误差理论与数据处理 第八章线性参数的最小二乘法与组合测量

1、4- 1教学目的和要求： 通过本章内容的教学，使学生对间接测量不确定通过本章内容的教学，使学生对间接测量不确定度的评定、合成标准不确定度的分配和最佳测量度的评定、合成标准不确定度的分配和最佳测量方案的设计有一个系统和全面的了解。要求学生方案的设计有一个系统和全面的了解。要求学生能够熟练的进行间接测量数据的不确定度评定；能够熟练的进行间接测量数据的不确定度评定；掌握合成标准不确定度分配的基本原则；初步掌掌握合成标准不确定度分配的基本原则；初步掌握最佳测量方案设计的方法握最佳测量方案设计的方法。 主要内容： 1 1 间接测量不确定度的评定：评定的基本公式、间接测量不确定度的评定：评定的基本公式、

2、评定方法与步骤、实例。评定方法与步骤、实例。2 2 合成标准不确定度的分配：按等作用原则分配合成标准不确定度的分配：按等作用原则分配 合成标准不确定度、按可能性调整分配后的不合成标准不确定度、按可能性调整分配后的不 确定度、验算调整后的不确定度。确定度、验算调整后的不确定度。3. 3. 最佳测量方案的设计：最佳测量函数公式的选最佳测量方案的设计：最佳测量函数公式的选择、灵敏系数最小选择。择、灵敏系数最小选择。第一节最小二乘法原理 最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻找最可信赖值的问题。找最可信赖值的问题。 对某量进行测量，得到一组数据对某量进行测

3、量，得到一组数据 , ,不不存在系统误差和粗大误差，相互独立，且服从正存在系统误差和粗大误差，相互独立，且服从正态分布态分布, ,其标准差为其标准差为 x12,nx xx12,n 测得值落入的概率测得值落入的概率 ix,iix xdx221exp()22iiiivpdx测得值测得值 同时出现的概率为同时出现的概率为 12,nx xx211exp()2( 2 )niiniiiiivPpdx最可信赖值满足最可信赖值满足 22iiivMin2iiwvMin22()iivxxMin21iiw201iw权因子权因子 虽然是在正态分布下导出最小二乘法，实际上，虽然是在正态分布下导出最小二乘法，实际上，按误

4、差或残差平方和为最小进行统计推断已形成按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成一种准则。一种准则。第一节最小二乘法原理第一节最小二乘法原理线性参数的最小二乘法处理一般地，线性函数的数学模型为一般地，线性函数的数学模型为Yf（X，a）那么，线性函数的测量方程为那么，线性函数的测量方程为tntnnnttttXaXaXaYXaXaXaYXaXaXaY22112222121212121111(8-1)其相应的估计量为tntnnnttttxaxaxayxaxaxayxaxaxay221122221212121211118-2 相应的残余误差方程为 )()()(221122221212222121211

5、11111tntnnnnnnttttxaxaxalylvxaxaxalylvxaxaxalylv8-3第二节正规方程组合测量基本概念如为精密测定如为精密测定1 1号、号、2 2号和号和3 3号电容器的电容量号电容器的电容量 1x2x3x测得值1y2y3y4y11221332340.3()0.4()0.5()0.3()xyxyxxyxxy 待解的数学模型 待求量为了获得更可靠的结果，测量次数总要多于未知参数的数目组合测量，指直接测量一组被测量的不同组合值，组合测量，指直接测量一组被测量的不同组合值，从它们相互所依赖的若干函数关系中，确定出各被从它们相互所依赖的若干函数关系中，确定出各被测量的最佳

6、估计值。测量的最佳估计值。 一、等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程 线性参数的残余误差方程为线性参数的残余误差方程为 )()()(2211222212122121211111tntnnnnttttxaxaxalvxaxaxalvxaxaxalvmin2222112nniivvvvnnnniittitiitiitnnnniititiiiinniinntitiiiilaxaxaaxaalaxaaxaxaalaxaaxaaxa111122211111122222112111111221121正规方程组可写为正规方程组可写为000221122221121221111nntttnnnnvavav

7、avavavavavava矩阵形式矩阵形式 00021212221212111nntttnnvvvaaaaaaaaa例例81在不同温度下测定铜棒的长度如下表，试估计在不同温度下测定铜棒的长度如下表，试估计0时的铜棒长度时的铜棒长度y0和铜的线膨胀系数和铜的线膨胀系数a。i123456ti102025304045li2000.362000.722000.802001.072001.482001.60解 测量铜棒长度的数学模型是yy0（1at）由此列出测量方程yiy0（1ati） （i1，2，6）可得残余误差方程viliy0（1ati） （i1，2，6）其中 li在温度ti下铜棒长度的测量值； a

8、铜的线膨胀系数。令y0a ，a y0b为待估计的两个参数，则残余误差方程可写为vili（atib） （i1，2，6）为了方便计算，将数据列表如下ititi22limmti li（mm）11010020003620003.622040020007240014.432562520008050020.043090020010760032.1540160020014880059.2645202520016090072.0170565012006.03340201.3根据残余误差方程，按式（根据残余误差方程，按式（822822）写出正规方程）写出正规方程61616126161iiiiiiltbtatlb

9、tna将表中计算出的正规方程的系数和常数代入正规方程，则有3 .340201565017003.120061706baba解之解之a1999.97（mm）b0.03654（mm）即即 y01999.97（mm）Cyb/0000183. 097.199903654. 00若按矩阵形式计算，则有若按矩阵形式计算，则有565017017066126161iiitttn0012. 0034. 0034. 013. 16161iiiltlCC1AT L于是可得于是可得 LACXT103654. 097.19993 .34020103.120060012. 0034. 0034. 013. 1ba 所以a

10、1999.97（mm）b0.03654（mm）即 y01999.97（mm） Cyb/0000183. 097.199903654. 00因此，铜棒长度因此，铜棒长度y随温度随温度t的线性变化的规律为的线性变化的规律为y1999.97（10.0000183t）mm二、不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程不等精度测量时线性参数的残余误差方程与等精度相同，不同之处在于进行不等精度测量线性参数最小二乘法处理时，要取加权残余误差平方和为最小，即 min2222211nnvwvwvw不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程nnnniitititii

11、itiiitinnnniiititiiiiiiinniiinntitiiiiiiilawxawxaawxaawlawxaawxawxaawlawxaawxaawxaw1111222111111222221121111112211210000000002121212222112111nnntttnnvvvwwwaaaaaaaaa线性测量方程组线性测量方程组线性测量方程组的一般形式为 1 1221tiiiittijjjya xa xa xa x1,2,in1tiijjijya xv测量残差方程组 含有随机误差Ax = yy - Ax = v矩阵形式111212122212ttnnntaaaaaaA

12、aaa12nyyyy12txxxx12nvvvvT() ()Miny - Axy - Ax最小二乘法原理式最小二乘法原理式 求导求导TTA Ax = A y正规方程组正规方程组 正规方程组解正规方程组解 1TxCA yTA ACT() w()Miny - Axy - AxwwTTAAx = Ay1(TTwwxAA) Ay不等权不等权正规方程组 不等精度测量线性参数最小二乘法处理时，要取加权残余误差平方和为最小，即为简化表达式，不妨令 将加权残余误差的平方和分别对各x1，x2，xt求偏导数，并令其等于零，即min2222211nnvwvwvw222221112nnniiivwvwvwvwZ000

13、21txZxZxZ上列各式的二阶偏导数恒正，即02121212niiawxZ02122222niiawxZ021222nititawxZ由此可知，加权残余误差的平方和222221112nnniiivwvwvwvwZ的极小值存在。而由一阶偏导数等于零所构成的线性方程组为nnnniitititiiitiiitinnnniiititiiiiiiinniiinntitiiiiiiilawxawxaawxaawlawxaawxawxaawlawxaawxaawxaw111122211111122222112111111221121（828） 线性方程组（线性方程组（828）称为不等精度测量线性参数最小二

14、）称为不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程。这是一个乘法处理的正规方程。这是一个t元线性方程组，在其系数元线性方程组，在其系数行列式不等于零时，有唯一确定的解。这一确定的解满足最行列式不等于零时，有唯一确定的解。这一确定的解满足最小二乘法原理式（小二乘法原理式（87）、是未知参数的最佳估计量。）、是未知参数的最佳估计量。线性方程组（线性方程组（828）在形式上有如下特征）在形式上有如下特征：1沿方程组主对角线上分布的项的系数niijiaw12（j1，2，t） 都是正数； 2以主对角线为轴对称分布的项的系数相等，如 niiiniiiaawaaw112121若不等精度测量数据若不等精度测量

15、数据l1，l2，ln的权分别为的权分别为w1，w2，wn，将不等精度测量的正规方程式（，将不等精度测量的正规方程式（828）单位权化，单位权化，即令即令trnilwlawaiiiiriir,2,1,2,1于是，不等精度测量的正规方程式（828）转化为nnnniittitiitiitnnnniititiiiinniinntitiiiilaxaxaaxaalaxaaxaxaalaxaaxaaxa111122211111122222112111111221121（829） 显然，正规方程式（829）在形式上与等精度测量的正规方程式（822）完全一样。把不等精度测量的正规方程（828）各式分别展开，整

16、理后可得 与式（823）类似的结果000222111222221121122121111nntnttnnnnnnvawvawvawvawvawvawvawvawvaw三、非线性参数最小二乘法处理的正规方程 一般情况下，若测量方程一般情况下，若测量方程 Yf（X1，X2，Xn）为非为非线性函数，则测量的残余误差方程线性函数，则测量的残余误差方程 ),(),(),(2121222222111111tnnnnnttxxxflylvxxxflylvxxxflylv可以按线性参数的情形列出正规方程并解出可以按线性参数的情形列出正规方程并解出r（r1，2，t），），进而求得相应的估计量进而求得相应的估计量

17、xr（r1，2，t）。）。)()()(2211222212122121211111tntnnnnttttaaalvaaalvaaalv四、最小二乘原理与算术平均值原理的关系 最小二乘法原理与算术平均值原理是一致的，算术最小二乘法原理与算术平均值原理是一致的，算术平均值原理可看成最小二乘法原理的特例平均值原理可看成最小二乘法原理的特例 第三节 不确定度评定一、测量数据的不确定度评定一、测量数据的不确定度评定（一）等精度测量数据的不确定度评定（一）等精度测量数据的不确定度评定根据根据2分布的性质，有分布的性质，有 tnvEni212212ntnnvEninvsni12221212tnvEtnnnv

18、Eninitnvsni122tnvsni12（二）不等精度测量数据的不确定度评定（二）不等精度测量数据的不确定度评定测量数据的单位权方差的无偏估计为单位权实验方差测量数据的单位权方差的无偏估计为单位权实验方差tnvwsnii122tnvwsnii12二、最小二乘估计量的不确定度评定 设有正规方程设有正规方程 nnnniittitiitiitnnnniititiiiinniinntitiiiilaxaxaaxaalaxaaxaxaalaxaaxaaxa111122211111122222112111111221121nnnniitttittiittiittnnnniititiiiinniinnt

19、itiiiiladxadxaadxaadladxaadxadxaadladxaadxaadxad11111212211111111212212222121121211111111112211112111 1 2 nnnittiitiitnnnititiiinnnititiiiadaadaadaadadaadaadaadad1112121211111121221212111111121122111001nnnittiitiitnnnititiiinnnititiiiadaadaadaadadaadaadaadad1112222212111122222212211111221222121010对不

20、等精度测量可参照此步骤进行对不等精度测量可参照此步骤进行nnnitttiittiittnnnitittitiitnnnitittiititadaadaadaadadaadaadaadad1112221111122221211111212211100第四节 组合测量数据的最小二乘法处理 组合测量是通过直接测量待测参数的估计量（一般采用等组合测量是通过直接测量待测参数的估计量（一般采用等精度测量），然后对这些数据进行处理，从而求得待测参精度测量），然后对这些数据进行处理，从而求得待测参数的估计量，并给出其不确定度。一般地，组合测量数据数的估计量，并给出其不确定度。一般地，组合测量数据用最小二乘法进

21、行处理，这是最小二乘法在精密测量中的用最小二乘法进行处理，这是最小二乘法在精密测量中的一种重要应用。一种重要应用。 要求检定丝纹尺要求检定丝纹尺0 0，1 1，2 2，3 3刻线间的距离刻线间的距离。已知用组合测量法测得图所示刻线间隙的各种。已知用组合测量法测得图所示刻线间隙的各种组合量。试用最小二乘法求及其标准偏差。组合量。试用最小二乘法求及其标准偏差。 123,x x x123,x x x11.015L 20.985L 31.020L 42.016L 51.981L 63.032L 0123xxx123LLLLLL123456例题计算步骤【解】【解】列出测量残差方程组列出测量残差方程组 L

22、- Ax = v1.01250.9851.0202.0161.9813.302L100010001110011111A123456vvvvvvv1112223334412552366123vLxvLxvLxvLxxvLxxvLxxx解出11TTTxC A LA AA L10.5000.25000.2500.5000.25000.2500.500C 1.0150.9851001016.0631.020010111 8.0142.016001011 6.0331.9813.032TA L0.5000.25006.0631.0280.2500.5000.250 8.014 0.98300.2500.

23、500 6.033 1.013x 1231.028,0.983,1.013xxx即计算结果计算结果代入残差方程组可得 11122233344125523661231.015 1.0280.0130.9850.9830.0021.020 1.0130.0072.016(1.0280.983)0.0051.981 (0.983 1.013)0.0153.032(1.0280.983 1.013)0.008vLxvLxvLxvLxxvLxxvLxxx 2222221234560.000536vvvvvv估计的标准差 0.0005360.01363s 1110.010 xs d 2220.010 xs

24、 d 3330.010 xs d 估计的标准差估计的标准差 组合测量的概念：组合测量的概念：组合测量是指直接测量各被测量的组合量，将组合量的测得组合测量是指直接测量各被测量的组合量，将组合量的测得值和对应的组合量一一列出方程，然后通过解测量方程组得值和对应的组合量一一列出方程，然后通过解测量方程组得到各被测量的量值，并给出其不确定度。到各被测量的量值，并给出其不确定度。组合测量数据用最小二乘法进行处理，这是最小二乘法在精组合测量数据用最小二乘法进行处理，这是最小二乘法在精密测量中的一种重要应用。密测量中的一种重要应用。组合测量既可提高测量的准确度，又可减少测量的工作量，组合测量既可提高测量的准

25、确度，又可减少测量的工作量，常用于精密测试和计量检定之中常用于精密测试和计量检定之中用组合测量检定三段刻线间距，求检定结果用组合测量检定三段刻线间距，求检定结果。如图如图81所示，要求检定所示，要求检定A、B、C、D间的距离间的距离x1、x2、x3。x3ABCDx1x2l3l1l2l6l4l5 图81 图82 直接测量刻线间距的各种组合量（见图82），得到如下测量数据：l11.015mml20.985mml31.020mml42.016mml51.981mml63.032mm列出残差方程3216632552144333222111xxxlvxxlvxxlvxlvxlvxlv则正规方程为nnnniiiiiiinnnniiiiiiinnnniiiiiiiilaxaxaaxaalaxaaxaxaalaxaaxaaxa111133232231131111233222211211111331221121iai1ai2ai3liai12ai1 ai2ai1 ai3ai1 liai22ai2 ai3ai2 liai32ai3 li11001.0151001.0150000020100.9850000100.9850030011.020000000011.02041102.0161102.016102.0160050111.981