微分方程的基本概念,一阶微分方程

1、常微分方程及其应用常微分方程及其应用一、一、二、二、微分方程的基本概念微分方程的基本概念一阶微分方程一阶微分方程三、三、四、小结四、小结0 x， 观察模型，易发现（观察模型，易发现（1 1）式是含有未知函）式是含有未知函数导数的方程数导数的方程 )2()0()1 (0 xxxdtdx 定义定义凡含有未知函数导数凡含有未知函数导数 ( (或微分或微分) ) 的方程的方程，称为称为微分方程微分方程， 未知函数是一元函数的微分方程称未知函数是一元函数的微分方程称为为常微分方程常微分方程， 未知函数是多元函数的微分方程称未知函数是多元函数的微分方程称为为偏微分方程偏微分方程. .注意：注意：本书仅讨论

2、常微分方程，并简称微分方程本书仅讨论常微分方程，并简称微分方程. .( y - - 2xy) dx + + x2 dy = 0；及及如如引引例例方方程程xdtdx ;05sin4 xyxyy042222 xyty都是微分方程，都是微分方程，其中最后一个是偏微分方程其中最后一个是偏微分方程 微分方程中出现的各阶导数的最高阶数称微分方程中出现的各阶导数的最高阶数称为微分方程的为微分方程的阶阶如果一个函数代入微分方程后，方如果一个函数代入微分方程后，方程两端恒等，则此函数称为该微分方程的程两端恒等，则此函数称为该微分方程的解解如果微如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数分方程的解中含有

3、任意常数，且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，的个数与微分方程的阶数相同， 那么这样的解称为微那么这样的解称为微分方程的分方程的通解通解在通解中若使任意常数取某一定值，在通解中若使任意常数取某一定值，或利用附加条件确定任意常数应取的值，这样所得的或利用附加条件确定任意常数应取的值，这样所得的解称为微分方程的解称为微分方程的特解特解确定通解中任意常数的附加确定通解中任意常数的附加条件称为条件称为初始条件初始条件一个微分方程与其初始条件构成一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为的问题，称为初值问题初值问题. . 例例1 1 验证验证 y = e x + e x 是方程是方程 y +

4、+ 2y + + y = 4e x 的解的解. .解解 由由 y =e x + e x 得，得，y = = e x - e - - x, y = e x + + e - - x,将将 y，y 及及 y 代入原方程的左边，有代入原方程的左边，有(e x + + e - - x) + + 2(e x - e - - x) + + e x + +e x =4 e x ,即函数即函数 y = e x +e x 满足原方程，所以满足原方程，所以y =e x + e x是方程是方程y + + 2y + + y = 4e x的解的解. . 得得 C =1/3，故所求特解为故所求特解为 y = 1/3x3 .

5、 解解 由由 y = Cx3 得得 y = 3Cx2,将将y及及y 代入原方程的左边，代入原方程的左边， 有有 3Cx3 - x3Cx2 = 0，即函数即函数 y = Cx3 满足原方程满足原方程. .又因为该函数含有又因为该函数含有一个任意常数，所以一个任意常数，所以 y = Cx3 是一阶微分方程是一阶微分方程将初始条件将初始条件 y(1) = 1/3代入通解，代入通解，例例2 验证验证 )(3为为任任意意常常数数CCxy 是方程是方程3y- 的通解的通解, ,并求满足初始条件并求满足初始条件 y(1) = 1/3 的特解的特解. .0 yx03 yxy的通解的通解. .引例引例已知一条曲

6、线在任一点已知一条曲线在任一点 P( (x, y) ) 处的切处的切线斜率为线斜率为 ，且过点，且过点 ( (1, 2) )，求此曲线方程，求此曲线方程.解解 设所求曲线的方程为设所求曲线的方程为 y = y(x)， 根据导数的根据导数的几何意义及题设条件，几何意义及题设条件，得得二、二、 )2(2)1(1xyxyyxy将（将（1 1）改写为）改写为,d1dxxyy 两边积分，得两边积分，得 ,e|1xyC ,ln|ln1Cxy 化简得化简得.0e2221 CxCyCC，则则令令,e1xyC 此外，易看出此外，易看出y = 0 也是方程的解，所以也是方程的解，所以,022可可等等于于中中的的C

7、xCy 即即C2 为任意常数为任意常数)( 为为任任意意常常数数CCxy 故而方程的通解是故而方程的通解是 将（将（2）式代入上式，得）式代入上式，得. 2 C所以，所求曲线的方程为所以，所求曲线的方程为.2xy 的的方方程程，形形如如)()(ygxfdxdy 称为称为可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程. .定义定义分离变量法：分离变量法： ( (1) ) 分离变量分离变量.d)()(xxfygdy .d )()(xxfygdy ( (2) ) 两边积分两边积分,)()(CxFyG 求求出出积积分分得得通通解解.)()(1)()(的的原原函函数数，分分别别是是，其其中中xfygxFyG,

8、1ddxxyy 两边积分得两边积分得,lnlnlnCxy 所以方程的通解为所以方程的通解为,lnlnCxy ,Cxy ( (C 为任意常数为任意常数).).分离变量得分离变量得 对于积分后是对数的情形，按理都需作类对于积分后是对数的情形，按理都需作类似于上述的讨论为了避免不必要的重复，今似于上述的讨论为了避免不必要的重复，今后后对于积分后是对数的情形都作如下简化处对于积分后是对数的情形都作如下简化处理理（以引例作示范）（以引例作示范）例例3 3 求方程求方程 (1-y2)dx + + (xy-y)dy =0 满足初始条满足初始条件件 y(0) = - 2 的特解的特解. .解解分离变量，得分离

9、变量，得 ,1112dxxdyyy 两边积分，两边积分，得得.ln21)1ln()1ln(212Cxy 即即,)1(122 xCy所以方程的通解为所以方程的通解为1) 1(22 xCy（C为任意常数）为任意常数） 将初始条件将初始条件 y(0) = -2 代入，代入，. 1)1(322 xy得得 C = 3. .因此所求特解为因此所求特解为练习练习1 1. )(dd ) )( (均均是是正正的的常常数数与与其其中中的的通通解解求求方方程程akaykyxy 解解分离变量分离变量得得,d)(dxkayyy 即即.dd)11(xkayyay 两边积分，得两边积分，得.lnlnCkaxyay 经整理，

10、得方程的通解为经整理，得方程的通解为,e1kaxCay 也可写为也可写为.e1kaxCay 方程方程)()(xQyxPy 称为称为一阶线性微分方程一阶线性微分方程， 其中其中P(x)、Q (x) 都是都是x的连的连续函数续函数. . 当当Q (x) 0时，方程时，方程(1)称为称为一阶线性齐次微一阶线性齐次微分方程分方程；当；当Q (x) 0时，时，( (1) ) 方程方程（1）称为称为一阶线性一阶线性非齐次微分方程非齐次微分方程 三、三、0)(sinsin22 yxyxxyxy，如如方方程程都是一阶线性微分方程，其中第二个是齐次的都是一阶线性微分方程，其中第二个是齐次的 当当Q (x) 0时

11、，方程时，方程(1)是可分离变量的是可分离变量的 分离变量，得分离变量，得 ,)(dxxPydy 两边积分，两边积分，得得,ln)(lnCdxxPy 1. )(ed)(为为任任意意常常数数CCyxxP 即得一阶线性齐次微分方程的即得一阶线性齐次微分方程的通解公式：通解公式： 例例4 4求方程求方程 (y - - 2xy) dx + + x2dy = 0 满足初始满足初始条件条件 y|x=1 = e 的特解的特解. .解解将所给方程化为如下形式：将所给方程化为如下形式：, 021dd2 yxxxy这是一个线性齐次方程，这是一个线性齐次方程，,21)(2xxxP 且且则则 ,1lnd12d )(2

12、2xxxxxxxP由通解公式得该方程的通解由通解公式得该方程的通解,e12xCxy 将初始条件将初始条件 y(1) = e 代入通解，代入通解，.e12xxy 得得 C = 1. .故所求特解为故所求特解为 当当Q (x) 0时，与齐次的情形相对照，猜时，与齐次的情形相对照，猜想方程想方程（1）的解为以下形式的解为以下形式 )()(d)(为为待待定定函函数数其其中中xCexCyxxP （2） dxxPdxxPexPxCexCy)()()()()(两边求导，两边求导，得得2. 将将 y 及及 y 代入方程代入方程（1），），得得 dxxPdxxPexPxCexC)()()()()()()()()

13、(xQexCxPdxxP ,)()()( dxxPexQxC即即,)()()(CdxexQxCdxxP 代入代入(4-3)(4-3)，即得即得 两两边边积积分分，得得一阶线性非齐次微分方程的一阶线性非齐次微分方程的通解公式：通解公式： CdxexQeyxxPxxPd)(d)()()( 为为任任意意常常数数C 说明：说明：通解公式的不定积分式表示通解公式的不定积分式表示被积函数的一个原函数被积函数的一个原函数. . 上述讨论中所用的方法，是将常数上述讨论中所用的方法，是将常数C变为待定函数变为待定函数C(x)， 再通过确定再通过确定C(x)而而求得方程解的方法，称为求得方程解的方法，称为常数变易

14、法常数变易法. .解解 运用常数变易法求解运用常数变易法求解将所给的方程改写成：将所给的方程改写成：xxyxycos11 不难求出齐次方程不难求出齐次方程 设所给非齐次方程的通解为设所给非齐次方程的通解为,)(xxCy .01xCyyxy 的的通通解解为为例例5 5 求方程求方程 xy + + y = cosx 满足满足y( )=1的特解的特解. ,)()(2xxCxxCy 则则将将 y 及及 y 代入该方程，得代入该方程，得,cos1)(xxxxC ,sincos)(CxdxxxC 解解得得因此，原方程的通解为因此，原方程的通解为 为为任任意意常常数数，CCxxy sin1,1)( Cy得得

15、代代入入将将初初始始条条件件 .sin1 xxy因因此此所所求求特特解解为为解解运用通解公式求解将所给方程改写成运用通解公式求解将所给方程改写成 所以方程的通解为所以方程的通解为例例6 求方程求方程 的通解的通解. .01cossinsin xyeeyxxxexyysincos Cdxeeeydxxxdxxcossincos Cdxeeexxx sinsinsin 为为任任意意常常数数，CCxex sin，则则xexQxxPsin)(cos)( 解解 运用通解公式求解运用通解公式求解将所给的方程改写成下列形式：将所给的方程改写成下列形式：,e2121xyy ,e21)(,21)( xxQxP 则则练习练习2 求方程求方程 2y - - y = ex 的通解的通解.代入通解公式，得原方程的通解代入通解公式，得原方程的通解.)(222xxxxeeCCee CdxexQeyxxPxxPd)(d)()( Cdxeeexxxd21d2121 Cdxeeexxx2221四