直角坐标系求面积

1、求坐标系中图形的面积求坐标系中图形的面积 四平六中四平六中 徐亚恒徐亚恒问题问题1 1：求下列条件下线段：求下列条件下线段ABAB的长度的长度. .1 1）A(A(6 6，0)0)，B(B(2 2，0)0)2 2）A(A(3 3，0)0)，B(2B(2，0)0)3 3）A(1A(1，0)0)，B(5B(5，0).0).4 4）A(xA(x1 1，0)0)，B(xB(x2 2，0).0).5 5）A(0A(0，y y1 1) )，B(0B(0 ，y y2 2 ).).Oxy -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 54321-1-2-3-4如图（如图（1 1），）， AOBAOB的面积是多

2、少？的面积是多少？问题问题2yOx图（图（1）AB43211 2 3 4(4,0)(0,3)xyABC 练习练习. .已知已知A(1,4), A(1,4), B(-4,0),C(2,0). B(-4,0),C(2,0). ABCABC的面积是的面积是. .若若BCBC的坐标不变的坐标不变, , ABCABC的面积为的面积为6,6,点点A A的横坐标为的横坐标为-1,-1,那么那么点点A A的坐标为的坐标为_ _._.O(1,4)(-4,0)(2,0)CxyAB(-4,0)(2,0)坐标坐标 距离距离 三角形面积三角形面积线段长度线段长度点点一、有一边在坐标轴上一、有一边在坐标轴上 例例1如图1

3、，平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为（3，0），（0，3），（0，1），你能求出三角形ABC的面积吗？ 分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，ABCABC的边的边BCBC在在y y轴上，由图形可得轴上，由图形可得BCBC4 4，点，点A A到到BCBC边的距离就是边的距离就是A A点到点到y y轴的距离，也就是轴的距离，也就是A A点横坐标的绝对值点横坐标的绝对值3 3，然后根据三角形的面，然后根据三角形的面积公式求解积公式求解. .解：因为解：因为B(0,3),C(0,-1),B(0,3),C(0,-1),所以所以BC=3-BC=3-（-1-1）=

4、4.=4.因为因为A(-3,0),A(-3,0),所以所以A A点点到到y y轴的距离，即轴的距离，即BCBC边上的高为边上的高为3 3，已知已知A(-2,0)A(-2,0)，B B（4 4，0 0），），C C（x,y)x,y)(1)(1)若点若点C C在第二象限，且在第二象限，且|x|=4,|y|=4,|x|=4,|y|=4,求点求点C C的坐标，并求三角形的坐标，并求三角形ABCABC的面积；的面积；分析分析(1)(1)由点由点C C在第二在第二象限，可知象限，可知x x和和y y的符的符号，这样可化简绝对号，这样可化简绝对值，从而求点值，从而求点C C的坐的坐标，求三角形的面积，标，求

5、三角形的面积，关键求点关键求点C C到到ABAB所在所在的直线即的直线即x x轴的距离轴的距离|y|y|31425-2-4-1-3012345-4 -3 -2 -1ABC 已知已知A(-2,0)A(-2,0)，B B（4 4，0 0），），C C（x,y)x,y) （2 2）若点）若点C C在第四象限上，且三角形在第四象限上，且三角形ABCABC的的面积面积=9=9，|x|=3,|x|=3,求点求点C C的坐标的坐标31425-2-4-1-301 2 3 4 5-4 -3 -2 -1ABC分析：由三角形的面分析：由三角形的面积可求出积可求出C C到到ABAB所在所在的直线距离为的直线距离为3,

6、3,而点而点C C在第四象限可知它在第四象限可知它的坐标符号，从而可的坐标符号，从而可知知y=-3y=-3（若不限定（若不限定C的象限，求的象限，求C点的坐标又如点的坐标又如何？）何？） 214211OABS)0 , 4(1BOy43211 2 3 4A(2,1)x图（图（3）222212OABSOxy图（图（4）A(2,1)43211 2 3 4)2 , 0(2B二、有一边与坐标轴平行二、有一边与坐标轴平行 例例2如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面积.分析：由分析：由A A（4 4，1 1），），B B（4 4，5 5）两点

7、）两点的横坐标相同，可知边的横坐标相同，可知边ABAB与与y y轴平行，轴平行，因而因而ABAB的长度易求的长度易求. .作作ABAB边上的高边上的高CDCD，则则D D点的横坐标与点的横坐标与A A点的横坐标相同，也点的横坐标相同，也是是4 4，这样就可求得线段，这样就可求得线段CDCD的长，进而的长，进而可求得三角形可求得三角形ABCABC的面积的面积. .解：因为解：因为A A，B B两点的横坐标相两点的横坐标相同，所以边同，所以边AByABy轴，所以轴，所以AB=5-AB=5-1=4. 1=4. 作作ABAB边上的高边上的高CDCD，则，则D D点的点的横坐标为横坐标为4 4，所以，所

8、以CD=4-CD=4-（-1-1）=5=5，所以，所以= =222213OABS)3 , 2(3BOXYA(2,1)43211 2 3 4图（图（5）三、三边均不与坐标轴平行三、三边均不与坐标轴平行 例例3如图如图2,平面直角坐标系中，已知点平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），），B（1，3），），C（2，-3），你能求出三角形），你能求出三角形ABC的面积吗？的面积吗？解：如图，过点解：如图，过点A A、C C分别作平行于分别作平行于y y轴轴的直线，与过点的直线，与过点B B平行于平行于x x轴的直线交于轴的直线交于点点D D、E E，则四边形，则四边形ADECADEC为梯形为梯形.

9、 .因为因为A A（-3-3，-1-1），），B B（1 1，3 3），），C C（2 2，-3-3），），所以所以ADAD4 4，CE=6CE=6，DB=4DB=4，BE=1BE=1，DEDE5.5.所以所以（AD+CE）DE- ADDB- CEBE= （4+6）5 44 6114.分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形

10、）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行（长方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行.这样，梯这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积面积，即可求得原三角形的面积.)4 , 4(4BOy43211 2 3 4A(2,1)x图（图（6）)4 , 4(4BOy43211 2 3 4A(2,1)x图（图（7）C(2,2)44ACBOACOABSSS221212121MN方方法法1)4 , 4(4BOy43211

11、 2 3 4A(2,1)x图（图（8）D(1,1)23121112144ADBOADOABSSSEF方方法法2)4 , 4(4B444AEBAEOFOFBOABSSSS梯形Oy43211 2 3 4A(2,1)xE(4,1)F(4,0)232211)42(214421图（图（9）方方法法3)4 , 4(4BAOFBGOBGOFBOABSSS4444S四边形正方形Oy43211 2 3 4A(2,1)xE(4,1)F(4,0)26442144图（图（10）G(0,4)方方法法4)4 , 4(4BOy43211 2 3 4A(2,1)xF(4,0)图（图（11）方方法法5在平面直角坐标系内，已知A

12、（5，4），B（2，2），C（0，2）求三角形ABC的面积ABCS三角形ABEFS梯形EBCS三角形AFCS三 角 形(25) 6212 42 12 52 1212已知点已知点A（0，1），点），点B（0，4）,点点C在轴上，如果三角形在轴上，如果三角形ABC的面积为的面积为15（1）求点）求点C的坐标的坐标（2）若点）若点C不在轴上，那么点不在轴上，那么点C的坐标需满足什么样的条件的坐标需满足什么样的条件（画图并说明）？（画图并说明）？ABCS三角形152Cx CxCx（1 1）如图，）如图，ABAB1-1-（-4-4）5 5，设点，设点C C的坐标为的坐标为C C（x，0 0），则），则1

13、515，即，即6 6，6 6所以点所以点C C的坐标为（的坐标为（6 6，0 0）或（）或（6 6，0 0）ABOC21（2）点）点C需满足的条件需满足的条件是横坐标恒为是横坐标恒为6或或6，纵坐标任意如图，点纵坐标任意如图，点C位于两条平行于位于两条平行于y轴且与轴且与y轴距离为轴距离为6的条直线的条直线上上1.1.已知已知ABCABC中，中，A A(-1,-2),(-1,-2),B B(6,2),(6,2),C C(1,3),(1,3), 求求ABCABC的面积的面积. .y-36x31425-2-1O12 3 45-2 -1678A(-1,-2)B(6,2)C(1,3)-1-2xy1 2

14、 3 4 5 6 7 854321 -2 -1OA(-1,-2)B(6,2)C(1,3)D(6,-2)E(6,3)F(-1,3)方法方法1-1-2xy1 2 3 4 5 6 7 854321 -2 -1OA(-1,-2)B(6,2)C(1,3)D(6,-2)E(6,3)方法方法2-1-2xy1 2 3 4 5 6 7 854321 -2 -1OA(-1,-2)B(6,2)C(1,3)E(6,3)F(-1,3)方法方法3-1-2xy1 2 3 4 5 6 7 854321 -2 -1OB(6,2)C(1,3)方法方法4A(-1,-2)ABC. .三角形三角形ABCABC三个顶点三个顶点A A、B

15、 B、C C的坐标分别为的坐标分别为A A（2 2，-1-1），），B B（1 1，-3-3），），C C（4 4，-3.5-3.5）。）。1 2 3 4 5 6-67654231-1-2-3-4-5-6-7-5-4-3-2-1yx0（1 1）把三角形）把三角形A A1 1B B1 1C C1 1向向右平移右平移4 4个单位，再向下个单位，再向下平移平移3 3个单位，恰好得到个单位，恰好得到三角形三角形ABCABC，试写出三角，试写出三角形形A A1 1B B1 1C C1 1三个顶点的坐标三个顶点的坐标; ;111:( 2,2)( 3,0)(0.0.5)ABC解 点点点ACB1A1B1C1 2 3 4 5 6-67654231-1-2-3-4-5-6-7-5-4-3-2-1yx0（2）求出三角形求出三角形 A1B1C1的面积。的面积。1A1B1CDE分析:可把它补成一个梯形减去两个三角形。1111111111