圆锥曲线中档题目精选1.

1、圆锥曲线中档题目精选1一解答题（共30小题）1（2015崇明县一模）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，右焦点到右顶点的距离为1（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（kR），使得成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由2（2015兴国县一模）已知抛物线y2=2px（p0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）求抛物线方程；求ABS面积的最大值3（2015路南区二模）已知抛物线y2=4x，直线l：y=x+b与抛物

2、线交于A，B两点（）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（）若直线l与y轴负半轴相交，求AOB面积的最大值4（2015黄冈模拟）已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C，过点（1，），（）求椭圆C的标准方程；（）设T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且=，若2，1，求|+|2的最小值5（2015惠州模拟）椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为（）求椭圆C的标准方程；（）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线l过定点

3、，并求出该定点的坐标6（2015惠州模拟）已知椭圆C1的离心率为e=，过C1的左焦点F1的直线l：xy+2=0被圆C2：（x3）2+（y3）2=r2（r0）截得的弦长为2（1）求椭圆C1的方程；（2）设C1的右焦点为F2，在圆C2上是否存在点P，满足|PF1|=|PF2|，若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）；若不存在，说明理由7已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（）求曲线E的方程；（）当直线l与圆x2+y

4、2=1相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由8（2015河南一模）已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，0）（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点，求点O到直线l的距离的最小值9（2015衡南县二模）已知椭圆C：=1的左焦点F1的坐标为（，0），F2是它的右焦点，点M是椭圆C上一点，MF1F2的周长等于4+2（1）求椭圆C的方程；（2）过定点P（0，2）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且OAOB（其中O为坐

5、标原点），求直线l的方程10（2015横峰县一模）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m0），l交椭圆于A、B两个不同点（1）求椭圆的方程；（2）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形11（2015杨浦区一模）如图，曲线由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（6，0），求曲线的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（

6、3）对于（1）中的曲线，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求CDF1面积的最大值12（2015株洲一模）如图，焦点在x轴的椭圆C：+=1（b0），点G（2，0），点P在椭圆上，且PGx轴，连接OP交直线x=4于点M，连接MG交椭圆于A、B（）若G为椭圆右焦点，求|OM|；（）记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的取值范围13（2015邢台模拟）已知圆C：（x+1）2+y2=20点B（l，0）点A是圆C上的动点，线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P（I）求动点P的轨迹C1的方程；（）设，N为抛物线C2：y=x2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交曲线Cl于P，Q两点，求

7、MPQ面积的最大值14（2015成都一模）设椭圆C：的离心率e=，左顶点M到直线=1的距离d=，O为坐标原点（）求椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；（）在（）的条件下，试求AOB的面积S的最小值15（2015邢台模拟）已知A（2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，APB面积的最大值为2（I）求椭圆C的标准方程；（）若直线AP的倾斜角为，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明16（2015沈阳一模）已知椭圆C：+=1

8、（ab0），e=，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A、B，点A，B的中点横坐标为，且=（其中1）（）求椭圆C的标准方程； （）求实数的值17（2014江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（ab0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1CAB，求椭圆离心率e的值18（2014北京）已知椭圆C：x2+2y2=4（）求椭圆C的离心率；（）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长

9、度的最小值19（2014安徽）设F1，F2分别是椭圆E：+=1（ab0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|F1B|（）若|AB|=4，ABF2的周长为16，求|AF2|；（）若cosAF2B=，求椭圆E的离心率20（2014陕西）已知椭圆+=1（ab0）经过点（0，），离心率为，左右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0）（）求椭圆的方程；（）若直线l：y=x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、D两点，且满足=，求直线l的方程21（2014四川）已知椭圆C：+=1（ab0）的左焦点为F（2，0），离心率为（）求椭圆C的标准方程；（）设O为坐标

10、原点，T为直线x=3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积22（2014陕西）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（ab0，y0）和部分抛物线C2：y=x2+1（y0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为（）求a，b的值；（）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若APAQ，求直线l的方程23（2014辽宁）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）（）求点P的坐标；（）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+交于A、B两点，若PA

11、B的面积为2，求C的标准方程24（2014湖南）如图，O为坐标原点，双曲线C1：=1（a10，b10）和椭圆C2：+=1（a2b20）均过点P（，1），且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形（）求C1、C2的方程；（）是否存在直线l，使得l与C1交于A、B两点，与C2只有一个公共点，且|+|=|？证明你的结论25（2014重庆）如图，设椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上DF1F1F2，=2，DF1F2的面积为（）求椭圆的标准方程；（）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求

12、圆的半径26（2014重庆）如图，设椭圆+=1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1F1F2，=2，DF1F2的面积为（）求该椭圆的标准方程；（）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由27（2014天津）设椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|（）求椭圆的离心率；（）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率28（2014广西）已知

13、抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|（）求C的方程；（）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程29（2014浙江）如图，设椭圆C：（ab0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限（）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为ab30（2014江西）如图，已知双曲线C：y2=1（a0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AFx轴，ABOB，BFOA（O

14、为坐标原点）（1）求双曲线C的方程；（2）过C上一点P（x0，y0）（y00）的直线l：y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值圆锥曲线中档题目精选1参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2015崇明县一模）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，右焦点到右顶点的距离为1（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（kR），使得成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由考点：椭圆的简单性质菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与

15、方程分析：（1）设椭圆的顶点为P，则a=2c，又由ac=1，由PF1=PF2=2结合椭圆的定义可得2a，结合b2=a2c2可求椭圆的方程； （2）存在直线l，使得成立设直线l的方程为y=kx+m，由 得（3+4k2）x2+8lmx+4m212=0由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围解答：解：（1）设椭圆的顶点为P，由两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，可得a=2c，又右焦点到右顶点的距离为1ac=1，a=2，c=1，b2=a2c2=3椭圆的方程为：，（2）解：存在直线l，使得成立理由如下：设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8lmx+4m212

16、=0=（8km）24（3+4k2）（4m212）0，化简得3+4k2m2设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=若成立，即，等价于=0所以x1x2+y1y2=0x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，（1+k2）km+m2=0，化简得7m2=12+12k2即k2=m21，代入3+4k2m2中，3+4（m21）m2，解得m2又由7m2=12+12k212，得m2，从而m2，解得m或m所以实数m的取值范围是（，+）点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断，解题时要认真审题，注意挖掘题设中

17、的隐含条件，合理地加以运用2（2015兴国县一模）已知抛物线y2=2px（p0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）求抛物线方程；求ABS面积的最大值考点：抛物线的标准方程；抛物线的简单性质菁优网版权所有专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用点差法，确定AB中点M的坐标，分类讨论，根据AB的垂直平分线恒过定点S（6，0），即可求抛物线方程；分类讨论，求出ABS面积的表达式，即可求得其最大值解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0）当直线的斜率存在时，设斜率为k，则由|AF|+|BF

18、|=8得x1+x2+p=8，又得，所以依题意，p=4抛物线方程为y2=8x（6分）当直线的斜率不存在时，2p=8，也满足上式，抛物线方程为y2=8x当直线的斜率存在时，由（2，y0）及，令y=0，得又由y2=8x和得：=（12分）当直线的斜率不存在时，AB的方程为x=2，|AB|=8，ABS面积为，ABS面积的最大值为点评：本题考查抛物线的标准方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题3（2015路南区二模）已知抛物线y2=4x，直线l：y=x+b与抛物线交于A，B两点（）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（）若直线l与y轴负半轴相交，求AOB面积的最大值考点：抛物线

19、的简单性质菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）联立得y2+8y8b=0由此利用根的判别式、弦长公式，结合已知条件能求出圆的方程（）由直线l与y轴负半轴相交，得1b0，由点O到直线l的距离d=，得SAOB=|AB|d=4由此利用导数性质能求出AOB的面积的最大值解答：解：（）联立得：y2+8y8b=0依题意应有=64+32b0，解得b2设A（x1，y1），B（x2，y2），设圆心Q（x0，y0），则应有x0=，y0=4因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y1|=4，又|AB|=所以 AB|=2r，即=8，解得b=所以x0=2b+8=，所以圆心为（，4）故所求圆的

20、方程为（x）2+（y+4）2=16（）因为直线l与y轴负半轴相交，b0，又l与抛物线交于两点，由（）知b2，2b0，直线l：y=x+b整理得x+2y2b=0，点O到直线l的距离d=，所以SAOB=|AB|d=4b=4 令g（b）=b3+2b2，2b0，g（b）=3b2+4b=3b（b+），g（b）在（1，）增函数，在（，0）是减函数，g（b）的最大值为g（）=当b=时，AOB的面积取得最大值点评：本题主要考查圆的方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直线与抛物线、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力4（2015黄冈模拟）已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关

21、于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C，过点（1，），（）求椭圆C的标准方程；（）设T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且=，若2，1，求|+|2的最小值考点：抛物线的简单性质菁优网版权所有专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x求得c=1设椭圆C的标准方程为（ab0），由于椭圆C过点（1，），代入椭圆方程结合a2=b2+c2，联立解得即可；（II）设l：x=ky+1，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，由2，1）可得到k2的取值范围由于=（x12，y1），=（x22，y2），通过换元，令t=，即可得出|+|2的最小值解答：解：（

22、）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x得c=1，设椭圆C的标准方程为（ab0），椭圆C过点（1，），又a2=b2+1，联立解得b2=1，a2=2故椭圆C的标准方程为椭圆方程为+y2=1（5分）（）由题意可设l：x=ky+1，由得（k2+2）y2+2ky1=0（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则有将2÷得+2=+2=（8分）由2，1得+200，0k2（9分）=（x12，y1），=（x22，y2），+=（x1+x24，y1+y2）x1+x24=k（y1+y2）2=，|+|=+=16+令t=，|+|2=8t228t+16t=时|+|2的最小值是4点评：本题综合考查了椭圆与抛物线的标

23、准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数、换元法、分类讨论、向量相等及其向量运算和向量的模等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了推理能力和计算能力，属于中档题5（2015惠州模拟）椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为（）求椭圆C的标准方程；（）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标考点：直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）利用两点间的距离公式可得c，再利用椭圆的标准方程及

24、其性质即可得出a，b；（）把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D，可得kADkBD=1，即可得出m与k的关系，从而得出答案解答：解：（）左焦点（c，0）到点P（2，1）的距离为，解得c=1又，解得a=2，b2=a2c2=3所求椭圆C的方程为：（）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（3+4k2）x2+8mkx+4（m23）=0，=64m2k216（3+4k2）（m23）0，化为3+4k2m2，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），kADkBD=1，y1y2+x1x22（x1+x2）+4=0，化

25、为7m2+16mk+4k2=0，解得m1=2k，且满足3+4k2m20当m=2k时，l：y=k（x2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；当m=时，l：y=k，直线过定点综上可知，直线l过定点，定点坐标为点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、圆的性质、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题6（2015惠州模拟）已知椭圆C1的离心率为e=，过C1的左焦点F1的直线l：xy+2=0被圆C2：（x3）2+（y3）2=r2（r0）截得的弦长为2（1）求椭圆C1的方程；（2）设C1的右焦点为F2，在圆C2上是否

26、存在点P，满足|PF1|=|PF2|，若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）；若不存在，说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程菁优网版权所有专题：综合题；探究型；存在型分析：对第（1）问，由a2=b2+c2，及F1的坐标满足直线l的方程，联立此三个方程，即得a2，b2，从而得椭圆方程；对第（2）问，根据弦长，利用垂径定理与勾股定理得方程，可求得圆的半径r，从而确定圆的方程，再由条件|PF1|=|PF2|，将点P满足的关系式列出，通过此关系式与已知圆C2的方程联系，再探求点P的存在性解答：解：在直线l的方程xy+2=0中，令y=0，得x=2，即得F1（2，0），c=2，又

27、离心率，a2=6，b2=a2c2=2，椭圆C1的方程为（2）圆心C2（3，3）到直线l：xy+2=0的距离为d=，又直线l被圆C2截得的弦长为，由垂径定理得，故圆C2的方程为设圆C2上存在点P（x，y），满足，即|PF1|=3|PF2|F1（2，0），F2（2，0），则，整理得，此方程表示圆心在点，半径是的圆，|CC2|=，故有，即两圆相交，有两个公共点圆C2上存在两个不同点P，满足|PF1|=点评：1求椭圆的方程，关键是确定a2，b2，常用到关系式及a2=b2+c2，再找一个关系式，一般可解出a，b2本题采用交集思想巧妙地处理了点P的存在性本解法是用圆特有的方式判断两圆的公共点个数，若联立两

28、曲线的方程，消去 x或y，用判别式来判断也可以，其适用范围更广，但计算量相对大一些7已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（）求曲线E的方程；（）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）设点P（x，y），由题意可得，化简即可得出；（2）设C（x1，

29、y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意当m0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得m2+1=n2，直线与椭圆方程联立可得利用根与系数的关系可得，再利用基本不等式的性质即可得出解答：解：（1）设点P（x，y），由题意可得，整理可得：曲线E的方程是（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意当m0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得：，即m2+1=n2，联立消去y得，所以，=当且仅当，即时等号成立，此时经检验可知，直线和直线符合题意点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、四边形的面积计

30、算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题8（2015河南一模）已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，0）（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点，求点O到直线l的距离的最小值考点：直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，可得，解得即可得出（2）当直线l的向量存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，与椭圆方程联立化为（1+2k2）x2+4kmx+2m24=0，由0，化为2+4k2m20，设

31、A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）可得x0=x1+x2，y0=y1+y2代入椭圆方程利用点到直线的距离公式可得：点O到直线l的距离d=即可得出当直线l无斜率时时，由对称性可知：点O到直线l的距离为1即可得出解答：解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，解得a=2，b2=2，椭圆M的方程为（2）当直线l的向量存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，联立，化为（1+2k2）x2+4kmx+2m24=0，=16k2m24（1+2k2）（2m24）0，化为2+4k2m20，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）x0=x1+x2=，y0=y1+y2=k（x1+x2）+2

32、m=点P在椭圆M上，+=1，化为2m2=1+2k2，满足0又点O到直线l的距离d=当且仅当k=0时取等号当直线l无斜率时时，由对称性可知：点P一定在x轴上，从而点P的坐标为（±2，0），直线l的方程为x=±1，点O到直线l的距离为1点O到直线l的距离的最小值为点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的平行四边形法则、二次函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题9（2015衡南县二模）已知椭圆C：=1的左焦点F1的坐标为（，0），F2是它的右焦点，点M是椭圆C上一点，MF1F2的周长等于

33、4+2（1）求椭圆C的方程；（2）过定点P（0，2）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且OAOB（其中O为坐标原点），求直线l的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由已知得，由此能求出椭圆C的方程（2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx2，联立，得（1+4k2）x216kx+12=0，由此利用根的判别式、根与系数关系、向量知识，结合已知条件能求出直线l的方程解答：解：（1）椭圆C：=1的左焦点F1的坐标为（，0），F2是它的右焦点，点M是椭圆C上一点，MF1F2的周长等于4+2，解得a=2

34、，b=1，椭圆C的方程为（2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1+4k2）x216kx+12=0，=（16k）248（1+4k2）0，由根与系数关系得x1+x2=，x1x2=，y1=kx12，y2=kx22，y1y2=k2x1x22k（x1+x2）+4OAOB，x1x2+y1y2=0，（1+k2）x1x22k（x1+x2）+4=0，+4=0，解得k=±2，直线l的方程是y=2x2或y=2x2点评：本题考查椭圆方程和直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、根与系数关系、

35、向量知识的合理运用10（2015横峰县一模）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m0），l交椭圆于A、B两个不同点（1）求椭圆的方程；（2）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形考点：直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）设椭圆方程为，由题意可得：，解得即可（2）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可设A（x1，y1），B（x2，y2）直线，与椭圆方程联立可得x2+2mx+2m24=0，利用斜率计算公式与跟与系数的关系可得：，计算其分

36、子=0即可解答：（1）解：设椭圆方程为，由题意可得：，解得a2=8，b2=2椭圆方程为 （2）证明：设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可设A（x1，y1），B（x2，y2）直线，则联立方程，得x2+2mx+2m24=0，而，其分子=+=x1x2+（m2）（x1+x2）4（m1）=2m242m（m2）4m+4=0，k1+k2=0故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得该协议书的关系、斜率计算公式、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题11（2015杨浦区一模）如图，曲线由曲

37、线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（6，0），求曲线的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求CDF1面积的最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由F2（2，0），F3（6，0），可得，解出即可；（2）曲线C2的渐近线为，如图，设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），

38、设直线l：y=，与椭圆方程联立化为2x22mx+（m2a2）=0，利用0，根与系数的关系、中点坐标公式，只要证明，即可（3）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）设直线l1的方程为x=ny+6（n0）与椭圆方程联立可得（5+4n2）y2+48ny+64=0，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出解答：（1）解：F2（2，0），F3（6，0），解得，则曲线的方程为和（2）证明：曲线C2的渐近线为，如图，设直线l：y=，则，化为2x22mx+（m2a2）=0，=4m28（m2a2）0，解得又由数形结合知设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）

39、，则x1+x2=m，x1x2=，=，即点M在直线y=上（3）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）设直线l1的方程为x=ny+6（n0），化为（5+4n2）y2+48ny+64=0，=（48n）24×64×（5+4n2）0，化为n21设C（x3，y3），D（x4，y4），|y3y4|=，=，令t=0，n2=t2+1，=，当且仅当t=，即n=时等号成立n=时，=点评：本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题12（2015株洲一模）如图，焦

40、点在x轴的椭圆C：+=1（b0），点G（2，0），点P在椭圆上，且PGx轴，连接OP交直线x=4于点M，连接MG交椭圆于A、B（）若G为椭圆右焦点，求|OM|；（）记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的取值范围考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质菁优网版权所有专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（I）不妨设P在x轴上方，椭圆C的方程为：+=1（b0），可得点P的坐标为，根据题意可得P为线段OM的中点，可得M的坐标为G为椭圆右焦点，可得b2=84，即可得出|OM|=（）由于直线AB过点M、G，可得kAB=，可得直线AB的方程为，代入椭圆方程并整理得：5x216x+8=

41、0利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出解答：解：（I）不妨设P在x轴上方，由椭圆C的方程为：+=1（b0），令x=2，则，点P的坐标为，根据题意可得P为线段OM的中点，M的坐标为若G为椭圆右焦点，则b2=84=4，|OM|=2（）直线AB过点M、G，kAB=，则直线AB的方程为，代入椭圆方程并整理得：5x216x+8=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，x1x2=k1+k2=+=，k1+k2=b0b28，b0，k1+k2的取值范围是（0，2）点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、中点坐标公式，考查了推理能

42、力与计算能力，属于难题13（2015邢台模拟）已知圆C：（x+1）2+y2=20点B（l，0）点A是圆C上的动点，线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P（I）求动点P的轨迹C1的方程；（）设，N为抛物线C2：y=x2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交曲线Cl于P，Q两点，求MPQ面积的最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）由已知可得动点P的轨迹C1是一个椭圆，其中，2c=2，由此能求出动点P的轨迹C1的方程（）设N（t，t2），则PQ的方程为y=2txt2，联立方程组，得：（4+20t2）x220t3x+5t420=0，由此利用根的判别

43、式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式，结合已知条件能求出三角形面积的最大值解答：解：（）由已知可得，点P满足动点P的轨迹C1是一个椭圆，其中，2c=2（2分）动点P的轨迹C1的方程为（4分）（）设N（t，t2），则PQ的方程为：yt2=2t（xt），整理，得y=2txt2，联立方程组，消去y整理得：（4+20t2）x220t3x+5t420=0，（6分）有，而，点M到PQ的高为，（10分）由代入化简得：即；当且仅当t2=10时，SMPQ可取最大值当直线的斜率不存在时，x=t，SMPQ=SMPQ最大值（12分）点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，解题时要注意根的

44、判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式的合理运用14（2015成都一模）设椭圆C：的离心率e=，左顶点M到直线=1的距离d=，O为坐标原点（）求椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；（）在（）的条件下，试求AOB的面积S的最小值考点：直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）由已知得，又a2=b2+c2，由此能求出椭圆C的方程（）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率不存在时，x1x2+y1y2=0，点O到直线AB的距离为当直线AB的斜率存在时，设AB的方

45、程为y=kx+m，联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，由此利用韦达定理结合已知条件推导出点O到直线AB的距离为，由此能证明点O到直线AB的距离为定值（3）设直线OA的斜率为k0，OA的方程为y=k0x，OB的方程为y=，联立，得，同理，得，由此能求出AOB的面积S的最小值解答：解：（）由已知得，又a2=b2+c2，解得a=2，b=1，c=，椭圆C的方程为（）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性知x1=x2，y1=y2，以AB为直线的圆经过坐标原点，=0，x1x2+y1y2=0，又点A在椭圆C上，=1，解得|x1|=|y1|=此时

46、点O到直线AB的距离（2）当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m，联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，以AB为直径的圆过坐标原点O，OAOB，=x1x2+y1y2=0，（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，（1+k2），整理，得5m2=4（k2+1），点O到直线AB的距离=，综上所述，点O到直线AB的距离为定值（3）设直线OA的斜率为k0，当k00时，OA的方程为y=k0x，OB的方程为y=，联立，得，同理，得，AOB的面积S=2，令1+=t，t1，则S=2=2，令g（t）=+4=9（）2+，（t1）4g（t），当k0=0时，解得S=1，S的最小值为点

47、评：本题考查椭圆的方程的求法，考查点到直线AB的距离为定值的证明，考查三角形的面积的最小值的求法，解题时要注意韦达定理、弦长公式的合理运用15（2015邢台模拟）已知A（2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，APB面积的最大值为2（I）求椭圆C的标准方程；（）若直线AP的倾斜角为，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明考点：直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）由题意可设椭圆C的方程为（ab0），F（c，0）由题意知，解得即可得出（II）以BD为直径的圆与

48、直线PF相切由题意可知，c=1，F（1，0），直线AP的方程为y=x2则点D坐标为（2，4），BD中点E的坐标为（2，2），圆的半径r=2直线AP的方程与椭圆的方程联立可得7x2+16x+4=0可得点P的坐标可得直线PF的方程为：4x3y4=0利用点到直线的距离公式可得点E到直线PF的距离d只要证明d=r解答：解：（）由题意可设椭圆C的方程为（ab0），F（c，0）由题意知，解得故椭圆C的方程为（）以BD为直径的圆与直线PF相切证明如下：由题意可知，c=1，F（1，0），直线AP的方程为y=x2则点D坐标为（2，4），BD中点E的坐标为（2，2），圆的半径r=2由得7x2+16x+4=0设点P

49、的坐标为（x0，y0），则点F坐标为（1，0），直线PF的斜率为，直线PF的方程为：4x3y4=0点E到直线PF的距离d=2d=r 故以BD为直径的圆与直线PF相切点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、直线与圆相切的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题16（2015沈阳一模）已知椭圆C：+=1（ab0），e=，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A、B，点A，B的中点横坐标为，且=（其中1）（）求椭圆C的标准方程； （）求实数的值考点：直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（I）由条件

50、可知c=1，a=2，由此能求出椭圆的标准方程（）由，可知A，B，F三点共线，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线ABx轴，则x1=x2=1，不合意题意当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k（x1）由，得（3+4k2）x28k2x+4k212=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出实数的值解答：解：（I）由条件可知c=1，a=2，故b2=a2c2=3，椭圆的标准方程是（4分）（）由，可知A，B，F三点共线，设A（x1，y1），B（x2，y2），若直线ABx轴，则x1=x2=1，不合意题意当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k（x1）由，消去y得（3+4k2）x

51、28k2x+4k212=0由的判别式=64k44（4k2+3）（4k212）=144（k2+1）0因为，（6分）所以=，所以（8分）将代入方程，得4x22x11=0，解得x=（10分）又因为=（1x1，y1），=（x21，y2），解得（12分）点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的实数的值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用17（2014江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（ab0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1CAB，求椭圆离心率e的值考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值（2）求出C的坐标，利用F1CAB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值