第六单元 正比例和反比例

1、作者：张海汛黄麓镇中心小学六年级数学教学设计 第六单元 正比例和反比例教材分析：本单元在比和比例，以及常见数量关系的基础上编排。通过两个数量保持商一定或者积一定的变化，教学正比例和反比例关系。让学生在建立正比例和反比例概念的同时，受到函数思想的熏陶，为第三学段的数学教学打基础。正比例和反比例历来是小学数学的重要内容之一。与过去教材相比，本单元进一步加强正、反比例的概念教学，突出正比例关系的图像以及简单应用，淡化脱离现实背景的判断，加强正、反比例知识与现实生活的联系，不要求应用正比例、反比例解决实际问题。全单元编排三道例题，具体安排见下表：例1 正比例的意义例2 正比例关系的图像及应用例3 反比

2、例的意义教学目标：1.结合实际情境认识成正比例和反比例的量，初步认识到正比例的图像是一条直线，会判断两个相关联的量的比例关系。2.学生在认识成正比例、反比例的量的过程中，初步体会数量之间相依互变的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同的数学模型，进一步提升逻辑思维水平。3.根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例，利用给出的具有正比例的数据在方格纸上画出相应的图像，并能根据图像，由具有正比例关系的一个量的数值估计另一个量的数值。4.进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强探究数学知识和规律的意识，养成积极主动地参与学习活动的习惯，提高学好数学的信心。教学重点：正反比例的

3、意义教学难点：正反比例的判断教学时数：5课时第一课时 正比例的意义教学内容：教科书第56页的例1、第57页的“试一试”和“练一练”，完成练习十的第12题。教学目标：1使学生经历从具体实例中认识成正比例的量的过程，初步理解正比例的意义，学会根据正比例的意义判断两种相关联的量是不是成正比例。2使学生在认识成正比例的量的过程中，初步体会数量之间相依互变的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步培养观察能力和发现规律的能力。3使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强从生活现象中探索数学知识和规律的意识。教学重点：结合实际情境认识成正比例的量的特点，加深对成正比例的量的理解。教

4、学难点：能根据正比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例。教学资源：powerpoint演示文稿教学流程：一、复习导入：我们已经了解了一些数量之间的关系，谁来说说你知道哪些常见的数量关系？引导回顾：（1）速度 时间 路程（2）单价 数量 总价（3）工作效率 工作时间 工作总量引入：这些是我们已经学过的一些常见数量关系，每组数量之间是有联系的。今天，我们就来研究和认识这种变化规律。二、探究新知：1教学例1同学们，有一辆汽车在公路上行驶，行驶的时间和路程如下表课件出示例1的表，看一看，表中有哪两种量？这两种量的数值是怎样变化的？表中有路程和时间这两种量，通过观察数据我们可以发现这两种量是有关联的，

5、时间变化，路程也随着变化。那么这两种量的变化有没有什么规律呢？下面我们来作进一步的研究。建议大家可以写出几组相对应的路程和时间的比，看一看你有什么发现。教师；我们可以写出这么几组路程和对应时间的比=80、=80 发现了它们的比值都是80，大家想一想，这个比值80表示什么呢？这个规律能不能用一个式子来表示？这个比值80就表示汽车行驶的速度，从上面可以看出这个速度是相同的，一定的，因此可以用这样一个式子来表示这个规律：同学们，在这个题目中，路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化，当路程和对应时间的比的比值总是一定（也就是速度一定）时，我们就说行驶的路程和时间成正比例，行驶的路程和时间

6、是成正比例的量。2教学“试一试”刚才我们初步认识了正比例的关系，接着我们继续来看下面这个题目。课件出示“试一试”请大家先根据题目里的信息把表中的数据填完整，然后说一说总价是随着哪个量的变化而变化的？铅笔的总价和数量成正比例，因为总价和数量是两种相关联的量，数量变化，总价也随着变化，当总价和是对应数量的比的比值总是一定（也就是单价一定）时，我们就说铅笔的总价和购买的数量成正比例，铅笔的总价和购买的数量是成正比例的量。同学们，我们通过以上的两个例子认识了正比例的关系，想一想，如果用字母x和y分别表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，那么正比例的关系可以用怎样的式子表示？是的，我们就可以用这个式子

7、来表示正比例的关系。这就是今天我们要学习的正比例的意义。课件出示课题。回顾一下，我们是根据什么来判断两种数量能成正比例的？我们可以根据两种相关联的量的比值是不是一定来判断两种数量能不能成正比例。三、巩固练习：1完成“练一练”。2完成练习十第1题。先根据表中的数据完成下面三个问题，然后在小组里说一说，其它同学判断他说的是否正确。3完成练习十第2题（课件出示）。请大家仔细地把题目读一读.先请大家在方格纸上画出正方形放大后的图形。课件出示放大后的三个正方形,大家看一看，你是这样画的吗？接着请同学们对照表格计算出放大后每个正方形的周长和面积。课件出示答案检查一下，你算对了吗？请大家根据表中的数据讨论下

8、面两个问题。（1）正方形的周长与边长成正比例吗？为什么？（2）正方形的面积与边长成正比例吗？为什么？通过计算正方形周长与边长的比值，我们可以判断正方形的周长与边长成正比例，因为它们的每组比值都相等，都是4；同样通过计算正方形面积与边长的比值，我们可以判断它们不成正比例，因为它们每组的比值是不相同的，也就是说是不一定的。四、全课总结同学们，今天我们学习了正比例的意义，你知道判断两种相关联的量是否成正比例的方法了吗？五、作业安排：待定。板书设计:正比例的意义时间和路程 路程和时间是两种相关联的量。80 80 80 速度（一定）（一定）第二课时 成正比例的量的图像教学内容：教科书第58页的例2,“练

9、一练”和练习十的第3-5题。教学目标：1.能用“描点法”画出表示正比例关系的图像，帮助学生初步认识正比例的图像，进一步认识成正比例的量的变化规律。2.使学生能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。初步体会正比例图像的实际应用，进一步培养观察能力和估计能力。3.使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系，养成积极主动地参与学习活动的习惯。教学重点：能认识正比例关系的图像。教学难点：利用正比例关系的图像解决实际问题。教学资源：powerpoint演示文稿教学流程:一、复习激趣1判断下面两种量能否成正比例，并说明理由。数量一定，总价和单价和一定，一个加数和另一个加数比值一定，比的前项

10、和后项2折线统计图具有什么特点？能否把成正比例的两种量之间的关系在折线统计图里表示出来呢？如果能，那又会是什么样子的呢？今天我们就来探究这些问题。二、互动新授1.认识正比例图像。（1）出示教材第58页例2的方格图。提问：表中的横轴表示什么？纵轴表示什么？每格表示多少千米？（2）出示例1的表格。教师引导学生画图。 指导学生描点。让学生在图中找一找“1小时行80千米”的这个点，并请学生上黑板指一指。引导：表示1小时的竖线与表示80千米的横线相交的点，就表示“1小时行80千米”。让学生在方格纸中找一找代表其它几组数据的点，并指名板演。 连线。让学生连接图中各点，说说有什么发现。根据学生的回答小结：我

11、们发现图中所描的点都在同一条直线上。这条直线就是正比例的图像。从直线上的每个点中，我们既能知道汽车行驶的时间，又能知道行驶的路程。这两个量紧密联系，对应的时间和路程用同一个点，点不同，时间和路程也都发生变化，但是它们的比值却是不变的，所以我们就说它是正比例图像。2.正比例图像的应用。问题一：根据图像判断，这辆汽车2.5小时行驶多少千米？小组讨论交流方法。学生汇报，教师小结。数字在2和3的正中间这个位置同学们首先要看准，从这点作横轴的垂线，看这条线与图像交于哪一点，再由这一点向纵轴画垂线，看一看这条垂线与纵轴的交点。这点表示的千米数就是汽车2.5小时行驶的路程。学生动手画一画，找一找。问题二：行

12、驶440千米需要多少小时？学生独立完成，汇报交流。3.小结：我们在根据图像判断时，必须找准对应的点，通过画纵轴或者横轴的垂线的方法找准点，读准数。三、巩固练习1完成练一练小玲打字的个数和所用的时间成正比例吗？为什么？根据表中的数据，描出打字数量和时间所对应的点，再把它们按顺序连起来。估计小玲5分钟打了多少个字？打750个字要多少分钟？2.完成练习十第3题。2.完成练习十第4题。先独立填表，再根据表中的数据描出长度和总价所对应的点，把它们按顺序连起来。组织讨论和交流3. 练习十第5题出示表格让学生说说题中表示的是哪两种量之间的关系，接着学生独立绘制表格，并解决问题。四、课堂小结引导总结：正比例的

13、图像是一条直线，在判断两个量是否成正比例关系时也可以通过图像来判断。根据图像判断数量时可以作对应点的垂线，以减少误差，让估计更准确。五、作业安排：基础训练第三课时 反比例的意义教学内容：教科书第6162页的例3和“试一试”，“练一练”和练习十一的第12题。教学目标：1.使学生经历从具体实例中认识成反比例的量的过程，初步理解反比例的意义，学会根据反比例的意义判断两种相关联的量是不是成反比例。2.使学生在认识成反比例的量的过程中，初步体会数量之间相依互变的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步培养观察能力和发现规律的能力。3.使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强从生

14、活现象中探索数学知识和规律的意识。教学重点：理解反比例的意义教学难点：掌握成反比例量的变化规律及其特征教学资源：powerpoint演示文稿教学流程：一、探究新知：1教学例3六一儿童节快到了，班级里要购买活动奖品。王老师准备用60元钱去买笔记本，这是不同笔记本的单价和可以购买的数量情况。课件出示例3的表。下面就请大家根据表中的数据，以小组为单位依次讨论下面三个问题：课件出示三个问题：（1）当单价变化时，数量是否也随着变化？（2）这种变化有没有规律？是什么规律？（2）这种规律与成正比例的量的规律有什么不同？通过观察我们可以看出当单价变化时，数量也随着变化；这种变化还具有一定的规律，不管每次单价和

15、对应的数量发生怎样的变化，它们的乘积总是60，也就是说总价都是60元；这种规律与我们上节课学习成正比例的量的规律是不同的，现在是两种数量的乘积总是一定的。那你能用一个式子来表示上面三种数量之间的关系吗？我们可以用单价数量=总价（一定）来表示三者之间的关系。课件出示：单价数量=总价（一定）在这里，单价和数量是两种相关联的量，单价变化，数量也随着变化。当单价和对应数量的积总是一定（也就是总价一定）时，我们就说笔记本的单价和购买的数量成反比例，笔记本的单价和购买的数量是成反比例的量。课件出示：笔记本的单价和购买的数量成反比例。这就是我们今天要学习的反比例的意义，课件出示课题：反比例的意义你能看着表格

16、再完整地说一说表中笔记本的单价和数量成什么关系吗？2教学“试一试”你对反比例有一定的认识了吗？我们来试一试。课件出示“试一试”的题目，请大家先读一读题目，请你根据已知条件把表格填完整。请大家根据表格中的数据依次思考下面的三个问题，可以把你的想法在小组内交流一下。通过交流我们知道了相对应的两个数的乘积都是72，这个乘积表示要运的总吨数，我们可以用每天运的吨数时间=运的总吨数（一定）来表示它们三者之间的关系。每天运的吨数和需要的天数成反比例，因为在这里，每天运的吨数和时间是两种相关联的量，每天运的吨数变化，时间也随着变化。当每天运的吨数和对应时间的积总是一定（也就是总吨数一定）时，我们就说每天运的

17、吨数和时间成反比例，每天运的吨数和对应的时间是成反比例的量。课件出示：每天运的吨数时间=运的总吨数（一定） 每天运的吨数和时间成反比例3用字母式子表示反比例的意义。根据上面两个例子，你也能像学习正比例的意义时那样用一个字母式子来表示反比例的意义吗？根据学生回答，教师板书：xy=k（一定）想一想，怎样的两种量能成反比例？我们是根据什么来判断的？二、巩固练习：完成“练一练”三、全课总结同学们，今天我们学习了什么内容？你知道怎样判断两个量成反比例吗？我们只要根据这两种相关联的量的乘积是否一定来判断这两种量是否成反比例，你记住了吗？五、作业安排：练习十一第1、2题。反比例的意义单价数量= 总价（一定）

18、xy =k（一定）单价和数量成反比例x和y成反比例三要素两种量相关联一种量变化，另一种量也随着变化相对应的两个数的乘积一定这两种相关联的量成反比例板书设计：第四课时 正、反比例练习课教学内容：练习十一第38题和第65页的“动手做”。教学目标：1使学生进一步认识正、反比例的意义，了解正反比例的区别和联系，更好的把握正、反比例概念的本质。2进一步加深学生对正、反比例意义的理解，使他们能够从整体上把握各种量之间的比例关系，能根据相关条件直接判断两种量成什么比例，提高判断成正比例、反比例量的能力。教学重点：认识正、反比例的量的特点，加深对正、反比例的量的理解。教学难点：能根据正、反比例的意义学会判断两

19、种量之间的关系。一、复习铺垫1复习正反比例的意义。要求学生说出成正反比例量的关键，根据学生回答板书关系式。2举例说明。3讨论正、反比例的区别和联系。二、基础练习1. 在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中，（1）当底面周长一定时，（ ）与( )成正比例；（2）当高一定时，（ ）与( )成比例；（3）当侧面积一定时，（ ）与( )成（ ）比例。2.在被除数、除数、商这三种量中，（1）当（ ）一定时，（ ）与( )成正比例；（2）当（ ）一定时，（ ）与( )成反比例；（3）当（ ）一定时，（ ）与( )成比例。3.ab=c（a、b、c为三种量，且均不为0），（1）当a一定时，（ ）与( )成（

20、）比例；（2）当（ ）一定时，（ ）与( )成反比例；（3）当（ ）一定时，（ ）与( )成（ ）比例。三、巩固练习1.练习十一第3题。学生独立完成。2.练习十一第4题。先让学生独立判断，之后要让学生具体说明判断时的思考过程。3.练习十一第5题。（1）看图填写表格。（2）求出这幅图的比例尺，再根据图像特点判断图上距离和实际距离成什么比例，也可以根据相关的计算结果作出判断。要让学生认识到：同一幅地图的比例尺一定，所以这幅图的图上距离和实际距离成正比例。（3）启发学生运用有关比例尺的知识进行解答。4.练习十一第6题。第（1）小题，引导学生根据四名同学看的是同一本书，理解“每天看的页数”与“看的天数

21、”的乘积（也就是这本书的总页数）一定，所以，这两种量成反比例关系。第（2）小题引导学生理解虽然“已看的页数”与“剩下的页数”的和是不变的，但这两种量不满足构成正比例或反比例的条件，所以，它们既不成正比例，也不成反比例。5.练习十一第7题。引导学生说说每题中的哪两种量是变化的，这两种量中，一种量变化，另一种量也随着变化，能不能用相应的数量关系式表示这种变化的规律。6.练习十一第8题。学生自主练习，再把每次输入的数与相应的计算结果记录在表格中，最后独立完成下面的问题。四、课堂小结通过本节课的学习，你又有了哪些收获？五、作业安排：待定第五课时 实践活动：大树有多高教学内容：教材第6667页的实践活动“大树有多高”。教学目标：1通过测量各种目标物影子长度的实践活动，使学生主动探索掌握影子长度与目标物实际高度之间的比例关系。2通过分组合作，培养学生动手动脑、解决实际问题的能力和团结协作精神。3通过活动，使学生感受到数学与现实生活的密切联系，进一步激发学习数学的兴趣，并在活动中培养创新精神。教学资源：长度不