第三章矩阵的初等变换及线性方程组习题课

1、线性代数习题课第三章 矩阵的初等变 换与线性方程组（第（第 行的行的 倍加到第倍加到第 行上，记作行上，记作 ）.一、内容提要一、内容提要（一）初等变换（一）初等变换定义定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:（i）对调两行（对调两行）对调两行（对调两行 ，记作，记作 ）；）； ji ,jirr （ii）以数）以数 乘某一行中的所有元素（第乘某一行中的所有元素（第 行乘行乘 ，记作，记作 )0kikkri（iii）把某一行所有元素的）把某一行所有元素的 倍加到另一行对应的元倍加到另一行对应的元素上去；素上去； kjkijikrr （记号：（记号：“ ”换为换为

2、“ ” ）矩阵矩阵 与与 列等价；记作列等价；记作 ； 若矩阵若矩阵 经过有限次初等列变换变成矩阵经过有限次初等列变换变成矩阵 ，则称，则称阵阵 与与 等价；记作等价；记作 ； 矩阵矩阵 与与 行等价；记作行等价；记作 ； 若矩阵若矩阵 经过有限次初等变换变成矩阵经过有限次初等变换变成矩阵 ，则称矩，则称矩 定义定义2 若矩阵若矩阵 经过有限次初等行变换变成矩阵经过有限次初等行变换变成矩阵 ，则称，则称 （1）将定义中）将定义中“行行”改为改为“列列”，称为矩阵的初等列变，称为矩阵的初等列变换；换；rcABABBAr ABBABAc AABBBA （2）初等行变换与初等列变换统称为初等变换）初

3、等行变换与初等列变换统称为初等变换（二）初等矩阵（二）初等矩阵1定义定义 由单位矩阵由单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵称为经过一次初等变换得到的矩阵称为 E2三种初等矩阵三种初等矩阵 ， ， .) ,( jiE)( kiE)( ,kjiE 行列式：行列式： ， ， . 1| ) , (|jiEkkiE|)(|1|)( , |kjiE 逆矩阵：逆矩阵： , , .1) ,(jiE) ,(jiE1)( kiE)1 (kiE1)( ,kjiE)( ,kjiE作作 用：用：“左乘变行，右乘变列左乘变行，右乘变列”初等矩阵初等矩阵 （三）矩阵的秩（三）矩阵的秩 1定义定义 设矩阵设矩阵 中有一个不等

4、于中有一个不等于 的的 阶子式阶子式 ，且所有，且所有 A0rD 阶子式（如果存在的话）全为阶子式（如果存在的话）全为 ,则称则称 为为 的最高的最高1r0DA阶非零子式数阶非零子式数 称为矩阵称为矩阵 的秩，记为的秩，记为 . rA)(AR规定：零矩阵的秩为规定：零矩阵的秩为 02性质性质 （1） . ,min)(0nmARnm（2） .)()(ARART（3）若）若 ，则，则 .BA )()(BRAR（4）若）若 可逆，则可逆，则 .QP , )()(ARPAQR3求法求法 （1）定义法；）定义法；（四）线性方程组的解（四）线性方程组的解1 有非零解有非零解 ；0 xAnmnAR)(2 有

5、解有解 ， ；即；即bxAnm)()(BRAR),(bAB （1）当）当 时，时， 有唯一解；有唯一解；nBRAR)()(bxAnm（2）当）当 时，时， 有无穷多解；有无穷多解；nrBRAR)()(bxAnm（3）当）当 时，时， 无解无解)()(BRARbxAnm3通解的求法通解的求法: 初等行变换法初等行变换法（2）利用初等行变换化）利用初等行变换化 为与之等价的行阶梯形为与之等价的行阶梯形 矩阵矩阵 非零行的行数就是非零行的行数就是 的秩的秩 ABBA 存在可逆阵存在可逆阵 、 ，使，使 （五）一些重要结论（五）一些重要结论1 可逆可逆 （ 为初等矩阵为初等矩阵， ） AlPPPA21

6、iPli, 2, 1nmnmBAPQBPAQ 2逆矩阵的求法逆矩阵的求法 ),(),(1AEEA初等行变换二、典型例题举例二、典型例题举例 （一）填空题（一）填空题【例【例1】 给给 矩阵矩阵 左乘一个初等方阵，相当于对左乘一个初等方阵，相当于对 施行施行一次相应的一次相应的 ；给；给 矩阵矩阵 右乘一个初等方阵，相当于右乘一个初等方阵，相当于 对对 施行一次相应的施行一次相应的 .nmAAAAnm分析分析 本题是考查初等方阵的性质本题是考查初等方阵的性质解解 初等行变换；初等列变换初等行变换；初等列变换【例【例2】 ， ， .2) ,(jiE2)( , (kjiE2)( kiE分析分析 本题

7、是考查初等方阵的定义及性质本题是考查初等方阵的定义及性质解解 ； ； E)2(,kjiE)(2kiE【例【例3】设矩阵】设矩阵 ， ,则逆矩阵则逆矩阵 . 300041003A 100010001E1)2(EA分析分析 本题可利用初等行变换法求逆矩阵本题可利用初等行变换法求逆矩阵 解解 10002121001可知，可知， 的任何的任何 阶子式均为阶子式均为 ，故此时，故此时 ，所以，所以分析分析 本题是考查矩阵和伴随矩阵秩之间的关系由本题是考查矩阵和伴随矩阵秩之间的关系由 解解 【例【例4】设】设 4 阶方阵阶方阵A 的秩为的秩为2，则其伴随矩阵，则其伴随矩阵 的秩为的秩为 .0*A2)(AR

8、A300)(*AR 0注注 与与 的秩的一般关系是的秩的一般关系是 .A*A1)( , 01)( , 1)( ,)(*nARnARnARnAR【例【例5】设】设 是是 矩阵，矩阵， 的秩的秩 ，而，而 ，A34A2)(AR 301020201B分析分析 本题是考查矩阵秩的性质因本题是考查矩阵秩的性质因 ，所以，所以 可逆，可逆，010 |BB)(ABR2)(AR解解 2)(ABR*A . 从而从而【例【例6】已知】已知 矩阵矩阵 的秩为的秩为 ， 矩阵矩阵 的秩为的秩为 ，则，则1m1Am1Q1AQ的秩为的秩为 . 分析分析 本题是考查列乘行形式的矩阵秩的性质因本题是考查列乘行形式的矩阵秩的性

9、质因 ，1)(AR ，故，故 与与 均至少有一个非零元，所以均至少有一个非零元，所以 也至少有也至少有1)(QRAQAQ一个非零元，从而一个非零元，从而 ；又；又 的各行元素对应成比例，的各行元素对应成比例， 1)(AQRAQ所以所以 的任何阶的任何阶 子式均为子式均为 ，故，故 .可见可见 .AQ201)(AQR1)(AQR解解 1注注 一般结论：设一般结论：设 ， 均为非零列矩阵，则均为非零列矩阵，则 .TA1)(AR分析分析 本题是考查初等方阵的性质及逆由于本题是考查初等方阵的性质及逆由于 与与 互为逆矩阵，所以互为逆矩阵，所以 ， 故应选故应选 .)A(AEA2)8(2 , 1 ()B

10、(AAEE )6( 2 , 1 ()6 ( 2 , 1 ()C(AiEiEA )3()3()D(AAiE2)3( . . 【 】. . )6( 2 , 1 (E)6( 2 , 1 (EAEAAEE )6(2 , 1 ()6(2 , 1 ()B(解解 选选 .)B(【例【例2】设】设 ， 是是3 阶初等方阵，则阶初等方阵，则 等于等于 032410321 F)2(3EFE)2( 3)A( 064410321 . )B( 410032321 . )C( 302140231 . )D( 032810621 . 【 】 【例【例1】设】设A是是n 阶方阵，则下列各式中正确的是阶方阵，则下列各式中正确的

11、是（二）选择题（二）选择题知应选知应选 .矩阵矩阵 的第三行，故应选的第三行，故应选 .分析分析 本题是考查初等方阵的性质由于本题是考查初等方阵的性质由于 为用为用 乘乘FE) 2( 32F)A(解解 选选 .)A(【例【例3】设线性方程组】设线性方程组 有唯一解，则必有有唯一解，则必有bxA1555)A(1)(AR. )B(2)(AR. )C(5)(AR. )D(4)(AR. 【 】 分析分析 本题是考查线性方程组有唯一解的条件由本题是考查线性方程组有唯一解的条件由5)()(nBRAR)C(解解 选选 .)C(【例【例4】设】设 为为 矩阵矩阵, 为为 矩阵，若方程组矩阵，若方程组A45b1

12、5bAx )A(1)(AR . )B(2)(AR. )C(4)(AR . )D(5)(AR. 【 】 有无穷多解，则必有有无穷多解，则必有 知应选知应选 .分析分析 本题是考查线性方程组有无穷多解的条件由：本题是考查线性方程组有无穷多解的条件由：4)()(nBRAR)C( 解解 选选 .)C(（三）计算题（三）计算题【例【例1】求矩阵】求矩阵 的逆矩阵的逆矩阵 113122214A分析分析 本题本题A为具体的矩阵，故可采用初等行变换法求逆阵为具体的矩阵，故可采用初等行变换法求逆阵.) ,() ,(1AEEAr 解解 100113010122001214 )(EA 110211010122021

13、430 21232rrrr 021430230540110211 13122rrrr 021430211110110211 32rr 614100211110101101 21233rrrr 614100825010513001 所以所以. 6148255131A首元所在列的原矩阵中寻找首元所在列的原矩阵中寻找A的最高阶非零子式的最高阶非零子式将将A 化为行阶梯形矩阵，则与之等价的行阶梯形矩阵的非零化为行阶梯形矩阵，则与之等价的行阶梯形矩阵的非零 行的行数就是行的行数就是A 的秩另外，可在阶梯形矩阵中非零行非零的秩另外，可在阶梯形矩阵中非零行非零 【例【例2】求矩阵】求矩阵 的秩，并求一最高阶

14、的非子式的秩，并求一最高阶的非子式 4820322513454947513253947543173125 A分析分析 本题中本题中A 为具体的矩阵，故可采用初等行变换法求秩为具体的矩阵，故可采用初等行变换法求秩 解解 因因 所以所以 53105310321043173125 A 00002100321043173125 3)(AR 因因 ，所以，所以 即为一个最高阶的非零子式即为一个最高阶的非零子式.025 549475539475173125 549475539475173125 【例【例3】设矩阵】设矩阵 与与 满足满足 ，其中，其中 AXXAAX2 300041034 A （1）求）求

15、；（；（2）求）求 . X)(XR分析分析 本题为常规的解矩阵方程题型一般方法是先将矩阵本题为常规的解矩阵方程题型一般方法是先将矩阵 解解（1）由）由 ，得，得 ；因；因XAAX2AXEA)2( 300100041021034032 )2(AEA 300100052010041021 21122rrrr 300100052010065001 所以所以. 300052065X方程化为基本型，再用初等行变换法求未知矩阵方程化为基本型，再用初等行变换法求未知矩阵（2）因）因 ，所以，所以 .039|X3)(XR【例【例4】求解齐次线性方程组】求解齐次线性方程组 0510503630 2 432143

16、214321xxxxxxxxxxxx分析分析 本题为解齐次线性方程组题一般方法本题为解齐次线性方程组题一般方法 将系数矩阵作初等行变换化为行最简形；将系数矩阵作初等行变换化为行最简形； 由由 判断解的情况；判断解的情况； 由最简形得同解方程组；由最简形得同解方程组； 选择非自由未知数，写出通解选择非自由未知数，写出通解)(AR 解解 因因 5110531631121 A 040004001121 000001001021 同解方程组为同解方程组为 0023421xxxx通解为通解为 ， 10010012214321ccxxxx. ) ,(21Rcc 【例【例5】设非齐次线性方程组】设非齐次线性

17、方程组 . 问问 取何值取何值 时，方程组有解；在方程组有解时，求出其通解时，方程组有解；在方程组有解时，求出其通解 3 32143243214321xxxtxxxxxxxxt分析分析 本题为解含参数的非齐次线性方程组题，是个很重要本题为解含参数的非齐次线性方程组题，是个很重要的典型题一般方法的典型题一般方法 将增广矩阵将增广矩阵 作初等行变换化为行最简形；作初等行变换化为行最简形； 由由 与与 的关系判断解的情况，由此得相应的取值；的关系判断解的情况，由此得相应的取值； 由最简形得同解方程组；由最简形得同解方程组； 选择非自由未知数，写出通解选择非自由未知数，写出通解),(bAB )(AR)

18、(BR 解解 因因 31110113211111 )(tbAB 311102111011111 t 100002111011111 tt 所以，当所以，当 ，即，即 时，方程组才有解，此时时，方程组才有解，此时 01t1t同解方程组为同解方程组为 ， 通解为通解为 000003111011111 B 000003111042201 3 422432431xxxxxx,003410120112214321kkxxxx. ) ,(21Rkk【例【例6】设】设 ， ，求，求 . 101110011 AAXAX 2X（教材教材P78, 习题习题6） 解解 由由 可得可得 ，因，因 AXAX 2AXEA

19、)2(101101110110011011) ,2(AEA112110110110011011 022200110110121101 011100101010110001 由上述结果可知由上述结果可知 可逆，且可逆，且 . 011101110 )2(1AEAXEA 2【例【例7】求解非齐次线性方程组】求解非齐次线性方程组 . 1 222241 2wzyxwzyxwzyx(教材教材P.79, 习题习题14(3) 解解111222122411112) ,(bAB020000100011112000000100010112所以所以 ，故原方程组有无穷多解，故原方程组有无穷多解 .42)()(BRAR且同解方程组为且同解方程组为 , 012wzxy令令 ， ，则得通解，则得通解 1cx 2cz ) ,(21Rcc, 0010 0110 002121ccwzyx). ,(21Rcc【例【例8】问】问 取何值时，非齐次线性方程组取何值时，非齐次线性方程组2321321321 1 xxxxxxxxx（1）有唯一解；（）有唯一解；（2）无解；（）无解；（3）有无穷多个解？）有无穷多个解？ （教材（教材P.80, 习题习题16）解法解法1 对增广矩阵对增广矩阵 作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵 ) ,(bAB 1111111 ) ,(2bAB3132rr