第九章 常微分方程1-2

1、12常微分方程常微分方程 在力学、物理学及工程技术等领域中在力学、物理学及工程技术等领域中为了对客观事物运动的规律性进行研究，为了对客观事物运动的规律性进行研究，往往需要寻求变量间的函数关系，但根据往往需要寻求变量间的函数关系，但根据问题的性质，常常只能得到待求函数的导问题的性质，常常只能得到待求函数的导数或微分的关系式，这种关系式在数学上数或微分的关系式，这种关系式在数学上称之为微分方程。微分方程又分为常微分称之为微分方程。微分方程又分为常微分方程和偏微分方程，本章讨论的是前者。方程和偏微分方程，本章讨论的是前者。3 常微分方程是现代数学的一个重要分支，内容常微分方程是现代数学的一个重要分支

2、，内容十分丰富，作为一种有效的工具在电子科学、自动十分丰富，作为一种有效的工具在电子科学、自动控制、人口理论、生物数学、工程技术以及其它自控制、人口理论、生物数学、工程技术以及其它自然科学和社会科学领域中有着十分广泛的应用然科学和社会科学领域中有着十分广泛的应用 由于学时有限，高等数学中的常微分方程仅包由于学时有限，高等数学中的常微分方程仅包含几种特殊类型的一阶微分方程的求解，可通过降含几种特殊类型的一阶微分方程的求解，可通过降阶求解的高阶微分方程，二阶常系数齐次和非齐次阶求解的高阶微分方程，二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程及其解的结构和特殊情况下的求解方线性微分方程及其解的结构和特殊情况下

3、的求解方法。法。 本章先从解决这类实际问题入手，引出微本章先从解决这类实际问题入手，引出微分方程的一些基本概念，然后着重讨论一些特殊分方程的一些基本概念，然后着重讨论一些特殊类型的微分方程的求解方法。类型的微分方程的求解方法。4重点重点五种标准类型的一阶方程的求解五种标准类型的一阶方程的求解可降阶的高阶方程的求解可降阶的高阶方程的求解二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解难点难点求解全微分方程求解全微分方程求常系数非齐次线性方程的通解求常系数非齐次线性方程的通解5基本要求基本要求明确微分方程的几个基本概念明确微分方程的几个基本概念牢固掌握分离变量法，能熟练地求

4、解可牢固掌握分离变量法，能熟练地求解可分离变量的微分方程分离变量的微分方程牢固掌握一阶线性微分方程的求解公式，牢固掌握一阶线性微分方程的求解公式，会将会将Bernoulli 方程化为一阶线性方程来求解方程化为一阶线性方程来求解掌握全微分方程的解法掌握全微分方程的解法会用降阶法求解几种特殊类型的高阶方程会用降阶法求解几种特殊类型的高阶方程掌握二阶线性微分方程解的结构并能熟掌握二阶线性微分方程解的结构并能熟练地应用特征根法、待定系数法求解二阶练地应用特征根法、待定系数法求解二阶常系数线性方程常系数线性方程6问题的提出问题的提出例例 1 1 一一曲曲线线通通过过点点(1,2),且且在在该该曲曲线线上

5、上任任一一点点),(yxM处处的的切切线线的的斜斜率率为为x2,求求这这曲曲线线的的方方程程. 解解)(xyy 设所求曲线为设所求曲线为xdxdy2 2,1 yx时时其中其中 xdxy2,2Cxy 即即, 1 C求得求得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为7例例 2 2 列列车车在在平平直直的的线线路路上上以以 2 20 0 米米/ /秒秒的的速速度度行行驶驶, ,当当制制动动时时列列车车获获得得加加速速度度4 . 0 米米/ /秒秒2 2, ,问问开开始始制制动动后后多多少少时时间间列列车车才才能能停停住住？以以及及列列车车在在这这段段时时间间内内 行行驶驶了了多多少少路路程程？ 解解)

6、(,tssst 米米秒钟行驶秒钟行驶设制动后设制动后4 . 022 dtsd,20, 0,0 dtdsvst时时14 . 0Ctdtdsv 2122 . 0CtCts 代入条件后知代入条件后知0,2021 CC8,204 . 0 tdtdsv故故,202 . 02tts 开始制动到列车完全停住共需开始制动到列车完全停住共需),(504 . 020秒秒 t列列车车在在这这段段时时间间内内行行驶驶了了 ).(5005020502 . 02米米 s例例 2 2 列列车车在在平平直直的的线线路路上上以以 2 20 0 米米/ /秒秒的的速速度度行行驶驶, ,当当制制动动时时列列车车获获得得加加速速度度

7、4 . 0 米米/ /秒秒2 2, ,问问开开始始制制动动后后多多少少时时间间列列车车才才能能停停住住？以以及及列列车车在在这这段段时时间间内内 行行驶驶了了多多少少路路程程？ 91. 1. 基本概念基本概念1.1.微分方程：微分方程：常微分方程：常微分方程：偏微分方程：偏微分方程：例：例：0222222zuyuxu例例：y+y=2x, ,422xutu未知函数为多元函数未知函数为多元函数.未知函数为一元函数未知函数为一元函数.表示未知函数及其导数表示未知函数及其导数(或微分或微分)与与自变量之间关系的方程式。自变量之间关系的方程式。yy+x2=010方程中所出现的未知函数的最高阶导数(或微分

8、)的阶数.例：例：, 0 xyy, 0d)1 (d2yxxxy，1sin) (2xyy，xyxxyye2，xyyyyxsin2 . 01)(ny0), ,()(nyyyxF), ,()1()(nnyyyxfy一般形式一般形式2.2. 阶：阶：11分类分类1 1: : 常微分方程常微分方程, , 偏常微分方程偏常微分方程. .分类分类2:2:一阶微分方程一阶微分方程, 0),( yyxF);,(yxfy 高阶高阶( (n) )微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy,422xutuyy+x2=012分类分类3 3: : 线性与非线性微分方程线性与非线性微

9、分方程. .),()(xQyxPy ; 02)(2 xyyyx分类分类4 4: : 单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组. . ,2,23zydxdzzydxdy133.3. 解：解：F (x, y(x), y(x), , y (n)(x) 0则称 y= y (x)为该方程在 (a,b)上的一个解解.若在(a,b)区间上存在函数 y=y(x)及其 n 阶导数，使得14例如 y=5x2 是 xy=2y 的解隐式解隐式解： (x, y)0例如 x2+y2=C 是 ydy + xdx = 0 的解显式解：显式解： y=(x) 154.4. 通解：通解：例例： y=x2+C是方程y=2x

10、的通解.方程y=1的通解.2122CxCxy独立：独立：2321xCxCCCxxCCxCxC)(21210yxy=x2+C不独立：不独立：若n阶常微分方程F (x, y(x), y(x), , y (n) (x) = 0有解y= (x;c1, ,cn), 其中c1, ,cn是n个独立的任意常数，则称y是F=0的一个通解。是165.5. 特解：特解：6.6. c c1 1, , ,c,cn n独立：独立：不包含任何常数的解., ,(n-1) 关于c1, ,cn的雅可比行列式不为0，即).,(, 0),.,(),.,(21)1(baxcccDDnn7.7. 通解代表着方程的大多数解，但不一定包含着

11、通解代表着方程的大多数解，但不一定包含着原方程的一切特解。原方程的一切特解。178.8. 通积分：通积分：方程F(x, y, y, , y (n) ) = 0的通解以隐函数的形式(x,y;c1, ,cn)=0,给出，把(x,y;c1, ,cn)=0称作方程的通积分。9. 初值问题：初值问题：求微分方程满足某些条件的特解。即求出方程F(x, y, y, , y (n) ) = 0满足初始条件的解。其中x0,y0,y1,yn-1是已知常数。.10)1(, 10,00)(.)( )(nnyxyyxyyxy1810.10. 解初值问题的一般方法：解初值问题的一般方法：先求其通解先求其通解y= (x;c

12、1, ,cn), 再解方程组再解方程组对初值问题确定确定n个常数个常数 ,从而得到初值问从而得到初值问题的特解题的特解.10)1(10,00)()(,.,)( )(, 0),.,(nnnyxyyxyyxyyyyxF.110)1(, 110,010),.,(.),.,( ),.,(nnnnnyccxyccxyccx000,.,21nccc).,.,(00021ncccxy192.2.初等积分法初等积分法1. 变量可分离的方程变量可分离的方程)()(ddygxfxy解法解法：)0)(g d)()(dyxxfygyxxfygyd)()(dCxFyG)()(分离变量法F(x, y, y)=0， y=f

13、 (x, y).考虑一阶微分方程:若再解出y= (x,c),则它是方程的通解。求解微分方程求解微分方程求积分求积分( (通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来) )20当当g(y)=0时时, 若若 g(y)=0 有根有根y0,即即g(y0)=0, 则则 y(x)=y0 是方程的特解。是方程的特解。 若若 y(x)=y0不能包含在通解中，则称其为奇不能包含在通解中，则称其为奇解。解。 )()(ddygxfxy21例例1.1. 解方程xxyydd0ddxyyx解：解：xxyyddCxy2222)2( 1122CCCyx122Cyxyx022例例2.2. 解方程yxy2dd解解

14、：y0时,d2dxyy,d2dxyyCxy或 y=(x+C)2另外y=0也是解. (不在通解中，称之为奇解奇解)y=(x+C)2y0 x23例例3 3. 解方程y2xy=0解：解：xyxy2dd y0时,xxyyd2d,d2dxxyyln|y|=x2+C,22eee|xCCxy即)e( eee1122CxxCCCy另外 y=0 也是解(它包括在通解中) .24的通解。求微分方程例2214.xyyxdxdy)1)(1 (2yxdxdydxxdyy)1 (112dxxdyy)1 (112Cxxy221arctan)21tan(2Cxxy解：方程可化为 分离变量得 两边积分得 即原方程的通解为25例

15、：例：求解微分方程求解微分方程.2cos2cosyxyxdxdy 解：解：, 02cos2cos yxyxdxdy, 02sin2sin2 yxdxdy,2sin2sin2 dxxydy2cot2csclnyy ,2cos2Cx 为所求解为所求解.26,ydxxdydu 则则, 0)()(ydxduugydxuf, 0)()()( duugdxxuuguf.)()()(|lnCduugufuugx 通解为通解为解解,xyu 令, 0)()()( duugufuugxdx ()()0.f xy ydxg xy xdy例、求微分方程的通解, 0)()()(duugydxuguf27例例 有高为有高

16、为1 1米的半球形容器米的半球形容器, , 水从它的底部水从它的底部小孔流出小孔流出, , 小孔横截面积为小孔横截面积为1 1平方厘米平方厘米( (如图如图). ). 开始时容器内盛满了水开始时容器内盛满了水, , 求水从小孔流出过程中求水从小孔流出过程中容器里水面的高度容器里水面的高度h h( (水面与孔口中心间的距离水面与孔口中心间的距离) )随时间随时间t t的变化规律的变化规律. .解解 由力学知识得由力学知识得, ,水从孔口水从孔口流出的流量为流出的流量为,262. 0ghSdtdVQ 流量流量系数系数孔口截面面积孔口截面面积 重力加速度重力加速度V是通过孔口横截面的水的体积是通过孔

17、口横截面的水的体积28cm100horhdhh )1(,262. 0dtghdV 设在微小的时间间隔设在微小的时间间隔,ttt 水面的高度由水面的高度由h h降至降至 ,hh ,2dhrdV 则则,200)100(100222hhhr )2(,)200(2dhhhdV 比较比较(1)和和(2)得得:dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 1 S,cm229dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 即为未知函数的微分方程即为未知函数的微分方程. .可分离变量可分离变量,)200(262. 03dhhhgdt ,)523400(262. 053Chhgt ,100|0 th,101514

18、262. 05 gC).310107(265. 45335hhgt 所求规律为所求规律为30解解例例 某车间体积为某车间体积为12000立方米立方米, 开始时空气中开始时空气中含有含有 的的 , 为了降低车间内空气中为了降低车间内空气中 的含量的含量, 用一台风量为每秒用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机立方米的鼓风机通入含通入含 的的 的新鲜空气的新鲜空气, 同时以同样的同时以同样的风量将混合均匀的空气排出风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动问鼓风机开动6分分钟后钟后, 车间内车间内 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?2CO%1 . 02CO2CO2CO%03. 0设鼓风机开动后设

19、鼓风机开动后 时刻时刻 的含量为的含量为2CO)%(txt,dttt 在在 内内,2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量,03. 02000 dt),(2000txdt 312CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量2CO的改变量的改变量 03. 0200012000 dtdx),(2000txdt ),03. 0(61 xdtdx,03. 061tCex , 1 . 0|0 tx,07. 0 C,07. 003. 061tex ,056. 007. 003. 0|16 ext6分钟后分钟后, 车间内车间内 的百分比降低到的百分比降低到%.056. 02CO322.可化为变量分离方程的

20、几类方程可化为变量分离方程的几类方程 (1)对形如对形如 的方程的方程令令z=ax+by+c,则则).(ddzbfadxdybaxz)(ddcbyaxfxy是z的函数33例：例： 令令z=x+y+2,则则.11dd2zdxdyxzcxzdxzarctan 1dz22)2(yxy解：解： .2zy cxyx)2arctan( 通解为：34(2)对形如对形如 的方程的方程其中其中f(x,y)是齐次函数。是齐次函数。即对任意即对任意t0, f(tx,ty) f(x,y)。),(ddyxfxyf(x,y)是齐次函数的充要条件是是齐次函数的充要条件是f(x,y)可以写成可以写成h(y/x)的函数。的函数

21、。对对 改写成改写成 。令。令u=y/x,即即得关于得关于u的变量分离方程的变量分离方程.)(xdxuuhdu)(xyhy ),(ddyxfxy35解法：解法：令xyu 即 y=ux则有xuxuxydddd从而)(dduhxuxu变量可分离：xxuuhud)(d换元法)()(uhxyhy变量分离的方程36例例 2 2 求解微分方程求解微分方程.2222xyydyyxyxdx 解解2222yxyxxyydxdy ,1222 xyxyxyxy,xyu 令令,udxxdudy 则则1)2)(1(1232223uuuuuuuuuudxduxudxduxdxdy1222uuuuudxdux37,1122

22、)121(21xdxduuuuu ,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu .)2(123Cxuuu 微分方程的解为微分方程的解为.)2()(32xyCyxy dxxduuuuuuuuuuudxdux1)2)(1(11)2)(1(22cxuuuln)2(1ln2338yxyxdxdy 解解xyxydxdy 11令令xyu 则则dxduxudxdy 代入化简代入化简 并分离变量并分离变量dxxduuu1112 两边积分两边积分cxuulnln)1ln(21arctan2 换回原变量换回原变量cxxyxylnln)1ln(21arctan22 或或22arctanyxcexy 例例43

23、9例例 1 1 求解微分方程求解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx解解，令令xyu ，则则udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu 微分方程的解为微分方程的解为.lnsinCxxy 40例例 3 3 抛物线的光学性质抛物线的光学性质实例实例: : 车灯的反射镜面车灯的反射镜面-旋转抛物面旋转抛物面解解如图如图轴轴设旋转轴设旋转轴 ox),0 , 0(光源在光源在)(:xyyL 为上任一点，为上任一点，设设),(yxM,yMT 斜率为斜率为为切线为切线,1,yMN 斜率为斜率为为法线为法线,NMROMN

24、 xyoMTNRL41,tantanNMROMN xyoMTNRL由夹由夹角正角正切公切公式得式得 yNMRyxyxyyOMN1tan11tan得微分方程得微分方程, 022 yyxyy. 1)(2 yxyxy即即42，令令xyu ,112uudxduxu 得得分离变量分离变量,1)1(22xdxuuudu ，令令221tu ,)1(xdxtttdt 积分得积分得,ln1lnxCt , 112 xCu即即43平方化简得平方化简得,2222xCxCu 得得代回代回,xyu )2(22CxCy 抛物线抛物线轴的旋转抛物面方程为轴的旋转抛物面方程为所求旋转轴为所求旋转轴为 ox).2(222CxCz

25、y 44(3)对形如对形如 的方程的方程 其中其中ai,bi,ci,i=1,2是常数。是常数。当当c1=c2=0时时,右端是右端是x,y的齐次方程，解法同的齐次方程，解法同(2)。)(dd222111cybxacybxafxy当当c1,c2至少有一个不为至少有一个不为0时时,(i)若若 则则有唯一解有唯一解(x0,y0)。令。令u=x-x0,v=y-y0,则有则有).()(2211222111vbuavbuafcybxacybxafdxdydudv00222111cybxacybxa. 02211baba关于u,v的齐次方程45当当c1,c2至少有一个不为至少有一个不为0时时,(ii)若若 若

26、若a1b10，则存在常数，则存在常数k,使得使得(a2,b2)=k(a1,b1),此时令此时令z=a1x+b1y,则有则有).(211111ckzczfbadxdybadxdz. 02211baba若若a10,b1=0，则由，则由=0可推出可推出b2=0,则则).()(2211222111cxacxafcybxacybxafdxdy变量分离的方程变量分离的方程)(dd222111cybxacybxafxy46当当c1,c2至少有一个不为至少有一个不为0时时,(ii)若若 若若a1=b1=0，则有，则有).(2221cybxacfdxdy. 02211baba解法同(1)(dd222111cyb

27、xacybxafxy47.315的的通通解解求求例例 yxyxdxdy解解, 021111 , 0301khkh方程组方程组, 2, 1 kh. 2, 1 YyXx令令代入原方程得代入原方程得,YXYXdXdY ，令令XYu dXduXuYdXd 方程变为方程变为,11uudXduXu 48方程变为方程变为,11uudXduXu 分离变量法得分离变量法得,)12(22cuuX ,222CXXYY 即即代回，代回，将将2, 1 yYxX得原方程的通解得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy .622122Cyxyxyx 或或49利用变量代换求微分方程的解利用变量代换求微分方程的解

28、.)(62的通解的通解求求例例yxdxdy 解解,uyx 令令1 dxdudxdy代入原方程代入原方程21udxdy ,arctanCxu 解得解得得得代回代回, yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解为原方程的通解为.)tan(xCxy 503. 一阶线性微分方程一阶线性微分方程)()(ddxQyxPxy例如例如：,32xxyy,sin2xyy, 0)(ln2yxyx, 02yy,sinxyy,2xyyy.e12xyy线性非线性51(1)线性齐次方程0)(dd yxPxyxxPyyd)(d 1lnd)(|ln CxxPyxxPCyd)(e 得(C=C1)解法：解法：结论：一阶线性齐

29、次微分方程的解包含了它的一切解。结论：一阶线性齐次微分方程的解包含了它的一切解。0)(dd yxPxy当Q(x)0时，520)()(ddxQyxPxy(2)线性非齐次方程解法：解法：先求出先求出 的通解的通解再令再令 (其中其中u(x)待定待定)，为，为线性非齐次方程的解。线性非齐次方程的解。xxPxuyd)(e )( 0)(ddyxPxy；xxPCyd)(e 常数变易法常数变易法53于是xxPxQxud)(e )()( 故CxxQxuxxPde )()( d)(xxPxxPCxxQyd)(d)(e de )( .de )(eed)(d)(d)(xxQCyxxPxxPxxP即常数变易法常数变易

30、法代入方程得)(e )()()(e )(e )( d)(d)(d)(xQxuxPxPxuxuxxPxxPxxP即)(e )( d)(xQxuxxP0)()(ddxQyxPxyxxPxuyd)(e )( 通解通解特解特解54212ddxxyxxy先解02ddyxxyxxyyd2dCxyln|ln2|ln21 xCy例例1 1. 解初值问题01xy12dd2xxyxyx解：解：方程为5521)(xxCy 令为原方程的解. 223211)(2)2)(1)( xxxxCxxxCxxC得11)( 22xxxxxC代入原方程例例1 1. 解初值问题01xy12dd2xxyxyx212ddxxyxxy解：解

31、：56xxxCd ) 1()(于是Cxx222222121121)( xCxxCxxxxCy当210|1Cyx时，有)121 (21 2xxy例例1 1. 解初值问题01xy12dd2xxyxyx解：解：57例例2 2. 解方程)( ,) 1(edd) 1(1为常数xyxyxx解：解：) 1(e1ddxyxxyx利用求解公式de) 1(ee)d1()d1(Cxxyxxxxxde) 1(ee)1ln()1ln(Cxxxxx58d) 1(1) 1(e) 1(Cxxxxxde) 1(Cxxx)(e) 1(Cxx59非齐次线性方程的通解非齐次线性方程的通解相应齐方程的通解相应齐方程的通解等于等于与非齐

32、次方程的一个特解之和与非齐次方程的一个特解之和即即非齐通解非齐通解 = 齐通解齐通解 + 非齐特解非齐特解线性微分方程线性微分方程解的结构解的结构，是很优良的性质。，是很优良的性质。60 Cxdxxsin1 .cos1Cxx Cdxexxexxlnlnsin例例1 1.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy 解解,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin61解方程解方程25)1(12 xxydxdy解解相应齐方程相应齐方程12 xydxdy解得解得2) 1( xcy令令2) 1)( xxcy例例262代入非齐方程代入非齐方程)1)(2)1)(2 xxcxx

33、c252)1(11)1)(2 xxxxc21)1()( xxc解得解得cxxc 23)1(32)(故非齐次方程的通解为故非齐次方程的通解为)1(32)1(232cxxy 25)1(12 xxydxdy2) 1)( xxcy63例例3解方程解方程12)1(2 yxyx解解这是一个二阶线性方程这是一个二阶线性方程由于其中不含变量由于其中不含变量 y 若令若令yz zy 12)1(2 xzzx化成一阶线性方程化成一阶线性方程其通解为其通解为211xcxz 即即211xcxy 再积分再积分212arctan)1ln(21cxcxy 即为原二阶方程的通解即为原二阶方程的通解64例例4 4 如图所示，平行

34、与如图所示，平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf解解,)()(230yxdxxfx xyxydx03,xyoxPQ3xy )(xfy 两边求导得两边求导得,32xyy 解此微分方程解此微分方程6523xyy dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲线为所求曲线为).222(32 xxeyx66一阶线性微分方程的通解也可写成一阶线性微分方程的通解也可写成dxexQCeyxxdxxPdxxPxxxx

35、 000)()()(方程方程)()()()(xQyfxPdxdyyf 令令)(yfz )()(xQzxPdxdz 即化为一阶线性微分方程即化为一阶线性微分方程注注dxdyyfxz)( ddde )(e d)(d)(xxQCyxxPxxP67例例3 3. Bernoulli 方程yxQyxPxy)()(dd(0, 1)()(dd1xQyxPxyy)()()(dd1111xQyxPyx68作变换 z=y1, 则化为线性方程)()1 ()()1 (ddxQzxPxz例如：例如：xy+y=(xlnx)y2)()()(dd1111xQyxPyx69例例 5.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy

36、解解，得，得两端除以两端除以y,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解得解得.224 Cxxy即即yxQyxPxyBernouli)()(dd 方程dxdyyxz21dd70例例6 6 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程: :;22. 122xxexyyy 解解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz 则则,22xxexzdxdz 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解为所求通解为).2(222Cxeyx 71;)(sin1. 22xyxyxdxdy 解解,dxdyxydxdz 则则,si

37、n1)(sin1(22zxyxyxxydxdz 分离变量法得分离变量法得,42sin2Cxzz ,代回代回将将xyz 所求通解为所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy ,xyz 令令72;1. 3yxdxdy 解解,uyx 令令, 1 dxdudxdy则则代入原式代入原式,11udxdu 分离变量法得分离变量法得,)1ln(Cxuu ,代回代回将将yxu 所求通解为所求通解为,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解另解. yxdydx 方程变形为方程变形为73 注注 利用变量代换将一个微分方程化为变量利用变量代换将一个微分方程化为变量可分离的方程或化为已知其求解步骤的方程是可分离的方程

38、或化为已知其求解步骤的方程是求解微分方程的一种最常用的思想方法求解微分方程的一种最常用的思想方法如如 齐次型、可化为齐次型、一阶线性齐次型、可化为齐次型、一阶线性方程方程 、Bernoulli 方程等方程等.都是通过变量代换来求解方程的。都是通过变量代换来求解方程的。将将),(yxfdxdy 变换为变换为 ),(1yxfdydx 也是经常可以考虑的也是经常可以考虑的74解：解：yyxyydydxcossin2sincos ,tan2sinyxy ,2sintanyxydydx Cdyeyexyycoslncosln2sin Cdyyyyycoscossin2cos .cos2cosyCy 例：

39、例：求微分方程求微分方程 的通解的通解. .yxyyyysin2sincoscos 75. 0)(2223dyxyxdxy求方程的特解方程方程整理变形为整理变形为2322xyxydydx方程变为则令,dd1dd,12yxxyzxz322yzydydz202yczzydydz，得解齐次方程的解，得是非齐次方程令3222)(yzydydzyycz22221,)(,2)( yInyycxzcInyycyyc则即).(22Inycxy通解：76求解微分方程的基本方法：求解微分方程的基本方法：例5例5*解解,uyx 令令, 1 dxdudxdy则则原方程化为原方程化为，21udxdu ,arctanCx

40、u 解得解得得得代回代回, yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解为原方程的通解为.)tan(xCxy 利用变量代换将所利用变量代换将所求微分方程化为会解的微分方程。求微分方程化为会解的微分方程。. )( 2的的通通解解求求yxdxdy 77.yxdxdy 1解解,uyx 令令, 1 dxdudxdy则则代入原式得代入原式得,11udxdu 由分离变量法得由分离变量法得,|1|lnCxuu ,还还原原得所求通解得所求通解.|1|lnCyxy 例例6 6 解微分方程解微分方程78.yxdxdy 1例例6 6 解微分方程解微分方程另解另解, yxdydx 变变形形为为yxdydx 即即（

41、线线性性微微分分方方程程） ）（通通解解Cdyyeexdydy ）（Cdyyeeyy. 79*例例7 7 解微分方程解微分方程.)(sin12xyxyxdxdy 解解,xyz 令令, dxdyxydxdz 则则,)(sin1)(1 22xzzxxzdxdzx 原方程化为原方程化为,42sin2Cxzz 由分离变量法得由分离变量法得,代回代回将将xyz 得所求通解为得所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy ,)(sin1 2zdxdz 化简为化简为804.全微分方程与积分因子全微分方程与积分因子(1)全微分方程（恰当方程）全微分方程（恰当方程）对于对称形式的一阶微分方程则称上述微分方程为全微分

42、方程或恰当方程。(其中P(x,y),Q(x,y)是定义在一个区域D中的光滑函数)，若存在一个可微函数u(x,y),使得u(x,y)=C是上述全微分方程的通积分，并且包含了方程的一切解。, 0),()d,( dyyxQxyxP,),()d,(),( dyyxQxyxPyxdu81 若若P(x, y)、Q(x, y)在单连通在单连通 域域G内具有一阶连续偏导数，且内具有一阶连续偏导数，且 全微分方程的判定：全微分方程的判定：yPxQ， 则方程则方程P(x, y)dx Q(x, y)dy 0是全微分方程。是全微分方程。, 0),()d,( dyyxQxyxP例如方程例如方程0324223 dyyxy

43、dxyx 32yxyyP 4223yxyxxQxQyP 原方程原方程是是全微分方程全微分方程.,64yx ,64yx 82解法解法: :0),(),( dyyxQdxyxP应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关.xQyP 通解为通解为,),(),(000 xdyxPdyyxQxxyy ;),(Cyxu 用直接凑全微分的方法用直接凑全微分的方法. yyxxdyyxQxdyxPyxu00),(),(),(0其中其中 x0 , y0 是在是在G中适当选定的点中适当选定的点 M0 (x0 , y0 )的坐标，起点坐标选择的不同，至多使的坐标，起点坐标选择的不同，至多使u( x, y) 相差一个常

44、数相差一个常数. 83 例1 求解(5x43x y2y3)dx (3x2y 3x y2 y2 )dy0 解 这里所以这是全微分方程取(x0, y0)(0, 0)，有332253123yxyyxx于是，方程的通解为Cyxyyxx332253123yP6xy3y2 u(x, y)6xy3y2 xQ，(x, y)yxdyydxyxyx020324)35(yxdyydxyxyx020324)35( y xO(x, y)84例例1 1.0)3()3(2323的通解的通解求方程求方程 dyyxydxxyx解解,6xQxyyP 是全微分方程是全微分方程, yxdyyxdxyxyxu03023)3(),(,4

45、2344224yyxx 原方程的通解为原方程的通解为.42344224Cyyxx 85例例2.0324223的通解的通解求方程求方程 dyyxydxyx解解,64xQyxyP 是全微分方程是全微分方程,将左端重新组合将左端重新组合)32(14232dyyxdxyxdyy )()1(32yxdyd ),1(32yxyd 原方程的通解为原方程的通解为.132Cyxy 86(2)积分因子积分因子a.定义：设方程定义：设方程不是全微分方程。若存在函数不是全微分方程。若存在函数(x,y) 0, 使得使得是全微分方程，则称是全微分方程，则称(x,y)为方程的积分为方程的积分因子。因子。, 0),()d,(

46、 dyyxNxyxM, 0),(),()d,(),( dyyxNyxxyxMyx87(2)积分因子积分因子b.积分因子满足方程积分因子满足方程即即,)()( xNyM).(xNyMyMxN, 0),(),()d,(),( dyyxNyxxyxMyx88(2)积分因子积分因子c.若若(x,y)= (x)，则则/y=0,此时有此时有其中其中xxdttFx0)(e)( )(),(1)(xNyMyxNxF命题命题1： (x)是方程是方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的一个的一个积分因子。积分因子。).(xNyMyMxN89(2)积分因子积分因子d.若若(x,y)= (y)，则则/x=0,此时有

47、此时有其中其中yydttGy0)(e)( )(),(1)(yMxNyxMyG命题命题2： (y)是方程是方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的一个的一个积分因子。积分因子。).(xNyMyMxN90 解 (1) 方程ydxxdy0不是全微分方程因为2)(yxdyydxyxd，所以21y是方程 ydxxdy0 的积分因子，于是02yxdyydx是全微分方程，所给方程的通解为 例2 通过观察求方程的积分因子并求其通解: (1)ydxxdy0 (2)(1x y)ydx(1x y)xdy0是全微分方程，所给方程的通解为Cyx91 解 (2)将方程的各项重新合并，得(ydxxdy)xy(ydxxd

48、y)0，再把它改写成 例2 通过观察求方程的积分因子并求其通解: (1)ydxxdy0 (2)(1x y)ydx(1x y)xdy0d(x y)x2 y2 (ydyxdx)0，这时容易看出2)(1xy为积分因子，乘以该积分因子后，方程就变为2)()(xyxydydyxdx0，积分得通解Cyxxyln|ln1，即为积分因子，乘以该积分因子后，方程就变为，即xyCeyx192常见的全微分表达式常见的全微分表达式)2(22yxdydyxdx )(xydxdyydx )(2xydxydxxdy )(2yxdyydxxdy )(lnxydxyydxxdy )(arctan22xydyxydxxdy )(

49、ln2222yxdyxydyxdx 93可选用的积分因子有可选用的积分因子有.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx 94, 0)()3(2322 dyyxxdxxyyx)(332xdyydxxydyxydxx 可积组合法可积组合法)(21(23xyyxd , 0 原方程的通解为原方程的通解为.)(2123Cxyyx (公式法公式法).0)()3(22的通解的通解求微分方程求微分方程 dyxyxdxyxy例例3解解,1)(1xxQyPQ dxxex1)( .x 则原方程成为则原方程成为95例例4 求微分方程求微分方程.0)1(222的通解的通解 dyyxdxyxx解解, 02

50、222 dyyxdxyxxxdx, 0)()(2222 dyyxxdyxxd将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有, 0)()(222 yxdyxxd原方程的通解为原方程的通解为.)(322322Cyxx 96例例5 求微分方程求微分方程.0)1(ln2222的通解的通解 dyyyxydxxy解解将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有, 01)ln2222 dyyydyxydxxy（,1),(yyx 易知易知, 01)ln2(22 dyyydyyxydxx则则可积组合法可积组合法. 0)1(31)ln(2322 ydyxd即即原方程的通解为原方程的通解为.)1(31ln2322Cyyx

51、 97例例6.132的通解的通解求微分方程求微分方程xyxxdxdy 解解1整理得整理得,112xyxdxdy A A 常数变易法常数变易法: :.1xCy 对应齐方程通解对应齐方程通解.1)(xxCy 设设.43)(43CxxxC B B 公式法公式法: :,11211Cdxexeydxxdxx .4343Cxxxyy 通解为通解为98.132的通解的通解求微分方程求微分方程xyxxdxdy ,)1()(),(0032 yxdyxdxxxyxuA A 用曲线积分法用曲线积分法: :.是全微分方程是全微分方程,1xQyP , 0)1()(32 dyxdxyxx解解2 2整理得整理得xydxyx

52、xdy0320)(99.132的通解的通解求微分方程求微分方程xyxxdxdy 解解2 2整理得整理得, 0)1()(32 dyxdxyxx,1xQyP .是全微分方程是全微分方程B B 凑微分法凑微分法: :, 0)(32 dxxdxxydxxdydy，043)(43 xdxdxyddy. 0)43(43 xxxyyd100C C 不定积分法不定积分法: :,32yxxxu dxyxx)(32),(4343yCxyxx ),(yCxyu ,1xyu 又又,1)(xyCx , 1)( yC,)(yyC 原方程的通解为原方程的通解为.4343Cxxxyy .132的通解的通解求微分方程求微分方程

53、xyxxdxdy , 0)1()(32 dyxdxyxx101一阶微分方程小结一阶微分方程小结分离变量法分离变量法常数变易法常数变易法全微分方程全微分方程一阶微分方程一阶微分方程1025.5.可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程二阶方程F(x, y, y, y)=0y = f (x, y, y)(1). 不显含未知函数不显含未知函数y的方程的方程0) ,( yyxF103解法解法: : 令 y=z, 则 zdxdzy则0) ,(0) , ,(zzxFyyxF设其通积分为(x,z,C1)=0再解一阶微分方程(x,y,C1)=0,求得y。关于关于z z的一阶微分方程的一阶微分方程0) ,( y

54、yxF104注注: y (n)= f (x, y (k), y (n-1) 型型，：因因变变量量换换元元)( kyp 。降降阶阶为为),( )1()( knknppxfp105例例2.2. 解方程 xy=y解解: :pxpxdd分离变量：xxppdd积分得： lnp=lnx+lnC1所以 p=C1xxCxy1dd或解得2212CxCy令y=p, 则106例例3 解方程解方程3, 1,2)1(002 xxyyyxyx解解令令py xppx2)1 (2 分离变量得分离变量得212xxpdp 12ln)1ln(lncxp 即即)1 (21xcp )1 (21xcy 由由得得30 xy31 c)1(3

55、2xy 233cxxy 由由1120 cyx故故133 xxy107解方程解方程2)(1yy 解解pypy 令21pdxdp dxpdp 211arctancxp 即即)tan(1cxp dxcxy)tan(121)cos(lnccx 例例4 108(2). 不显含自变量x的方程解法解法： 令y=p, 有yppxyypxpydddddddd则方程F(y, y , y)=0可化为0),(dydpppyFF(y, y , y )=0是关于是关于y的一阶微分方程的一阶微分方程109设其通积分为 G(p,y,C1)=0,则解一阶微分方程G(y,y,C1)=0,求得y(x)。如何解方程F(y, y ,

56、y )=0解法解法： 令y=p, 有yppxyypxpydddddddd0),(dydpppyF110例例4 4.解方程 2yy+y2=0 不显含自变量不显含自变量x解解：设y=p, 则0dd22 pypyp分离变量有yypp2dd积分得1ln|ln21|lnCyp故yCp1yppxyypxpydddddddd111即yCxy1dd再分离变量xCyydd1212332CxCy或4323CxCy即3243)(CxCy112.02的通解的通解求求 yyy解解,dydppy 则则。不显含自变量x原方程化为原方程化为 ,pdydppy02 , 0)( pdydpyp即即0 pdydpy由由.12xCeCy 原方程通解为原方程通解为yCdxdy1 例