自动控制理论拉普拉斯变换.

1、 补充：拉普拉斯变换补充：拉普拉斯变换l 微分方程式是描述线性系统运动的一种基微分方程式是描述线性系统运动的一种基本形式的数学模型。通过对它求解，就可以本形式的数学模型。通过对它求解，就可以得到系统在给定输入信号作用下的输出响应。得到系统在给定输入信号作用下的输出响应。然而，用微分方程式表示系统的数学模型在然而，用微分方程式表示系统的数学模型在实际应用中一般会遇到一些困难。实际应用中一般会遇到一些困难。 拉普拉斯变换（简称拉氏变换）是分析研拉普拉斯变换（简称拉氏变换）是分析研究线性动态系统的有力数学工具。通过拉氏变究线性动态系统的有力数学工具。通过拉氏变换将时域的微分方程变换为复数域的代数方程

2、，换将时域的微分方程变换为复数域的代数方程，这不仅运算方便，也使系统的分析大为简化。这不仅运算方便，也使系统的分析大为简化。在控制工程中在控制工程中, ,使用拉氏变换的主要目的使用拉氏变换的主要目的: :用它来研究系统动态特性用它来研究系统动态特性. .因为描述系统动态特性的传递函数和频因为描述系统动态特性的传递函数和频率特性都是建立在拉氏变换的基础之上率特性都是建立在拉氏变换的基础之上的。的。一、拉氏变换定义一、拉氏变换定义对时间函数对时间函数f(tf(t) )，t0t0，f(tf(t) )的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换Lf(tLf(t)（简称拉氏变换）或（简称拉氏变换）或F(sF(s) )定

3、义为定义为dtetfsFtfLst0)()()(2.20)原函数原函数象函数象函数sj一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是：(1)(1)在在t0t0时，时，0)(tf(2)(2)在在t0t0的任一有限区间内，的任一有限区间内，f(tf(t) )是分段连续的；是分段连续的；dtetfst0)(3)(3)二、二、 一些常用的拉氏变换一些常用的拉氏变换l加于控制系统的外作用一般事先是不完全知道的加于控制系统的外作用一般事先是不完全知道的, ,而而且常常随着时间任意变化且常常随着时间任意变化. .为了便于对系统进行理论为了便于对系统进行理论分析分析, ,工程实践中允

4、许采用以下几种简单的时间函数工程实践中允许采用以下几种简单的时间函数作为系统的典型输入作为系统的典型输入, ,即单位阶跃函数、单位斜坡函即单位阶跃函数、单位斜坡函数、等加速函数、指数函数、正玄函数、以及单位数、等加速函数、指数函数、正玄函数、以及单位脉冲函数等。脉冲函数等。1 1、单位阶跃函数、单位阶跃函数10)(tft0 t 0 图图2-5 2-5 单位阶跃函数单位阶跃函数 )(tf10t其拉氏变换其拉氏变换01)(dtetfLst01stesss1) 10(12 2、单位斜坡函数、单位斜坡函数ttf0)(t0t 0)(tf 图图2-6 2-6 单位斜坡函数单位斜坡函数)(tfto其拉氏变换

5、其拉氏变换dtettfLst0)(dtestesstst001)(121s3 3、等加速函数、等加速函数2210)(ttft0t 0其拉氏变换其拉氏变换 dtettfLst0221)(31satetf0)(4 4、指数函数、指数函数 dteeeLstatat0dtetas)(0)( 为实数at0t 0其拉氏变换其拉氏变换 as 1)( 为实数0sinsindtettLst22sttfsin0)(t 0t 0其拉氏变换其拉氏变换 5 5、正弦函数、正弦函数 )(21sintjtjeejt注注: :欧拉公式欧拉公式)(21costjtjeet为实数0coscosdttetLstttfcos0)(t

6、0t 0其拉氏变换其拉氏变换 余弦函数余弦函数 22ss6 6、单位脉冲函数、单位脉冲函数000)(ttt)(t1)(tft0 1)(dtt性质性质)0()()(fdtttf0)()(dtettLst其拉氏变换其拉氏变换 1且且图图2-7 2-7 单位脉冲函数单位脉冲函数)()(11sFtfL)()(22sFtfL为常数和ba)()(21tbftafL 设 则则 )()(21sbFsaF三、拉氏变换的性质三、拉氏变换的性质1 1、线性性质齐次性和叠加性、线性性质齐次性和叠加性则若)()(sFtfL)(tfdtdL222( )( )(0)(0)dLf ts F ssffdt) 0() 0() 0

7、()()() 1(21nnnnnnffsfssFstfdtdL2 2、微分性质、微分性质)0()(fssF)()(ssFtfdtdL)()(222sFstfdtdL时，则有当0)0()0()0()1(nfff)()(sFstfdtdLnnn则若)()(sFtfL)(dttfL) 0 (1) 0 (1)(1)() 2() 1(222fsfssFsdttfL)0(1)0(1)(1)()()1(nnnnfsfssFsdttfL 3 3、 积分性质积分性质) 0(1)(1) 1(fssFs)(1)(sFsdttfL时，则有当0)0()0()0()()2()1(nfff)(1)(22sFsdttfL)(

8、1)(sFsdttfLnn4 4、终值定理、终值定理)()(sFtfL设且且F(sF(s) )在在s s平面的右半平面及除原点以外的平面的右半平面及除原点以外的虚轴上解析，则函数的终值为虚轴上解析，则函数的终值为)(lim)(lim0ssFtfst5 5、初值定理、初值定理存在，则且)(limssFs)(lim)(lim) 0 (0ssFtffst，设)()(sFtfL则对任一实数设,),()(asFtfL)()(sFeatfLas时域位移定理时域位移定理)()(asFtfeLat复数域位移定理复数域位移定理6 6、位移定理、位移定理7 7、卷积定理、卷积定理)()(11sFtfL)()(,2

9、2sFtfL)()(21tftfLdtedtffstt 0201)()()()(21tfLtfL)()(21sFsF则则若若卷积符号卷积符号表明两个时间函数卷积的拉氏变换等于两个时间的拉表明两个时间函数卷积的拉氏变换等于两个时间的拉氏变换的乘积。这个关系式在拉氏反变换中可以简化氏变换的乘积。这个关系式在拉氏反变换中可以简化计算计算)()(1sFLtfjjstdsesFjsFLtf)(21)()(1四、拉氏反变换四、拉氏反变换从象函数中找出原函数，这就是拉氏反变换。从象函数中找出原函数，这就是拉氏反变换。求拉氏反变换的方法有：求拉氏反变换的方法有：(1)(1)查表法查表法(2)(2)部分分式法部

10、分分式法(3)(3)有理分式法有理分式法一般象函数可以表示成如下的有理分式一般象函数可以表示成如下的有理分式01110111)()()(asasasabsbsbsbsAsBsFnnnnmmmm分母进行因式分解分母进行因式分解 )()()(210111nnmmmmpspspsabsbsbsbsF1 1、当、当A(sA(s)=0)=0无重极点无重极点(n(n个不等根个不等根) )时，时，F(sF(s) )可表示为可表示为nnpscpscpsc2211)()()(210111nnmmmmpspspsabsbsbsbsF)()(limsFpscipsiiniiipsc1因此因此,原函数为原函数为 ni

11、iipscLsFLtf111)()(nitpiiec1例例5 5 已知已知 ,试求原函数试求原函数.) 3)(2)(1(35)(sssssF解：解： 写成部分分式形式写成部分分式形式321)(321scscscsF1) 3)(2)(1(35) 1(lim11ssssscs7) 3)(2)(1(35) 2(lim22ssssscs6) 3)(2)(1(35) 3(lim33ssssscsttteeetf3267)( 课堂练习课堂练习：求：求F F（s s）的拉氏反变换）的拉氏反变换223)(2 ssssF3455)(22 sssssF2 2、当、当A(sA(s)=0)=0有重根时，有重根时，F(

12、sF(s) )可表示为可表示为.)()(1111rrrrpscpscsFnnrrpscpscpsc.1111)()(lim11)(1sFpsdsdjcrjjpsjr！)()(lim)!1(111)1(11sFpsdsdrcrrrps)()(lim111sFpsdsdcrpsr)()(lim11sFpscrpsr因此，原函数为因此，原函数为 )()(1sFLtfnnrrrrrrpscpscpscpscpscL111111111)()(tprrrrectctrctrc112211)!2()!1(tpnriiiec1例例6 6 已知已知 ，试求原函数，试求原函数f(tf(t) )。)3() 1(2)

13、(2sssssF解：解：31) 1()(43122scscscscsF21)3() 1(2) 1(lim2212ssssscs43) 3() 1(21(lim2211sssssdsdcs）32)3()1(2lim203ssssscs121) 3() 1(2) 3(lim234ssssscs) 3(12132) 1(43) 1(21)(2sssssFttteetetf3121324321)(ttteetetf3121324321)(tteet3121)23(2132五、拉氏变换解微分方程五、拉氏变换解微分方程(3)(3)取拉氏反变换，得微分方程解；取拉氏反变换，得微分方程解； 利用拉氏变换解微分方程，其步骤如下：利用拉氏变换解微分方程，其步骤如下：(1)(1)对方程两边取拉氏变换，得函数的代数方程；对方程两边取拉氏变换，得函数的代数方程；(2)(2)由代数方程解象函数；由代数方程解象函数；ssYyssYysysYs6)(6) 0 (5)(5) 0 () 0 ()(2解：解：将初始条件代入得将初始条件代入得例例7 72)0(, 2