x)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsinarctan AAAA 合振动仍为简谐振动；合振幅与分振动振幅及其初相有关合振动仍为简谐振动；合振幅与分振动振幅及其初相有关 当当 时，时， 当当 时，时，212k 21maxAAA )12(12 k 21minAAA 例例4.4.3 n 个同偏振、同振幅、同频率，相位依次相差个同偏振、同振幅、同频率，相位依次相差 的简谐振动的简谐振动求求 它们的合振动它们的合振动 解解 n 个简谐振动的振动方程可写为个简谐振动的振动方程可写为 tax cos1 )cos(2 tax)1(cos ntaxn 2)1(cos)2s

29、in()2sin( ntnax 21)(21)(21 nn A R x y a 如图几何法表示如图几何法表示2sin2 Ra 2sin2 nRA 2)1(cos)2sin()2sin( ntnax A R x y a 2k 2, 1, 0 knanaA )2(sin)2(sinlim0max nk 2 2, 1, 0, knkk0)(sin)sin(limmin nkkaAn当各分振动构成一个封闭的多边形时，合振幅为零当各分振动构成一个封闭的多边形时，合振幅为零 d 课后思考题课后思考题：定量计算光栅干涉效应在屏幕上明、暗条纹的光强分布：定量计算光栅干涉效应在屏幕上明、暗条纹的光强分布提示提示

30、：经光栅衍射后电磁波方程：经光栅衍射后电磁波方程 光强光强 )1(cos0 ntEEn20EI (2) 同偏振方向、不同频率的简谐振动合成同偏振方向、不同频率的简谐振动合成 2 x 1 )cos(1111 tAx)cos(2222 tAx)cos()cos(22211121 tAtAxxx)()cos(21212212221 tAAAAA )()(11tt12221212cosAAAAA 讨论讨论 A 振幅、相位和角频率是时间函数，合振动不再是一个简谐振动振幅、相位和角频率是时间函数，合振动不再是一个简谐振动B 当当 A1=A2， = 2- 1=0 时时tAA2cos2121 tt2)(21 ttAx2cos2cos22112 051015202530-2