第二章流体静力学

1、第二章流体静力学第二章流体静力学 研究流体处于静止或相对静止状态下的力学规律，研究流体处于静止或相对静止状态下的力学规律，以及在工程中的运用。以及在工程中的运用。 特点：流体中各质点没有特点：流体中各质点没有相对运动相对运动，粘性力不存在。，粘性力不存在。 第一节 作用在流体上的力1、 质量力 作用在流体的每个质点上，且与质量成正比的力。质量力质量力 重力重力直线运动惯性力直线运动惯性力 离心惯性力离心惯性力2rmFamFgmWR第二章流体静力学第二章流体静力学假设在流体中取一质量为m、体积为V的流体微团，质量力为，且 在三个坐标轴上的分量分别为 ，单位质量力 轴向分量： 若作用在流体上质量力

2、只的重力：即 代入上式得：而在直角坐标系中，FF/mFfgmFyFxz) kgjgim(gFzyxzyxgZ,gY,gX-gg,ggzyx0因此，而在直角坐标系中-gZ,Y,X002、表面力ZYXFFF,/mF/m,ZF/m,YFXZYXgmFf第二章流体静力学第二章流体静力学作用在流体表面，且与作用的表面积大小成正比的力。表面力表面力粘性力粘性力紊流力紊流力非粘性压力非粘性压力 表面张力、附着力表面张力、附着力沿表面内法线方向的压力沿表面内法线方向的压力沿表面切向的摩擦力沿表面切向的摩擦力分解分解不仅指作用于流体外表面，而且也包括作用于流体内部任一表面不仅指作用于流体外表面，而且也包括作用于

3、流体内部任一表面第二章流体静力学第二章流体静力学 流体中取一流体微团，表面为A，若作用在表面上的力为F，将F分解沿法向分量P和切向方向分量T。若A中有任一点a，则： 分别为分别为a a点的压强和切应力。点的压强和切应力。APpaA limATaA limAPp 平均压强AT 平均切应力FzyxaPTA第二章流体静力学第二章流体静力学 第二节 流体静压力的特点1 1、流体静压力的方向沿作用面的内法线方向、流体静压力的方向沿作用面的内法线方向反证法：设压力F方向如图，分解成两个分量：切向方向的分量T及法向方向的分量P。若存在切向力T：则流体受任何微小的剪切力作用都将发生持续的变形 流体不能处于平衡

4、状态。流体不能处于平衡状态。由于流体不能承受拉力由于流体不能承受拉力，故也不可能存在外法线方向力P。 PTF第二章流体静力学第二章流体静力学既然不存在切向力，又不存在外法向力既然不存在切向力，又不存在外法向力故只能沿作用面的内法线方向。故只能沿作用面的内法线方向。2 2、静止流体中任一点的流体静压强大小与其、静止流体中任一点的流体静压强大小与其作用面在空间的方位无关。作用面在空间的方位无关。证明：在静止流体内，过任意一点O取一直角四面体如图，其三边分别与x，y，z轴重合，相应边长分别为dx，dy，dz。四个面的面积分别为 ， ， ，。设微元体四yPyzxBACOdxdydzPxPnPzdxdy

5、21dydz21dxdz21A第二章流体静力学第二章流体静力学个面压强分别为px，py，pz和pn，则：微元体x方向所受力分别为：压力：质量力：对于静止流体静止流体，其合外力在x方向投影为零，即：PyzxyBACOdxdydzPxPnPzdzdypPxx21dxdydzXFx61x),(nApPnx,ncos0 xx,nxFPP061cos21dxdydzXx),(nApdydzpnxdydzx),(nA21cos而第二章流体静力学第二章流体静力学代入上式得：当 ，即四面体体积缩小并趋近于零(O点)，得： 此式表明：在静止流体中任一点压强值与作用面的方位无关。在静止流体中任一点压强值与作用面的

6、方位无关。而不同空间点的流体静压强，一般来说是各不相同的，即流体静压强是空间坐标的连续函数 。0dz310dy31ZppYppnzny0dx31Xppnxnznynx=pp,=pp,=pp同理z),y,p=p(x0dx,dy,dzyzxBACOdxdydz第二章流体静力学第二章流体静力学 第三节 流体平衡微分方程1、微元流体所受的合压力微元流体所受的合压力 取一微元流体ABCDEFGH，边长为dx、dy、dz分别与x、y、z轴平行。中心为M，其压强为p，密度为。x方向：过M点作一平行于x轴的直线，分别相交于ABCD面为N点，相交于EFGH面为O点，DAN N. .BCGFEM. .HO O.

7、.XZY第二章流体静力学第二章流体静力学N、O亦分别为两个面的中心点。则两点坐标位置:N点（x-dx/2，y，z）、O点（x+dx/2，y，z）对以上两点压强,按泰勒级数泰勒级数展开, 忽略二阶及二阶以上无穷小：则，N点压强 22dx.xpp)dx(xpppMMnDAN N. .BCGFEM. .HO O. .XZY22dx.xpp)dx(xpppMMoO点压强)()(!)()()()(xRxxxfxxxfxfxfn+- +-+=2000002第二章流体静力学第二章流体静力学 沿x方向微元流体所受合压力同理，沿y方向，微元流体所受合压力 z方向，微元流体所受合压力 微元流体所受合压力 dxdy

8、dzxp)dydzp(pPPonONdxdydzypdxdydzzp)dxdydzkzpjypixp(DAN N. .BCGFEM. .HO O. .XZY第二章流体静力学第二章流体静力学2 2、微元体所受的质量力：、微元体所受的质量力：3 3、基本方程、基本方程在这两个力作用下，流体处于静止状态，则0dxdydz)kji()dxdydzkzpjypixp(dxdydz)k+Zj+Yi=(Xk+Fj+Fi=FFzyx第二章流体静力学第二章流体静力学 第四节 重力场中静压强的分布规律 当作用于静止流体的质量力只有重力时，当作用于静止流体的质量力只有重力时， 且在直角坐标系中：且在直角坐标系中：

9、gdzdz= z pdy+ y pdx+ x pdp=-zyxZ=g,Y=g,X=g若=常数 （均质）gZ,Y,X000dxdydz)kji()dxdydzkzpjypixp(g,gggzyx0ggzpgypgxpzyx, 0, 0cgzp第二章流体静力学第二章流体静力学引入边界条件：当z=zO(液面)，p=p0(液面)讨论： (1)(1)压强随深度按直线变化规律；压强随深度按直线变化规律； (2)(2)压强大小与容器形状无关；压强大小与容器形状无关； (3) (3) 自由表面自由表面p p0 0 有任何变化，都会引起液体有任何变化，都会引起液体内所有质点压强的同样变化；内所有质点压强的同样变

10、化；根据公式hpghp-z)g(zpp00000zz hz ghpp0cgzp第二章流体静力学第二章流体静力学若液面上p0有所增减，p p0p0则，液体中压强也有类似的增减，假设液体中增减为pp，根据以上公式， pp=p0p0+gh p=p0 (p=p0+gh) (4) (4) 同一容器的静止流体中，所有各点测压管水同一容器的静止流体中，所有各点测压管水头均相等。头均相等。如图所示：共有3点：0，1，2；z z：为点(0，1，2)相对于基准位置的长度， Pascallaw210. .z2z0z1第二章流体静力学第二章流体静力学称位置水头。 p/：为点(0，1，2)在压强作用下测压管所能上升的高

11、度（p0/， p1/ ， p2/ ）称为压强水头。 ：称为测压管水头测压管水头。对1点p1=p0+h1=p0+(z0- z1)p1+z1=p0+z0/pz 210z2P2/P1/P0/z0z1h1h2第二章流体静力学第二章流体静力学对2点p2=p0+h2=p0+(z0- z2)p2+z2=p0+z0 p1+z1= p2+z2 p1/+z1 = p2/+z2 同一容器里的静止流体中，所有各点的测压同一容器里的静止流体中，所有各点的测压管水头均相等管水头均相等。(5)分界面和自由面是水平面两种不同互不混和的液体处于静止时形成分界210z2P2/P1/P0/z0z1h1h2第二章流体静力学第二章流体

12、静力学面，这种分界既是水平面又是等压面。反证法：，设不是水平面而是倾斜面，在分界 面上任选1，2两点，深度差对方液体对方液体一定且水平面且既是水平面又是等压面。自由面是分界面的一种特殊形式。2112h12 h1hp12hp2p0h121212 0h0p0h第二章流体静力学第二章流体静力学 第五节 压强的计算基准和度量单位1 1、 计算基准计算基准 （1) 绝对压强： 以无一点气体存在的绝对真空为零点起算的压强，以p表示。 （2）相对压强： 如果不以绝对真空为零点，而是以大气压强（以pa表示）为零点起算，以p表示：则：绝对压强=相对压强大气压强 p=p+papAA A点相对压强点相对压强A A点

13、绝对压强点绝对压强绝对真空BB点绝对压强大气压强大气压强p pa a真空度真空度.第二章流体静力学第二章流体静力学 绝对压强总是0，但相对压强相对压强不一定。若某流体点处在B点，从图可知，B点相对压强为负。 pv=pa- p2 2、压强的度量单位压强的度量单位 （1） 以压强的基本定义出发即单位面积上的压力，单位为N/m2，以符号pa表示。 （2） 大气压强的倍数来表示。 （3） 液柱高度来表示。常用有水柱高度，汞柱高度。pAA点相对压强A点绝对压强绝对真空BB点绝对压强大气压强大气压强p pa a真空度.第二章流体静力学第二章流体静力学 p=h则 h=p/一个标准大气压一个标准大气压3 3、

14、压强的测量压强的测量10.33mm9807Nm101325N32水h760mmm133375Nm101325N32汞h 液柱式仪表测量精度高，量程小，适用于低压实验场所。金属式金属式电测式电测式液柱式液柱式 流体静压强的测量仪器流体静压强的测量仪器第二章流体静力学第二章流体静力学p0Water manometer（水柱压力计）phPressure sourceConnected water tubeApplication ?Absolute pressure （绝对压强）Relative pressure（相对压强）Gauge pressure（表压强）Vacuum degree（真空度）Pr

15、essure measurementhp0 + h绝对压强绝对压强相对压强，表压相对压强，表压第二章流体静力学第二章流体静力学第六节 作用在平面上的液体压力1 1 、重心、形心、重心、形心 如果把物体看成是由许多质点组成,则物体的重力就是分布在这些质点的一个平行力系.平行力系的作用点,即重心重心。如果是均质物体,重心只决定于几何形状及尺寸形心形心iiiciiiciiicGzGzGyGyGxGxiiiihAVGiiiiiciiiiiciiiiichAzhAzhAyhAyhAxhAx第二章流体静力学第二章流体静力学 如果厚度均匀,积分: 2 2、压力大小、压力大小 设有一与水平面成夹角的倾斜平面a

16、b，其面积为A，左侧受水压力，水面大气压强为pa，在平板表面所在的平面上建立坐标，原点o取在平板表面与液面的交线上，ox轴与交线重合，oy轴沿平板向下。iiiciiiciiicAzAzAyAyAxAxAzdAzAydAyAxdAxccchhChDyyCyD.oxybadACD第二章流体静力学第二章流体静力学则微元面dA所受压强p=h 压力dP=pdA=hdA=ysindA(h=ysin) 整个平面由无数dA组成，则整个平板所受水静压力可由dP求和得到。 根据平行力系求和原理，作用在平面上的水静压力而 受压面对ox轴静面矩（yc为平面形心c距液面高度）。ydAdAydPPAAsinsinAyyd

17、AcAhhChDyyCyD.oxybadACD第二章流体静力学第二章流体静力学 P=sinycA=hcA=pcA 作用在平面上水静压力等于形心处的压强与作用面积之乘积。3 3、 压力的方向压力的方向 沿受压面的内法线方向。4 4、压力的作用点、压力的作用点( (压力中心压力中心D)D) D点的位置可以通过合力矩定理求得。合力矩定理可表述为： 作用在受压平面的任一微小面积dA上水静压力dP对ox轴力矩的总和等于整个受压平面所水静压力P对hhChDyyCyD.oxybadACD第二章流体静力学第二章流体静力学同一轴的力矩。具体可表示为：微小面积dA所受水静压力 dP=hdA=ysindA对0 x轴

18、力矩合力矩式中为受压面对ox轴的惯性矩Ix M=sinIx 另一方面，整个平面所受合压力P，假设作用点距ox轴为yD，则：sindAyydPdM2dAysinM2dAy2DcDcDsinAyyAyhPyMhhChDyyCyD.oxybadACD第二章流体静力学第二章流体静力学根据合力矩定理根据平行移轴定理，Ix=Ic+y2cA其中IC为受压面对通过平面形心并与平行于ox轴平行的轴的惯性矩。从以上公式可知，由于IC/yCA0， yDyC，即yD总是在形心下方。xDcsinIsinAyyAyIycxDAyIyycccDhhChDyyCyD.oxybadACD第二章流体静力学第二章流体静力学AAAh

19、AppPdd0sinyh dAhppdAdP)(0AAAyApAyApPdsindsin00AydAyAxdAxAcAc,Centroid（形心，重心）AhApAyApPcc00sinhcycChyxAyxp0Find total force P第二章流体静力学第二章流体静力学AhpPc)(0hc: depth of centroidThe force on a submerged plane equals the pressure at the plate center times the plate area, independent of the shape of the plate o

20、r the angle .Center of pressureCenter of pressureIs the center of pressure at centroid ?Is the center of pressure at centroid ?hcycChdydDhyxAyxp0第二章流体静力学第二章流体静力学AyIyyCCCDAydAayp)sin(0AcdAyAyp20sinAyIA2AyIICC2hcycChdydDhyxAyxp0AAydAhpydp)(0Moment to x axis第二章流体静力学第二章流体静力学（1)1) 水静压力大小为形心处压强乘以平面面积水静压力大

21、小为形心处压强乘以平面面积 。（2 2）水静压力方向垂直于水静压力方向垂直于受压平面，并指受压平面，并指向平面内法线方向。向平面内法线方向。（3 3）作用点作用点y yD D在形心下方，在形心下方，例2-1：一铅直船闸门门宽B=5m，闸门一侧水深为H=7.5m，另一侧水深h=3m，求作用在此闸门上的水平合压力及作用线位置。AyIyycccDhcycChDyDDhyxAyxp0cp第二章流体静力学第二章流体静力学解：左边：迎水面积 形心： 作用力： 作用点： 右边：面积 形心BHA 121Hhc21112BHAhPcHHHBHHBHHAyIyycccD6462212231B5mH=7.5mh=3

22、mxyyD1yD2yFP1P2HyD321BhA 222hhc第二章流体静力学第二章流体静力学作用力作用点 合力作用线：假设合力的作用线距底边为y22222BhAhPchyD322)hB(HPPF222123321hPHPyFh)h)(H(H)hHhh)(H(Hy322h)(HhHhH322代入数据，m.y792B5mH=7.5mh=3mxyyD1yD2yFP1P2第二章流体静力学第二章流体静力学例2-2：矩形闸门AB可绕其顶端A轴旋转，由固定闸门上的一个重物来保持闸门的关闭。已知闸门宽1.2m，长0.9m，整个闸门和重物1000kg，重心在G处，与A水平距离为0.3m，求水深多大时，闸门刚好

23、打开（=60，设水深为H）。解：要使闸门打开，要使闸门打开，闸门迎水面所受水闸门迎水面所受水的总压力对转轴的总压力对转轴A A的的力矩力矩至少应等于至少应等于闸闸门与重物重量对门与重物重量对A A的力矩。的力矩。x.b=1.2mh=0.9m0.3mG GACDoyhChDHP PEB第二章流体静力学第二章流体静力学M水M物（等号为刚好打开）面积 A= bh形心 力 压力作用点：AE21HhchsinAE AhPCh)bh(Hsin21CCCCCCCDyhybhybhyAyIyy121223x.b=1.2mh=0.9m0.3mG GACDoyhChDHP PEB第二章流体静力学第二章流体静力学又

24、 则CCDyhyyDC122hyCCsin30.GMDAPM物水)h(HhhhDCcsin2112sin12sin222hDCCADCDAx.b=1.2mh=0.9m0.3mG GACDoyhChDHP PEB第二章流体静力学第二章流体静力学代入以上数据，得 H0.88m故当 H=0.88m，闸门刚好打开。三峡工程：五级连续船闸 第二章流体静力学第二章流体静力学Hoover DamChannel 第七节 作用在曲面上静止流体的压力第二章流体静力学第二章流体静力学平面与曲面上的水静压力计算有何异同平面与曲面上的水静压力计算有何异同? ? 以二维曲面（圆柱面）为对象进行分析：如图，设AB为圆柱体曲

25、面的一部分，受压母线与纸面垂直。左侧受水静压力作用，在表面上任意取一点E，E点距水面距离为h，以E点为中取一微元面积dA，则作用在dA上的水静压力为： 假设dP与水平面夹角为，则dP在水平水平方向和铅直铅直ABCDhdPdAxzEhdApdAdP第二章流体静力学第二章流体静力学方向的分量：水平方向铅直方向从右图可得： 微元面在铅直面上的投影 微元面在水平面上的投影 hdAdPdPXcoscoshdAdPdPZsinsinZdAdAcosXdAdAsindAdAZdAXdPABCDhdPdAxzEdPZdPX第二章流体静力学第二章流体静力学 则1 1、 水平方向：水平方向： 曲面AB在铅直面上的

26、投影面积Az对水面水平轴的静矩。假设hc为Az的形心在水面下淹没深度则zxhdAdP xzhdAdP zzxhdAhdAPxxzhdAhdAPzhdAzczAhhdA zcxAhP ABCDhdPdAxzEdPZdPXdAdAZdAXdPhcAz第二章流体静力学第二章流体静力学作用在曲面上流体压力的水平分量是Px等于作用于该曲面铅直投影面上的水静压力。水平分量水平分量P Px x为铅直方向上的为铅直方向上的投影面积投影面积形心处的压强。形心处的压强。2 2、铅直方向：、铅直方向： hdAx是以dAx为底面积，水深h为高的柱体体积； 则为整个受压曲面AB与其在自由面的投影面CD这两个面之间的柱体

27、ABCD的体积 xhdADCABdAx压力体xzVhdAP第二章流体静力学第二章流体静力学 铅直分量铅直分量P Pz z为其压力体的液体重量。为其压力体的液体重量。（1 1）求压力体）求压力体底面是受压曲面，顶面是受压曲底面是受压曲面，顶面是受压曲面边界线封闭的面积在自由面或其延长面上的投影，面边界线封闭的面积在自由面或其延长面上的投影，中间是通过受压面边界线所做的铅直投影面。中间是通过受压面边界线所做的铅直投影面。（2 2）铅直分量的方向可以通过）铅直分量的方向可以通过实压力体和虚压力体实压力体和虚压力体来确定来确定。实压力体实压力体 压力体与受压面同侧。压力体与受压面同侧。虚压力体虚压力体

28、 压力体与受压面异侧。压力体与受压面异侧。第二章流体静力学第二章流体静力学3 3、 合压力：合压力： 大小： 作用线与水平方向的夹角：22zxPPPxzPParctanPxPPzPPXPZ第二章流体静力学第二章流体静力学例2-3：如图所示一挡水弧形闸门，已知R=2m,=30。,h=5m,试求单位宽度所受的水静总压力的大小。解：水平方向的压力等于面EB上的水压力： 铅直方向的压力等于压力体CABEDC的水重。分成两部分： （1）RhchREBsin21sin1sinsin21)RR(h-AhFcxRRRSSSBFEABFABEcossin213602RBAEDChhcF第二章流体静力学第二章流体

29、静力学（2）则：由代入数据得 )R)(RR(hSCAEDcossin)RR()R(R(hFZcossin21360cos1sin221)S(SVFCAEDABEZNFNFZX;1228744127RBAEDChhcF第二章流体静力学第二章流体静力学例例2-4 2-4 试绘制图中试绘制图中abcabc曲面上的压力体。曲面上的压力体。dd/2cba水水因因abcabc曲面左右两侧均有水的作用，故应分别考虑。曲面左右两侧均有水的作用，故应分别考虑。abcbacabab段曲面段曲面( (实压力体实压力体) )bcbc段曲面段曲面( (虚压力体虚压力体) )cbaba阴影部分相阴影部分相互抵消互抵消ba

30、cabcabc曲面曲面( (虚压力体虚压力体) )第二章流体静力学第二章流体静力学bcbc段曲面段曲面( (实压力体实压力体) )cba左侧水的作左侧水的作用用右侧水的作右侧水的作用用cbacbacb ba aabcabc曲面曲面( (虚虚压力体压力体) )cba合成合成第二章流体静力学第二章流体静力学 第八节 流体相对平衡1 1、等加速直线运动中液体平衡、等加速直线运动中液体平衡 一开敞容器盛有液体，以等加速度 向前作直线运动，液体的自由面将由原来静止时的水平面变成倾斜面。根据根据2.3.22.3.2基本方程：基本方程：0)dxdydzkZjYi(X)dxdydzkzpjypixp(aZzp

31、,Yyp,Xxpzxapa第二章流体静力学第二章流体静力学单位质量的重力在各轴向的分量：单位质量的牵连惯性力在各轴向的分量：gZ,Y,X1110000222Z,Y,aXgZZZ,YYY,aXXX2121210gzp,yp,axp0则Zzp,Yyp,Xxp根据动静法，相对平衡流体质点上的质量力有根据动静法，相对平衡流体质点上的质量力有: :与加速度方向相反的虚构惯性力与加速度方向相反的虚构惯性力重力重力质量力质量力zxapa第二章流体静力学第二章流体静力学则相对压强等加速度直线运动液体相对平衡压强分布规律。等加速度直线运动液体相对平衡压强分布规律。对自由液面自由液面 ,则等加速直线运动液体自由液

32、面方程。等加速直线运动液体自由液面方程。)(zxgahhp-z)xga(pgz)(axppaaxgaz00gzaxpz)xga(gzaxpapp,0zx代入边界条件cgz)(axp积分代入)ga(dzdxdzzpdyypdxxpdpzxaz第二章流体静力学第二章流体静力学例2-5：测定运动加速度的U形管如图，若 求加速度a？解：设置坐标系如图，由自由液面方程当 时，代入Lxhz 253736sm.gLhahzxaL,m.h,m.L2030 xgaz第二章流体静力学第二章流体静力学A cup of coffee is 7cm deep at rest.1. Whether it will spill out while ax=7m/s2?2. Gage pressure of point A? Example:cmDz14. 2tan2gaxtanSolution:AAghP31010mkgPa906)0214. 007. 0(