函数的单调性、奇偶性、周期性

1、函数的单调性、奇偶性、周期性一、单调性1函数单调性的定义：2.证明函数单调性的一般方法: 3.求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法。4.复合函数在公共定义域上的单调性：同增异减5一些有用的结论： 奇函数在其对称区间上的单调性相同； 偶函数在其对称区间上的单调性相反； 在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。函数在上单调递增；在上是单调递减。题型讲解 例1若y=log(2-ax)在0，1上是x的减函数，则a的取值范围是A(0，1) B(1，2) C(0，2) D2，+)例2（1）求函数的单调区间；（答：增区间为：减区间为，）（2

2、）已知若试确定的单调区间和单调性（增区间为；减区间为）例3设，是上的偶函数（1）求的值；（）（2）证明在上为增函数例4（1）若为奇函数，且在上是减函数，又，则的解集为_.例5已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且当时，（1）求证：是偶函数；（2）在上是增函数；（）（3）解不等式（，）例6函数在上是增函数，求的取值范围（）二、函数的奇偶性与周期性1函数的奇偶性的定义； 2奇偶函数的性质：（1） 定义域关于原点对称；（2） 偶函数的图象关于轴对称，它是f(x+b)=f(a-x)，对称轴的特殊情况。（3） 奇函数的图象关于原点对称；3为偶函数4若奇函数的定义域包含，则5判断函数的奇偶

3、性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响； 6牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；7判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，8设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇9函数的周期性定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期10.奇偶性规律若函数g(x)，f(x)，fg(x)的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=fg(x)是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y=

4、fg(x)是偶函数例1：（1）若函数在R上是奇函数，且在上是增函数，且 则关于 对称；的周期为 ；在（1，2）是 函数（增、减）；=，则 （2）设是定义在上，以2为周期的周期函数，且为偶函数，在区间2，3上，=,则= 例2下面四个结论：偶函数的图象一定与y轴相交；奇函数的图象一定通过原点；偶函数的图象关于y轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR)，其中正确命题的个数是 （ ）A1 B2 C3 D4例3已知函数对一切，都有，（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示（-4a）例4判断下列各函数的奇偶性：（1）；（非奇非偶函数）（2）；（偶函数）（3）（奇函数）例5（1）已知是上的

5、奇函数，且当时，则的解析式为（2）已知是偶函数，当时，为增函数，若，且，则 （ ） 例6甲、乙两地相距Skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c kmh，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(kmh)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(kmh)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶分析：(1)难度不大，抓住关系式：全程运输成本=单位时间运输成本×全程运输时间，而全程运输时间=(全程距离)÷(平均速度)就可以解决故所求函数及其定义域为但

6、由于题设条件限制汽车行驶速度不超过ckmh，所以(2)的解决需要论函数的增减性来解决由于vv0，v-v0，并且又S0，所以即则当v=c时，y取最小值说明：此题是1997年全国高考试题由于限制汽车行驶速度不得超过c，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使难度有所增大例4已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值 证明：；求的解析式；求在上的解析式（）学生练习 1判断函数f(x)=ax/(x2-1) (a0)在区间(-1,1)上的单调性。2已知函数f(x)=a(ax-a-x)/(a-2) (a>0,且a1)

7、是R上的增函数，求a的取值范围。3设函数f(x)= (a>0),求a的取值范围，使函数f(x)在区间0,+¥)上是单调函数。4函数y=的递减区间是 5求y=log0.7(x2-3x+2)的单调区间及单调性6求y=8+2log0.5x -log0.52x的单调区间及单调性.7函数y=lncos(x/3+p/4)的递减区间是 8函数y=loga(2-ax)在0,1上是减函数，则a的取值范围是 9已知奇函数f(x)在定义域-2,2上递减，求满足f(1-m)+f(1-m2)<0的实数m的取值范围。10已知a>0,a1,有f(logax)=(1)求f(x)的表达式，并证明f(

8、x)在(-¥,+¥)上是增函数；(2)求证：对于任意大于1的自然数n,f(n)>n成立。11.写出函数f(x)=log0.5|x2-x-12|的单调区间12比较下面三个数的大小：, , 13设奇函数f(x)在0,+¥）上是增函数，若对于任意实数x，不等式f(kx)+f(x-x2-2)<0恒成立，求实数k的取值范围。14已知q>0,且q1,数列an是首项和公比都为q的等比数列，设bn=anlog5an (nÎN),(1)当q=5时，求数列bn的前n项和Sn；(2) 在(1)的条件下，求;(3)在数列bn中，对于任意自然数n，当m>n

9、时，都有bm>bn,求q的取值范围。15甲乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(单位：千米/小时)的平方成正比，比例系数为b,固定部分为a元。(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/小时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？16.函数f(x)=log0.5|sinx-cosx|的单调递增区间是 单调递减区间是 。参考答案：1 a>0,f(x)递减；a<0,f(x)递增2 aÎ(0,1)È(

10、2,+¥)3 a³1时，f(x)递减； 0<a<1时，存在两点x1=0,x2=2a/(1-a2) ,f(x1)=f(x2)=1,故无单调性。4（(-¥,-3)5在(-¥,1)上递增；在(2,+¥)上递减 6在(0,1/2上递增；在1/2,+¥)上递减 7 6kp-3p/4,6kp+3p/4 kÎZ8 (1,2) 9 -1£m<110 (1)f(x)=a(ax-a-x)/(a2-1); (2)用数学归纳法：f(n)>nf(n)+1>n+1,证明f(n+1)>f(n)+1>n+

11、111.作图，在(-3,1/2和(4,+¥)上递减，在(-¥,-3)和1/2,4)上递增。）12 >> 13 -2-1<k<2-1 14 (1)Sn=;(2)5/4; (3)q>1或q<1/2 15 (1)y=S(a/v+bv) vÎ(0,c; (2)若£c,则当v=时，全程运输成本最小；若>c,则y在(0,c上为减函数，从而当v=c时，全程运输成本最小。16. kp+3p/4,kp+5p/4) (kÎZ)；(kp+p/4,kp+3p/4 (kÎZ)学生练习 1函数f(x)=x2/(x2+bx

12、+1)是偶函数，则b= 2函数F(x)=(1+2/(2x-1)f(x)(x0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x) ( A )(A)是奇函数 (B)是偶函数 (C)既是奇函数，又是偶函数 (D)非奇非偶函数3已知函数f(x)=x2+lg(x+),若f(a)=M,则f(-a)等于 （ A ）(A)2a2-M (B)M-2a2 (C)2M-a2 (D)a2-2M5若对正常数m和任意实数x,等式成立,则下列说法正确的是 ( )A 函数是周期函数,最小正周期为2mB 函数是奇函数,但不是周期函数C 函数是周期函数,最小正周期为4 mD 函数是偶函数,但不是周期函数 (利用周期函数的定义证明答案:

13、C)4已知f(x) 是奇函数，且当xÎ(0,1)时，f(x)=ln(1/(1+x),那么当xÎ(-1,0)时，f(x)= ln(1-x) 5试将函数y=2x表示为一个奇函数与一个偶函数之和6判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)（非奇非偶函数）;(2)f(x)=x/(ax-1)+x/2 (a>0且a1)(偶函数）(3)f(x)=（偶函数）说明奇偶性的对称条件和分段函数奇偶性的判别方法7已知f(x),g(x)都是奇函数，f(x)>0的解集是(a2,b),g(x)>0的解集是(a2/2,b/2),则f(x)g(x)>0的解集是 8定义在区间(-¥,+¥)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间0,+¥)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0,给出下列不等式f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a