第三章非线性回归分析

1、第三章 非线性计量经济模型一、非线性模型的线性化一、非线性模型的线性化二、非线性模型的参数估计二、非线性模型的参数估计三、一个例子三、一个例子一、非线性模型的线性化一、非线性模型的线性化 指数函数模型 yt = ttubxae (3.1) b0 和b 0) 图3.2 yt =ttubxae, (b 0 和 b 0) 图 3.4 yt = a + b Lnxt + ut , (b 0 情形的图形见图 3.7。xt和 yt的关系是非线性的。令 yt* = 1/yt, xt* = 1/xt，得 yt* = a + b xt* + ut 已变换为线性回归模型。其中 ut表示随机误差项。 图 3.7 y

2、t = 1/ (a + b/xt ), (b 0) 图 3.8 yt = a + b/xt , (b 0) 多项式方程模型 一种多项式方程的表达形式是 yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut (3.12) 其中b10, b20, b30和b10, b30, b20和b10, b2 0 情形的图形分别见图 3.13 和 3.14。美国人口统计学家Pearl 和 Reed 广泛研究了有机体的生长，得到了上述数学模型。生长模型（或逻辑斯谛曲线，Pearl-Reed 曲线）常用于描述有机体生长发育过程。其中 k 和 0 分别为 yt的生长上限和下限。ttLimy=

3、k, ttLimy= 0。a, b 为待估参数。曲线有拐点，坐标为（aLnb,2k） ，曲线的上下两部分对称于拐点。 图 3.13 yt = k / (1 +tuatbe) 图 3.14 yt = k / (1 +tuatbe) 为能运用最小二乘法估计参数 a, b，必须事先估计出生长上极限值 k。线性化过程如下。当 k 给出时，作如下变换， k/yt = 1 + tuatbe 移项， k/yt - 1 = tuatbe 取自然对数，Ln ( k/yt - 1) = Lnb - a t + ut (3.18) 令 yt* = Ln ( k/yt - 1), b* = Lnb, 则 yt* =

4、b* - a t + ut (3.19) 此时可用最小二乘法估计 b*和 a。 龚伯斯（Gompertz）曲线 英国统计学家和数学家最初提出把该曲线作为控制人口增长的一种数学模型，此模型可用来描述一项新技术，一种新产品的发展过程。曲线的数学形式是，yt =atbeke 曲线的上限和下限分别为 k 和 0，ttLimy= k, ttLimy= 0。 a, b 为待估参数。曲线有拐点，坐标为（aLnb,ek） ，但曲线不对称于拐点。一般情形，上限值 k 可事先估计，有了 k 值，龚伯斯曲线才可以用最小二乘法估计参数。线性化过程如下：当 k 给定时， yt / k = atbee， k/yt = a

5、tbee Ln (k/yt) = atbe， LnLn(k/yt) = Lnb - a t 令 y*= LnLn(k/yt), b* = Lnb，则 y* = b* - a t 上式可用最小二乘法估计 b* 和 a。 图 3.15 yt =atbeke Cobb-Douglas 生产函数 下面介绍柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas）生产函数。其形式是 Q = k L C 1- (3.24) 其中 Q 表示产量；L 表示劳动力投入量；C 表示资本投入量；k 是常数；0 1，称模型为规模报酬递增型； 1 + 2 1，称模型为规模报酬递减型。 对于对数线性模型， Lny = Ln0 + 1 L

6、nxt1 + 2 Lnxt2 + ut ，1和2称作弹性系数。以1为例， 1 = 1ttLnxLny= 1111ttttxxyy= 11/ttttxxyy= 11ttttxyyx (3.28) 可见弹性系数是两个变量的变化率的比。 注意， 弹性系数是一个无量纲参数，所以便于在不同变量之间比较相应弹性系数的大小。 对于线性模型，yt = 0 + 1 xt1 + 2 xt2 + ut ，1和 2称作边际系数。以1为例， 1 =1ttxy (3.29) 通过比较(3.28)和(3.29)式，可知线性模型中的回归系数（边际系数）是对数线性回归模型中弹性系数的一个分量。 例 1：此模型用来评价台湾农业生

7、产效率。用台湾 1958-1972 年农业生产总值（yt） ，劳动力（xt1） ，资本投入（xt2）数据为样本得估计模型， tLny= -3.4 + 1.50 Lnxt1 + 0.49 Lnxt2 (3.30) (2.78) (4.80) R2 = 0.89, F = 48.45 还原后得， ty = 0.713 xt11.50 xt20.49 (3.31) 因为 1.50 + 0.49 = 1.99，所以，此生产函数属规模报酬递增函数。当劳动力和资本投入都增加 1%时，产出增加近 2%。 例 2：用天津市工业生产总值（Yt） ，职工人数（Lt） ，固定资产净值与流动资产平均余额（Kt）数据

8、(1949-1997) 为样本得估计模型如下： Ln Yt = 0.7272 + 0.2587Ln Lt + 0.6986 LnKt (3.12) (3.08) (18.75) R2 = 0.98, s.e. = 0.17, DW = 0.42, F = 1381.4 因为 0.2587 + 0.6986 = 0.9573， 所以此生产函数基本属于规模报酬不变函数。 例 3：硫酸透明度与铁杂质含量的关系（摘自数理统计与管理1988.4, p.16） 某硫酸厂生产的硫酸的透明度一直达不到优质指标。经分析透明度低与硫酸中金属杂质的含量太高有关。影响透明度的主要金属杂质是铁、钙、铅、镁等。通过正交试

9、验的方法发现铁是影响硫酸透明度的最主要原因。测量了 47 个样本，得硫酸透明度（y）与铁杂质含量（x）的散点图如下 050100150200050100150200250XY 0.000.020.040.060.080.000.010.020.030.041/X1/Y （1） y = 121.59 - 0.91 x (10.1) (-5.7) R2 = 0.42, s.e. = 36.6, F= 32 （2） 1/y = 0.069 - 2.37 (1/x) (18.6) (-11.9) R2 = 0.76, s.e. = 0.009, F= 142 0501001502000.000.010

10、.020.030.041/XY 234560.000.010.020.030.041/XLOG(Y) （3）y = -54.40 + 6524.83 (1/x) (-7.2) (16.3) R2 = 0.86, s.e. = 18.2, F= 266 （4）Lny = 1.99 + 104.5 (1/x) (22.0) (21.6) R2 = 0.91, s.e. = 0.22, F= 468 还原，Lny = Ln(7.33) + 104.5 (1/x) y = 7.33 )1(5 .104xe （5）非线性估计结果是 y = 8.2965 )1( 1 .100 xe R2 = 0.96,

11、EViews 命令 Y=C(1)*EXP(C(2)*(1/X) 例 4 中国铅笔需求预测模型 中国从上个世纪 30 年代开始生产铅笔。1985 年全国有 22 个厂家生产铅笔。产量居世界首位（33.9 亿支） ，占世界总产量的 1/3。改革开放以后，铅笔生产增长极为迅速。1979-1983 年平均年增长率为 8.5%。铅笔销售量时间序列见图 4.21。1961-1964 年的销售量平稳状态是受到了经济收缩的影响。文革期间销售量出现两次下降，是受到了当时政治因素的影响。1969-1972 年的增长是由于一度中断了的中小学教育逐步恢复的结果。1977-1978 年的增长是由于高考正式恢复的结果。

12、1981 年中国开始生产自动铅笔，对传统铅笔市场冲击很大。1979-1985 年的缓慢增长是受到了自动铅笔上市的影响。 50100150200250300350626466687072747678808284Y 铅笔销售量时间序列（1961-1985） 初始确定的影响铅笔销量的因素有全国人口、各类在校人数、设计人员数、居民消费水平、社会总产值、自动铅笔产量、价格因素、原材料供给量、政策因素等。经过多次筛选、组合和逐步回归分析，最后确定的被解释变量是 yt（铅笔年销售量，千万支） ；解释变量分别是 xt1（自动铅笔年产量， 百万支） ； xt2（全国人口数， 百万人） ；xt3（居民年均消费水平

13、，元） ；xt4（政策变量） 。因政策因素影响铅笔销量出现大幅下降时，政策变量取负值。例如 1967、1968 年的 xt4值取-2，1966、1969-1971、1974-1977 年的 xt4值取-1） 。 0100200300400010203040YX1Y, X1散点图 下图表示中国自生产自动铅笔起，自动铅笔产量与铅笔销量存在线性关系 010020030040060070080090010001100YX2 Y, X2散点图 下图表示全国人口与铅笔销量存在线性关系。说明人口越多，对铅笔的需求就越大 0100200300400100200300400500YX3Y, X3散点图 下图表示

14、居民年均消费水平与铅笔销量存在近似对数的关系。散点图说明居民年均消费水平越高，则铅笔销量就越大。但这种增加随着居民消费水平的增加变得越来越缓慢。 0100200300400-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.5YX4下图表示政策变量与铅笔销量也呈线性关系。 Y, X4散点图 基于上述分析建立的模型形式是 yt = 0 + 1 xt 1 + 2 xt 2 + 3 Ln (xt 3) + 4 xt 4 + ut yt与 xt 3呈非线性关系。估计结果如下。 ty = -907.94 - 2.95 xt 1 + 0.31 xt 2 + 170.19 Ln xt 3 + 45.51 xt

15、 4 (-6.4) (-3.7) (4.8) (4.4) (12.6) R 2 = 0.9885, DW = 2.09, F = 429, s.e. = 10.34 上式说明，在上述期间自动铅笔年产量每增加 1 百万支，平均使铅笔的年销售量减少 2950 万支。全国人口数每增加 1 百万人，平均使铅笔的年销售量增加 310 万支。对数的居民年均消费水平每增加 1 个单位，平均使铅笔的年销售量增加 17 亿支。一般性政策负面变动使铅笔的年销售量减少 4.551 亿支。当政策出现大的负面变动时，铅笔的年销量会减少 9.102 亿支。 当yt 对所有变量都进行线性回归时（见下式） ，显然估计结果不如

16、上式好。 ty = -254.26 - 3.29 x t 1 + 0.42 x t 2 + 0.66 x t 3 + 40.74 x t 4 (-12.0) (-3.0) (8.6) (3.5) (11.7) R 2 = 0.9857, DW = 1.77, F = 346, s.e. = 11.5 二、非线性模型的参数估计二、非线性模型的参数估计1. 1.非线性最小二乘原理非线性最小二乘原理现在的问题在于如何求解非线性方程(2.1.4)。 对于多参数非线性模型，用矩阵形式表示(2.1.1)为 Y=f(X,)+ (2.1.5)其中各个符号的意义与线性模型相同。向量的普通最小平方估计值应该使得残差平方和2.高斯高斯-牛顿牛顿(Gauss-Newton)迭代法迭代