微分方程例题

1、例例. 解初值问题解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: 分离变量得分离变量得xxxyyd1d2两边积分得两边积分得Cxyln11lnln2即即Cxy12由初始条件得由初始条件得 C = 1,112xy( C 为任意常数为任意常数 )故所求特解为故所求特解为 1)0(y自行填充空白处的颜色例例. 求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令令 , 1yxu则则yu1故有故有uu2sin1即即xuuddsec2Cxutan解得解得Cxyx) 1tan( C 为任意常数为任意常数 )所求通解所求通解:例例:.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分离变量分离变量x

2、eyexyddCeexy即即01)(yxeCe( C 0 )解法解法 2, yxu令yu1则故有故有ueu1积分积分Cxeuu1dCxeuu)1 (ln( C 为任意常数为任意常数 )所求通解所求通解:Cyeyx)1(lnueeeuuud1)1 (例例. 解微分方程解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解:,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu 令则有则有22uuuxu分离变量分离变量xxuuudd2积分得积分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原变量得通解代回原变量得通解即即Cuux )1(yCxyx)(说明说明: 显然显然 x = 0 , y = 0 , y = x

3、也是原方程的解也是原方程的解, 但但在在(C 为任意常数为任意常数)求解过程中丢失了求解过程中丢失了. 例例. 求方程的通解 .解解: 注意 x, y 同号,d2d,0 xxxx时当yyxyx2dd2yyP21)(yyQ1)(由一阶线性方程通解公式通解公式 , 得ex yy2dey1yy2dCxlnd故方程可变形为0d2d3yyxyyxxyy1y1 lndCy 所求通解为 )0(CCeyyxyCyln这是以x为因变量, y为 自变量的一阶线性方程思考与练习思考与练习判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4

4、(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分离 变量方程xyxyxylndd齐次方程221dd2xyxxy线性方程221dd2yxyyx线性方程2sin2ddyxxyxxy伯努利方程例例. 求解0d1d)(2yxxxyx解解:21xyP 这是一个全微分方程 .用凑微分法求通解. 将方程改写为0ddd2xxyyxxx即, 0d21d2xyx故原方程的通解为021d2xyx或Cxyx221,xQ思考思考: 如何解方程?0dd)(3yxxyx这不是一个全微分方程 ,12x就化成上例 的方程 .但若在方程两边同乘备用题备用题 解方程.0d)(dyxyxy解法解法1 积

5、分因子法. 原方程变形为0d)dd(yyyxxy取积分因子21y0ddd2yyyyxxy故通解为Cyyxln此外, y = 0 也是方程的解.解法解法2 化为齐次方程. 原方程变形为xyyxyddxyxy1,xuy 令，则uxuyuuuxu1xxuuudd)1 (2积分得Cxuulnln1将xyu 代入 ,Cyyxln得通解此外, y = 0 也是方程的解.解法解法3 化为线性方程.原方程变形为11ddxyyx1,1QyPyyexd1 ) 1(yyed1Cy dyyyCd1yCyln其通解为yxxPed)(CxexQxxPd)(d)(即此外, y = 0 也是方程的解.Cyyxln例例. .c

6、os2xeyx 求解解解: 12cosCxdxeyx 12sin21Cxexxey241xey2811121CC此处xsin21xC32CxCxcos21CxC例例. 求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: ),(xpy 设,py 则代入方程得pxpx2)1(2分离变量)1(d2d2xxxpp积分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有)1(32xy两端再积分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解为对于 1,nnyxfy型方程(n2)，可以令pyn1.,pxfp 得如果能求出其通解,1Cxp,11Cxy

7、n逐次积分n-1次，就可得到原方程的通解,332211nnnnCxCxCdxCxy其中C1,C2.,Cn为任意常数.例例. 解初值问题解解: 令02 yey,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 则代入方程得yeppydd2积分得1221221Cepy利用初始条件, 0100 xyyp, 01C得根据yepxydd积分得,2Cxey, 00 xy再由12C得故所求特解为xey1得例例.052)4( yyy求方程的通解. 解解: 特征方程, 052234rrr特征根:irrr21, 04,321因此原方程通解为xCCy21)2sin2cos(43xCxCex例例.0)4()5( yy

8、解方程解解: 特征方程:, 045rr特征根 :1, 054321rrrrr原方程通解:1CyxC223xC34xCxeC5(不难看出, 原方程有特解), 132xexxx02)(22222rr例例. . )0(0dd444wxw解方程解解: 特征方程:44r即0)2)(2(2222rrrr其根为),1(22,1ir)1(24,3ir方程通解 :xew2)2sin2cos(21xCxCxe2)2sin2cos(43xCxC备用题备用题,2cos,2,321xyexyeyxx求一个以xy2sin34为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解 .解解: 根据给定的特解知特征方程有根 :,

9、121 rrir24, 3因此特征方程为2) 1( r0)4(2r即04852234rrrr04852)4( yyyyy故所求方程为其通解为xCxCexCCyx2sin2cos)(4321常数, 则该方程的通解是 ( ).321,yyy设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxQyxPy 的解, 21,CC是任意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例.提示提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证)3322311)()()(yy

10、yCyyCC(89 考研考研 )3322311)()()(yyyCyyCD例例. 已知微分方程)()()(xfyxqyxpy 个解,2321xxeyeyxy求此方程满足初始条件3)0(, 1)0(yy的特解 .解解:1312yyyy与是对应齐次方程的解, 且xexeyyyyxx21312常数因而线性无关, 故原方程通解为)()(221xeCxeCyxxx代入初始条件, 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.22xxeey故所求特解为有三 例例.0) 1( yyxyx的通解为,21xeCxCY 的通解.解解: 将所给方程化为:1111 xyxyxxy已知齐次方程求2) 1() 1( xy

11、yxyx),()(21xvexvxyx令利用,建立方程组: 021vevxx121xvevx, 121xexvv解得积分得xexCvxCv) 1(,2211故所求通解为) 1(221xxeCxCyx) 1(221xeCxCx例例.42)( )2(xyyxxyx 求方程的通解.解解: 对应齐次方程为0)( )2(2 yyxxyx由观察可知它有特解:,1xy 令, )(xuxy 代入非齐次方程后化简得xuu 此题不需再作变换. 特征根:, 1, 0rr设的特解为)(BAxxu于是得的通解: )(22121xxeCCux故原方程通解为 (二阶常系数非齐次方程二阶常系数非齐次方程)代入可得: 1,21

12、BA)(232121xxexCxCuxyx例例1.1332 xyyy求方程的一个特解.解解: 本题而特征方程为,0322rr不是特征方程的根 .设所求特解为,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比较系数, 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为.31*xy0,0例例2. 求解定解问题 0)0()0()0( 123yyyyyy解解: 本题特征方程为, 02323rrr其根为设非齐次方程特解为,*xby代入方程得, 12b故,*21xy0321CCC21322CC2, 1, 0321rrr故对应齐次方程通解为1CY xeC2xeC23原方程通解为x211Cy x

13、eC2xeC23由初始条件得0432CC,0于是所求解为xeeyxx2141432解得)423(412xxeex41 143321CCC例例4 xxyy2cos 求方程的一个特解 .解解: 本题 特征方程, 2, 0故设特解为xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,ii2代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl, 0)(xPn比较系数 , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一个特解13 a043cb03 c043ad0 cb例例5. xxyy3sin303cos189 求方程的通解. 解

14、解: 特征方程为, 092r其根为对应齐次方程的通解为xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比较系数, 得,5a,3b因此特解为)3sin33cos5(*xxxyir32, 1代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为xCxCy3sin3cos21为特征方程的单根 ,i3)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此设非齐次方程特解为例例6.xyyysin2) 1 ()4( 解解: (1) 特征方程, 01224rr, 0)1(22r即有二重根, ir所以设非齐次方程特解为(*2xy )sincosxbxa(2) 特征方程, 024 rr0)1(

15、22rr即有根irr4,32, 1, 0 xexyyxsin3)2()4( 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为)(*2baxxyxec)sincos(xkxdx设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:思考与练习思考与练习时可设特解为 xxxfcos)() 1当xexxxf22cos)()2当xy *xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xek2)(xfyy 时可设特解为 xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(xkexy*lnm,max提示提示:xdcxsin)(1 . (填空) 设sin)(cos)(xxRxxRmm2. 已知二阶常微分方程xecybyay 有特解, )1 (2xxexey求微分方程的通解 .解解: 将特解代入方程得恒等式xxxxecexbaeaeba)1 ()2()1 (比较系数得01baca 201ba0a1b2c故原方程为xeyy2 对应齐次方程通解:xxeCeCY21xxexey原方程通解为xxeCeCy21xex例例1. .ln2ln2222的通解求方程xxyyxyx 解解:,tex 令,ln xt 则,ddtD 记则原方程化为ttyyDyDD222) 1(2亦即ttytyty22dd3dd222其根,2, 121rr则对应的齐次方程的通解为特征方程, 0232 rrttyDD2)23(22即 tteCeC