现代设计方法第二章优化设计1-2

1、第二章 优化设计2.1 概述一、基本概念：1什么是机械优化设计在设计过程中，常常需要根据产品设计的要求，合理确定各种参数，例如：重量、成本、性能、承载能力等等，以期达到最佳的设计目标。这就是说，一项工程设计总是要求在一定的技术和物质条件下，取得一个技术经济指标为最佳的设计方案。优化设计就是在这样一种思想指导下产生和发展起来的。机械优化设计是使某项机械设计在规定的各种设计限制条件下，优选设计参数，使某项或几项设计指标获得最优值。工程设计上的“最优值”(Optimum)或“最佳值”，系指在满足多种设计目标和约束条件下所获得的最令人满意和最适宜的值。 62bhW 下面举2个简单的例子来说明最优化设计

2、的基本概念和过程。例题2-1 已知用直径D和高h的圆木做一矩形截面梁，如图2-1所示。如何选择矩形截面的宽b ，使其抗弯强度截面系数最大？ 图图2-1 矩形截面梁矩形截面梁6)(6222bDbbhWmaxWb6)(22bDbWDb 0解：建立最优化数学模型由抗弯强度截面系数求最大抗弯强度截面系数的问题可表述为求变量使函数极大化 受约束于 例：设边长6的方形铁板，将四角截去相等的正方形，然后折成一个无盖的盒子，试求截去的小正方形边长为多少时盒子的体积最大？解: 设边长为x 体积为VV与x的关系式2)26(xxV对x的限制(约束)03xx*maxxV求和0342xxV11x32x 依据约束x3 3

3、2x11* xx故不符合题意例: 设计一人字架,已知顶端受外力 , 人字架5103FN 跨度2B=152,架为圆钢管,其弹性摸量 MpaE5101 . 2材料密度为 33/108 . 7mKg许用应力 Mpay420 钢管壁厚t=0.25,求满足强度条件和稳定条件下钢管总重量最轻的设计方案?解:重量最轻的数学描述2/122)(HBtDltDWminWW 强度条件的数学描述yytDHHBFAF2/1221)(式中: HHBFHFlF2/1221)(tDA稳定条件的数学模型)(8)(/22222HBDtEAFeetDHHBFy2/122)(即： )(8)(22222HBDtEtDHHBF2/122

4、)(式中:22lIEFe)(822DtAI2/122)(HBl 优化设计工作包括两部分内容： (1)将设计问题的物理模型转变为数学模型。建立数学模型时要选取设计变量、列出目标函数、给出约束条件。目标函数是设计问题所要求的最优指标与设计变量之间的函数关系式。 (2)采用适当的最优化方法求解数学模型。可归结为在给定的条件(例如约束条件)下求目标函数的极值或最优值问题。2优化设计的发展及其应用以机械设计情况为例，采用最优化技术始于六十年代，早期的机械优化设计大多集中在机构学问题上，特别是机构运动参数的优化选择方面，以后逐渐发展到机构动力学优化设计和机械零部件及机械产品的优化设计。国内对机械优化设计的

5、研究和应用是从七十年代中期开始的，近十几年来发展十分迅速，目前已取得一定的成就，并正在向纵深方向继续发展。目前，就国内所开展的工作来看，无论是在优化设计方法软件研究方面，还是在机械产品优化设计的实际应用方面都取得了显著的成果。实践证明，采用优化设计方法可以有效地提高设计质量，缩短设计周期，取得较为显著的经济效果。例如英国PN辛格采用优化设计方法设计了一种十级转速的机床主轴箱，使各轴间的中心距总和比用传统设计方法所取得的结果减小1655，从而体积和重量也相应的减小。意大利G L扎罗蒂用优化设计方法对工程机械中的柴油机、变距器和变速箱作最佳匹配设计，显著提高了性能。我国葛洲坝二号船闸人字门启闭机构

6、经过优化设计，使驱动力矩由400tm降为232.2t.m，我国广州造船厂将优化方法用于船用螺旋桨的叶型及叶截面设计中，并由绘图机自接输出图形，从而节省了大量的人力和物力，取得了满意的结果。由这些事例不难看出，优化设计方法的进一步推广应用，必将为提高机械产品设计质量、降低产品成本、缩短设计周期等方而带来明显的效益。二.优化设计的数学模型确定设计变量： TnxxxX.21n维向量 一组待求的设计参数， nxxx.21相互独立 设计变量 （1）连续变量：大多数机械优化问题中的设计变量都是连续变量（2）离散变量： 齿数、模数 建立数学模型 目标函数min)(XF求极小化问题 2.1数学模型的三个基本要

7、素等式约束条件数必须小于设计变量的维数。因为一个等式约束可以消去一个设计变量。当pn时，即可由p个方程组解得唯一的 一组设计变量这样，只有唯一确定的方案，无优化可言 若求 )(XF的极大化，则应写成 );(min(Xf约束条件：对设计变量的限制a.不等式约束： 0)(Xgu或 0)(Xgumu.3 , 2 , 1 （式中m为约束条件个数 ）b.等式约束： 0)(Xhvpv.3 , 2 , 1np 2.2 优化设计的数学模型一般形式：求 X使 )(minXfnRX 约束：0)(Xgu).3 , 2 , 1(mu s.t. 0)(Xhv);.3 , 2 , 1(nppv 通过优化方法对数学模型求解

8、。求设计变量*X最优点 )(min*Xf最优值 nR 表示n维空间,包括了所有设计变量,称为设计空间。TnxxxX.21使目标函数取得极小值并且满足约束条件。2.3 数学模型的几何意义:a.设计变量 X(n=2为例) TxxX21b.目标函数 )(XF的等值线(面) iCXF)(ic为常数 i=1,2k i=1,2 iCxxXF2221)(11c42c c.可行域: 由满足约束条件 0)(Xgu0)(Xhv 2维目标函数等值线维目标函数等值线 的 X 在空间构成的区域称为可行域,否则称为非可行域.在可行域内的点称为可行点.以n=2为例:设 0)(11xXg0)(22xXg01)(22213xx

9、Xg 2.4 优化数学模型的求解方法及优化设计问题的分类:1) 优化设计问题的分类: 按约束情况来分:无约束 ：其数学模型为 )(min(XfnXR约束优化 其数学模型为:同一般形式按 )(Xf)(Xgu)(Xhv是否线性分： 线性优化 非线性优化按 )(Xf的维数分： 一维优化（也称一维搜索） 多维优化按目标函数 )(Xf的个数分： 单目标 多目标 2) 求解方法：求解最优化数学模型的方法有解析法（求导法）、图解法、数值迭代法，对于2维以下最优化问题较简单，可采用前两种方法。但是，大多数工程最优化设计问题都是2维以上最优化问题，即设计变量分量的个数2个以上，大型复杂工程最优化设计问题的设计变

10、量分量的个数可高达数十个,甚至上百个。显然，2维以上最优化问题用解析法和图解法变得不适宜。对于式（2-1）给出的最优化数学模型，通常采用数值迭代法。1) 数值迭代法： a.定义：从初始设计点出发，按一定的方向通过有限步计算获得最优解的方法称作数值迭代法。无论是无约束优化问题还是约束优化问题,从实质上讲都是求极值的数学问题.但是优化计算中的求优方法与数学中的微分学求极值方法是不同的。数值迭代法示意图（a）求无约束最优点 （b）求无约束最优点 b.数值迭代法的特点: 按照一定的逻辑结构进行反复的数值计算,寻求函数值不断下降的设计点,直到最后获得足够精度的的近似解时就终止计算,具有这种特点的计算方法

11、称为数值迭代法.c.迭代计算公式: )()()()1(kkkkSXX且有: )()()()1(kkXfXf式中 )1( kX为第k+1步设计点。)(k为迭代步长, )(kS当 *)1(XXk或足够靠近 *X时,停止迭代.得最优解 *X)(*Xf为迭代方向。 几何意义：如图所示。显然数值迭代的计算工作量是很大的,所以迭代法必须借助于计算机进行运算。数值迭代法示意图（a）求无约束最优点 （b）求无约束最优点 数值迭代法总结: 1）根据基本迭代公式,每次迭代获得的新迭代点的目标函数值都必须满足函数值不断下降的要求(寻求最优下降方向问题)即满足适用性要求，如果适用性和可行性兼备;再继续下一次迭代,最终

12、得到接近该函数的约束最优点的近似最优点 *X2） 最后获得的最优点,只是一个接近理论最优点的近似最优点 *X 也就是说:每次迭代得到的新迭代点是不断向理论最优点靠拢.即迭代问题的解具有收敛性.3） 从迭代的计算公式可以看出优化方法的主要问题是解决迭代方向 )(kS和迭代步长 )(k的问题。 目前主要的各种优化方法主要在选取迭代方向或迭代步长上显示出各自的特色,但有一点是共同的,它们必须易于通过数值计算获得使目标函数值稳定下降.3.数值迭代方法的终止准则: 数值迭代法求优过程使逐步向理论最优点靠拢,接近理论最优点的近似解.因此,迭代过程不可能无限制的进行，那么什么时候终止迭代呢?这就有一个迭代终

13、止的准则的问题.对于无约束优化问题通常采用的迭代终止准则有以下几种:1）点距准则:相邻两个迭代点 )1( kX)(kX之间的距离达到足够小即 )()1(kkXX 或 nikikiXX12)()1()(TnxxxX.21 2）函数值下降准则:相邻两次迭代点的函数值下降量已达到足够小绝对下降量: )()()()1(kkXfXf相对下降量: )()()()1()()1(kkkXfXfXf 3）梯度准则:根据迭代点的函数梯度达到足够小)()1(kXf22221)1()(.)()()(nkxfxfxfXf上式中的 是根据设计要求预先给定的迭代精度 一般为 631010 在优化设计过程中,一般只要满足以上

14、终止准则之一,则可以认为设计点收敛于极值点.对于约束优化问题,不同的优化方法有各自的终止准则,另作介绍.2）解析法:微分法,适用函数简单,维数较少的场合3）图解法:作图求解,适用于二维以下问题2212111222123142min( )44 s.t.( )20( )10( )0( )0 xxxxx Fxxxgxxgxxgxgx例例1：如下二维非线性规划问题：如下二维非线性规划问题 通过二维约束优化问题的几何求解来直观地描述优化通过二维约束优化问题的几何求解来直观地描述优化设计的基本思想。设计的基本思想。2212111222123142min( )44 s.t.( )20( )10( )0( )

15、0 xxxxx Fxxxgxxgxxgxgx 目标函数等值线是以点（目标函数等值线是以点（2，0）为圆心的一组同心圆。）为圆心的一组同心圆。 如不考虑约束，本例的无约束最优解是：如不考虑约束，本例的无约束最优解是：*(2,0)x ，*()0 xF约束方程所围成的可行域是约束方程所围成的可行域是D。01234-1f(x)=3.821x1x2DAx*=0.58, 1.34Tg1(x)=0g3(x)=0g2(x)=0g4(x)=0221212min21. .50 stxxxxl由图易见约束直线与等值线的切点是最优点，利用解析几由图易见约束直线与等值线的切点是最优点，利用解析几何的方法得该切点为何的方

16、法得该切点为 ， 对应的最优值为对应的最优值为 l (见图）见图）*3,2TX 2fXx2x12f 1f Ol解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲线是一条直线，这条直线就是可行域。而最优点就是可行域上线是一条直线，这条直线就是可行域。而最优点就是可行域上使等值线具有最小值的点。使等值线具有最小值的点。122122122122min21.5050,0 xxstxxxxxxxl解：先画出等式约束曲线解：先画出等式约束曲线 的图形。的图形。 这是一条抛物线，如图这是一条抛物线，如图052221xxxl再画出不等式约束区域，如图（选定

17、哪侧区域）再画出不等式约束区域，如图（选定哪侧区域）l最后画出目标函数等值线，特别注意可行集边界点，最后画出目标函数等值线，特别注意可行集边界点，x1x2123456135ABCD 以及等值线与可行集的切点，易以及等值线与可行集的切点，易见可行域为曲线段见可行域为曲线段ABCDABCD。 当动点沿抛物曲线段当动点沿抛物曲线段ABCDABCD由由A A点出发时，点出发时，ABAB段目标函数值下段目标函数值下降。过点降。过点B B后，在后，在BCBC段目标函数段目标函数值上升。过值上升。过C C点后，在点后，在CDCD段目标段目标函数值再次下降。函数值再次下降。D D点是使目标点是使目标函数值最小

18、的可行点，其坐标可函数值最小的可行点，其坐标可通过解方程组通过解方程组：2122125050 xxxxx(4 1)TX，4fXl得出：得出：x1x2123456135ABCD2.4 优化设计的数学基础 一. 二次型与正定矩阵1.二次型函数及矩阵表达式 由高等数学和线性代数知识可知二次型函数的形式为:),.,()(21nXXXfXf)2.22.1131132112222222111nnnnnnnXXaXXaXXaXaXaXanjijiijXXa1,)(jiijaa 矩阵表示形式为: XAXXXXAXXXXXXfXfTnnn212121),.,()(X式中 为n维向量 A为n阶对称矩阵即矩阵元素

19、jiijaa nnnaaaaaaaa1232221131211A2.正定矩阵及应满足条件: 若对于任一向量 X中的 nxxx.21不全为零,恒有 0XAXTA为实对称矩阵即 jiijaa 则称A为正定矩阵,且A为正定矩阵的充要条件为:各阶主子行列式均大于零,即 011a021121211aaaa0212122211211nnnnnnaaaaaaaaa 二.方向导数与梯度: 1.方向导数(以二元函数为例说明)oyxlP xyP 讨论函数讨论函数 在一点在一点P沿某沿某一方向的变化率问题一方向的变化率问题),(yxfz .),(),(lim0 yxfyyxxflf 沿沿着着x轴轴负负向向、y轴轴负

20、负向向的的方方向向导导数数是是 yxff ,.的方向导数的方向导数沿方向沿方向则称这极限为函数在点则称这极限为函数在点在，在，时，如果此比的极限存时，如果此比的极限存趋于趋于沿着沿着当当之比值，之比值，两点间的距离两点间的距离与与函数的增量函数的增量定义定义lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),( 记为记为oyxlP xyP.),(),(lim0 yxfyyxxflf oyxlP xyP方向导数的表达式:设二元函数 ),()(21XXfXf在 方向上的导数可写为: S2211coscosxfxfsf写成矩阵形式为: 2121coscosxfxfsf对n元函数则有: nnxf

21、xfxfsfcoscoscos2211nnxfxfxfsfcoscoscos2121几何意义: 偏导数 1xf2xf也可看成是函数 )(21xxf分别沿 1x2x 坐标轴方向的方向导数.所以,方向导数是偏导数概念的推广,偏导数是方向导数的特例。2.梯度 梯度表达式函数 )(Xf在某点 0X 的方向导数表明函数沿某方向S的变化率。一般来说，函数在某一确定点沿不同方向的变化率是不同的。为了求得函数在某点 0X的方向导数为最大的方向，因此引入梯度的概念。 sincosyfxflf sin,cos, yfxf由方向导数公式知由方向导数公式知,cos ,sin ffgexx记 |cos( , )fgeg

22、 el 则 ?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函数在点函数在点问题问题Plf 有有最最大大值值. cos( , )1 g e 当时22( ,|()()ffgxyfeglf x yg当向量 与向量 的方向一致时， 取得最大值， 即:函数沿方向 取得的方向导数最大， 且最大值为：因此:( , )( , ) , fffgf x yP x yyfxf ：将向量 称为函数在点的梯度。记作：grad即：规定grad优化设计中的梯度表示：TnnXfXfXfXfXfXfXf2121)(称 )(Xf为函数 )(Xf在 X点 处的梯度 梯度的模 22221)(nXfXfXfXf函数梯度的性质函数

23、梯度的性质 1、函数的梯度 是函数在点 的最速上升方向，而负梯度- 是函数在 点的最快下降方向。函数的梯度随着点 在设计空间的位置不同而异，这只是反映了函数在点 邻域内函数的局部性质。 2、函数梯度的模 是在点 函数变化率的最大值。 3、函数的梯度 与在点 的函数等值面正交(法线方向）。 与点 的函数等值面相切方向 的函数变化率为零。)()(KXf)(KX)()(KXf)()(KXf)()(KXf)(KX)(KX)(KX)(KX)(KX)(KX)(xf方向是函数 )(xf的最快下降方向 优化设计中，用负梯度方向梯度方向与等值面的关系梯度方向与等值线的关系例: 求二元函数 524),()(212

24、22121xxxxxxfxf在Tx22)0(处的梯度及梯度的模 解: 202242)()2, 2(2121xxxfxfxf模 2)2()0()(22xf10)x(f)x(fs00T022x S梯度单位向量1x2x1 2 1 2 图中可以看出在 0 x处函数的梯度方向是点 0 x处函数变化率最大的方向，即等值线的法线方向，也就是同心圆的半径方向。三、泰勒级数及海色矩阵1.泰勒级数：（构造迭代方向和确定迭代步 长时要用到）(1)二元函数由高等数学可知： 以二元函数 ),()(21xxfxf为例，函数 )(xf在 0 x点的泰勒级数的形式为：2202122121221212201101021)(2!

25、 21)()()(),(xxxfxxxfxxfxxxfxxxfxfxxf写成矩阵形式为： xxHxxxfxfxxxxfxxxfxxxfxxfxxxxxxfxxfxfxfTT)(21)()()()()()(! 21)()()()(000210222021202120212212102010式中 )()()()()(02220212021202120 xxfxxxfxxxfxxfxH就是二元 函数 )(xf的二阶偏导数矩阵称为海色矩阵 （2）多元函数 将二元函数泰勒展开式推广到多元函数 ),()(321nxxxxfxf则它的泰勒级数的矩阵的表达形式为： nnnxxxxxxxfxfxfxfxf212

26、1210! 21)()(22221222222212122122120000212222122222221212212212)()(21)()(nnnnnTTnnnnnnxfxxfxxfxxfxfxxfxxfxxfxfxHxxHxxxfxfxxxxfxxfxxfxxfxfxxfxxfxxfxf称为多元函数的海色矩阵， 且为nXn阶对称方阵 四、凸集与凸函数概述1.凸集设 D 为n维欧氏空间 nR中的一个集合,若对任意DxDx21并且连接它们的线段仍在D中，两点,即对任意实数 10使连线 Dxx21)1 (则称这种集合为凸集，否则D为非凸集。 1x2x1x1x2x2xa b c a b非凸集 c

27、凸集 )()1 ()()1 (2121xfxfxxf则 )(xf为 D上的凸函数。3、几何意义点A点B连一直线,设直线方程为 )(x，若区间 21xx内任意点 *x所对应的函数值 2、凸函数设D为 nR中的一个凸集， )(xf为定义在 D上的一个函数，若对于任何实数 ) 10(和 D 内任意 两点 1x2x恒有 )(xF该点的函数值 都小于)(kx如果 )(xf是凸集 D上的凸函数，并且在 D内有极小点，则极小点是唯一的。若 )(xf在区间 ba,内为凸函数,则曲线上任意两点 A,B间 （与 21xx相对应)所连成的直线上的点 k总不会落在这两点间曲线的下方,即大于相应点 )(k的函数值。 2

28、x*x1xx a )x(fK kB A b 4、性质（1）设 )(xf为定义在凸集 D上的凸函数, 则对于任意正实数 函数 )(xf 在 D凸函数。 上也是（2）设 )(1xf和 )(2xf为定义在凸集 D上的凸函数 则有正实数 00则线性组合 )()()(21xfxfxf也是 D上的凸函数。（3）若函数 )(xf在n维欧氏空间 nR二阶可微 则对于任意 21xxnR)(xf为凸函数的充分必要条件为： )()()()(12112xxxfxfxfT（4）若函数 )(xf在 nR二阶可微，则对于任意 nRDx)(xf在凸集 D 上为凸函数充分必要条件是：海色矩阵 0)(xH为半正定的，若 )(xH

29、的，则 是正定)(xf在 D上为严格凸函数。利用以上性质，可以判断函数的凸性。五、函数的极值1.无约束优化问题的极值条件设多元函数 )()(21nxxxfxf在 0 x点的近似泰勒展开式为：xxHxxxfxfxfTT)(21)()()(000则极值存在的必要条件为：一阶导数向量等于 零,即： 梯度 0)(21nxfxfxfxf 充分条件：二阶导数矩阵(海色矩阵为正定矩阵)2222122222221212212212)(nnnnnxfxxfxxfxxfxfxxfxxfxxfxfxH判断矩阵 A 是正定矩阵,检验矩阵 A 的各主子式的行列式之值,若各阶主子式的行列式值均大于零。 即当 izaA时，

30、有： 00002122221112113332312322211312112221121111nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 则设矩阵 A 是正定，若各阶主子式的值是负、正交替变化符号。则该矩阵 A 是负定。例:判定 2122212136)(xxxxxxxf是否有极值，若存在极值求出极值点解：由必要条件 003262)(212121xxxxxfxfxf得 0321xx由充分条件： 2112)(222212212212xfxxfxxfxfxH各阶主子式 0314211202故 )(xH为正定。 因此，极值点 Txxx03*2*1*2.约束优化问题的极值条件 求解约束优

31、化问题的实质是在约束条件所形成的可行域内，求得目标函数的极值点，即约束最优点。由于约束最优点不仅与目标函数本身的性质有关，而且还与约束函数的性质有关，因此约束条件下的优化问题比无约束条件下的优化问题更为复杂。一般约束优化问题的最优点X*，在其可行域上所处位置有两种情况：一种情况是最优点X*落在可行域内部，此时的所有约束均为非适时约束，这就是说，目标函数无约束最优点也就是约束最优点，无约束极值理论在此适用。另一种情况(大多数情况)是最优点落在约束界面上（极小点在可行域的边界上），对于这种情况，其极值条件不仅与目标函数有关而且也与约束集合的性质有关。二维约束优化问题的几种情况 X*0X1X2g3

32、(x) = 0g2 (x) = 0g1 (x) = 0f (x) x*图211a所示的目标函数是凸函数，三个约束方程的边界值在设计空间中形成的可行域R是一个凸集。由图中可以看到，椭圆形等值线族的中心点X*是目标函数的无约束最优点，由于X*处在可行域内，故它也是目标函数的约束最优点。由此可看出，所有的约束条件，对最优点都不起作用时，可以不考虑这些约束，而用无约束极值条件来确定极小点。 图211b所示的目标函数和约束函数都是凸函数。约束边界 与目标函数的等值线在X*点相切，而将目标函数的无约束极值点X*划到可行域之外，因此，目标函数的约束最优点既是切点X*。这里只有约束曲线g1(x)0是起作用约束

33、。0)(xgu);2, 1(0)()2, 1(0)(.)(minnppvxhmuxgstRxxfvan(1)等式约束设目标函数为 )(xf约束函数 );2, 1(0)(nppvxhv则有新函数为)()(),(1xhxfxFvpvv式中 pvv2, 1为拉格朗日乘子。 由无约束极值条件,则 ),(xF的极值必要条件为:0)(21TnxFxFxFxF0)(21TpFFFF由上述解出的 *2*1*nxxxx即为目标函数 )(xf的极值点例:求函数 22212154)()(xxxxfxf的极值点,受约束于 0652)(21xxxhv解：由约束极值必要条件： 103410632)(031028)()632(54)()()(2121212122211xxxxFxxxFxxxxxhxfxFTvpvv代入 )(F中 730极值点为 TTxxx286. 1071. 1*2*1*(2)不等式约束极值条件（Kuhn-Tuker条件）设目标函数为 )(xf受约束于 muxgu2, 10)( 则有新函数为 )()(),(21uumuuaxgx