静定结构位移计算.

1、第第 四四 章章 第四章 静定结构位移计算 本本 章章 学学 习习 指指 导导 本章在变形体虚功原理的基础上，讲述静定结构的位移计算。位移计算是解算超静定结构和验算结构刚度所必需的，是本章的重点。 实功、虚功、广义力、广义位移是本章的基本概念，必须牢固掌握。变形体虚功方程要求理解。荷载所产生的位移的算式一定要掌握。用图乘法求位移是本章的主要内容，应该熟练掌握。同时，支座位移产生的位移的计算、温度改变产生的位移的计算、功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理等也要求掌握、理解或了解。 4-1 实功与虚功、广义力与广义位移、变形体虚功方程 一、实功与虚功： 1、实功： 力在其本身引起的位移上所做的

2、功，称为实功。 如图4-1(a)所示，在梁上平稳地、缓慢地加载，当荷载由零增至 p1 时，在其 作用点产生的位移为11，则此过程中变力p1所做的功 T11=(1/2)p111 即是实功（图b）。(b)p1p1111p1OBA图4-1 一、实功与虚功： 2、虚功： 如果位移与做功的力无关，则力在此位移上所做的功称为虚功。例如力在另外一组力或其他原因产生的位移上所做的功，就是虚功。 如图4-2(a)，在梁上A处加完 p1之后，又在 B 处逐渐加上 p2，梁的挠曲线由移至 ，则力 p1在位移12（由力p2在A处产生的位移）上所做的功，就是虚功。且由于 p2 加载过程中 p1 的大小不变，因此该虚功：

3、T12=p112 。22p111p21222ABp1Ap2B1212图4-2 一、实功与虚功： 3、实功与虚功在算式上的区别： 如上所述，p1在位移 12 上所做的虚功：T12=p112。p1在11上所做的功，p2在22上所做的功，都是实功，表达式分别是：T11=(1/2)P111 T22=(1/2)p222。 由此可见，在静力加载过程中，实功和虚功在算式上的区别是：实功算式有系数“1/2”，虚功没有系数“1/2”。 4、位移 ik 脚标的含义： 脚标中头一个字母 i 表示位移的地点和方向，第二个字母 k 表示引起位移的原因。例如 12 中，字母“1”表示这个位移是发生在 p1 的作用点且沿p

4、1 作用方向的位移；而字母“2”则表示这个位移是由力 p2 所引起的。同理，22是 发生在p2 的作用点沿p2 的作用方向且由p2 引起的位移。 今后，在研究p1在12上所做的虚功时，可如图4-2(b)把做虚功的p1和虚位移12画在两个图上，分别称为状态1、状态2。p1也可以是一组力，12也可是温度等改变所致。 二、广义力与广义位移： 1、广义力： 工程实践中，不仅单个力可以做功，单个力偶、一组力、或一组力偶都可以做功，为了简便，今后把这些可以做功的与力有关的因素，统称为广义力。 2、广义位移： 凡能够使广义力产生虚功的位移因素，统称为广义位移。常见的广义位移有：线位移、角位移、相对角位移等。

5、它们可以是由力或力偶矩的作用产生的，也可以是由温度改变、支座位移、安装误差等因素引起的。 3、广义力与广义位移的关系： 广义力与相应的广义位移，或广义位移与相应的广义力的关系是：它们的乘积为虚功，即： T=S 当广义位移 与广义力S 方向一致时，虚功为正，相反时虚功为负值。 二、广义力与广义位移： 4、常见情况举例： 若广义力为单个力p，则相应的广义位移为该力作用点的全位移在该力方向上的投影(图4-3a)。（b）p全位移（a）M图4-3 若广义力为单个力偶M，则相应的广义位移为该力偶作用截面的转角 (图4-3b)。 二、广义力与广义位移： 4、常见情况举例(续)： 若有大小相等，方向相反的一对

6、力p作用于杆AB两端，由于某种原因，A、B两点分别发生位移A、B，则这一对力p在此位移上所做的虚功为： T=pA+pB =p（A+B）=pAB式中AB为A、B两点的相对位移，p为广义力，AB为广义位移。(图4-4)图 4-5图 4-4 若有一对方向相反的力偶M作分别用于杆A、B截面上(图4-5)，由于某种原因二截面发生转角A、B，则在此位移上这一对力偶所做的虚功为： T=MA+MB =M(A+B)=MAB式中AB为A、B两截面的相对转角，一对力偶M为广义力，AB为广义位移。BAABABABABMMABpp 三、变形体虚功方程： 按照工程力学中学过的刚体虚功原理，当给平衡的刚体体系以任意的虚位移

7、时，作用于体系上的外力之功的总和等于零。这里的虚位移是约束所容许的微小刚性位移。 例如，设有一简支梁在外力作用下处于平衡(图4-6a)，当使其支座发生某一微小位移时(图4-6b)，梁上的外力(包括支座反力)在此位移上要做虚功，其总和等于零。这个功的方程可以概括地写为： T12=0即状态 1 上的外力在状态2 的位移(刚性位移)上所做之功总和等于零。这就是刚体的虚功方程。 Rp12图4-6 三、变形体虚功方程(续)： 若所给的虚位移不是刚性位移，而是变形曲线，例如某一组力所引起的弹性曲线(图4-7b)，则状态 1 上的外力在此位移上所做虚功的总和显然不等于零。以后将证明，状态 1 上的外力在状态

8、 2 位移上所做的虚功T12等于状态 1 各微段外力(图4-7c)在状态 2 各微段变形(图4-7d)上所做虚功之和V变12，即： T12= V变12 这就是变形体虚功方程。用文字表述如下： MMdsd222d2N2N2Q2Q2dh2（c）（d）pdsaabbMM11+dM1N1+dN1Q1+dQ1Q1N1dsM 当给平衡的变形体(状态1)任意的虚位移(状态2)时，变形体上外力之功等于各微元体 (微段)外力在变形体上之功 (变形功)的和。图4-7 三、变形体虚功方程(续)： 下面研究 V变12 的表达式。 虚位移(状态2)中微段的变形 ( 图b )可以分为弯曲变形d2(相对转角)、轴向变形 d

9、2(轴向位移)和剪切变形 dh2(切向位移)，如图(d)，其中脚标 2 表示是状态 2 中的变形。 状态 1 中微段外力（图c）在状态 2 中微段变形 (图d)上所做的功以 d V变12 表示，它等于： d V变12=M1d2+N1d2+Q1dh2 （A） 这里： 1 、略去了dM1 、dQ1 、dN1在变形上所做的功，因其与M1 、Q1 、N1 所做的功相比是高阶微量。 2 、略去了分布荷载在变形上所做的功，近似地视其为集中力。集中力在变形上所做的功没有略去，隐含在公式中。 3 、假定了剪应力（剪应变）沿截面高度不变。 4 、假定杆的曲率不大。 三、变形体虚功方程(续)： 若虚位移(状态2)

10、是一组力引起的(图4-7b)，则式（A）中 3 种变形可分别由状态 2 中内力M2 、N2 、Q2来表达： 这时，式（A）变为：ssssssssdGAQdGddhdEANdddEIMdkdd222222222221GAdQQEAdNNEIdMMdVsss21212112变GAdQQEAdNNEIdMMdVsss21212112变考虑到在剪切弯曲变形中剪应力非均匀分布，引入系数GAdQQEAdNNEIdMMVsss21212112变将此式代入虚功方程 T12=V变变12 即得虚功方程的展开式:GAdQQEAdNNEIdMMTsss21212112 将各个微段外力在变形上之功 dV变12加起来(积

11、分)，再对体系中各杆求和，即得 V变12。 这就是变形体虚功方程的基本形式。三、变形体虚功方程(续)：4-2 静定结构由于荷载作用产生的位移计算 如图4-10(a)，设一简支梁在图示荷载做作用下发生弯曲，现欲求轴上任一点 K 的位移 ip，这是产生位移的实际状态，称为状态 p。为求此位移，假想一个虚拟状态 i，并在欲求位移的点上，沿所求位移的方向加一个单位力 p=1 。它是一个无名数，如图4-10(b)。 现将状态 i 中的力 pi=1 视为做功的力，则该力在状态p 的位移 ip上做虚功，其虚功方程为：Tip=V变ip ipkpi=1pik 又因为状态 i上的力 p i=1在状态 p 的位移i

12、p 上的虚功： Tip=1ip=ip 把这一结果代入虚功方程的展开式，即可得： 图4-104-2 静定结构由于荷载作用产生的位移计算GAdsQQEAdsNNEIdsMMpipipiip式中 、 、 为状态 i 上单位广义力 pi=1 所产生的弯矩、轴力和剪力。MpMp、NpNp、Qp Qp 为状态 p 上实际荷载产生的弯矩、轴力和剪力。 这就是求弹性杆件结构位移的公式。它适用于静定结构，也适用于超静定结构。 状态 i 的确定 ： 在状态 i 上应作用一个与所求位移相对应的单位广义力。这个广义力在而且只在所求的位移上做功。它没有量纲。因此，这个单位广移力在状态 p 位移上的功 1p ，不仅在数值

13、上，而且在量纲上，就等于所求的位移 ip 。 iMiNiQ 4-3 图乘法 位移计算举例 对于通常的梁和刚架（细长杆），弯曲变形是主要的，轴向变形和剪切变形产生的位移可以忽略不计，同时，对于等截面直杆体系，EI 可以提到积分号外面，且 ds=dx， 则位移算式可改写为：其中：Mp 是荷载产生的弯矩图的表达式， 是单位力产生的弯矩图的表达式。实际荷载是分布荷载时，Mp图是曲线，是集中力或力偶时，Mp图是直线，它们可用曲线图形来概括。但 图一定是直线或折线图形，且折线可分解为直线。据此，我们可将上述积分转换为两个量的乘积，叫作图乘： ip= = yodxMMEIEIdsMMpipiip1iMiMd

14、xMMEIEIdsMMpipiip1dxMMEIEIdsMMpipiip1 4-3 图乘法 位移计算举例 上式中， 可是曲线、直线、或折线图形的面积，而 Y0 一定是被选为面积的图形的形心所对应的直线图形（且只能是直线图形）的纵标。 与 y0 在杆轴的同一侧时，乘积 y0 取正号，反之取负号。 一、图形的面积及其形心位置： 曲线图形的面积和形心位置则要用积分的方法求出，为计算方便，现给出几种常见曲线图形的面积和形心位置。 1、均布荷载在简支梁上产生的弯矩图： 弯矩图面积： =（2/3）b其中： 为梁的跨度； b=（1/8）q2形心位置在图形中央。如图4-11 图4-11形心位置在图形中央/2b

15、=23b. 2 、分布荷载在一端弯矩为零，另一端剪力为零的杆件上产生的弯矩图：(如图4-12a） 这种弯矩图在剪力为零端的切线平行于杆轴线，其面积正好是简支梁在均布荷载作用下的弯矩图面积的一半，即： =（2/3）ab 其中：a 为该杆的长度，b 为其最大弯矩值，其形心在距离零弯矩端 5a/8 处。 但是对于弯矩图不与轴线相切的情况(如图b)，不能用该公式，而应该用三角形和标准二次抛物线的面积相加求面积。qqqABCq3/2q22b=23b.a5/8aaCAB(a)(b)qqqABCq3/2q22b=23b.a5/8aaCAB(a)(b)图4=12 3、分布荷载在悬臂梁上的弯矩图，如图4-13。

16、 = a b /3，形心在距最大弯矩端 a/4 处。aql /22ca/4b=ab/3=2ab/3 分布荷载在悬臂梁上的弯矩图正好与半个标准二次抛物线图形构成一个矩形，标准二次抛物线图形的面积是矩形面积的三分之二，分布荷载在悬臂梁上的弯矩图的面积则是矩形面积的三分之一，如图4-13。 =ab/3其形心在距最大值一端为其长度 1/3 的地方。图4-13 二、图乘法在静定结构位移计算中的应用举例：4-4 静定结构由于支座位移产生的位移计算 支座位移时，静定结构不产生内力和变形，只产生刚性位移。这种位移，对于简单结构，可用几何方法求解，对于复杂结构，则宜用虚功方程来求。 设图4-38(a)所示静定梁

17、的右支座 B 发生了竖向位移 C，求由此因起的 K点的位移 ic。为此，设原状态（图a）为状态 c，并设一虚拟状态 i（图b），在欲求位移的 K 点加一单位广义力pi=1，其在支座 B 产生的支反力为 。由于状态 c 是刚性位移，有刚体虚功方程： Tic=0icKcipi=1C-R图4-38RR4-4 静定结构由于支座位移产生的位移计算 这就是说，状态 i 上的外力在状态 C 位移上做功之和等于零。这里，做功的力，除了 pic=1，还有支座反力 ，即 Tic=1ic+ c=0 ic=- c对于多根支杆，则有： ic= - c 式中：c 为支杆位移的绝对值， 为单位力产生的支杆反力(c 为转角时

18、为反力矩)，与位移方向一致时取正号。RRRRR1M(b)(a)12K1/2hhh/2/2图4-39 例4-16 三铰刚架右支座发生水平位移 1 和竖向位移 2。求由此产生的结点K 的转角k。 解：在 K点加单位力偶1 并求支座反力如图(b)。4-4 静定结构由于支座位移产生的位移计算 k= ic =- c=-(1/2h)1+(-1/）2 =2/ -1/2h 例4-17 图4-40(a)所示结构的支座 A 发生转角，支座 B 下沉 ，求由此产生的 A、B 二截面的相对竖向位移。 解 在状态 i上加一对方向相反的单位力并计算与支座位移相对应的支座反力如图(b)。A、B 竖向相对位移是： ic=-

19、c =-(-)+1 = - ABAB111ic(a)(b)RR图4-404-5 静定结构由于温度改变产生的位移计算 静定结构由于温度改变只产生位移，而不产生内力。位移的产生是由于结构的各个微段发生了“温度变形”的结果。 为计算温度变形时简便引入一个假设：温度沿截面高度线性变化。在此前提下各个纤维可以自由伸长，不发生剪切变形。微段只发生：温度弯曲变形dt 和温度轴向变形dt（图4-41）。dsdtdt2.ds1t1t0t2t1t2t图4-41 图中 t1、t2 分别为上、下边纤维的温升值，并由此可算出对称截面杆中性层的温升值： t0=(t1+t2)/2因而温度轴向变形： dt=t0ds4-5 静

20、定结构由于温度改变产生的位移计算 上式中： 为材料线膨胀系数，ds为微段的长度。 由于变形很小，温度弯曲变形dt(微段左右两截面的相对转角)可用角的正切来代替，即：若杆件上、下两侧温差的绝对值以 t表示，则有： 当微段两端截面发生相对转角 时，微段要弯曲。这是因为温度变化不会引起剪切变形，杆件的纵向纤维永远垂直于截面（为简便，图4-41未画成弯曲形状）。 这样变形就求出来了。 欲求温度位移 it ，仍然利用变形体虚功方程（略）。dshtthdstdstdt1212hdstdttd4-6 1. 功的互等定理功的互等定理:方法一方法一22212111112121 PPPW11 11 2P12 22 2第第 I 状态状态12 2P11 21 222 12 2P22 2第第 状态状态11121222222121 PPPW由由W1=W 2212121 PP先加广义力先加广义力P1后再加广义力后再加广义力P2先加广义力先加广义力P2后再加广义力后再