通讯原理第3章 随机信号分析

1、第第 三三 章章 随机信号分析随机信号分析概述：概述： 作为信息传输过程中的信息信号通常是无法预知的，而作为信息传输过程中的信息信号通常是无法预知的，而且携带信息的信号再传输过程中不可避免地要受到各种噪声的且携带信息的信号再传输过程中不可避免地要受到各种噪声的干扰，而这种干扰又是随机出现的，因此应该用随机过程的理干扰，而这种干扰又是随机出现的，因此应该用随机过程的理论来描述随机的信息信号和噪声。论来描述随机的信息信号和噪声。 随机过程的含义有两点随机过程的含义有两点：其一，它是一个时间函数，随机过程的一个实现称为随机过其一，它是一个时间函数，随机过程的一个实现称为随机过程的一个程的一个样本样本

2、；其二，它再每个时刻上的函数值不是确定的，而是一个随机其二，它再每个时刻上的函数值不是确定的，而是一个随机变量，随机过程再不同时刻有不同的变量，随机过程再不同时刻有不同的随机变量随机变量。为为例例以以) )c co os s( (tA 03.1 随机过程及其通过系统的传输随机过程及其通过系统的传输二、二、 概率分布函数和概率密度函数概率分布函数和概率密度函数 随机过程能够看成是随时间随机过程能够看成是随时间t t而变化的一族随机变量，故可而变化的一族随机变量，故可将随机变量的概率分布推广用于随机过程。将随机变量的概率分布推广用于随机过程。1.一维分布函数与概率密度函数一维分布函数与概率密度函数

3、) )( () )( (11tXttX的取值为一维随机变量的取值为一维随机变量在任一特定时刻在任一特定时刻随机过程随机过程的的函函数数，记记和和时时刻刻是是取取值值概概率率1111txxtXP ) )( ( ) )( ( ) ), ,( (11111xtXPtxF 的的一一维维概概率率分分布布函函数数称称为为过过程程) )( (tX11111111xtxFtxpx ) ), ,( () ), ,( (定定义义的的一一阶阶偏偏导导数数存存在在，则则若若它它对对) ), ,( () )( (11txptX一般记为一般记为的一维概率密度函数，的一维概率密度函数，为过程为过程2 . 二维概率分布二维概

4、率分布: :) ) ( () ), ,( ( ，记记为为构构成成二二维维随随机机变变量量21tXtX) )( () ), ,( (, ,) )( (2121tXtXtttX的的取取值值为为在在任任两两个个时时刻刻随随机机过过程程的二维分布函数。的二维分布函数。称为过程称为过程) )( (tX 二维概率分布可以描述随机过程在任两个时刻之间关联二维概率分布可以描述随机过程在任两个时刻之间关联，且通过积分可以求得两个一维概率密度，可见二维概率分布且通过积分可以求得两个一维概率密度，可见二维概率分布比其一维概率分布含有较多的统计特性信息，对随机过程的比其一维概率分布含有较多的统计特性信息，对随机过程的

5、描述要细致些，但它还不能反映随机过程在两个以上时刻的描述要细致些，但它还不能反映随机过程在两个以上时刻的取值之间关联。取值之间关联。 ) )( (, ,) )( ( ) ), , , ,( (221121212xtXxtXPttxxF 3. n维概率分布维概率分布随机过程随机过程 在任意在任意n个时刻个时刻 的取值的取值 ) )( (tXnttt, , , ,21),),( (1tX , ,) )( (, , ,) )( (, ,) )( ( ) ), , , ,; ;, , , ,( (nnnnnxtXxtXxtXPtttxxxF 22112121n维分布函数：维分布函数： n维概率分布可以

6、描述任意维概率分布可以描述任意n个时刻的取值之间关联，比其低维个时刻的取值之间关联，比其低维概率分布含有更多的统计特性信息，对随机过程的描述更细微些，概率分布含有更多的统计特性信息，对随机过程的描述更细微些，故若随机过程的观测时刻点数取得越多，则随机过程的统计特性可故若随机过程的观测时刻点数取得越多，则随机过程的统计特性可以描述得越细致。以描述得越细致。 从理论上来说，完全描述一个随机过程的统计特性，需要维数从理论上来说，完全描述一个随机过程的统计特性，需要维数趋于无穷，但从工程实际来说，许多场合仅取二维即可。趋于无穷，但从工程实际来说，许多场合仅取二维即可。) )( () )( () ),

7、,( () )( () )( (nntXtXtXntXtX212维维随随机机变变量量构构成成n维概率维概率密度函数密度函数12121212121xxxtttxxxFtttxxxpnnnnnnn ) ), , , ,; ;, , , ,( () ), , , ,; ;, , , ,( (统统计计独独立立，则则：若若) )( (, ,) ), ,( () ), ,( (tXtXtX21统计独立时统计独立时n维概率密度函数等一维概率密度函数的乘积维概率密度函数等一维概率密度函数的乘积三、三、 随机过程的数字特征随机过程的数字特征(矩函数矩函数) 描述随机变量的平均统计参量是数学期望，方差，协方差，描

8、述随机变量的平均统计参量是数学期望，方差，协方差，相关函数等数字特征相关函数等数字特征 (随机变量最一般的数字特征称为随机变量最一般的数字特征称为矩矩) 随机过程可看成是随时间而变化的一族随机变量，将随机随机过程可看成是随时间而变化的一族随机变量，将随机变量的数字特征的概念推广于随机过程即可得到描述随机过程变量的数字特征的概念推广于随机过程即可得到描述随机过程的平均统计函数，当然它不再是确定的值，而是确定的时间函的平均统计函数，当然它不再是确定的值，而是确定的时间函数，统称为数，统称为矩函数矩函数。) ), ,( () ), ,( () ), ,( () ), , , ,; ;, , , ,(

9、 (nnnnntxptxptxptttxxxp22112121 1. 数学期望数学期望( (一阶原点矩一阶原点矩) ) 随机过程随机过程 在某一特定时刻在某一特定时刻 的取值为一维随机变量的取值为一维随机变量 其数学期望是一个确定值。随机过程其数学期望是一个确定值。随机过程 在任一时刻在任一时刻 的取值仍为的取值仍为一维随机变量一维随机变量 ( (注意此处注意此处 已固定，故已固定，故 已非随机过程已非随机过程) )。)(tX1t)(1tX)(tXt)(tXt)(tx数学期望数学期望) )( () ), ,( () ) ( ( tmdxtxxptXE 它是时间它是时间t 的函数，是过程的函数，

10、是过程X (t)在任一时刻在任一时刻 t 的数学期望或统的数学期望或统计均值，称为随机过程计均值，称为随机过程X (t) 的数学期望或统计均值的数学期望或统计均值( (瞬时瞬时) )。 统计均值是对随机过程统计均值是对随机过程X (t) 中的所有样本在任一时刻中的所有样本在任一时刻 t 的取的取值进行平均，因而值进行平均，因而统计平均也称为集合平均统计平均也称为集合平均。2. 方差方差( (二阶中心矩二阶中心矩) ) 随机过程随机过程 的数学期望的数学期望 是确定的时间函数，因是确定的时间函数，因而而 仍为随机过程，仍为随机过程， 在任一时刻在任一时刻 t 的取的取值仍为随机变量，故方差定义为

11、：值仍为随机变量，故方差定义为：) )( (tX) )( (tm) )( () )( () )( (tmtXtX ) )( (tX )( () )( ( )( ()( ( 22tmtXEtXEtXD ) )( () )( () ), ,( () ), ,( () )( () ), ,( () )( () ), ,( () ), ,( () ) ( ( ttmdxtxpxdxtxptmdxtxptxmdxtxpxdxtxptmx2222222 方方差差 是时间是时间t的确定函数，表示随机过程的确定函数，表示随机过程 中的所有样中的所有样本在任一时刻本在任一时刻t的取值的取值( (随机变量随机变量

12、) )对其分布中心的平均偏离程度对其分布中心的平均偏离程度. .) )( (t2) )( (tX3. 自相关函数自相关函数 数学期望和方差分别为一维随机变量的一阶原点矩和二阶中心数学期望和方差分别为一维随机变量的一阶原点矩和二阶中心矩，它们只能表示随机过程在各个孤立时刻的平均统计特性，不能矩，它们只能表示随机过程在各个孤立时刻的平均统计特性，不能反映随机过程在任意两时刻的取值之间关联。反映随机过程在任意两时刻的取值之间关联。 为描述随机过程在两个时刻的取值之间的关联程度，用相关为描述随机过程在两个时刻的取值之间的关联程度，用相关函数来表述。定义随机过程的二阶混合原点矩函数来表述。定义随机过程的

13、二阶混合原点矩( (自相关函数自相关函数) )为：为：4. 自协方差函数自协方差函数自协方差函数表示过程在任两个时刻的起伏值之间的平均关联自协方差函数表示过程在任两个时刻的起伏值之间的平均关联的的二二阶阶混混合合中中心心矩矩为为：定定义义) )( () ), ,( (21tXtX) ) ( () ), ,( ( ) ), ,( (2121tXtXEttR 2121212211dxdxttxxptmxtmx) ), , , ,( () ) ( () ) ( ( ) ) ( () )( () ) ( () )( ( ) ), ,( (221121tmtXtmtXEttC 21212121dxdxt

14、txxpxx) ), , , ,( ( : :时时，则则有有当当ttt 21) )( ( ) ) ( () )( ( ) ), ,( () ) ( ( ) ) ( () )( ( ) ), ,( (ttmtXEttCtXEtXtXEttR222 此时自协方差为方差，相关函数为一维随机变量的二阶原点矩此时自协方差为方差，相关函数为一维随机变量的二阶原点矩5. 均方差均方差定义随机过程的二阶原点矩定义随机过程的二阶原点矩dxtxpxtXE ) ), ,( () ) ( ( 22为均方差为均方差自协方差函数和自相关函数的关系：自协方差函数和自相关函数的关系： ) )( () )( () ), ,(

15、() ) ( () )( () ) ( () )( ( ) ), ,( (2121221121tmtmttRtmtXtmtXEttC 四、平稳随机过程四、平稳随机过程 平稳随机过程的主要特点是其统计特性不随时间的平移而变化。平稳随机过程的主要特点是其统计特性不随时间的平移而变化。1. 狭义平稳狭义平稳( (严平稳严平稳) ), , , ,; ;, , , ,( () ), , , ,; ;, , , ,( (tttxxxptttxxxpnnnnnn 21212121 若随机过程若随机过程 的任意的任意n维概率分布不随计时起点的选择不维概率分布不随计时起点的选择不同而变化，即当时间平移任一常数同

16、而变化，即当时间平移任一常数时，其时，其n维概率密度维概率密度( (或分布或分布函数函数) )不变化，则称不变化，则称 为严格平稳过程，即满足：为严格平稳过程，即满足：) )( (tX) )( (tX 即概率分布与观测的起点无关，可以任意选择观测的计时起点。即概率分布与观测的起点无关，可以任意选择观测的计时起点。 严格地说所有随机过程都是非平稳的，但平稳过程的分析要严格地说所有随机过程都是非平稳的，但平稳过程的分析要容易得多，而通常遇见的随机过程大多数接近于平稳过程。容易得多，而通常遇见的随机过程大多数接近于平稳过程。严平稳过程其一，二维分布和矩函数的特点：严平稳过程其一，二维分布和矩函数的特

17、点：一维分布一维分布:) )( () ), ,( () ), ,( () ), ,( (11111101xpxptxptxptnn 令令一维概率分布与时间无关一维概率分布与时间无关二维分布二维分布: :) ), , ,( () ), ,; ;, ,( (xxpttxxpnt21122101 令令 二维概率分布与时间起点无关，仅与时间间隔二维概率分布与时间起点无关，仅与时间间隔有关有关) ), ,; ;, ,( () ), ,; ;, ,( (ttxxpttxxpnn 21212121矩函数矩函数: :有有关关自自相相关关函函数数仅仅与与，RdxdxxxpxxttR) )( () ), , ,(

18、 () ), ,( ( 21212121( )( )E X txp x dxm 均值为常数均值为常数例例1：若：若 为随机变量，讨论它们的平稳性为随机变量，讨论它们的平稳性. .YtYtXYtX, ,) )( (, ,) )( ( 21解解：常数常数 YmYEtXE )( ( 12211YYEtXtXE )( () )( ( 无无关关与与 t非非广广义义平平稳稳显显然然) )( (tX2YtmtYEtXE )( ( 2221212212212YxttYtYtEtXtXEttR )( () )( ( ) ), ,( (广广义义平平稳稳显显然然) )( (tX12. 广义平稳广义平稳( (宽平稳宽

19、平稳) ) 若随机过程若随机过程 X(t) 的数学期望时与时间的数学期望时与时间 t 无关的常量，相关函无关的常量，相关函数仅与时间间隔数仅与时间间隔有关，即：有关，即：) )( () ), ,( () ) ( ( RttRmtXE 21，则该随机过程为广义平稳过程则该随机过程为广义平稳过程。广义平稳只说明一维和二维统计特性是平稳的，广义平稳只说明一维和二维统计特性是平稳的，狭义平稳是说明狭义平稳是说明 n 维统计特性是平稳的。维统计特性是平稳的。例例 2: 某随机过程某随机过程 X(t) =A cos(w t+)，其中，其中A，w为常量，为常量， 为为0 022范围均匀分布的随机变量，试求该

20、过程的数学期望范围均匀分布的随机变量，试求该过程的数学期望和相关函数。说明是否为广义平稳随机过程。和相关函数。说明是否为广义平稳随机过程。 dtAtXE20002 / /) )c co os s( ( ) ) ( ( )( () )( ( ) ), ,( (tXtXEttR )cos(cos() )cos(cos( ttAE 00022220002/ /) ) c co os s( ( c co os stEA 202/ /c co os s A 解解: :均值为常数均值为常数, ,自相关函数仅和时间间隔有关自相关函数仅和时间间隔有关, ,故过程广义平稳故过程广义平稳3. 各态历经性各态历经性

21、 随机过程有两个变量随机过程有两个变量x 和和 t，故能采用两种平均方法，即统，故能采用两种平均方法，即统计平均和时间平均。计平均和时间平均。 矩函数指的矩函数指的统计平均统计平均，即对集合中的所有样本在同一时刻的，即对集合中的所有样本在同一时刻的取值用统计的方法求其平均，也称取值用统计的方法求其平均，也称集合平均集合平均，用，用 或或E表示。 统计平均的方法使得实际工程量很大统计平均的方法使得实际工程量很大，在实际工程中我们大，在实际工程中我们大多数采用多数采用样本平均或称为时间平均样本平均或称为时间平均的方法。的方法。 随机过程是一族时间函数的集合，这集合中的每个样本都是随机过程是一族时间

22、函数的集合，这集合中的每个样本都是时间的确定函数，对集合中的某个特定样本在各个时刻的值，用时间的确定函数，对集合中的某个特定样本在各个时刻的值，用一般的数学方法求平均，称为时间平均，记为一般的数学方法求平均，称为时间平均，记为的的时时间间均均值值为为：样样本本) )( (tXidttXTtXTTiTi 221/ / /) )( (l li im m) )( (的的时时间间自自相相关关函函数数为为：样样本本) )( (tXidttXtXTtXtXTTiiTii 221/ / /) )( () )( (l li im m) )( () )( ( 时间平均只需一个样本，对确定的时间函数，可用一般的时

23、间平均只需一个样本，对确定的时间函数，可用一般的数学方法作计算，时间平均与统计平均相比要简易实用得多，数学方法作计算，时间平均与统计平均相比要简易实用得多，它是实际测量随机过程的主要方法。它是实际测量随机过程的主要方法。 ) ) ( () )( ( ) )( () )( () ) ( ( ) )( (: :tXtXEtXtXtXEtXpp即即据概率论可知，只要满足下式，就可认为平稳过程具有遍历性。据概率论可知，只要满足下式，就可认为平稳过程具有遍历性。 dCdCTTTT) )( () )( (limlim/ / /或或0122通常通信系统中随机信号和噪声都能满足这一条件。通常通信系统中随机信号

24、和噪声都能满足这一条件。各态历经性：各态历经性：若由随机过程每个样本的时间平均从概率意义上等若由随机过程每个样本的时间平均从概率意义上等于集合的统计平均，则称过程具有各态历经性于集合的统计平均，则称过程具有各态历经性( (也称遍历性也称遍历性) )。 物理意义：物理意义：随机过程的任一样本在足够长的时间内，都经历了随机过程的任一样本在足够长的时间内，都经历了这过程的各种可能状态，任一样本是具有充分代表性的样本。这过程的各种可能状态，任一样本是具有充分代表性的样本。例题见书例题见书P21，例，例2-24. 平稳过程相关函数的性质平稳过程相关函数的性质： ) )( () )( (, ,) )( (

25、) )( (CCRRxxxx 000 相关函数在相关函数在0 0 时具有最大值，且非负，表明过程在间隔时具有最大值，且非负，表明过程在间隔为零时的两个随机变量，其统计关联最大。为零时的两个随机变量，其统计关联最大。 对于周期性随机过程，由对于周期性随机过程，由 ，即相关函数同样也，即相关函数同样也具有周期性，且周期具有周期性，且周期T T仍然保持不变：仍然保持不变：) )( () )( (TRR ) )( ()( () )( ( )( () )( ( ) )( (TRTtXtXEtXtXERxx ) )( () )( (RRxx ) )( () )( (CCxx 相关函数是偶函数相关函数是偶函

26、数 （方方差差）交交流流功功率率：直直流流功功率率：平平均均功功率率200RRRPRxxxx) )( () )( () )( () )( (: : 5. 相关系数相关系数 对于平稳过程，间隔对于平稳过程，间隔的两个起伏量之间的关联程度，可用的两个起伏量之间的关联程度，可用协方差函数表示，但协方差函数还与两个起伏量的强度有关，如协方差函数表示，但协方差函数还与两个起伏量的强度有关，如果两个起伏量很小，即使关联程度较强，这时协方差函数也不会果两个起伏量很小，即使关联程度较强，这时协方差函数也不会很大，可见协方差函数并不能确切地表示关联程度的大小，应除很大，可见协方差函数并不能确切地表示关联程度的大

27、小，应除去起伏量强度的影响，需要对协方差函数作归一化处理，定义无去起伏量强度的影响，需要对协方差函数作归一化处理，定义无量纲的比值量纲的比值: :20CCC) )( () )( () )( () )( ( 自相关系数或归一化的自相关函数自相关系数或归一化的自相关函数注意和确定信号定义的不同！注意和确定信号定义的不同！( )1( )0 ，表示完全相关，表示完全相关，表示不相关，表示不相关6. 联合平稳随机过程联合平稳随机过程) ), , , ,; ;, , , ,( (),), , , ,; ;, , , ,( (mmnnnntttyyyptttxxxp 21212121: :) ), ,( (

28、) )( (它它们们的的概概率率密密度度为为和和设设两两个个随随机机过过程程tYtX维维联联合合分分布布函函数数为为：定定义义两两过过程程的的mn ) ), , , ,; ;, , , ,; ;, , , ,; ;, , , ,( (mnmnmnttttttyyyxxxF 21212121 mmnnytYytYytYxtXxtXxtXP ) )( (, , ,) )( (, ,) )( (; ;) )( (, , ,) )( (, ,) )( (22112211定义两过程的定义两过程的n+m维联合概率密度为：维联合概率密度为：) ), , , ,; ;, , , ,; ;, , , ,; ;,

29、 , , ,( (mnmnmnttttttyyyxxxp 21212121nnmnmnmnmnyyyxxxttttttyyyxxxF 212121212121) ), , , ,; ;, , , ,; ;, , , ,; ;, , , ,( (若有若有) ), , , ,; ;, , , ,; ;, , , ,; ;, , , ,( (mnmnmnttttttyyyxxxp 21212121) ), , , ,; ;, , , ,( () ), , , ,; ;, , , ,( (mmmnnntttyyyptttxxxp 21212121统统计计独独立立与与则则称称过过程程) )( () )(

30、 (tYtX定义两过程的互相关函数为：定义两过程的互相关函数为：dxdyttyxxyptYtXEttRXY ) ), , , ,( () ) ( () )( ( ) ), ,( (212121互协方差函数为互协方差函数为:)( () )( ()( () )( () ), ,( (221121tmtYtmtXEttCYxXY 若若X(t)和和Y(t)各自是广义平稳过程，且它们的互相关函数仅各自是广义平稳过程，且它们的互相关函数仅是时刻是时刻的单变量函数，即的单变量函数，即) )( () ), ,( (RttRXYXY 21则称过程则称过程X ( t )和和Y( t )是联合平稳过程。是联合平稳过

31、程。上式等价于上式等价于) )( () )( () )( (mmRYXXY 或或) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( () )( ( tYEtXEtYtXE 若对任意若对任意值都有值都有0 ) ) ( () )( ( tYtXE统计独立一定不相关，反过来则不成立统计独立一定不相关，反过来则不成立互相关系数互相关系数: :YXXYXYCr) )( () )( ( 00 ) )( () )( (CrXYXY或或若对任意若对任意值都有值都有则过程则过程X ( t )和和Y( t )不相关。不相关。则过程则过程X ( t )和和Y( t )正交。正交。 212121212121dydxttyxp

32、yxtYtXEttRXY) ), ,; ;, ,( () ) ( () )( ( ) ), ,( () )( () )( () ), ,( () ), ,( (2122221111tmtmdytypydxtxpxYX ) ) ( () )( () ) ( () )( ( ) ), ,( (221121tmtYtmtXEttCYXXY 022112122221111 ) ) ( () )( () ) ( () )( ( ) ), ,( () ) ( ( ) ), ,( () ) ( ( tmtmtmtmdydxtyptmytxptmxYYXXYX例例1 随机过程随机过程X (t) 和和Y (t)

33、 统计独立，求它们的互相关函数统计独立，求它们的互相关函数 和互协方差函数和互协方差函数例例2 设有两个过程设有两个过程) )s si in n( () )( () )c co os s( () )( (ttYttX 00 量量上上的的均均匀匀分分布布的的随随机机变变，是是为为常常数数，200问这两个过程是否联合平稳，相关，正交，统计独立？问这两个过程是否联合平稳，相关，正交，统计独立？解：解： ) )( (s si in n ) ) c co os s( () ) ( () )( ( ) ), ,( (ttEtYtXEttRXY 00tE000212221s si in n s si in

34、n ) )( ( s si in n 协方差函数不为零，两过程相关，同时也是不统计独立的协方差函数不为零，两过程相关，同时也是不统计独立的0210 RtYtXEXYs si in n) )( () ) ( () )( ( 两过程不正交两过程不正交两过程的均值为零，所以互协方差函数等于互相关函数两过程的均值为零，所以互协方差函数等于互相关函数联合平稳联合平稳五五、高斯高斯( (正态正态) )随机过程随机过程 正态分布是实际工作中最常见的一种分布，在无线电技术中，正态分布是实际工作中最常见的一种分布，在无线电技术中，最常遇见的正态随机过程。最常遇见的正态随机过程。 正态随机过程具有一些特点，例如它

35、的任意正态随机过程具有一些特点，例如它的任意n维分布只取决于维分布只取决于其一，二维分布函数，又如正态随机过程经过线性变换侯仍然是正其一，二维分布函数，又如正态随机过程经过线性变换侯仍然是正态分布，因此它便于数学分析，它被广泛应用于噪声的理论模型。态分布，因此它便于数学分析，它被广泛应用于噪声的理论模型。) ), , , ,; ;, , , ,( (nntttxxxf2121 ) ) )( ( (e ex xp p ) )( ( njnkkkkjjjjknnmxmx11212121正态随机过程或高斯过程的特点是其正态随机过程或高斯过程的特点是其n n维联合概率分布是正态维联合概率分布是正态分布

36、。其分布。其n n维分布为维分布为: :正态随机过程的正态随机过程的n维概率密度函数仅由各随机变量的维概率密度函数仅由各随机变量的数学期望和归一化协方差函数数学期望和归一化协方差函数( (相关系数相关系数) )所决定所决定nnnnnn213122221113121 kjkkjjjkmtxmtxE ) )( ( ) )( ( 结论结论1 1：如果过程是广义平稳的如果过程是广义平稳的，则其均值与时间无关，协方，则其均值与时间无关，协方差函数只与差函数只与有关，则有关，则n维概率密度函数也与时间起点无关，维概率密度函数也与时间起点无关，故故它也是狭义平稳的它也是狭义平稳的。归一化协方差函数行列式归一

37、化协方差函数行列式的的代代数数余余因因子子中中元元素素是是行行列列式式jkjk（相相关关系系数数）是是归归一一化化互互协协方方差差函函数数jk10 jkjkkjkj10 jk, ,则则上上式式则：则：),;,(2121nntttxxxf221212112221()1exp2(2 )()1exp( , ) (, )(,)22njjnnjjjjnjjnnjjjxmxmf x tf x tf x t 若高斯过程各个随机变量两两之间互不相关，则有：若高斯过程各个随机变量两两之间互不相关，则有：结论结论2：若高斯过程中各随机变量之间互不相关，若高斯过程中各随机变量之间互不相关， 则它们一定是统计独立的。

38、则它们一定是统计独立的。结论结论3：高斯过程通过线性系统后仍然是高斯过程。高斯过程通过线性系统后仍然是高斯过程。六、六、平稳随机过程的功率谱平稳随机过程的功率谱) )( () )( () )( () )( (XtXTttXtXTiTiiTi ，且且其其它它02采用与确定信号同样的分析方法，设采用与确定信号同样的分析方法，设 是过程是过程 的一个样本，的一个样本，令令：) )( (tXi) )( (tX它仍然是随机函数，故取其统计平均变成只是频率的确定函数。它仍然是随机函数，故取其统计平均变成只是频率的确定函数。21()()lim() ixxiTTPE PEXT 功率谱：功率谱：平稳过程的功率谱

39、与相关函数的关系仍为一对傅立叶变换对：平稳过程的功率谱与相关函数的关系仍为一对傅立叶变换对：) )( () )( (RxxdttXTdttXTPTiTTTiTi ) )( (l li im m) )( (l li im m222211的的平平均均功功率率为为：样样本本) )( (tXiTdXTiTT 2211) )( (l li im m21()lim()ixiTTPXT 样本的功率谱：样本的功率谱：七、七、 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统 ( )() ( )() ( )( )(0)xxE Y tEX thdE X thdmhdm H常数( )X t( )Y t( )h t(

40、 ,) ( ) ()() ( )() ( )()() ( ) ( )() ( ) ( )( )YXYRt tE Y t Y tEX tu h u duX tv h v dvE X tu X tv h u h v dudvRvu h u h v dudvR 仅与 有关 平稳过程通过线性系统后仍然是平稳的，平稳过程通过线性系统后仍然是平稳的， 而通过非线性系统后将不再平稳。而通过非线性系统后将不再平稳。2()( )() ( ) ( )( ) ( ) ( )()()()()()jYYjXjzj vj uXXXPRedRvu h u h v edudvdRz h u h v eeedudvdzPHHP

41、H ,jj zj vj uzvuzvueeee 令即那么Y (t) 的输出功率谱：的输出功率谱：八、平稳随机过程通过乘法器八、平稳随机过程通过乘法器：00000( ,) ( ) ()( )cos()cos()1( )coscos(2)2YXR t tE Y t Y tE X ttX ttRt1. . 输出过程的自相关函数：输出过程的自相关函数：2. . 输出过程的功率谱：输出过程的功率谱：时域相乘时域相乘频域卷积频域卷积000( )( ,)11( )cos()()24jYYjXXXPR t tedRedPP 时间平均时间平均( )X t( )Y t0cost非平稳非平稳记住结论！记住结论！(

42、)X t( )Y t），（，20)cos(0t平稳平稳作业：作业：23，25，273.2 噪声及其特性噪声及其特性 噪声存在于通信系统的各个部分，它的存在会使通信系统质噪声存在于通信系统的各个部分，它的存在会使通信系统质量变坏，可靠性下降，因此在讨论通信系统性能时，分析它的抗量变坏，可靠性下降，因此在讨论通信系统性能时，分析它的抗噪声性能是一个重要内容，是研究各种通信体制的重要内容，也噪声性能是一个重要内容，是研究各种通信体制的重要内容，也是我们如何选择不同通信体制的重要参考，同时抗噪声性能的好是我们如何选择不同通信体制的重要参考，同时抗噪声性能的好坏，也是我们选择不同通信体制的基础坏，也是我

43、们选择不同通信体制的基础. . 无论在恒参信道或变参信道，都存着在加性噪声，它们迭加无论在恒参信道或变参信道，都存着在加性噪声，它们迭加在接收信号上，对通信质量有很大的影响，其特点是它们都独立在接收信号上，对通信质量有很大的影响，其特点是它们都独立于信号而存在，并以迭加形式干扰信号。而乘性噪声是随着信号于信号而存在，并以迭加形式干扰信号。而乘性噪声是随着信号的出现而出现，消失而消失。的出现而出现，消失而消失。一一 、加性噪声的分类加性噪声的分类1. .无线电噪声：无线电噪声：来源于别的无线电发射机来源于别的无线电发射机；2.2.工业噪声：工业噪声：来源于各种电气设备来源于各种电气设备，如：电力

44、线，电路开关，如：电力线，电路开关， 电焊机，高频电炉。电焊机，高频电炉。3.3.天电噪声：天电噪声：来源于自然界中各种电磁波源来源于自然界中各种电磁波源，如雷电，宇宙，如雷电，宇宙 的电磁辐射。的电磁辐射。4.4.内部噪声：内部噪声：来源于信道内的设备和元器件来源于信道内的设备和元器件，如电阻和各种导体，如电阻和各种导体 内自由电子的热运动所产生的热噪声，电子管和晶内自由电子的热运动所产生的热噪声，电子管和晶 体管内因电子发射不均匀性所引起的散弹噪声，以体管内因电子发射不均匀性所引起的散弹噪声，以 及电源设备因滤波不良而引起的交流噪声等。及电源设备因滤波不良而引起的交流噪声等。信道内的加性噪

45、声来源很多，信道内的加性噪声来源很多，按来源按来源的不同，可分为：的不同，可分为：1.单频噪声：单频噪声：电源的交流噪声，设备的自激振荡，高频电炉的干扰电源的交流噪声，设备的自激振荡，高频电炉的干扰等，特点是波形连续，频谱单一，单频噪声可通过实际测量而确定，等，特点是波形连续，频谱单一，单频噪声可通过实际测量而确定，采取措施可预防。采取措施可预防。 2.脉冲噪声：脉冲噪声：工业噪声的点火花，电路通断时所产生的噪声，闪电工业噪声的点火花，电路通断时所产生的噪声，闪电干扰等，特点是突发脉冲的幅度大，持续时间短，它对模拟通信影干扰等，特点是突发脉冲的幅度大，持续时间短，它对模拟通信影响不大，对数字通

46、信会造成危害响不大，对数字通信会造成危害(一串错码一串错码)。3.起伏噪声起伏噪声：热噪声，散弹噪声：热噪声，散弹噪声和和天电噪声天电噪声的的宇宙噪声宇宙噪声，这类噪声，这类噪声的特点是波形随时间做不规则的随机变化，它是一种固有噪声，既的特点是波形随时间做不规则的随机变化，它是一种固有噪声，既不可避免，又始终起作用，它是影响通信质量的主要因素。不可避免，又始终起作用，它是影响通信质量的主要因素。 以后分析研究噪声对通信系统的影响时，一般就是指起伏噪声。以后分析研究噪声对通信系统的影响时，一般就是指起伏噪声。按性质分为：按性质分为：二、二、噪声和有色噪声噪声和有色噪声白噪声是指整个频率范围内具有

47、恒定的功率谱密度的噪声，白噪声是指整个频率范围内具有恒定的功率谱密度的噪声， 完全理想的白噪声是不存在的，但只要噪声功率谱均匀分完全理想的白噪声是不存在的，但只要噪声功率谱均匀分布的范围超过工作频段范围很多时，可视为白噪声。布的范围超过工作频段范围很多时，可视为白噪声。 Hz1310电阻热噪声的功率谱密度均匀分布范围约为电阻热噪声的功率谱密度均匀分布范围约为 ，通常认为它，通常认为它是典型的白噪声，散弹噪声和宇宙噪声的功率谱均匀分布范围是典型的白噪声，散弹噪声和宇宙噪声的功率谱均匀分布范围在一般的工作频率范围也近似为恒定，因此也可视为白噪声，在一般的工作频率范围也近似为恒定，因此也可视为白噪声

48、，在以后研究和分析的加性噪声就指白噪声在以后研究和分析的加性噪声就指白噪声(也称起伏噪声也称起伏噪声)( )nP 常数常数，白噪声的特点：白噪声的特点： 以迭加的形式干扰用用信号以迭加的形式干扰用用信号加性噪声加性噪声 功率谱密度为常数功率谱密度为常数 统计特性是零均值的正态分布，也称高斯白噪声。统计特性是零均值的正态分布，也称高斯白噪声。有色噪声：有色噪声：在整个频带范围，功率谱是非均匀分布的噪声，所在整个频带范围，功率谱是非均匀分布的噪声，所有除白噪声以外的噪声称为有色噪声，也称频带有限的噪声，有除白噪声以外的噪声称为有色噪声，也称频带有限的噪声，或者说白噪声通过具有带限的系统后，就称为有

49、色噪声。或者说白噪声通过具有带限的系统后，就称为有色噪声。即带限噪声即带限噪声00()2()0nnnPPn ，双边谱双边谱单边谱单边谱三、信噪比和信噪比增益三、信噪比和信噪比增益信噪比：同以点上信号功率与噪声功率之比信噪比：同以点上信号功率与噪声功率之比NSPPNSNSlglg) )( () )( (10或或噪声功率噪声功率信号功率信号功率 信噪比增益信噪比增益：) )( () )( (输输入入信信噪噪比比输输出出信信噪噪比比iiNSNSG00 输输出出信信噪噪比比输输入入信信噪噪比比噪噪声声系系数数 00NSNSFiin四四 、窄带高斯噪声窄带高斯噪声 一个系统的通频带一个系统的通频带 远小

50、于中心频率远小于中心频率 ，即有：，即有：f001Bff或0f这种系统称为窄带系统这种系统称为窄带系统 若此窄带系统的输入过程为白噪声或宽带噪声，则由于系若此窄带系统的输入过程为白噪声或宽带噪声，则由于系统的带通选择特性，输出过程的功率谱只分布在中心频率附近统的带通选择特性，输出过程的功率谱只分布在中心频率附近的窄带范围，这种噪声称为的窄带范围，这种噪声称为窄带噪声窄带噪声，也称，也称窄带高斯噪声窄带高斯噪声。 窄带系统窄带系统高斯白噪声高斯白噪声 窄带高斯噪声窄带高斯噪声 02n白噪声功率谱白噪声功率谱f02n窄带噪声功率谱窄带噪声功率谱 1-f0f0f理想带通特性理想带通特性000( )(

51、 )cos( )( )cos ( )cos( )sin ( )sinn tttttttttt窄带噪声的第一种表示形式窄带噪声的第一种表示形式:0( )( )cos( )n tttt 窄带噪声的第二种表示形式窄带噪声的第二种表示形式:00( )( )cos( )sincsn tnttn tt 窄带噪声可看作一个包络和相位缓慢变化的准正弦信号。窄带噪声可看作一个包络和相位缓慢变化的准正弦信号。相对于中心频率相对于中心频率1. 窄带噪声的时间表示窄带噪声的时间表示( )( )cos ( )( )( )sin ( )csn tttn ttt 同同相相分分量量正正交交分分量量22( )( )( )( )

52、( )arctan( )cssctn tn tn ttn t 随机包络随机包络随机相位随机相位关系关系随机性！随机性！ ttnttntnttnttntnsc0000coscos) )( ( sinsin) )( () )( (sinsin) )( ( coscos) )( () )( (互为希尔波特变换互为希尔波特变换显然显然) )( () )( ( ) )( () )( ( tntntntncssc 2. .同相分量和正交分量的自相关函数和互相关函数同相分量和正交分量的自相关函数和互相关函数)( () )( ( ) )( (tntnERccnc ) )( (sinsinsinsin) )(

53、() )( (coscossinsin) )( () )( (sinsincoscos) )( () )( (coscoscoscos) )( ()( (sinsin) )( ( ) )( (coscos) )( (sinsin) )( ( coscos) )( ( ttRttRttRttRttnttnttnttnEnnnnnn 000000000000由希尔波特变换性质可知由希尔波特变换性质可知)()()()()(nnnnnnnRRRRR0000000000sin)(cos)()(cossin)(sin)cos()(sinsin)(cos)cos()(nnnnnRRttttRttttRRc同

54、理可求得：同理可求得：00sin)(cos)()()(nnnnRRRRcs有关函数仅与的自相关和是一个平稳过程，则因为)()()(tntntnscttnEttnEtnEsc00sin)(cos)()(0)(0)()(tnEtnEtnsc的均值为零，则由于稳过程都是均值为零的广义平和可见)()(tntncs据自相关函数的表示式据自相关函数的表示式 可得：可得：)0()0()0(nnnRRRscononnnRRRRscsin)(cos)()()(结论：结论： 一个均值为零的窄带平稳高斯过程，它的同相分量和正交一个均值为零的窄带平稳高斯过程，它的同相分量和正交 分量同样是均值为零的平稳高斯过程。分量

55、同样是均值为零的平稳高斯过程。 同相分量和正交分量的自相关函数相等且具有相同的功率谱密度同相分量和正交分量的自相关函数相等且具有相同的功率谱密度 同相分量和正交分量具有相同的功率且等于窄带随机过程的功率同相分量和正交分量具有相同的功率且等于窄带随机过程的功率 同相分量和正交分量都是低通限带过程。同相分量和正交分量都是低通限带过程。补充作业补充作业：若窄带噪声（带宽为：若窄带噪声（带宽为2 2W，中心频率为，中心频率为0 0）的功率）的功率谱为谱为n0 0/ /2, , 试推导出它的同相和正交分量的功率谱密度为试推导出它的同相和正交分量的功率谱密度为 n0( (W W ) )。02n02n04n

56、08n08n04n00( )( )cos( )sinicsn tn ttn tt01( )( )2cn tn t习题习题ttnttntttnttntnosocoosocp2sin2)(2cos1 2)(cossin)(cos)()(2互相关函数互相关函数。，它们也是统计独立的关的，而对于高斯过程它们是互不相，由于均值为零，所以正交，即此它们再同一时刻互为希尔波特变换，因和由于)0()0()()(csscnnnnscRRtntn且有且有)()()()(cscsscnnnnnnnRRRR0)0(0)0()()(cssccsnnnnnnnRRRRcncnccccnccccnccnnccnccnccn

57、nccccQInnRRttttRttttRttRttRttRttRttnttnttnttnEtntnERQIcos)(sin)()(sinsin)(cos)cos()(sincos)(cos)sin()(sinsin)()(cossin)()(sincos)()(coscos)()(sin)()(cos)( sin)( cos)()()()(同理可求得同理可求得cncnnnRRRIQcos)(sin)()(比较可得比较可得)()(IQQInnnnRR由相关函数的性质可知由相关函数的性质可知)()(IQQInnnnRR所以所以)()(IQIQnnnnRR)()(QIQInnnnRR0)0()0(

58、0IQQInnnnRR时有当 可见在同一时刻，两个分量是正交的，互相关函数为零，可见在同一时刻，两个分量是正交的，互相关函数为零， 由于均值为零，所以互协方差函数为零，是由于均值为零，所以互协方差函数为零，是互不相关互不相关的，的， 对于高斯过程，它们是对于高斯过程，它们是统计独立统计独立的。的。互相关函数互相关函数为奇函数为奇函数3. 窄带高斯噪声包络和相位的概率分布窄带高斯噪声包络和相位的概率分布窄带高斯噪声的同相分量和正交分量是统计独立的，窄带高斯噪声的同相分量和正交分量是统计独立的，其联合概率密度函数为：其联合概率密度函数为：22222222222212121nnnnscscscsce

59、eenpnpnnp ) ) )( ( () )( () )( () ), ,( ( ) )( () )( (a ar rc ct ta an n) )( () )( (s si in n) )( () )( () )( () )( () )( () )( (c co os s) )( () )( (tntnttttntntnttttnscsscc22的的概概率率密密度度函函数数得得到到：的的联联合合概概率率密密度度可可以以从从，相相位位由由概概率率论论可可知知，包包络络scnn, ,) ), ,( () ), ,( () ), ,( () ), ,( (nnnnppscsc 雅克比行列式雅克比

60、行列式nnnnnnscscsc c co os ss si in ns si in nc co os s) ), ,( () ), ,( (2222( , )2pe 因此因此222222222200( )( , ),02ppdede 2222001( )( , ),0222ppded 包络的概率密度：包络的概率密度：瑞利分布瑞利分布相位的概率密度：相位的概率密度：均匀分布均匀分布五、余弦信号加窄带高斯噪声五、余弦信号加窄带高斯噪声ttnttntntAtssc000sin)(cos)()(cos)(噪声信号 余弦信号加窄带高斯噪声是通信中常遇到的又一种情形余弦信号加窄带高斯噪声是通信中常遇到的又