第2章模糊控制数学基础2

1、模糊控制的数学基础模糊控制的数学基础第 2 章*0. 0. 模糊概念模糊概念天气冷热雨的大小风的强弱人的胖瘦年龄大小个子高低*模糊数学概述 模糊数学的产生 模糊数学的研究内容 模糊数学的应用*模糊数学的产生现代数学是建立在集合论的基础上现代数学是建立在集合论的基础上。u集合论的重要意义就一个侧面看，在于它把数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处。u一组对象（人）确定一组属性（利用工具、直立行走等），人们可以通过说明属性来说明概念（内涵），也可以通过指明对象（具体）来说明它。u符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延概念的外延，外延其实就是集合外延其实就是集合（小孩、少年）。从这个意义上讲，集

2、合可以表现概念，而集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理，一切现实的理论系统都可能纳入集合描述的数学框架。 *经典集合论的局限经典集合论的局限p经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延明确外延的概念和事物上，它明确地限定：每个集合都必须由明确的元素构成；元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可。p对于那些外延不分明的概念和事物，经典集合论是暂时不去反映的，属于待发展的范畴 *模糊事物模糊事物在日常生活中，在日常生活中，经常遇到许多模糊事物，没有分明的数量界限，要使用一些模糊的词句来形容、描述。比如，比较年轻、高个、大胖子、好、漂亮、善、热、远。工作中，工作中，例如，要确定一炉

3、钢水是否已经炼好，除了要知道钢水的温度、成分比例和冶炼时间等精确信息外，还需要参考钢水颜色、沸腾情况等模糊信息。因此，除了很早就有涉及误差的计算数学之外，还需要模糊数学。 *复杂系统的模糊性复杂系统的模糊性 我们研究人类系统的行为，或者处理可与人类系统行为相比拟的复杂系统，如航天系统、人脑系统、社会系统等，参数和变量甚多，各种因素相互交错，系统越复杂，系统越复杂，它的模糊性也很明显。它的模糊性也很明显。 从认识方面说，模糊性是指概念外延的不从认识方面说，模糊性是指概念外延的不确定性，从而造成判断的不确定性。确定性，从而造成判断的不确定性。 *模糊人与计算机模糊人与计算机r人与计算机相比，一般来

4、说，人脑具有处理模糊人脑具有处理模糊信息的能力信息的能力，善于判断和处理模糊现象。r计算机对模糊现象识别能力较差，为了提高计算机识别模糊现象的能力，就需要把人们常用的模人们常用的模糊语言设计成机器能接受的指令和程序糊语言设计成机器能接受的指令和程序，以便机器能像人脑那样简洁灵活的做出相应的判断，从而提高自动识别和控制模糊现象的效率。 这样，就需要寻找一种描述和加工模糊信息描述和加工模糊信息的数学工具的数学工具，这就推动数学家深入研究模糊数学。所以，模糊数学的产生是有其科学技术与数学发展的必然性 *模糊数学的诞生 1965年，美国控制论专家、数学家查德发表了论文模糊集合，标志着模糊数学这门学科的

5、诞生。 *模糊数学的研究内容模糊数学的研究内容 m第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系。 m第二，研究模糊语言学和模糊逻辑。 m第三，研究模糊数学的应用。 *模糊数学的应用模糊数学的应用 模糊数学是一门新兴学科，它已初步应用：模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面。在气象、结构力学、控制、心理学等方面已有具体的研究成果模糊数学最重要的应用领域是计算机职能，不少人认为它与新一代计算机的研制有密切的联系。*日本模糊控制应用摄像机的自动对焦模糊吸尘器（被吸表面的自动辨识）模糊吸尘器（被吸表面的自动辨识）模糊空调（自动调节

6、温度，节能30）模糊洗衣机（自动调节洗衣时间及洗涤剂量）模糊洗衣机（自动调节洗衣时间及洗涤剂量）电梯控制（乘客平均等电梯时间减少2030）地铁列车的平稳与舒适控制地铁列车的平稳与舒适控制*2.1 模糊数学概念模糊数学(模糊集）是模糊控制的数学基础，它是由美国加利福尼亚大学Zadeh教授最先提出的。他将模糊性和集合论统一起来，在不放弃集合的数学严格性的同时，使其吸取人脑思维中对于模糊现象认识和推理的优点。v “模糊”，是指客观事物彼此间的差异在中间过渡时，界限不明显，呈现出的“亦此亦彼”性。“模糊”是相对于“精确”而言的。 “精确”：“老师”、“学生”、“工人” “模糊”：“高个子”、“热天气”

7、、“年轻人”v 模糊数学并不是让数学变成模模糊糊的东西，而是用数学工具对模糊现象进行描述和分析。模糊数学是对经典数学的扩展，它在经典集合理论的基础上引入了“隶属函数”的概念，来描述事物对模糊概念的从属程度。*2.2 普通集合* 集合 具有特定属性的对象的全体，称为集合。例如： “湖南大学的学生”可以作为一个集合。集合通常用大写字母A，B，Z来表示。* 元素 组成集合的各个对象，称为元素，也称为个体。通常用小写字母a，b，z来表示。* 论域 所研究的全部对象的总和，叫做论域，也叫全集合。* 空集 不包含任何元素的集合，称为空集，记做。* 子集 集合中的一部分元素组成的集合，称为集合的子集。1）集

8、合的概念 若元素 a 是集合 A 的元素，则称元素 a 属于集合 A ，记为aA；反之，称a不属于集合A，记做 。Aa* 属于*包含BA AB 若集合A是集合B的子集，则称集合A包含于集合B，记为 ；或者集合B包含集合A，记为 。BA AB 对于两个集合A和B，如果 和 同时成立，则称A和B相等，记做A=B。此时A和B有相同的元素，互为子集。*相等*有限集 如果一个集合包含的元素为有限个，就叫做有限集；否则，叫做无限集。*2）集合的表示法 将集合中的所有元素都列在大括号中表示出来，该方法只能用于有限集的表示。 例如10-20之间的偶数组成集合A，则A可表示为 A=10，12，14，16，18，

9、20* 表征法 表征法将集合中所有元素的共同特征列在大括号中表征出来。 上例中的集合A也可用表征法表示为A=a|a为偶数，10a 202.2 普通集合普通集合* 列举法* 集合交设X，Y为两个集合，由既属于X又属于Y的元素组成的集合P称为X，Y的交集，记作P=XY * 集合并设X，Y为两个集合，由属于X或者属于Y的元素组成的集合Q称为X，Y的并集，记作Q=XY * 集合补在论域Y上有集合X，则X的补集为|XxxX3）集合的运算 2.2 普通集合普通集合*具体算法是：在X，Y中各取一个元素组成序偶（x，y），所有序偶组成的集合，就是X，Y的直积。 * 集合的直积 设X，Y为两集合，定义X，Y的直

10、积为,| ),(YyXxyxYX4） 集合的特征函数设x为论域X中的元素， A为论域X中定义的一个集合，则x和A的关系可以用集合A的特征函数来表示。它的值域是0，1，它表示元素x是否属于集合A。如果x属于集合A，那么的值为1；如果x不属于集合A，那么的值为0。即Ax 0,Ax ,xA1)(2.2 普通集合普通集合*(1)模糊集合的定义： 5 . 0)30(A2.3 2.3 模糊集合模糊集合 35255251125151)(2xxxxA例例2.3.1 2.3.1 论域为论域为1515到到3535岁之间的人，模糊集岁之间的人，模糊集 表示表示“年轻人年轻人”，则模糊集，则模糊集的隶属函数可定义为的

11、隶属函数可定义为则年龄为则年龄为3030岁的人属于岁的人属于“年轻人年轻人”的程度为：的程度为：A)(xA给定论域给定论域E E中的一个模糊集中的一个模糊集 ，是指任意元素，是指任意元素xExE，都不同程度地属于这个，都不同程度地属于这个集合，元素属于这个集合的程度可以用隶属函数集合，元素属于这个集合的程度可以用隶属函数 00，11来表示。来表示。*(2) 模糊集合的表示法：1） Zadeh表示法当论域上的元素为有限个时，定义在该论域上的模糊集可表示为：nnAAAxxxxxxA)()()(2211注意：式中的“”和“/”，仅仅是分隔符号，并不代表“加”和“除”。 例2.3.2 假设论域为5个人

12、的身高，分别为172cm、165cm、175cm、180cm、178cm，他们的身高对于“高个子”的模糊概念的隶属度分别为0.8、0.78、0.85、0.90、0.88。则模糊集“高个子”可以表示为 高个子17888. 01809 . 017585. 016578. 01728 . 0 2.3 2.3 模糊集合模糊集合 *2）序偶表示法 当论域上的元素为有限个时，定义在该论域上的模糊集还可用序偶的形式表示为： )(,)(,)(,2211nAnAAxxxxxxA，（，（或简化为： ），（)()()(21nAAAxxxA对于上例的模糊集“高个子”可以用序偶法表示为 高个子)88. 0 ,178()

13、,9 . 0 ,180(),85. 0 ,175(),78. 0 ,165(),8 . 0 ,172(或 高个子88. 0 , 9 . 0 ,85. 0 ,78. 0 , 8 . 02.3 2.3 模糊集合模糊集合 *3）隶属函数描述法 论域U上的模糊子集可以完全由其隶属函数表示。 假设年龄的论域为U=15，35，则模糊集“年轻”可用隶属函数表征为： 35255251125151)(2xxxx年轻该隶属函数的形状如图 2.3 2.3 模糊集合模糊集合 *（3) 模糊集合的运算 模糊集合与普通集合一样也有交、并、补的运算。 假设A和B为论域U上的两个模糊集，它们的隶属函数分别为)(xA)(xB和

14、n 模糊集交)()()(xxxBACn 模糊集并)()()(xxxBADn 模糊集补A)(1)(xxAAn 相等若Ux，总有)()(xxBA成立，则称A和B相等，记作BA 。 n 包含若Ux，总有)()(xxBA成立，则称A包含B，记作。 BA 2.3 2.3 模糊集合模糊集合 BACBAD例2.3.3：设论域U=a, b, c, d, e上有两个模糊集分别为： edcbaA1 . 02 . 04 . 03 . 05 . 0edcbaB4 . 07 . 01 . 08 . 02 . 0求 BABAAedcbaBA4 . 01 . 07 . 02 . 01 . 04 . 08 . 03 . 02

15、 . 05 . 0edcba1 . 02 . 01 . 03 . 02 . 0edcbaBA4 .01 .07 .02 .01 .04 .08 .03 .02 .05 .0edcba4 .07 .04 .08 .05 .0edcbaA1 . 012 . 014 . 013 . 015 . 01edcba9 . 08 . 06 . 07 . 05 . 02.3 2.3 模糊集合模糊集合 *（4）模糊运算的性质：n交换率ABBAABBA，n结合率)()(CBACBA，)()(CBACBAn分配率)()()(CABACBA)()()(CABACBAn传递率BA，CB ，则CA，n幂等率AAAAAAn

16、摩根率BABABABA，n复原率AA 2.3 2.3 模糊集合模糊集合 *2.4 水平截集 水平截集的定义 在论域U中，给定一个模糊集合A，由对于A的隶属度大于某一水平值（阈值）的元素组成的集合，叫做该模糊集合的水平截集。用公式可以描述如下： )(|xxAA其中其中xUxU，0,10,1。显然，。显然，A A是一个普通集合。是一个普通集合。 例例2.4.1 2.4.1 已知已知543219 . 07 . 05 . 03 . 01 . 0 xxxxxA，求求A0.1、A0.2、A0.7 ,543211 . 0 xxxxxA,54322 . 0 xxxxA,547 . 0 xxA*2.4 水平截集

17、 水平截集的性质 1 1）ABAB的的水平截集是水平截集是A A和和B B的并集：的并集：BABA)(2 2）ABAB的的水平截集是水平截集是A A和和B B的交集：的交集：BABA)(3 3）如果）如果0,1,0,10,1,0,1且且 ，则，则AA*2.5 2.5 模糊关系模糊关系 (1) 普通关系“关系”是集合论中的一个重要概念，它反映了不同集合的元素之间的关联。普通关系是用数学方法描述不同普通集合中的元素之间有无关联。例2.5.1 举行一次东西亚足球对抗赛，分两个小组A=中国，日本，韩国，B=伊朗，沙特，阿联酋。抽签决定的对阵形势为：中国-伊朗，日本-阿联酋，韩国-沙特。用R表示两组的对

18、阵关系，则R可用序偶的形式表示为： R=（中国，伊朗），（日本，阿联酋），（韩国，沙特） *可见关系R是A，B的直积AB的子集。也可将R表示为矩阵形式，假设R中的元素r(i,j)表示A组第i个球队与B组第j个球队的对应关系，如有对阵关系，则r(i,j)为1，否则为0，则R可表示为： 该矩阵称为A和B的关系矩阵。 由普通关系的定义可以看出：在定义了某种关系之后，两个集合的元素对于这种关系要么有关联，r(i,j)1；要么没有关联，r(i,j)0。这种关系是很明确的。 2.5 2.5 模糊关系模糊关系*（2）模糊关系人和人之间关系的“亲密”与否？儿子和父亲之间长相的“相像”与否？家庭是否“和睦”？这

19、些关系就无法简单的用“是”或“否”来描述，而只能描述为“在多大程度上是”或“在多大程度上否“。这些关系就是模糊关系。我们可以将普通关系的概念进行扩展，从而得出模糊关系的定义。2.5 2.5 模糊关系模糊关系* 模糊关系的定义 假设x是论域U中的元素，y是论域V中的元素，则U到V的一个模糊关系是指定义在VU 上的一个模糊子集R，其隶属度 1 , 0),(yxR代表x和y对于该模糊关系的关联程度。 例2.5.2 我们用模糊关系来描述子女与父母长相的“相像”的关系，假设儿子与父亲的相像程度为0.8，与母亲的相像程度为0.3；女儿与与父亲的相像程度为0.3，与母亲的相像程度为0.6。则可描述为： 女，

20、母）女，父）子，母）子，父）(6 . 0(3 . 0(3 . 0(8 . 0R2.5 2.5 模糊关系模糊关系*模糊关系常常用矩阵的形式来描述。假设xU，yV ，则U到V的模糊关系可以用矩阵描述为),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111nmRmRmRnRRRnRRRyxyxyxyxyxyxyxyxyxR则上例中的模糊关系又可以用矩阵描述为： 2.5 2.5 模糊关系模糊关系* 模糊关系的运算 假设R和S是论域上UV的两个模糊关系，分别描述为： rrrrrrrrrRmnmmnn.:.212222111211sssssssssSmnmmnn.:.2122221

21、11211那么，模糊关系的运算规则可描述如下 ：模糊关系的相等： ijijsrSR模糊关系的包含： ijijsrSR模糊关系的并： srsrsrsrSRmnmnmmnn111111112.5 2.5 模糊关系模糊关系*模糊关系的交： srsrsrsrSRmnmnmmnn11111111mnmnrrrrR11111111模糊关系的补： 2.5 2.5 模糊关系模糊关系*例2.5.3 已知 4 . 02 . 03 . 01 . 0R1 . 05 . 02 . 04 . 0S求： SRSRR解：根据模糊关系的运算规则得： 1 . 02 . 02 . 01 . 01 . 04 . 05 . 02 .

22、02 . 03 . 04 . 01 . 0SR4 . 05 . 03 . 04 . 01 . 04 . 05 . 02 . 02 . 03 . 04 . 01 . 0SR6 . 08 . 07 . 09 . 04 . 012 . 013 . 011 . 01R2.5 2.5 模糊关系模糊关系* 模糊关系的合成设R是论域UV上的模糊关系，S是论域VW上的模糊关系，R和S分别描述为：),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111nmRmRmRnRRRnRRRyxyxyxyxyxyxyxyxyxR),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212

23、111lnSnSnSlSSSlSSSzyzyzyzyzyzyzyzyzyS则R和S可以合成为论域UW上的一个新的模糊关系C，记做SRC合成运算法则为： ),(),(),(jkSkiRkjiCzyyxzx2.5 2.5 模糊关系模糊关系*例2.5.4: 假设模糊关系R描述了子女与父亲、叔叔长相的“相象”关系，模糊关系S描述了父亲、叔叔与祖父、祖母长相的“相象”关系，R和S分别描述为：求子女与祖父、祖母长相的“相像”关系C. 2.5 2.5 模糊关系模糊关系*解：由合成运算法则得： ),(),(),(),(),(1221111111zyyxzyyxzxSRSRC2 . 02 . 02 . 09 .

24、 02 . 02 . 08 . 0),(),(),(),(),(2221211121zyyxzyyxzxSRSRC7 . 01 . 07 . 0 1 . 02 . 07 . 08 . 0),(),(),(),(),(1222111212zyyxzyyxzxSRSRC5 . 05 . 02 . 09 . 05 . 02 . 03 . 0),(),(),(),(),(2222211222zyyxzyyxzxSRSRC3 . 01 . 03 . 0 1 . 05 . 07 . 03 . 0所以， 2.5 2.5 模糊关系模糊关系*（3）模糊变换 2.5 2.5 模糊关系模糊关系设有二有限集X=x1,

25、x2,xm和Y=y1,y2,yn，R是XY上的模糊关系：rrrrrrrrrRmnmmnn.:.212222111211设A和B分别为X和Y上的模糊集：)(),(),(21mAAAxxxA)(,),(),(21nBBByyyB的隶属函数运算规则为：RAB则称B是A的象，A是B的原象，R是X到Y上的一个模糊变换。RAB且满足),()()(1jiRiAmijByxxynj, 1*2.5 2.5 模糊关系模糊关系例2.5.5：已知论域X=x1,x2, x3和Y=y1,y2，A是论域X上的模糊集：5 . 0 , 3 . 0 , 1 . 0AR是X到Y上的一个模糊变换，6 . 04 . 01 . 03 .

26、 02 . 05 . 0R试通过模糊变换R求A的象B解：RAB6 . 04 . 01 . 03 . 02 . 05 . 0)5 . 0 , 3 . 0 , 1 . 0()6 . 05 . 0() 1 . 03 . 0()2 . 01 . 0()4 . 05 . 0()3 . 03 . 0()5 . 01 . 0()5 . 0 , 4 . 0(*例例2.5.6 艺术学院招生，对考生所需考察的素质有：艺术学院招生，对考生所需考察的素质有：歌舞，表演，外在歌舞，表演，外在。对。对各种素质的评语分为四个等级各种素质的评语分为四个等级好，较好，一般，差好，较好，一般，差。某学生表演完毕后，评委对其评价为

27、：某学生表演完毕后，评委对其评价为：好好较好较好一般一般差差歌舞歌舞30302020表演表演10205020外在外在40401010如果考察学生培养为电影演员的潜质，则对表演的要求较高，其它较低。如果考察学生培养为电影演员的潜质，则对表演的要求较高，其它较低。定义加权模糊集为：定义加权模糊集为：A0.25 0.5 0.25试根据模糊变换来得到评委对该学生培养为电影演员的最终结论。试根据模糊变换来得到评委对该学生培养为电影演员的最终结论。2.5 模糊关系 解：根据模糊变换可以得到评委对该学生培养为电影演员的决策集：解：根据模糊变换可以得到评委对该学生培养为电影演员的决策集：1 . 01 . 04

28、 . 04 . 02 . 05 . 02 . 01 . 02 . 02 . 03 . 03 . 025. 05 . 025. 0 RAB2 . 05 . 025. 025. 0 综合评判：选取隶属度最大的元素作为最终的评语，评委的评语为综合评判：选取隶属度最大的元素作为最终的评语，评委的评语为“一般一般”2.5 模糊关系*2.6 语言规则中蕴涵的模糊关系 “天气很冷，快要下雪了” 气温-下雪概率(1) 语言变量 语言变量是自然语言中的词或句，它的取值不是通常的数，而是用模糊语言表示的模糊集合。 例如“年龄”就可以是一个模糊语言变量，其取值为“年幼”，“年轻”，“年老”等模糊集合。 2.6 语言

29、规则中蕴涵的模糊关系*定义一个语言变量需要定义以下4个方面的内容： 定义变量名称 定义变量的论域 定义变量的语言值（每个语言值是定义在变量论域上的一个模糊集合） 定义每个模糊集合的隶属函数。 例2.6.1：试根据定义语言变量的4要素来定义语言变量“速度”。 首先，定义变量名称为“速度”，记做x；其次，定义变量“速度”的论域为0，200km/h；再次，在论域0，200上定义变量的语言值为 慢，中，快；最后，在论域上分别定义各语言值的隶属函数为 2001000100505025001)(xxxxx慢2001500150100503100501505000)(xxxxxxx中200150115010

30、025010000)(xxxxx快2.6 语言规则中蕴涵的模糊关系*定义的隶属函数形状如图 (2) 模糊蕴含关系 人类在生产实践和生活中的操作经验和控制规则往往可以用自然语言来描述。譬如，在汽车驾驶速度的控制过程中，控制规则可以描述为“如果速度快了，那么减小油门；如果速度慢了，那么加大油门。”下面就来介绍如何利用模糊数学从语言规则中提取其蕴涵的模糊关系。 2.6 语言规则中蕴涵的模糊关系*2.6 语言规则中蕴涵的模糊关系n 假设u，v 是已定义的两个语言变量，人类的语言控制规则为“如果u是A，则v是B；否则，v是C” 则该规则蕴涵的模糊关系R为：)()(CABAR)()(1)()(),(vuv

31、uvuCABAR*2.6 语言规则中蕴涵的模糊关系例2.6.2： 定义两语言变量“误差u”和“控制量v”；两者的论域：U=V= 1 ,2 ,3 ,4 ,5； 定义在论域上的语言值为：小，大，很大，不很大 =A，B，G，C；定义各语言值的隶属函数为：)0 . 01 . 03 . 08 . 00 . 1 (A)0 . 18 . 03 . 01 . 00 . 0(B)0 . 164. 009. 001. 00 . 0(G)0 . 036. 091. 099. 00 . 1 (C分别求出控制规则“如果u 是小，那么 v 是大” 蕴涵的模糊关系R1和规则“如果u 是小，那么 v 是大；否则， v 是不很

32、大”蕴涵的模糊关系R2。*2.6 语言规则中蕴涵的模糊关系解：（1）求解R1 )()()(1 ),(1vuuvuBAAR0 . 10 . 10 . 10 . 10 . 19 . 09 . 09 . 09 . 09 . 07 . 07 . 07 . 07 . 07 . 08 . 08 . 03 . 02 . 02 . 00 . 18 . 03 . 01 . 00 . 01R（2）求解R2 )()(2CABAR)()(1)()(),(2vuvuvuCABAR0 . 036. 091. 099. 00 . 11 . 036. 09 . 09 . 09 . 03 . 036. 07 . 07 . 07

33、 . 08 . 08 . 03 . 02 . 02 . 00 . 18 . 03 . 01 . 00 . 02R*2）多重条件语句的蕴涵关系由多个简单条件语句并列构成的语句叫做多重条件语句，其句型为：如果u是A1，则v是B1 ； 否则，如果u是A2，则v是B2 ； 否则，如果u是An，则v是Bn。 该语句蕴涵的模糊关系为： niiinnBABABABAR12211)()()()(其隶属函数为：)()(),(1vuvuiiBAniR2.6 语言规则中蕴涵的模糊关系*3）多维条件语句的蕴涵关系具有多输入量的简单条件语句，我们称之为多维条件语句。其句型为：如果u1是A1，且u2是A2，且um是Am，

34、则v是B该语句蕴涵的模糊关系为： 其隶属函数为：2.6 语言规则中蕴涵的模糊关系21BAAARm)()()()(),(212121vuuuvuuuBmAAAmRm*2.6 语言规则中蕴涵的模糊关系例例2.6.3 已知语言规则为已知语言规则为“如果如果e是是A，并且，并且ec是是B，那么，那么u是是C。”其中其中 215 . 01eeA32116 . 01 . 0ecececB32117 . 03 . 0uuuC试求该语句所蕴涵的模糊关系试求该语句所蕴涵的模糊关系 R。解：解： CBAR第一步，先求第一步，先求R1AB：5 . 05 . 01 . 016 . 01 . 015 . 06 . 05

35、 . 01 . 05 . 0116 . 011 . 011R*第二步，将二元关系矩阵第二步，将二元关系矩阵R1排成列向量形式排成列向量形式R1 T，先，先将中的第一行元素写成列向量形式，再将中的第二行将中的第一行元素写成列向量形式，再将中的第二行元素也写成列向量并放在前者的下面，如果是多行的，元素也写成列向量并放在前者的下面，如果是多行的，再依次写下去。于是再依次写下去。于是R1可表示为：可表示为： 5 . 05 . 01 . 016 . 01 . 01TR第三步，第三步，R可计算如下：可计算如下： 15 . 07 . 05 . 03 . 05 . 015 . 07 . 05 . 03 . 0

36、5 . 011 . 07 . 01 . 03 . 01 . 0117 . 013 . 0116 . 07 . 06 . 03 . 06 . 011 . 07 . 01 . 03 . 01 . 0) 17 . 03 . 0(5 . 05 . 01 . 016 . 01 . 01CRRT5 . 05 . 03 . 05 . 05 . 03 . 01 . 01 . 01 . 017 . 03 . 06 . 06 . 03 . 01 . 01 . 01 . 02.6 语言规则中蕴涵的模糊关系*2.6 语言规则中蕴涵的模糊关系4）多重多维条件语句的蕴涵关系具有多输入量的多重条件语句，我们称之为多重多维条

37、件语句。其句型为：具有多输入量的多重条件语句，我们称之为多重多维条件语句。其句型为： 如果u1是A11，且u2是A12，且um是A1m，则v是B1；否则，如果u1是A21，且u2是A22，且um是A2m，则v是B2；否则，如果u1是An1，且u2是An2，且um是Anm，则v是Bn；则该语句蕴涵的模糊关系为：则该语句蕴涵的模糊关系为： )(211iimiiniBAAAR其隶属函数为：其隶属函数为：)()()()(),(2121121vuuuvuuuiimiiBmAAAnimR*2.7 模糊推理常规推理：常规推理：已知已知x，y之间的函数关系之间的函数关系yf(x)，则对于某个，则对于某个x*

38、，根据，根据f( )可可以推理得到相应的以推理得到相应的y*。xyf( )x*y*=f(x*)推理推理模糊推理：模糊推理：知道了语言控制规则中蕴涵的模糊关系后，就可以根据模糊关知道了语言控制规则中蕴涵的模糊关系后，就可以根据模糊关系和输入情况，来确定输出情况，这就叫做系和输入情况，来确定输出情况，这就叫做“模糊推理模糊推理”。xyRx*=Ay*=B推理推理*2.7 模糊推理（1） 单输入模糊推理对于单输入的情况，假设两个语言变量x，y之间的模糊关系为R ，当x的模糊取值为A* 时，与之相对应的y的取值B* ，可通过模糊推理得出，如下式所示：*RAB上式的计算方法有两种：1）Zadeh法法),(

39、)(),()()(*yxxyxRxAyBRAXx)(1 ()()()(*xyxxABAAXx*2.7 模糊推理例例2.7.1 在例在例2.6.2中，已经求出控制规则中，已经求出控制规则“如果如果u 是小，那么是小，那么 v 是大是大”蕴涵的蕴涵的模糊关系为模糊关系为R1，现在，已知输入量，现在，已知输入量u 的模糊取值为的模糊取值为“略小略小”，记做，记做A1，令，令A1=(1,0.89,0.55,0.32,0)求控制量求控制量v根据规则相应的取值根据规则相应的取值B1。 解：0 . 10 . 10 . 10 . 10 . 19 . 09 . 09 . 09 . 09 . 07 . 07 .

40、07 . 07 . 07 . 08 . 08 . 03 . 02 . 02 . 00 . 18 . 03 . 01 . 00 . 01R111RAB),()()(1511111vuuviRiAiB55. 0同理，可解得：同理，可解得：55. 0)(21vB55. 0)(31vB8 . 0)(41vB0 . 1)(51vB所以)0 . 18 . 055. 055. 055. 0(1B*2.7 模糊推理2）Mamdani推理方法推理方法与与Zadeh法不同的是，法不同的是，Mamdani推理方法用推理方法用A和和B的笛卡儿积来表示的笛卡儿积来表示AB的模糊蕴涵关系。的模糊蕴涵关系。BABAR则对于

41、单输入推理的情况，*RAB的计算方法为：的计算方法为：)()()(),()()(*yxxyxRxAyBBAAXx)()()(*yxxBAAXx)(yB)()(*xxAAXx叫做和叫做和A的适配度，它是的适配度，它是A*和和A的交集的高度。的交集的高度。根据根据Mamdani推理方法，结论可以看作用推理方法，结论可以看作用对对B进行切割，所以这种方进行切割，所以这种方法又可以形象地称为法又可以形象地称为削顶法削顶法。 *2.7 模糊推理单输入单输入Mamdani推理的图形化描述（削顶法）推理的图形化描述（削顶法） *（2） 多输入模糊推理对于语言规则含有多个输入的情况，假设输入语言变量对于语言规

42、则含有多个输入的情况，假设输入语言变量x1,x2,xm与输与输出语言变量出语言变量y之间的模糊关系为之间的模糊关系为R，当输入变量的模糊取值分别为，当输入变量的模糊取值分别为A1*, A2*, ,Am*时，与之相对应的时，与之相对应的y的取值的取值B*，可通过下式得到：，可通过下式得到：*2*1*)(RAAABm),()()()( ),()()()()(2121,21*2*21*1*2*121yxxxxxxyxxxRxAxAxAyBmRmAAAxxxmmmmm2.7 模糊推理*例2.7.2，已知 2.7 模糊推理21*4 . 08 . 0eeA321*7 . 06 . 02 . 0ececec

43、B试根据例试根据例2.6.3中的语言规则求中的语言规则求“e 是是A* 并且并且ec 是是B* ”时输出时输出u的模糊值的模糊值C* 。解：解： *)(RBAC5 . 05 . 03 . 05 . 05 . 03 . 01 . 01 . 01 . 017 . 03 . 06 . 06 . 03 . 01 . 01 . 01 . 0R*把把R2写成行向量形式，并以写成行向量形式，并以R2T表示，则表示，则 令令 *2BAR4 . 04 . 02 . 07 . 06 . 02 . 07 . 04 . 06 . 04 . 02 . 04 . 07 . 08 . 06 . 08 . 02 . 08 .

44、 02R)4 . 04 . 02 . 07 . 06 . 02 . 0(2TR)6 . 07 . 03 . 0()(2*RRRBACT321*6 . 07 . 03 . 0uuuC2.7 模糊推理*2.7 模糊推理对于二输入模糊推理，还可以根据对于二输入模糊推理，还可以根据Mamdani方法用图形法进行描述方法用图形法进行描述： 二维模糊规则：二维模糊规则：R： IF x is A and y is B THEN z is C ，可以看作两个单，可以看作两个单维模糊规则的交集：维模糊规则的交集： R1： IF x is A THEN z is C，and R2：IF y is B THEN z

45、 is C。则当二维输入变量的模糊取值分别为则当二维输入变量的模糊取值分别为A*和和B*时，根据时，根据R推理得到的模糊输推理得到的模糊输出出C*等于根据等于根据R1推理得到的模糊输出推理得到的模糊输出C1*和根据和根据R2推理得到的模糊输出推理得到的模糊输出C2*的交集。的交集。 )(*1CAAC)(*2CBBC)()(*2*1*CBBCAACCC*其运算法则为：其运算法则为： )()()()()()()(*zyyzxxzCBBYyCAAXxC)()()()()()(*zyyzxxCBBYyCAAXx )()(21zzCC)(21zC上式的图形化意义在于用上式的图形化意义在于用1 1和和2

46、2的最小值对的最小值对C进行削顶。进行削顶。2.7 模糊推理*（3）多输入多规则模糊推理）多输入多规则模糊推理 以二输入为例，对于多规则的情况，规则库可以描述为：以二输入为例，对于多规则的情况，规则库可以描述为：R：R1：IF x is A1 and y is B1 THEN z is C1;R2：IF x is A2 and y is B2 THEN z is C2;Rn：IF x is An and y is Bn THEN z is Cn;则当二维输入变量的模糊取值分别为则当二维输入变量的模糊取值分别为A*和和B*时，根据时，根据R推理得到的模糊输推理得到的模糊输出出C*等于所有根据等于

47、所有根据Ri推理得到的模糊输出推理得到的模糊输出Ci的并集。的并集。 *iiCC)()(*zziCiC2.7 模糊推理*2.7 模糊推理 两规则二输入模糊推理图形化描述两规则二输入模糊推理图形化描述 *小结模糊集理论是模糊控制的数学基础，是描述模糊性概念的有效的数学模糊集理论是模糊控制的数学基础，是描述模糊性概念的有效的数学工具。模糊集合理论是普通集合理论的拓展，它通过引入隶属函数的工具。模糊集合理论是普通集合理论的拓展，它通过引入隶属函数的概念达到了对模糊概念描述的目的。概念达到了对模糊概念描述的目的。本章详细地介绍了模糊集合、模糊关系的概念及其与普通集合、普通本章详细地介绍了模糊集合、模糊

48、关系的概念及其与普通集合、普通关系之间的关系、并给出了如何从人类自然语言规则中提取其蕴涵的关系之间的关系、并给出了如何从人类自然语言规则中提取其蕴涵的模糊关系的方法，介绍了如何根据模糊关系进行模糊推理。模糊关系的方法，介绍了如何根据模糊关系进行模糊推理。 *什么是模糊集合？什么是模糊集合？u精确集合：A=X|X6（论域中的某个数要么属于、要么不属于A，只有两种情况）精确集合的隶属函数： A 0A 1 X XA如果如果u模糊集合：如果 是对象x的集合（论域、取值范围），则 的模糊集合 ：XXA|)(,(XxxxAA) )(MFAxA的隶属函数（简写为称为模糊集合（论域中元素属于模糊集合A的程度，

49、例如考得好）对元素x作一个补充说明*为什么要模糊集合理论？为什么要模糊集合理论？m模糊现象普遍存在；模糊集合理论使模糊概念有定量描述m对模糊应用（控制）来讲，是数学基础。 注意：注意： 1、模糊现象： 所以语言值都是模糊的：温度高低，雨的大小2、模糊集合使我们的语言能定量描述，从而计算机能认识，模仿人的思维*模糊集合的表示方法1 1）离散形式）离散形式（有序或无序）：有序或无序）： 举例：论域 X=上海 北京 天津 西安为城市的集合。 模糊集合 C = “对城市的爱好”可以表示为： C = (上海,0.8),(北京,0.9), (天津,0.7),(西安,0.6) 或 C = 0.8 /上海+0

50、.9 /北京 +0.7 /天津 +0.6 /西安2) 2) 连续形式连续形式: :令论域 X = R+ 为人类年龄的集合,模糊集合 B = “年龄在50岁左右”则表示为:4)1050(11)( |)(,xxXxxxBBB式中：* 语言变量5元组为特征规则与各值含义有关的语法值名称的句法规则产生论域术语的集合变量的名称）（ : : : :)( : ,),(,MxGXxxTxMGXxTx*洗衣机模糊控制中自然语言“污浊度”转换为模糊语言变量*洗衣机污浊度检测*洗衣机模糊控制*模糊控制应用场合 （1）对象模型不易辨别，使一些研究和设计变得简单（2）利用人的知识（语言转化能力）（3）复杂系统（4）易于

51、组成自调整、自组织，自适应控制系统*模糊集合的运算包含或子集：并（析取）交（合取）补（负）)()(xxBABA)()()(),(max(xxxxBACBABACBABACxxBAC)(),(min()(1)( ,xxAAAAA或非*隶属函数参数化三角形隶属函数梯形隶属函数高斯形隶属函数一般钟形隶属函数xccxbbxaaxcbaxtrigbcxcabax 0 0),;(xddxccxbbxaaxdcbaxTrapcdxdabax 0 1 0),(的宽度。决定的中心；代表MFMFcecxgcx ),;(2)(21bacxcbaxbell211),;(*Trig(x;20,60,80)Trap(x;

52、10,20,60,90)g(x;50,20)bell(x:20,4,50)*隶属度函数与控制关系 我们在控制中选择不同的隶属度函数对控制性能有不同的影响*cc-ac+a斜率=-b/2a隶属函数的参数化：以钟形函数为例，bacxcbaxbell211),;(a,b,c,的几何意义如图所示。改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。*二维模糊隶属函数1）一维模糊集合的圆柱扩展YXAyxxAC),/()()(中的圆柱扩展：在论域中的模糊集合YXAX,2）模糊集合的投影*的投影：和在中二维模糊集合在YXRYX xyxRXRyX/ ),(maxYRxYyyxR/ ),(max*二维的隶属函数可以进行max

53、(OR) 和 min(AND)运算：梯形Trap(x,-6,-2,2,6)和Trap(y,-6,-2,2,6)的min和 max运算钟形bell(x,4,3,0)和bell(y,4,3,0)的min和 max运算*更一般化的二个模糊集合的运算1）三角范式运算：二个模糊集合A和B的“交”用函数来确定。 1 , 0 1 , 0 1 , 0 :T)()()(),()(xxxxTxBABABA4个最常用的T范式算子： 1, 01a 1 ),( 1, 0max),( ),( ),min(),( minbabbababaTbababaTabbabaTbababaTdpbpap如如如强积：有界积：代数积：交

54、（极小）：要满足：有界、单要满足：有界、单调性、交换性、结调性、交换性、结合性合性*2）协三角运算 S范式 1, 00a 0 ),( , 1min),( ),( ),max(),( maxbabbababaSbababaSabbababaSbababaSdsbsas如如如强和：有界和：代数和：并（极大）：二个模糊集合A和B的“并”用函数来确定。 1 , 0 1 , 0 1 , 0 :S)()()(),()(xxxxSxBABABA4个最常用的S范式算子：*计算练习已知成年男子身高论域U=130,140,150,160,170,180,190,200,210 = 则有模糊集合 个子高 和 个子矮

55、 求模糊集合个子不高，个子不矮 个子高或个子矮，个子不高且个子不矮 , 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1uuuuuuuuu90 . 180 . 178 . 066 . 054 . 042 . 030 . 020 . 010 . 0uuuuuuuuu90 . 080 . 070 . 060 . 051 . 043 . 035 . 027 . 010 . 1uuuuuuuuu*一个有趣的问题：模糊与概率的差别CA91. 0)(CL91. 0LAPr可饮液体的集合L口极渴的人饮用哪杯液体？*CA啤酒盐酸91. 0)(CL0LAPr1）模糊性是指概念外延的不确定性，从而造成判断的不确

56、定性。 （概念仍是可饮用液体集合，盐酸已不属于这个概念的集合）模糊隶属函数表示物体（对象）对不精确定义性质的相似程度。2）概率事物随机性的描述概率值把信息转变为事件发生或出现的频度。*模糊和概率2辨识1.是否不确定性就是随机性？不确定性是一种主观的先验知识，随机性一种频率 和客观测量值u相似：通过单位间隔0,1间的数来表述不确定性，都兼有集 合、相关、联系、分布方面的命题u 区别：对待 。经典集合论： 代表概率上不可能的事件。而模糊cAA, ()( )0ccAAP AAPcAA*2。模糊和概率u模糊是事件发生的程度。模糊是一种确定的不定性（deterministic uncertainty），是物理现象的特性。例子：今天下雨了，“是小雨”的程度是20%u随机是事件是否发生的不确定性。例子：明天有20%的几率下小雨*模糊关系与复合运算精确关系模糊关系同一空间表示二个或二个以上集合元素之间关联、交互、互连是否存在。表示二个或二个以上集合元素之间关联、交互、互连是否存在或不存在的程度。是二个精确的集合。 ,| ),(),(VUYyXxyxVUR是二个论域。 ,),( |),(,(),(VUVUyxyxyxVURR其它。当只当（ 0)(), 1VURyxR 1 , 0),(yxR举例101