第9章组合变形

1、第九章 组合变形9.1 概述概述9.2 斜弯曲斜弯曲9.3 拉伸拉伸(压缩压缩)与弯曲的组合与弯曲的组合9.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合9.1 概述概述一、工程实例一、工程实例压弯组合变形压弯组合变形拉弯组合变形拉弯组合变形压弯组合变形压弯组合变形组合变形组合变形所产生的变形包含有两种或两种以上基本变形。例如：屋架上的檩条（斜弯曲）pyzq二、组合变形时强度计算的方法组合变形时强度计算的方法分解+叠加（1） 将外力简化或分解（2） 判断可能的危险截面，并确定危险截面上的应力分布。（3） 判断危险点的位置，利用叠加原理确定危险点的应力状态。（4） 根据危险点的应力状态，建立相应的强度条件

2、，进行强度计算。9.2 斜弯曲斜弯曲斜放在屋架上的檩条zpjyyjzpyp(b)yzxo(c)oyzxzp以矩形截面悬臂梁为例一、内力与应力计算一、内力与应力计算P沿主轴分解sinyPPjcosZPPj弯距sinsinZyMP lxP lxMjjcoscosyzMP lxP lxMjj式中 是力P对mm截面的总弯矩。()MP lxommyypzjz(a)lxx、 的方向如图a所示。(b)yzszM引起(a)xmyDyMzMm(c)yzsyM引起yMZM由 引起的弯曲正应力ZMsinzzzM yMyIIjs 引起的弯曲正应力为yMcosyyyM zMzIIjsz(a)(b)(c)xmyDyMzM

3、ymzyzsszM引起yM引起sincos()zyMyzIIjjs（7-1）在每一具体问题当中， 和 是拉应力还是压应力，可根据杆件的变形来确定。ss 截面上任意一点D（x，y）的正应力，两者为共线向量，由叠加原理有sss例例 图示悬臂梁在两个不同截面上分别受有水平力 和铅锤力 作用。若 ，试求以下两种情况下梁内的最大正应力及其作用位置。（1）梁的截面为矩形，其宽和高分别为 。（2）梁为圆截面，其直径 。1P2P1800,PN21650,PN2lm9,18bcm hcm13dcm2P1m1md1Pzy2P1m1m1PxObh解解 (1)矩形截面 引起 引起 两者叠加zy2P1m1m1PxObh

4、353510.09 0.184.374 101210.18 0.091.0935 1012yzII2P2max51650 0.093.3954.374 10yMzMPaIs1P1max5800 2 0.0456.581.0935 10zMyMPaIs max9.98MPas(2)圆形截面：设危险点坐标为(y , z) 引起 ; 引起 2P1m1md1P464dI2P1650zIs1P80021600yyIIs 220.065zy450.131.4019 1064yz两者叠加由得故有16501600zyIs 0ddys0.0452y 0.0466z max51650 0.046671600 0.

5、045210.71.4019 10MPas221650 0.0651600yyI二、最大正应力与强度条件二、最大正应力与强度条件 正应力为零的直线称为截面上的中性轴。如果记中性轴上点的坐标为 ， 利用式并令 ，即可得到中性轴的方程为（7-2）00,y z0s00sincos0zyyzIIjjyzjp1D2D(a)中性轴sincos()zyMyzIIjjs中性轴是通过截面形心的一条直线。根据中性轴的位置，可以确定距离中性轴最远点的正应力最大(D1和D2)。yzjp1D2D(a)中性轴00sincos0zyyzIIjjmax1,21,2sincos()zyMyzIIjjssincos()zyMyz

6、IIjjs 强度计算步奏根据内力判断危险截面的位置再计算危险截面上最大正应力即危险点正应力危险点正应力。危险点的判定：危险截面上距离中性轴最远的点(1)像矩形一类的具有棱角的截面，危险点的位置易于确定。(1) (2)不规则截面，要首先确定截不规则截面，要首先确定截面中性轴的位置，然后在截面周边面中性轴的位置，然后在截面周边上作平行于中性轴的切线，切点就上作平行于中性轴的切线，切点就是危是危险点险点。 apzy(b)2D1D 危险点处于单向应力状态。若危险点的坐标分别为 和 且设材料的抗拉和抗压强度相等，则强度条件为 （7-3）对于像矩形一类截面，强度条件可表示为 （7-4）11,y z22,y

7、 z max1,21,2sincos()zyMyzIIjjss maxmaxmaxyzzyMMWWssapzy(b)2D1D注意：（1）材料的抗拉、抗压强度不同，应分）材料的抗拉、抗压强度不同，应分别对最大拉应力、最大压应力进行校核别对最大拉应力、最大压应力进行校核。（2）若进行截面选择，由于强度条件中 、 等均未知，不能同时确定 两个值，这时应根据经验先设定一个 的值，再试算求解。yWzW/zyW Wf三、斜弯曲时的挠度三、斜弯曲时的挠度斜弯曲时梁的挠度，同样可用叠加原理计算。先求出 引起的挠度 和 引起的挠度 ，再按矢量合成求出总挠度 的大小和方向。yPyfZPzff 下面以矩形截面梁为例

8、，说明斜弯曲情况下梁的挠度的求法。例例 求如图所示悬臂梁自由端的挠度。可查表得 于是，自由端总的挠度为 设总挠度与Z轴的夹角为 ，则 33yyzp lfEI33zzyp lfEI22yzffftantanyyzzfIfIjommyypzjxzfyyfzfz9.3 拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合 在下述两种加载方式下，杆件将产生拉弯或压弯组合变形： （1）偏心拉伸或压缩。 （2）轴向载荷与横向载荷同时作用；PNP一、强度计算一、强度计算 杆件横截面上内力 、 、 ，对应正应力。（1）根据 、 、 的大小，可以判断出杆件危险截面的位置。（2）根据 、 、 的实际作用方向，可以判断

9、出截面上危险点的位置。（3）将各个内力分量在危险点的应力叠加，就得到危险点的应力值。yMZMNyMZMNyMZMN对于矩形截面杆，有 （7-7）式中的符号由危险点处轴力和弯矩实际引起的应力是拉还是压来决定。危险点处于单向应力状态，其强度条件为 （7-8）maxyzyzMMNAWWs maxss例例 图示短柱受载荷P和H作用，试求固定端截面上角点A、B、C、D的应力。解解（1） 固定端截面内力 （2） 截面几何参数25NkN3325 1025 10625yMNm335 10600 103000zMNm 632150 100 1015 10Am29431150 100102.5 106yWm294

10、31100 150103.75 106zWmH=5KNP=25KNAyzBCD150100255075600zy（3）应力计算yzAyzMNMAWWs yzByzMNMAWWs 334425 10625300015 102.5 103.75 10 61.672.5810 628.83 10/N m623.83 10/N m61.672.5810 H=5KNP=25KNAyzBCD150100255075600zyyzDyzMNMAWWs yzCyzMNMAWWs H=5KNP=25KNAyzBCD1501002550756212.2 10/N m 61.672.5810 627.17 10/N

11、 m61.672.5810 二、截面核心二、截面核心 图a表示一受偏心压缩的短柱 将 向轴线简化为图b：PyPMPzzPMPyyxzpopypzA(a)(b)zxoyzMyMpPAs zPzzM yPy yIIs yPyyM zPz zIIs (b)zxoyzMyM在横截面上，坐标为 的B点，与三种变形相对应的应力分量分别是：, y z式中负号表示压应力。Byzyzp由叠加原理，并考虑到 ， ，得B点正应力为 如果用 代表中性轴上任一点的坐标，因中性轴上正应力 为零，可得中性轴方程为 2zzIAi2yyIAi221PPzyy yz zPAiis 00(,)y zs002210PPzyy yz

12、zii PAs yPyyM zPz zIIs 2PzPy yAi 2PyPz zAi zPzzM yPy yIIs 中性轴是一条不通过截面形心的直线中性轴是一条不通过截面形心的直线令2000zypizyay 2000yzpiyzaz 2zyPiay 2yzPiaz 002210PPzyy yz zii Byzyz中性轴中性轴ayaz中性轴在截面上的截距分别为表明（1） 与 ， 与 的符号均相反，所以中性轴与外力P作用点A分别在截面形心的两侧。 （2）若压力P作用点逐渐向形心靠近，则截距逐渐增加，即中性轴逐渐远离形心。yaPyzaPz2zyPiay 2yzPiaz yxzpopypzA(a)在形

13、心的近旁存在这样一个区域，当压力作用在此区域以内时，就可以保证中性轴不穿过横截面，使得截面上只有压应力，这个区域称为截面核心截面核心。yz1ya1234515321za432zyPiay 2yzPiaz 确定任意截面核心的边界是中性轴，它在y、z两个形心主惯性轴上的截距分别是 、 。算出与该中性轴对应的外力作用点1 ，其坐标为yz1ya1234515321za43112zPyiya 112yPziza （*）1ya1za同理，直线、等看作是中性轴，得到与它们对应的截面核心边界上的点2、3等的坐标。连接这些点，就得到一条封闭曲线，即所求的截面核心边界。yz1ya1234515321za43以矩形

14、截面为例，来说明具体方法。以矩形截面为例，来说明具体方法。先将与AB边相切的直线看作是中性轴，它在y、z两轴上的截距分别为yzADCBh12344312b6b6h6h612yha1za 该矩形截面惯性半径的平方为 中性轴对应的界面核心边界上点1的坐标为2212yyIbiA2212zzIhiA1216zPyihya 1210yPziza yzADCBh12344312b6b6h6h6同理，将、看作是中性轴，可求得与他们对应的截面核心边界上的点2、3、4的坐标依次为yzADCBh12344312b6b6h6h620Py26Phz36Phy30Pz40Py46Phz 这样就得到了截面核心边界上的四个

15、点。为了用这四个点确定截面核心的外形，这里还要解决这样一个问题，即中性轴从位中性轴从位置置绕截面顶点绕截面顶点B旋转到位置旋转到位置时，相应的外时，相应的外力作用点移动的轨迹是怎样的一条曲线？力作用点移动的轨迹是怎样的一条曲线？中性轴绕B旋转的过程中，将得到一系列通过B点但斜率不同的中性轴，B点为这一系列中性轴所共有。将B点坐标 代入中性轴方程可得(,)BByz2210PBPBzyy yz zii 由于这里 、 为常数，因此该式即为外力作用点坐标 、 的直线方程式。这也就是中性轴绕B旋转时，相应外力作用点移动的轨迹。现已知旋转的起始位置、所对应的点、在该直线上，所以、两点的核心边界应该就是连接

16、该两点的直线。以此类推，可得矩形截面的截面核心即为图b中的菱形。ByBzPyPz2210PBPBzyy yz zii 94 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合工程中常见的轴大多数在承受扭转的同时，还伴随有弯曲变形，我们称之为弯扭组合变弯扭组合变形形。P2zyxP1一、圆轴的弯扭组合变形一、圆轴的弯扭组合变形1.强度条件强度条件画出扭矩图 和弯矩图 、 。求出合成弯矩 (7-12)合成弯矩图 和扭矩 图确定圆轴危险截面nMyMzM22WM =yzMMzy1D2DozMyMwM(a)作用平面WMnM在危险截面上，与扭矩 对应的扭转剪应力在横截面周边的各点为最大，其值为 （a）与合弯矩 对应的弯曲正应

17、力在 和 点达到最大值，其值为 （b）nMnnnMW1D2Donnwsws(b)wsws1Dnn1D(c)wswszy1D2DozMyMwMwM(a)作用平面WMWWsWM1D2D沿截面的直径 ，剪应力与正应力分布如图b所示。 和 两点这两点都是危险点两点都是危险点。 点的应力状态如图c所示。wswswsws1Dnn1D(c)1D2Donnwsws(b)12D D1D2D1Dzy1D2DozMyMwMwM(a)作用平面因为危险点处于二向应力状态，所以应按强度理论建立强度条件。 点的主应力为 按第三强度理论，强度条件为用式（c）中主应力代入后，得 1D12231422WWnssss20s313

18、xdssss2234 xdWnssswswswsws1Dnn1D(c)若按第四强度理论，强度条件为用式（c）中主应力代入后，得 2241223311()()() 2xdssssssss2243 xdWnsss12231422WWnssss20s2.2.强度条件用强度条件用“计算弯矩计算弯矩”表示的形式表示的形式对于圆截面有 ，可得到圆轴在扭转组合变形时强度条件的另一种形式 第三强度条件： 第四强度条件： 2nWW2223 yznxdMMMWss22240.75 yznxdMMMWss2222232244 yznxdWnnMMMWWsss2222242233 yznxdWnnMMMWWsss 、

19、 分别称为与第三、第四强度理论对应的“计算弯矩”。引进“计算弯矩”的概念以后，只需算出危险截面上的弯矩和扭矩值，就可以用公式进行强度计算; 222yznMMM2220.75yznMMMwswswsws1Dnn1D计算弯矩强度条件只是对圆截面轴在弯扭组合变形时才适用。强度条件 适用范围要广的多，只要危险点处于图所示应力状态，都可以用。34,xdxdss3.带轴力的圆轴弯扭组合变形船舶推进轴对这类杆件进行强度计算时，仍可用公式 但其中的 应该用轴向压缩(拉伸)时的正应力和弯曲正应力之和来代替。注意，在带轴力的圆轴弯扭组合变形时，不能用计算弯矩进行强度计算。WsTeMAB1p2peMT2234xdW

20、nss2243xdWnss例例: :一钢制圆轴，装有胶带轮A和B，两轮有相同的直径D=1m及重量P=5kN.A论上胶带的张力是水平方向的，B轮上胶带的张力是垂直方向的它们的大小如图a所示.设圆轴的许用应力 试按第三强度理论求轴所需的直径。 80MPaszyxABCD5KN2KN2KN5KN300500500(a)解：(1)外力向轴线简化 (2)作扭矩 图弯矩 、 图。C、B截面合成弯矩分别为nMzMyM22CM = yzMM22BM = yzMMzyxABCD5KN2KN2KN5KN3005005001.5KNmnMx2.1KNmxzMy2.25KNmxzyM1.5KNm22= 1.52.12

21、.58kN m22= 2.252.12.48kN m5KN1.5KNm7KN1.5KNm12KN12.54.5合成弯矩 图如图所示，可以证明 图曲线上凹，最大值在端点。显然C截面是危险截面。（3）按第三强度理论， 代入相应数据，有 由此得所需直径为WMWM22 WnMMWs32326332(2.58 10 )(1.5 10 )80 10d372 10dmmABCD5KN2KN2KN5KNxwM2.58KNm2.48KNm 例例 图为某货轮的推进轴。已知主机的功率N=7277kw,转速n=119r/min,有效推力T=767KN,桨叶重 ，轴的外伸段总重 ， ， 轴的直径d=51.5cm，材料为

22、优质碳素钢，其屈服强度极限 ，许用安全系数 。试按第四强度理论校核推进轴A截面的强度。1180PkN245PkN11.9am21.2am250sMPas 4n TeMAB1p2p2a1aeMT(a)d（2）A截面内力 N=T=767KN372779549584 10119eMN myzMnMaNA截面TeMAB1p2p2a1aeMT(a)d解解: （1）扭转力偶矩584neMMkN m1 122180 1.94.5 1.2396MPaPakN m（3）危险点的应力由轴力和弯矩产生的正应力如图所示。在截面下缘a点压应力最大，其值为最大扭转剪应力在圆截面的边缘，a点的值为按第四强度理论NMAWs3

23、623584 101621.8 10/0.515nnMN mWWsNsNWssss点zMnMyaNA截面2243xdss336223767 104396 103233.2 10/0.5150.515N m2233.23 21.850.3MPa (4)计算轴的工作安全系数轴的工作安全系数表示轴工作时的安全储备，其定义为破坏应力除以工作应力。 故轴是安全的。4sxdnss同学们思考同学们思考一下本例如采用第三强度理论，其强度条件能否写成 请说明理由说明理由。2223 yznxdMMMNWAss2504.9750.34二、矩形截面杆的弯扭组合变形二、矩形截面杆的弯扭组合变形矩形截面杆的弯扭组合变形时，其强度计算步骤与圆轴大致相同，但有以下几点重要差别:1.当矩形截面上同时有弯矩 、 作用时，不能像圆轴那样将它们组合成总弯矩 ，因为组合成弯矩 的作用面并不是主惯性面，因而合成后不是平面弯曲。这时，应分别计算 、 所引起的应力，然后将同一点的正应力叠加。2.在扭矩 作用下，矩形截面上长边中点剪应力最大，短边中点为局部极限值，角点剪应力为零。因此，在判断危险点是应予以注意。yMzMWMWMnMyMzM3.矩形截面杆在弯矩 、 和扭矩 作用下危险点的应力