高等数学(2017高教五版)课件导数和微积分求导法则(工科类)

1、一、导数的四则运算 导数很有用，但全凭定义来计算导数是不方便的. 为此要建立一些有效的求导法则, 使导数运算变得较为简便.2 求导法则数学分析 第五章导数和微分二、反函数的导数三、复合函数的导数 四、基本求导法则与公式*点击以上标题可直接前往对应内容定理5.6定理5.5导数的四则运算000( ( )( )()().(1)x xu xv xu xv x 在点 x0 也可导, 且( )( )( )f xu xv x00000( ( ) ( )() ()() ().(2)x xu x v xu x v xu x v x 在点 x0 也可导, 且( )( ) ( )f xu x v x 若函数 在点

2、x0 可导, 则函数( ), ( )u x v x 若函数 在点 x0 可导, 则函数( ), ( )u x v x后退 前进 目录 退出2 求导法则导数的四则运算推论( )().( )003xxcu xcux ().uvwu vwuv wuvw定理 5.6 可推广到任意有限个函数相乘的情形, 如 下面证明乘积公式 (2), 请读者自行证明公式 (1) . 证 (2) 按定义可得 若 u (x) 在点 x0 可导,c 是常数，则导数的四则运算0000()()lim()xv xxv xu xx 0000() ()()().u xv xu xv x() ()() ()()lim000000 xu

3、xx v xxu xv xfxx 00000( ) ( )() ( )limxu xx v xxu xv xxx 0000() ()() ().u xv xxu xv xx 0000()()lim()xu xxu xv xxx ()uvu v 注意: ,千万不要把导数乘积公式 (2)记错了.导数的四则运算例1 1011( ).nnnnf xa xa xaxa 求的导数求的导数1011( )()()()() nnnnfxa xa xaxa解 因此, 对于多项式 f 而言, 总是比 f 低一个幂次.f 例2 sinln.yxxx求求在在处处的的导导数数解 由公式 (2)，得12011(1). nn

4、nna xna xaln.xy )(lnsinln)(sin xxxxyxxxxsin1lncos 导数的四则运算定理5.70000020() ()() ()( ).(4)( )()x xu x v xu x v xu xv xvx 在点 x0 也可导，且( )( )( )u xf xv x 则则若函数 在点 x0 可导,( ), ( )u x v x0()0,v x 导数的四则运算证1( )( )( ) ( ).( ),( )g xf xu x g xg xv x设，则对有设，则对有000011( )()( )()v xxv xg xxg xxx 0000( )()1.( )()v xxv

5、xxv xxv x 由于 在点 x0 可导, 因此0()0,v x ( )v x导数的四则运算0000200()()()()lim,()xg xxg xv xg xxvx 0020()1.( )()x xv xv xvx 亦亦即即(5)对 应用公式 (2) 和 (5), 得( )( ) ( )f xu x g x 0000011()()(),()()fxu xu xv xv x 000200()()()()()u xv xu xv xvx导数的四则运算0000020() ()() ()( ).( )()x xu xv xu xv xu xv xvx 即即000020() ()() (),()u

6、 xv xu xv xvx 例3 求下列函数的导数：(i),;nxn 是正整数是正整数(ii) tan, cot;xx(iii) sec , csc.xx解-1(i) ()nnxx nnxnx21 .1 nnx xxxcossintan )ii( xxxxx2coscossincossin xxx222cossincos .seccos122xx 导数的四则运算同理可得 sectan .xx (csc )csccot .xxx 221(cot)csc.sinxxx 同理可得1(iii) (sec )cosxx xxxx22cossincoscos 导数的四则运算定理5.8001().(6)()

7、fxy 证00,xxxyyy设设则则00()(),xyyy00()() .yf xxf x 由假设, 在点1f 0 x的某邻域内连续,反函数的导数f则 在点 可导, 且00()xy 0()0,y 某邻域内连续，严格单调, 且反函数的导数设 为 的反函数，在点 的( )yf x ( )xy 0y00;xy 00()limxyfxx ,0)(0 y 便可证得注意到且严格单调, 从而有反函数的导数0011.()limyxyy 解(i)arcsin ,( 1, 1)sinyxxxy 是在是在21,(arccos ),( 1, 1).1xxx 同同理理上的反函数，故()22 ，1(arcsin )(si

8、n )xy ycos1 ).1 , 1(,112 xx反函数的导数例4 求下列函数的导数：(i) arcsinarccos;xx和和(ii) arctanarccot.xx和和)(tan1)(arctan yx).,(,112 xx同理有21(arccot ),1xx (,).x 的反函数，故(ii)arctantanyxxy是在是在上()22 ，x2sec1 y2tan11 反函数的导数定理5.9000( )( )()uxxyf uux设设在在点点可可导导，在在点点f 可可导导，则则复复合合函函数数 在点 x0 可导，且这个定理一般用有限增量公式来证明，但为了与 00000() ()()()

9、()(). (7)fxfuxfxx 复合函数的导数证法, 为此需要先证明一个引理.今后学习向量函数相联系，这里采用另一种新的复合函数的导数引理 f 在点 x0 可导的充要条件是: 00()( ),U xxH x域域上上存存在在一一个个在在连连续续的的函函数数使使证 设 f (x) 在点 x0 可导, 且令00000( )(),()( )(),.f xf xxUxxxH xxxfx 00()().fxH x 且且),)()()(00 xxxHxfxf 0000( )()lim( )limxxxxf xf xH xxx 因因复合函数的导数在 x0 的某邻00()(),fxH x 0( )H xx故

10、在连续，且故在连续，且00,( ) (),H xxU xx 反之设存在在点连续且反之设存在在点连续且000( )()( )(),() .f xf xH xxxxU x00000( )()limlim( )(),xxxxf xf xH xH xxx 得 f (x) 在点 x0 可导,).()(00 xHxf 且且000( )()( )(),().f xf xH xxxxU x根据极限复合函数的导数),(0uFu 连续的函数连续的函数个在点个在点且且使使)()(00uFuf 同理，,)(0可可导导在在点点 xxu 则存在一个在点 x0).(),)()()(000uUxuuuFufuf 0000(

11、)()( )(),().uuxxxxxxU x 于是当 有),(0 xUx 由引理的必要性,)(0可可导导在在点点及及uuf(),x 00()(),xx 使使且连续的函数00( ( )( ()( ( )( )().fxfxFxxx x下面证明定理 5.9 ( 公式 (7) ) .知存在一复合函数的导数0,x 由由于于在在点点连连续续)(00 xuF 在点在点连续，若将公式(7)改写为00000()( ()()()().H xFxxfux ddd,dddxyuyux 0( )( ( )( ).H xFxxx 所所以以在在点点连连续续 理的充分性,0,fx 在在点点可可导导 0() ()fx (

12、),( ) ,yf u ux 其其中中 这样就容易理解 “链”的复合函数求导公式 (7) 又称为 “链式法则”.根据引复合函数的导数意义了.且( ( ( )( ( )( ).fxfxx 与的不同含义与的不同含义在链式法则中一定要区分( )( ( )( )|uxfxfu 例5.sin2yxy 的导数的导数求函数求函数dd ddddyyuxux 解分解成 这两个2sinyx 将将2sinyuux与与于是由链式法则, 有基本初等函数的复合，复合函数的导数2(sin ) ()ux 2cos22 cos.uxxx例6(,0 ).yxx 求幂函数是实数的导数求幂函数是实数的导数解lneelnxuyxyux

13、 由与由与复合而成,ln()(e)xx 故故复合函数的导数1e.uxx 解 运用复合求导法则, 分别计算如下:122221(i)()(1)(1)12xxx 2.1xx 23 22211(ii)(1)(1)21xxx 2 3.(1)xx 复合函数的导数例7求下列函数的导数:2(i)1;x 21(ii);1x 2(iii)ln(1)xx 221( 1)11xxxx221(1)1xxxx 21.1x 复合函数的导数2(iii)ln(1).xx例8 求下列函数的导数:21(i)( )arctan(tan) ;332xf x 1,0,1e(ii)( )0,0.xxxg xx 解222111(i)( )s

14、ec133221tan92xfxx 2sin2cos9122xx .cos451x 复合函数的导数(ii)0 x 当时,当时,111211ee( ).(1e)xxxxg x 0 x 当时,因为当时,因为101(0)lim00,1exxxgx 所以 在 处不可导.g0 x 101(0)lim01,1exxxgx 复合函数的导数1,0,1e(ii)( )0,0.xxxg xx 化某些连乘、连除式的求导.( )( )ln ( )( ( )(e)v xv xu xu x ( )( )( )( )ln ( )( ).( )v xu xu xv xu xv xu x 对数求导法( )0,( )u xu x

15、 设设 均可导，( )v x与与( )( )v xu x对数求导法不仅对幂指函数有效,也能简复合函数的导数则( )ln ( )e( ( )ln ( )v xu xv xu x 解 先对函数两边取对数, 得再对上式两边求导, 又得于是得到).95ln(52)2ln(41)1ln(3ln2 xxxy26125.4(2)5591yxyxxx 2314225(1) (2)612.4(2)59(59)1xxxyxxxx 例923142 5(1) (2),.(59)xxyyx 设求设求复合函数的导数求导法则：);()( ,)()2(为常数为常数cuccuvuvuuv d1(4);dddyxxy 反函数的导数反函数的导数;1,)3(22vvvvvuvuvu ;)()1(vuvu 基本求导法则与公式基本求导法则与公式基本初等函数的导数公式：(1)( )0 ();cc 为为常常数数);()()2(1为任意实数为任意实数 xx;sin)(cos,cos)(s