VAR和SVAR及其在宏观经济政策中的一些应用

1、暑期实习读书报告SVAR及其在宏观经济政策中的一些应用谢泽林（清华大学数学科学系2002级）指导老师： 杨晓光 研究员（中国科学院管理、决策与信息系统重点实验室）SVAR及其在宏观经济政策中的一些应用谢泽林（清华大学数学科学系2002级学生）指导老师： 杨晓光 研究员（中国科学院管理、决策与信息系统重点实验室）摘要：本文介绍VAR和SVAR的基本模型、脉冲响应分析和估计方法，并介绍了其在宏观经济政策中的一些应用，以及软件实现。关键词：VAR SVAR 脉冲响应分析 估计一、 VAR与SVAR时间序列分析是现代计量经济学的重要组成部分，而向量自回归（VAR）和结构式向量自回归（Structura

2、l VAR）是时间序列分析的重要内容。时间序列分析是近二三十年发展起来的经济计量技术。过去人们热衷于运用大规模的结构联立方程组进行经济分析，后来计量经济学家渐渐发现这样的分析一方面往往忽视解释变量可能存在的内生性，另一方面也不能把握应变量和解释变量之间的互相动态影响。而向量自回归模型在这方面提供了一个很好的分析工具，很适合于研究各种变量之间的关系，尤其是动态关系。向量自回归在分析经济系统的动态性方面的广泛应用应归因于Sims的有影响的工作。（一）VAR1VAR的基本模型一般的p 阶向量自回归模型（VAR（p）的数学表达式是 （1）这里c表示（）的常向量，是自回归系数的一个（）矩阵，j=1，2，

3、p。在上述模型中的下面假设：（1） 向量过程是平稳（协方差平稳）的；（2） 随机残差向量是白噪声的（见下）；的各分量均满足平稳性条件（详见下述），的向量是白噪声的一个向量推广：， 其中是一个的对称正定矩阵。一个向量自回归就是这样一个系统：系统中每一个变量对常数项和它自身的p阶滞后值，同时也对其他变量的p阶滞后值进行回归。注意每一个回归，其解释变量都一样。运用滞后算子，（1）式可以写成， 即 这里表示滞后算子L的一个（）矩阵多项式。一个向量过程被称为协方差平稳，如果其一阶矩和二阶矩与t是无关的。如果过程是协方差平稳的，则我们可以对（1）式取期望得于是，（1）式就可以写成矩均值的离差的形式：定义，

4、这样可以把VAR（p）写成VAR（1）的形式： （2）其中， ，且由（2）式有，于是，上述向量系统的前n列有，这里，表示（矩阵的j次方）的左上矩阵，即的第1到n行和第1到n列的公共部分。类似的，表示的第1到n行和第n+1到2n列的公共部分，表示的第1到n行和第n（p-1）+1到np列的公共部分。如果的特征值都落在单位圆之内，则此VAR为协方差平稳，新息将最终消失。当时，则可以表示成的历史值的收敛之和上式是向量表示。显然，由上式对任意的，与不相关。应此基于的预测由下式给出：2VAR模型的估计（1）、非限制性向量自回归的最大似然估计假定，最简单的方法是以前p个观察值为条件，记作，然后根据后T个观察

5、值形成估计，目标是形成条件似然并对求最大值，这里是包含中元素的向量。以直到期的y值为条件的t期y值等于一个常数加一个，因此设，则上式可紧凑地写成因此，第t个观察值的条件密度为而=递归运用此公式，最后可得样本对数似然值考察的MLE，结果为。类似的，可以得到的似然估计值：，这里为样本残差。（2）、似然比检验运用似然比检验可以对模型中滞后阶数的进行更好的选择。零假设：一组变量是由阶而不是阶滞后的高斯向量自回归生成。由计算相应的似然值，然后利用在零假设下统计量近似服从自由度为的分布进行检验。当统计量值大于的5% 的置信值时则拒绝零假设。Sims（1980）提出修正：由统计量（这里）代替，以适应小样本偏

6、倚的情形。（3）、Granger因果关系检验Granger因果关系检验是检验一个变量的滞后变量是否可以引入其他变量方程中。由于VAR模型中需要估计的系数较多，通过Granger因果关系检验一方面可以使模型更符合经济学规律，另一方面可以减少估计的难度。正式的定义是：如果关于所有的，基于的预测的均方误差与用和二者得到的预测的MSE相同，则称y不能Granger引起x。对线性函数，如果，则称y不能Granger引起x，或者x在时间序列意义上关于y是外生的。Granger因果关系的另一个含义由Sims给出。一个y不能Granger引起x的简单例子是（系数矩阵均为下三角的）：可以写成的形式：其中Gran

7、ger因果关系的一种检验方法：运用F检验计算，对计算。如果大于分布的临界值，则我们拒绝上述假设，即y能Granger引起x。 此外还有其他改进的检验方法，如基于Sims形式的F检验、Geweke-Meese-Dent（1983）提出的方法和蒙特卡罗模拟等。Granger因果关系的检验结果对滞后长度p的选择和处理序列非平稳方法的选择都很敏感。（4）、限制性向量自回归的最大似然估计简化式模型中将有个系数需要估计，如果不对VAR模型中某些系数加以限制，会给估计带来困难。考虑下面的向量自回归：其中，分别为包含的滞后的向量和的滞后的的向量。向量包含向量自回归的常数项，矩阵包含自回归系数。 如果的元素无助

8、于改进的基于其自身滞后的预测，则称表示的变量组关于的变量在时间序列意义上是块外生的。在上面的系统中当时，是块外生的。据此我们可以讨论条件下系统的最大似然估计。3脉冲响应分析 由前面所述，一个向量自回归可以写成向量的形式由此，即的第i行、第j列元素等于时期t第j个变量的新息在增加一个单位而其它时期其他新息不变的情况下对时期t+s的第i个变量的值的影响。作为s的一个函数，称为脉冲响应函数。它描述了在时期t的其它变量和早期不变的情况下对的一个暂时变化的反应。（1）方法一对于的方差协方差矩阵，是实对称正定矩阵，由高等代数的相关结论，存在唯一一个主对角线元素为1的下三角矩阵A和一个主对角线元素为正的全对

9、角矩阵D使得利用A构造向量：，故，由于D是一个主对角矩阵，可得的元素互不相关。另一方面，与自身的滞后值及y的滞后值不相关。由有：于是，因不相关，故由，得，其中是A的第一列。于是，得到除包含之外的关于的新信息对的影响为：更一般的，。 （3）对于给定一个观察到的容量为T的样本，我们可以由OLS估计自回归系数，模拟估计出的系统可构造出。OLS还可以得到估计，由此构造出满足的矩阵和。于是样本估计（3）式为，其中表示的第j列。这称为正交化脉冲响应函数。这些橙子描述了关于的新信息如何改变我们对的预测。（2）方法二上面是递归正交化，还有另一种方法，它基于实对称正定矩阵的Cholesky分解（其实本质上是一样

10、的）。这里，是下三角矩阵，其对角线元素为的标准差。另，故 （4）（4）式是（3）式乘以，（3）给出增加一单位后的影响，（4）式给出了单位的影响。4方差分解考察VAR模型时可以采用方差分解方法研究模型的动态特征，其主要思想是：把系统的每个内生变量（共n个）的波动（s期预测均方误差）按期成因分解为与各方程新息相关联的n个组成部分，从而了解各新息对模型内生变量的相对重要性。前s期预测的均方误差为=其中，再由的互不相关得到：于是将分解，第j个正交化新息对前s期的MSE的贡献：5平稳性的检验单位根检验（unit root test）是统计检验中普遍应用的一种检验方法。实际中一般采用其中的ADF检验。AD

11、F检验在国内比较流行，但也受到一些批评。Elliott, Rothenberg and Stock （1996）的DF-GLS方法和Ng and Perron（2000）的MAIC方法在功效上有很大的提高。（二） SVAR单纯的标准VAR模型是自回归模型的延伸，它更关心的是变量之间的关系和变量的滞后结构，其模型本身并不具有经济学的意义；向量自回归的结构模型（Structural VAR），往往建立在经济学理论的基础上的，它的意义也在于其经济理论的投入以及相应的预测模型。对动态结构式模型，我们引入向量形式表示，就可以得到向量自回归表示。因此，向量自回归可视做一般动态结构式模型的简化式。1SVAR

12、模型的一个例子具体的，如参考文献1 所列举的关于的四个联立自回归方程。引进，适当定义使是向量白噪声，于是由结构式模型得到下面基本形式可以假定可逆，两边乘以，得到前面介绍的其中。2SVAR的识别、估计和脉冲响应分析对前面VAR模型计算的脉冲响应函数，它表示了第j个变量的新息对系统中每一个变量的未来值的影响。而是结构式扰动的线性组合。由（这里假定，下详述），可以得到的估计。引进：，原结构式模型写作另外假定扰动项非序列相关且彼此不相关： ，其中D为主对角矩阵。模型可进一步写作：对动态结构式模型的限制为：为主对角线元素为1的下三角矩阵，D为主对角阵。这时候结构式模型恰好是可识别的。给定任意可允许的简化

13、参数值（），（）都是唯一存在的，这样结构式模型恰好是可识别。关于的完全信息最大似然（FIML）估计可以这样求：首先对求最大似然函数，然后运用简化式到结构式的唯一映射。由关于的OLS求得的最大似然估计，由这些回归的残差的方差协方差矩阵可得的MLE。和可由的三角分解得到。对非递归结构式VAR：即使结构式模型不能写作下三角形式，但由于，表明结构式扰动与向量自回归残差相关。于是只要按照最大似然法估计出，仍可求出脉冲响应函数，得到每一个结构式扰动对系统中每一个变量的后续者的影响：这里为的第j列，是的s阶滞后的系数矩阵。对于非限制性动态结构式VAR，由于对滞后变量系数没有限制，FIML估计比较简单。运用O

14、LS可以得到的估计值，运用非线性方程的数值方法和矩阵分解的唯一性可以得到的估计值。结构式向量自回归的识别：VAR模型的识别问题所关注的是能否从一个估计的简约模型中凡到处原来的结构模型的系数。这里有两类条件即识别的阶条件和矩条件。阶条件指的未知参数不比。矩条件要求J矩阵的列线性独立。实际运用中往往可以通过计量经济学来实现。脉冲响应函数的标准差：前面讨论了如何有自回归系数构造出s阶滞后的脉冲响应系数矩阵，实际上自回归系数并不确知而需要由OLS回归来估计。当运用估计出的自回归系数来计算时，给出估计的标准差是有用的。基于向量自回归的动态推断的标准差常大的令人失望。解决方法之一是运用有更少参数的限制性模

15、型拟合多元动态性质，其条件是数据允许我们接受哪些限制；方法之二是运用向量自回归的贝叶斯分析 框架。二SVAR在宏观经济模型中的应用（一）菲利普斯曲线说明了在没有有利的供给冲击时，降低通货膨胀要求有一个高失业和产出减少的时期。定量概括的衡量为“牺牲率”，即通货膨胀每减少一个百分点所必须放弃的一年实际GDP的百分比。尽管牺牲率的估算差别很大，但一般的估算是5%左右，即通货膨胀每下降1%，一年的GDP必须牺牲5%。Stephen G. Cecchetti and Robert W. Rich, （March 15, 1999）介绍了三个结构式向量自回归 (SVAR) 的模型, 分析美国的通胀和产出影

16、响关系，对降低通胀的政策所造成的”牺牲比率” (sacrifice ratio) 做了估计。下面介绍一下这三个模型。SVAR方法把货币政策分解为系统成分和随机成分，系统成分可以认为是一个反应函数，它反映了一些货币政策对重要经济变量变化的反应的历史积累，随即成分可以认为是货币政策震荡。第一个具体模型（二变量模型，Cecchetti 1994）如下：其中是时期t的产出的对数，是时期t-1到t的通货膨胀率，是反映总供给和总需求的新息向量过程。认为的均值为0且 对所有的t。为估计结构性冲击对产出和通货膨胀的影响，我们将其写成VMA形式，便于进行脉冲响应分析：这里是滞后算子的多项式。根据前面对脉冲响应函

17、数的分析，分别表示时期t的一个总需求冲击对时期的产出和通货膨胀率的影响，另一方面，对产出的影响须考虑积累效应，故时期间隔内的牺牲率计算公式如下：由于结构性冲击无法识别，我们可以加上一些识别性限制，从模型的简化式形式中得到结构式脉冲响应的估计。如可以加上限制；或者加上识别性限制总需求冲击在长期上对产出没有影响，即加上限制（Blanchard and Quah限制）：二变量模型不能识别总需求冲击中的不同成分，可能会导致对牺牲率的错误估计。第二个模型（三变量模型，Shapiro and Watson 1988）作更详细的分析：这里是短期名义利率，是实际利率，是滞后算子多项式的矩阵。在这个模型中我们能

18、识别总供给冲击和总需求冲击（分解为LM冲击和IS冲击）。我们通过短期性和长期性限制来识别这些结构性冲击：加上Blanchard and Quah限制，我们能识别总供给扰动；通过假设货币政策不能对同时期的产出产生影响（即），我们能识别IS冲击和LM冲击。而通过LM冲击计算估计牺牲率。第三个模型（四变量模型，Gali1992）：这里是货币供给量的对数，是实际货币的增长率，结构性需求冲击，分别表示货币供给冲击、货币需求冲击和IS冲击。与第二个模型相同，我们需要加入短期性和长期性限制来识别结构性冲击。保留限制，并假设上述三个总需求扰动对产出水平在长期上没有影响；此外，需要加上（即货币需求和供给的变化不

19、会影响同时期的产出）和（即物价不会影响同期的货币需求）。通过货币供给冲击计算估计牺牲率。上面三个模型的计算的有效方法之一是进行Monte-Carlo随机模拟，进行区间估计。下面两个表摘自文献2，显示了一些估计结果：从表一的点估计可以看出前两个模型有相近的估计值，而第三个模型的估计值显得出奇的大。表二，在区间估计中，90%的置信区间都包含了0，并且估计效果也不是很令人满意。后两个模型虽然是对第一个的改进，但从估计效果来看确更令人失望。这也反映出当前在这一块领域的经济计量技术（包括一些假设）水平相当有限。（二）Liquidity Effect（资产折现力影响），是指货币供应量的增长所引起的短期的利

20、率下降。Pagan Adrian R. and John C. Robertson. 在“Structural models of the liquidity effect.”（1998）里讨论了三个关于计算Liquidity Effect的结构式模型。1基本的VAR模型框架：结构式模型：，其中，简约式模型：，其中，。于是，相应的移动平均表示式为：，令，则上述方程变为：，这里通过就可以计算出系统对冲击的脉冲响应：2SVAR的识别与估计对于联立系统来说，其模型识别与估计需要加入一些对系统的假设。这里除了假设是对角线矩阵外，还有三类主要的识别性限制：对的限制（对个别结构方程的同期系数的限制）；对的

21、限制（结构性冲击对个别变量的同期影响）；对的限制（结构性冲击对个别变量的长期性影响）。结构式模型可以分为递归的和非递归的：（1）递归性结构式模型递归性结构式模型在当前Liquidity Effect的研究中比较流行。为了准确的识别估计系统的参数，Sims（1980）假设：是对角线的，是下三角的。（2）非递归性结构式模型即使结构式模型不能写成下三角形式，也仍然可能给向量自回归以结构性解释。Sims（1986），Bernanke（1986），Blanchard and Watson（1986）指出对结构模型不必要求是递归性的，并给出了例子。3具体模型文章重点讨论了三个结构式VAR模型：Gordon

22、 and Leeper (1994); Lastrapes and Selgin(1995); Gali(1992)。第一个模型Gordon and Leeper (1994) ：令，这里是短期名义利率，是名义货币量的对数值，是实际产出的对数值，是consumer price index的对数值，是失业率，是10年债券利率，是commodity price index的对数值。 模型可以写成：。这里对是有比较强的限制的，第一个方程是货币供给函数，第二个是货币需求函数。这样，货币供给冲击对货币量和利率的影响可由下面两式表示：在模型的估计方面，对前两个方程，可以把先决变量当作工具变量，对每个方程运

23、用Linear IV方法得到了的前两行的估计。Gordon and Leeper (1994) 称用1982年以后的数据就能做较为灵敏的脉冲响应分析。他们采用FILM（完全信息极大似然估计）和6阶滞后期的VAR模型，对进行估计。并利用得到的的估计计算出货币总量上升1个百分点将导致利率下降3.21个百分点。第二个模型Lastrapes and Selgin(1995) 这是一个四变量模型。是工业产出的对数值，是货币量的对数值，是实际货币量的对数值，是CPI的对数值，是3-month Treasure Bill rate。Lastrapes and Selgin经过数据的预先分析，认为，是一阶单整

24、，并且这四个序列没有协整关系。模型如下：设是滞后算子的阶多项式。第一个等式被解释为IS函数，第二个为总供给函数，第三个为货币需求等式，第四个为货币供给等式。并假设货币供给冲击对利率、产出、实际均衡等没有长期影响，即第三个模型Gali(1992)与前面提到的Gali模型是同一个模型，但这里是更深入的讨论这个模型。令。Gali指出均是一阶单整，于是是I(0)的。模型如下：设其中第一个等式为总供给函数，第二个为货币供给函数，第三个为货币需求函数，第四个为IS函数。为识别模型，Gali还加了以下三个的限制性条件：；。用工具变量法对进行估计。用前述的第一个限制产生有效工具变量对总供给方程的系数进行估计；

25、用总供给方程的残差和简约式残差作为工具变量对第二个方程进行估计；第三个方程有三个内生解释变量，以，作为工具变量进行估计；对第四个方程的估计以，为工具变量。从这三个模型的结果来看，Liquidity Effect的显著性并没有此前的文献所叙述得那么强。Gordon and Leeper (1994)的模型因使用了较弱的或无效的工具变量而过分估计了Liquidity Effect；Lastrapes and Selgin(1995)的模型得出的Liquidity Effect较弱，并且若使用1982年以后的数据，Liquidity Effect将消失；Gali(1992)的模型使用了许多识别性条件

26、，工具变量的使用也有一些值得商榷的地方，对Liquidity Effect的估计也不是很准确。从总体上看，结构式模型对Liquidity Effect显著性的估计并不比传统的严格递归式模型好。附：VAR的软件（Eviews）实现最一般的VAR模型数学表达式为：其中, 是内生向量变量, 是外生变量向量, 和是待估计的参数矩阵,内生变量和外生变量分别有和阶滞后期。是随机扰动项。模型应该在滞后期预自由度之间寻求一种均衡，一般根据AIC和SC信息量取最小值的准则确定方程的阶数。1基本估计Eviews中有VAR的选项卡，选定滞后区间、样本选择范围、内生变量、外生变量、是否包含截距项等。输出结果包括三大部

27、分：VAR模型参数估计值列表、VAR模型个方程检验结果列表、VAR模型整体检验结果。在整体检验结果中有对数似然值、 AIC和SC信息量。可以经过多次试验，取得合适的最大滞后期。如果两个信息量确定的阶数不一样，也可以选择前面介绍的似然比检验。具体运用命令scalar pval=1cchisq(似然值，零约束个数)，show pval.得到pval后再进行判断。2格兰杰因果检验通常最大滞后阶数可以取大一些，Eviews可以计算用于检验的F统计量和相伴概率。在Eviews中直接利用VAR对象作格兰杰因果检验比较麻烦，采用群对象较为方便。在工作窗口已有y1和y2两序列，选中并单击鼠标右键，在弹出菜单中选择Open/as group，生成一个群对象，在群对象观测窗口工具栏中选View/Granger Causality，输入最大滞后期，就可以得到用于检验的F统计量和相伴概率。3脉冲响应分析有专门的VAR Impulse Responses对话框，填写各设置变量：产生新息影响的方程因变量名、计算脉冲响应的变量名、变量出现顺序、追踪期数等。如果新息是相关的（同时期的扰动可以是相关的），他们将包含一个与特定变量相关联的共同成分，通常不太严格的处理方法