误差理论与测量平差第二章PPT

1、 2.1 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 一、数学期望 是描述随机变量的数字特征之一.在处理带有偶然误差的观测值时，是用数学期望表示其真值的,在以后的公式推导中经常要用到它，因此，首先介绍数学期望的定义和运算公式。其定义是： 这里 是随机变量 的密度函数若已知随机变量的数学期望求其函数的数学期望，称为数学期望的传播，计算公式如下：)(xfX 1. 设C为一常数，则 2. 设C为一常数，X是一个随机变量，则 3. 设有随机变量X和Y，则 4. 设有随机变量X和Y相互独立，即 ，则CCE)()()(XCECXE)()()(YEXEYXE)()(),(21yfxfyxf)()()()(),()

2、(21YEXEydyyfxdxxfdxdyyxxyfYXE )(E)(E)(E),(E2121nnXXXXXX方差主要性质如下：），则的方差为记随机变量)X(X)(D(X)D(XXEXEXE 1. 设C为一常数，则 2. 设C为一常数，X是一个随机变量，则 3.D(X)=E(X2)-E(x)2 4. 设有随机变量X和Y相互独立，则0)(DC)(D2)(DXCCX )(D)(D)(DYXYX)(D)(D)(D)(D2121nnXXXXXX三、 协方差 协方差是用数学期望来定义的。设有观测值X和Y，它们的协方差定义是： （1-5-1） （1-5-2） 式中： 和 分别是X和 Y 的真误差。 设 是

3、 观测值的真误差， 是 观测值的真误差，而 协方差则是这两种真误差所有可能取值的乘积的理论平均值，即 实用上n总是有限值，所以也只能求得它的估值，记为 （1-5-3） )()(YEYXEXExy)(yxxyEXXEx)(YYEy)(ixixiyiyxy)(1limlim2211nnyxyxyxnyxnxynnnyxxy 四、相关系数 由式（1-5-1）得： 当X和Y相互独立时： 当X和Y相互独立时，X和Y的协方差为零。但是，逆命题却不一定成立，即协方差为零并不意味着X和Y相互独立。只有当X和Y服从联合正态分布时，协方差为零才是相互独立的充分条件。因此，对于服从正态分布的观测值，协方差为零和相互

4、独立是等价条件。)()()()()()(YEXEYXEYXEXYEYEYXEXExy)()()(YEXEXYE0)()()()(YEXEYEXExy 概率论中的正态分布是误差理论与测量平概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。差基础中随机变量的基本分布。 一、一维正态分布一、一维正态分布 任何一个被观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数值。这一数值就称为该观测量的真值。通常用 表示真值。设进行了n次观测，各观测值为L1、 L2、Ln，真值为 ，每一个观测值的真值与观测值之间必存在一个差数，称为真误差，即： (1-3-1）iiiLL LnLL、L21， （1-3

5、-2）TnnLLLL.211 ,TnnLLLL.211 ,Tnn.211 ,LLELL)( 前面已经指出，就单个偶然误差而言，其大小或符号没有规律性，即呈现出一种偶然性（或随机性）。但就其总体而言，却呈现出一定的统计规律性。并且指出它是服从正态分布的随机变量。人们从无数的测量实践中发现，在相同的观测条件下，大量偶然误差的分布也确实表现出了一定的统计规律性。下面用一个实例来说明。在相同的条件下，独立地观测了358个三角形的全部内角，由于观测值带有偶然误差，故三内角观测值之和不等于其真值180。各个三角形内角和的真误差：iiLLL)(180321 ， dnvi/ivnvi/dnvi/d误 差 的区

6、间 为 负 值 为 正 值备注个数vi频率vi/n个数频率0.00-0.200.20-0.400.40-0.600.60-0.800.80-1.001.00-1.201.20-1.401.40-1.601.60以上4540332317136400.1260.1120.0920.0640.0470.0360.0170.0110.0000.0630.5600.4600.3200.2350.1800.0850.0550.0004641332116135200.1280.1150.0920.0590.0450.0360.0140.0060.0000.0640.5750.4600.2950.2250.1

7、800.0700.0300.000 =0.02等 于 区间 左 端值 的 误差 算 入该 区 间内。和1810.505 1770.495 1.在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零。2.绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大。3.绝对值相等的正负误差出现的概率相同。4.偶然误差的数学期望为零，即： 0)()()()(LELELLEEE 表格法：见上页 直方图：以横坐标表示误差的大小，纵坐标代表各区间内误差出现的频率除以区间的间隔值，每一误差区间上的长方条面积就代表误差出现在该区间内的频率。 1.误差分布曲线：在n无限大时，如果把误差区

8、间间隔无限缩小，左图中各长方条顶边所形成的折线将变成右图所示的光滑曲线。这种曲线也就是误差的概率分布曲线，或称为误差分布曲线。 式中 为中误差。当上式中的参数确定后，即可画出它所对应的误差分布曲线。由于 ，所以该曲线是以横坐标为0处的纵轴为对称轴。当 不同时，曲线的位置不变，但分布曲线的形状将发生变化。偶然误差是服从 分布的随机变量。22221)(ef0)(E), 0(2N小 结观测值都是含有误差的，测量误差分为系统误差和偶然误差，除此之外还有粗差；测量平差所处理的观测值是仅含有偶然误差的观测值；偶然误差服从正态分布，且具有四个规律特性；测量平差的两大任务：，偶然误差的数学期望（真值）为零。预

9、 习 2-3 2-3 衡量精度的指标衡量精度的指标 1.1.2-4 2-4 精度、准确度与精确度精度、准确度与精确度作 业无上节内容回顾观测值都是含有误差的，测量误差分为系统误差和偶然误差，除此之外还有粗差；测量平差所处理的观测值是仅含有偶然误差的观测值；偶然误差服从正态分布，且具有四个规律特性；测量平差的两大任务：，偶然误差的数学期望（真值）为零。：精度就是指误差分布的密集或离散的程度。 误差分布相同，观测成果的精度相同；反之，若误差分布不同，则精度也就不同。 从直方图来看，精度高，则误差分布较为密集，图形在纵轴附近的顶峰则较高，且由长方形所构成的阶梯比较陡峭；精度低，则误差分布较为分散，在

10、纵轴附近顶峰则较低，且其阶梯较为平缓。这个性质同样反映在误差分布曲线的形态上。 为了衡量观测值的精度高低，可以按上节的方法，把在一组相同条件下得到的误差，用组成误差分布表、绘制直方图或画出误差分布曲线的方法来比较。在实用上，是衡量精度的指标有很多种，下面介绍几种常用的精度指标。 误差误差的概率密度函数为：的概率密度函数为：方差定义：方差定义： 就是就是：正态分布曲线具有两个拐点，它们在横轴上的坐标为，：正态分布曲线具有两个拐点，它们在横轴上的坐标为， ，对于偶然误差，拐点在横轴上对于偶然误差，拐点在横轴上 ，其大小可以反映精度的高低，所以常用中误，其大小可以反映精度的高低，所以常用中误差作为衡

11、量精度的指标。差作为衡量精度的指标。对于离散型：对于离散型：方差和中误差的估值：方差和中误差的估值： 22221)(ef222)()()(EEDdfED)()()(222)(2E拐nEnlim)(2nnlimn2nxX拐22221n平均误差平均误差 在一定的观测条件下，一组独立偶然误差绝对值的数学期望称为。以 表示 。 平均误差与中误差的关系：所以 也可以作为衡量精度的指标。 dfE)()( nnlim n547979. 0245253. 12随机变量随机变量X X落入区间（落入区间（a,b)a,b)内的概率为：内的概率为：对于偶然误差，误差对于偶然误差，误差落入区间落入区间(a,b)(a,b

12、)的概率为：的概率为：误差出现在误差出现在 之间的概率等于之间的概率等于 ，即，即 与中误差的关系：与中误差的关系：3.3. 实用上只能得到的将相同观测条件下得到的一组误差，按绝对值的大小排列，当为奇数时，取位于中间的一个误差值作为，当为偶数时，则取中间两个误差值的平均值作为。在实用上，通常都是先求出中误差的估值，然后关系式求出或然误差。 badxxfbXaP)()(badfbaP)()(),(2121)(df326745. 0234826. 1 ),()2,2()3,3(%7 .99)33(%5 .95)22(%3 .68)(PPP3限限%7 .99)3(%5 .95)2(%3 .68)(P

13、PP 对于某些长度元素的观测结果，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的好坏 。，它是中误差与观测值之比 。在测量中一般将分子化为1，用 表示。 例1-1 观测了两段距离，分别为1000m2cm和500m2cm。问：这两段距离的真误差是否相等？中误差是否相等？它们的相对精度是否相同？解：这两段距离的真误差不相等。这两段距离中误差是相等，均为2cm。它们的相对精度不相同，前一段距离的相对中误差为2/100000=1/50000，后一段距离的相对中误差为2/50000=1/25000。第一条边精度高。角度元素没有相对精度。 N1 一、精度 精度是指误差分布的密集或离散的程度。 根据中误差定义，精度

14、也表示观测结果与其数学期望的接近程度。当观测仅含有偶然误差时，其数学期望就是真值。既精度描述了观测序列与真实值的接近程度，表征了观测结果的偶然误差大小程度，是衡量偶然误差大小程度的指标。 精度的概念也适用于多位分布，对于多位随机变量，精度的指标就是方差-协方差阵。 1、协方差的定义和概念、协方差的定义和概念(1) 协方差 协方差是用数学期望来定义的。设有观测值X和Y，它们的协方差定义是： （1-5-1） （1-5-2） 式中： 和 分别是X和 Y 的真误差。 设 是 观测值的真误差， 是 观测值的真误差，而 协方差则是这两种真误差所有可能取值的乘积的理论平均值，即 实用上n总是有限值，所以也只

15、能求得它的估值，记为 （1-5-3） )()(YEYXEXExy)(yxxyEXXEx)(YYEy)(ixixiyiyxy)(1limlim2211nnyxyxyxnyxnxynnnyxxy (2)相关 由式（1-5-1）得： 当X和Y相互独立时： 当X和Y相互独立时，X和Y的协方差为零。但是，逆命题却不一定成立，即协方差为零并不意味着X和Y相互独立。只有当X和Y服从联合正态分布时，协方差为零才是相互独立的充分条件。因此，对于服从正态分布的观测值，协方差为零和相互独立是等价条件。)()()()()()(YEXEYXEYXEXYEYEYXEXExy)()()(YEXEXYE0)()()()(YE

16、XEYEXExy 如果协方差为零，表示这两个（或两组）观测值的误差之间互不影响，或者说，它们的误差是不相关的，并称这些观测值为不相关观测值；如果协方差不为零，则表示它们的误差之间是相关的，称这些观测值是相关观测值。由于在测量上所涉及的观测值和观测误差都是服从正态分布的随机变量，对于正态随机变量而言，“不相关”与“独立”是等价的，所以把不相关观测值也称为独立观测值，同样把相关观测值也称为不独立观测值。 在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、角度、方向和三角高程测量求得的高差等，都认为是独立观测值。一般来说，独立观测值的各个函数之间是不独立的，或者说是相关的，因而它们是相关观测值。例如，当一个测

17、站上的水平方向观测值是独立观测值时，由这些方向值所算得的相邻角度就是相关观测值；又如，三角网或导线网中根据观测角度和边长求得的各点的坐标也是相关观测值。 通过变换将随机变量标准化，则两个标准化变量乘积的数学期望就是一个无量纲的数，称之为相关系数： （1-5-4）由于 和 为正，所以 的正负取决于 的正负。 大于零称为正相关， 小于零称为负相关， 等于零称为不相关。可以证明， 的绝对值不大于1。yxxyyxxyYEYXEXE)()()(xyxyxyxyxyxyxy 假定有n个不同精度的相关观测值 ( ) 下同），它们的数学期望和方差分别为 ，它们两两之间的协方差为 ,用矩阵表示为: (1-5-5

18、) 式中X为观测值向量，简称为观测值； 为X的数学期望； 为观测值 TnxxxX.21)(.21XETxxxXnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxTXXXXXXED2222122121211)()(XEXXXDixni, 2 , 1ix2ixjixx)(ji 向量X的方差-协方差阵，简称为协方差阵。 设有观测值向量 和 ,它们的数学期望分别为 和 。 令： ；则的方差阵为： 式中和分别为X和Y的协方差阵，是X关于Y的互协方差阵。 （1-5-6） （1-5-7） 当X和Y的维数 时，即X、Y都是一个观测值，互协方差阵就是X关于Y的协方差。当 时，则称X与Y是相互独立的观测值向量。1,nX1

19、,rY1 ,nX1,rYYXZYYYXXYXXZZDDDDDrnnnrryxyxyxyxxxyxyxyxyxXYD212221212111YXTTYXXYDYXED)(1 rn0XYD 二、准确度 概念：又名准度，是指随机变量X的真值与其数学期望E（X）之差 三、精确度 概念：是精度与准确度的合成，是指观测结果与其真值的接近程度，包括观测结果与其数学期望接近程度与其真值的偏差。因此，精确度反应了偶然误差和系统误差联合影响的大小程度。 当观测值不存在系统误差时，精确度即精度，精确度是一个全面衡量观测质量的指标。 衡量精确度的指标为均方误差。例如，图中A和B为已知点，为了确定P的平面坐标，观测了边

20、长s和角度。P点坐标为：式中： 现在的问题是在已知观测边长s和角度的方差和协方差条件下，如何计算P点坐标的方差和协方差。 BPBPsxxcosBPBPsyysin360BABP)arctan(BABABAxxyy 1协方差协方差是用数学期望来定义的。设有观测值向量X和Y，它们的协方差定义是： 2. 相关如果协方差为零，表示这两个（或两组）观测值的误差之间是不相关的，并称这些观测值为不相关观测值；如果协方差不为零，则表示它们的误差之间是相关的，称这些观测值是相关观测值。由于在测量上所涉及的观测值和观测误差都是服从正态分布的随机变量， “不相关”与“独立”是等价的，所以把不相关观测值也称为独立观测

21、值，同样把相关观测值也称为不独立观测值。 )()(YEYXEXExy)(yxxyE)(1limlim2211nnyxyxyxnyxnxynnnyxxy3. 方差-协方差阵假定有 个不同精度的相关观测值 ，数学期望和方差分别为 和 ，它们两两之间的协方差为 ,用矩阵表示为: 为观测值向量的方差-协方差阵，简称为。 nixix2ixjixx)(ji ，TnnxxxxxxX.2121)(.21XETxxxXnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxTXXXXXXED2222122121211)(XXD3. 方差-协方差阵设有观测值向量 和 ，它们的数学期望分别为 和 。令： ；则 的方差阵为： 是X

22、关于Y的。 和 1,nX1,rY1 ,nX1 , rYYXZZZZDYYYXXYXXZZDDDDDXYDrnnnrryxyxyxyxxxyxyxyxyxXYD212221212111YXTTYXXYDYXED)( XXXXD2212222111212212121),()()()(,nnnnnXXnnXnDXEXEXEXEXXXX02211kXkXkXkZnn .21nkkkK 1 , 101 , 11 , 1kXKZnn000)()()(kKkXKEkKXEZEXTZZZEZZEZED)()(TXXkKkKXkKkKXE)(0000TTXXKXXKE)(TTXXKXXKE)(TXXZZZKKD

23、D2 的纯量形式： 当向量中的各分量 两两独立时 线性函数的协方差传播律叙述为：设有函数： 则： ZZD133112212222222121222kkkkkkkDnnZZZnnnnnnkkkk, 111122), 2 , 1(niXi22222221212nnZZZkkkD0KKXZTXXZZKKDD例例1-2 1-2 在在1 1：500500的图上，量得某两点间的距离的图上，量得某两点间的距离 =23.4mm,d=23.4mm,d的量的量测中的误差测中的误差 = =0.2mm0.2mm，求该两点实地距离，求该两点实地距离 及中误差及中误差 。解：解： 最后写成最后写成: : ddSSmmmd

24、S7 .11117004 .23500500222500dsmmmdS1 . 0100)2 . 0(5005001 . 07 .11Sm 1 ,nX1 ,rYnXXXX21)()()(2121nXXXXXEXEXEn2222122121211nnnnnXXXXXXXXXXXXXXXXXDrYYYY21)()()(2121rYYYYYEYEYEr2222122121211rrrrrYYYYYYYYYYYYYYYYYDrnnnrrYXYXYXYXYXYXYXYXYXXYD212221212111TXYYXDD 0221120222212121012121111tntntttnnnnkXkXkXkZ

25、kXkXkXkZkXkXkXkZttZZZZ211 ,tnttnnntkkkkkkkkkK212222111211,020101 ,0ttkkkK1 ,01 ,1 ,tnnttKXKZ 00)()(KKKKXEZEx)()(,TttZZZEZZEZED)(TxxKKXKKXETTxxKXXKE)(tnTnnXXntttZZKDKD,函数：函数的协方差阵：1 ,01 ,1 ,tnnttKXKZtnTnnXXntttZZKDKD,1 ,01 ,1 ,tnnttKXKZ 0221120222212121012121111srsrsssrrrrfYfYfYfWfYfYfYfWfYfYfYfWssWWW

26、W211 ,srssrrrsfffffffffF212222111211,020101 ,0ssfffF0FFYW0)(FFWEysrTrrYYrsssWWFDFD,)()(TZWWEWZEZEDsrTrnXYntFDK,.)()(TWZZEZWEWEDtnTnrYXrsKDF,.（1）计算 、 、 0KKXZ0FFYWWZSFYKXRXXXDYYDYXYDTXYYXDDK0KF0FZZDWWDWZDSSDRRDZXDZYDZZDWWDWZDTXXZZKKDDTYYWWFFDDTXYZWFKDDTZWWZDD SSDTYYTYXTXYTXXWWWZZWZZSSFFDKFDFKDKKDDDDDD

27、RRDYXFKFYKXRTYYTYXTXYTXXTTYYYXXYXXRRFFDKFDFKDKKDFKDDDDFKDZXD0KKXZIXX IXXTXXZXKDIKDD ZYD0KKXZIYY XYTXYZYKDIKDD0000KYXKKKXZYXIY0XYXYXXYYYXXYXXZYKDIKDKDIDDDDKD000小 结精度的概念衡量精度的指标：方差和中误差、平均误差、或然误差、极限误差、相对中误差。协方差传播律：00FFYWKKXZTXYZWTYXWZTYYWWTXXZZKDFDFKDDFDFDKKDD预 习 3-1 3-1 协方差传播律的应用协方差传播律的应用( (非线非线性函数情况性函

28、数情况) )1. 看有关例题作 业1.3小 结协方差传播律：00FFYWKKXZTXYZWTYXWZTYYWWTXXZZKDFDFKDDFDFDKKDD00FFXWKKXZTXXZWTXXWZTXXWWTXXZZKDFDFKDDFDFDKKDD ),(21nXXXfZ1nXXXDZZDTnnXXXX002011 ,0)()(),(0110100201XXXfXXXfZn二次以上项）()()()()(0002202nnnXXXfXXXf0020121)()()(nnXfXfXfkkkK01002010),(iniinXkXXXfk002211kKXkXkXkXkZnnTXXZZKKDD00201

29、0210,)(), 2 , 1(nTniiiXXXfZZZdZdXdXdXdXniXXdXKdXdXXfdXXfdXXfdZnn0202101)()()(TXXZZKKDD ),(),(),(2121222111nttnnXXXfZXXXfZXXXfZnnttttnnnndXXfdXXfdXXfdZdXXfdXXfdXXfdZdXXfdXXfdXXfdZ02021010220221012201202110111)()()()()()()()()(ttZZZZ211 ,ttdZdZdZdZ211 ,00201022201201021011,)()()()()()()()()(ntttnnntXf

30、XfXfXfXfXfXfXfXfKKdXdZ TXXZZKKDD1nX aabb0ababs dbdaabadbbdads2222222babbaabasabababbaslnlnlnbdbadasdsdbdaabadbbdads2222222babbaabasababab 设： ， 和 的方差为零， 的方差为 ， 的方差为 ，且计算 ？解： )cos(BABPsxx)sin(BABPsyyBxByBAs2s20sPPPPyxyx,22ddsssdydxBABABABAPP/ )cos()sin(/ )sin()cos(222200)cos()sin()sin()cos(sBABABABAYX

31、YYXXssPPPPPP)cos()sin()sin()cos(BABABABAss22222)sin()(cos(BAsBAXsP22222)cos()(sin(BAsBAYsP2222)cos()sin()sin()cos(BABAsBABAYXsPP是用于角度与弧度的换算。如果 以弧度为单位，则该项不需要。 通常以秒为单位，则 。 在测量工作中，常用来衡量点的精度，点位方差等于该点在两个互相垂直方向上的方差之和，即： 通常 称为纵向方差，它是由边长BP方差引起的。在BP边的垂直方向的方差 称为横向方差，它是由边的坐标方位角的方差引起的。点位方差也可由和来计算。即： )(8 .206264

32、)(3438)(29578.571800秒分度dd206265222PPYXP22222ssp2222su2S2u222uSp1.按要求写出函数式，如： 或：2.如果为非线性函数，则对函数式求全微分，得： 3.写成矩阵形式： 4.应用协方差传播律求方差或协方差阵。 ), 2 , 1(),(21tiXXXfZniinniiiidXXfdXXfdXXfdZ0202101)()()(), 2 , 1(tiKXZ KdXdZ TXXZZKKDD 经个N测站测定两水准点A、B间的高差，其中第i(i=1,2N)站的观测高差为解：A、B两水准点间的高差为：设：各测站观测高差是精度相同的独立观测值，其中误差均

33、为 ，。应用协方差传播律，得设：若水准路线敷设在平坦的地区，前后量测站间的距离s大致相等，设A、B间的距离为S，则测站数N=S/s，代入上式得：如果S=1km，s以km为单位，则一公里的测站数为：而一公里观测高差的中误差即为：所以，距离为S公里的A、B两点的观测高差的中误差为： 可见，当各测站高差的观测精度相同时，水准测量高差的中误差与测站数的平方根成正比；当各测站的距离大致相等时，水准测量高差的中误差与距离的平方根成正比。 ihNABhhhh21站22222站站站站NABh站NABh站sSABhsN1公里站公里s1公里SABh 设对某量以同精度独立观测了N次，得观测值 ，它们的中误差均等于

34、。求N个观测值的算术平均值的中误差。解：应用协方差传播律得： 即：N个同精度独立观测值的算术平均值的中误差，等于各观测值的中误差除以 。 NLLL、21 NLNLNLNNLx11121，NNNNx22222222111NxN 一个观测结果同时受到许多独立误差的联合影响。在这种情况下，观测结果的真误差是各个独立误差的代数和，即由于这里的真误差是相互独立的，各种误差的出现都是随机的，因而也可由（3-1-12）并顾及 得出它们之间的方差关系式 即观测结果的方差 ，等于各独立误差所对应的方差之和。 nZ210ij222212nZ2Z协方差传播律小 结线性函数：2. 非线性函数 只需对函数全微分，然后按

35、协方差传播律计算即可。00FFYWKKXZTXYZWTYXWZTYYWWTXXZZKDFDFKDDFDFDKKDD),(21nXXXfZKdXdXXfdXXfdXXfdZnn0202101)()()(TXXZZKKDD预 习 3-3 3-3 权与定权的常用方法权与定权的常用方法作 业1.2 1.3 1.4 1.5 1.61 1. .权的定义式权的定义式表示各观测值方差之间比例关系的数字特征称之为权。 设有观测值 ，它们的方差为 ，选定任一常 数 ，定义观测值 的权为：由权的定义知，观测值的权与其方差成反比。即方差愈小，其权愈大，或者说，精度愈高，其权愈大。因此，权同样可以作为比较观测值之间的精

36、度高低的一种指标。 niLi，212ini，210iL220iip1选定了一个 值，即有一组对应的权。或者说，有一组权，必有一个对应的 值。2一组观测值的权，其大小是随 的不同而异，但不论 选用何值，权之间的比例关系始终不变。3为了使权能起到比较精度高低的作用，在同一问题中只能选定一个 值，否则就破坏了权之间的比例关系。4事先给出一定的条件，就可以确定出观测值的权的数值。5权是用来比较各观测值相互之间精度高低的，权的意义不在于它们本身数值的大小，重要的是它们之间所存在的比例关系。下面通过一个例子来了解这些性质： 2020202020观测高差：水准路线长度：设每公里观测值高差的方差为各水准路线的

37、方差为： 4321hhhh、kmS0 . 11kmS0 . 22kmS0 . 43kmS0 . 842公里2424232322222121,公里公里公里公里SSSS2120125. 0,25. 0,50. 0,00. 14321pppp242000. 1,00. 2,00. 4,00. 84321pppp222212202220212021111nnnppp：平差计算之前，精度的绝对数字特征（方差）往往是不知道的，而精度的相对的数字特征（权）却可以根据事先给定的条件予以确定，然后根据平差的结果估算出表示精度的绝对的数字特征（方差）。 权等于1的观测值称为单位权观测值。 权等于1的观测值的方差称

38、为单位权方差。即： 是单位权方差，也称为方差因子。 权等于1的观测值的中误差称为单位权中误差。即： 是。 同类观测值： 权是无量纲，无单位；不同类观测值：权是有单位的。例如：边角网中：设测角中误差单位为“秒”；测边中误差单位为“mm”若 单位取秒，则角度的权无单位，边长的权的单位为：若 单位取mm，则边长的权无单位，角度的权的单位： 200022/mm秒022/秒mmiiiipp202220，知由1.距离观测值的权（1）设单位长度（例如一公里）的距离观测值的方差为 ，则全长为S公里的距离观测值的方差为 取长度为C公里的距离观测值方差为单位权方差，即： 则距离观测值的权为： （2）设长度为S公里

39、的距离观测值的方差为 ， 和 分别为测距固定误差和比例误差。取单位权方差 则距离观测值的权为： 2SS22C220SCpSS2202)(bSa abC202)(bSaCpS2. 水准测量的权（1）设每公里的观测高差的方差均相等，均为 ；第i条水准线路的观测高差为 ，长度为 公里则第i条水准线路（观测高差）的方差为： 取线路长度为C公里的观测高差的方差为单位权方差： 则线路长度为 公里的观测高差的权为：（2）设每一测站观测高差的精度相同，其方差均为 ；第i条水准线路的观测高差为 ，测站数为 ,则第i条水准线路（观测高差）的方差为：取测站数为C的高差观测值为单位权方差： 则第i条水准线路（观测高差

40、）的权为： 2站iNihiiN22站C220站iiiNCNCp22站站2公里ihiSiiS22公里C220公里iSiiSSCSCpi22公里公里3.同精度观测值的算术平均值的权设有 它们分别是 次同精度观测值的平均值，若每次观测的方差均为 ，则 的方差为： 取：则算术平均值 的权 为： nLLL，21nNNN，212iLiiN22C220iLipCNpiii2204边角网中方向观测值和边长观测值的权边角网中有两类不同量纲的观测值：方向（或角度）和边长。设方向观测值 的方差为 （ ），边长观测值 的方差为 （ 、 或 ）取：则方向观测值 的权 ： （无单位）。边长观测值 的权 ,.)2 , 1(

41、 iLi22秒,.)2 , 1(jSj22)(jSbSaj2毫米2厘米2分米220iL1ipjS22)(jjbSap22毫米秒在测量工作中，一般是先根据事先给定的条件，按上述方法确定观测值权，然后进行平差，再根据权的定义式的变形公式，来求观测值或其他函数的中误差。权的变形公式：该公式不仅适合于观测值，同时也适合于观测值的函数。 iiiipp202220，知由1.协因数设有观测值 和 ， 称 为的 协因数或权倒数，它们的权分别为 和 ， 为的 协因数或权倒数，它们的方差分别为 和 ， 为 关于 的协因数或相关权倒数它们之间的协方差为 ，单位权方差为 。令： iLjLipjp2i2jij20202

42、02202,1,1ijijjjjjiiiiQpQpQiiQiLjjQjLijQiLjL协因数与权成反比，因此，也可作为衡量精度的相对指标。 当 =0，说明两观测值独立（不相关）。ijQ2.协因数阵设有观测值向量X和Y，它们的方差阵分别为 和 ， 关于 的互协方差阵为单位权方差为令：称 为 的协因数阵， 为Y的协因数阵， 为X关于Y的互协因数阵。 nnXXD,rrYYD,rnXYD,20XYrnXYYYrrYYXXnnXXDQDQDQ20,20,20,1,1,1XXQYYQYYXYQ协因数阵 中的主对角线元素就是各个 的权倒数，它的非主对角线元素是 关于 的相关权倒数； 中的元素就是 关于Yj的

43、相关权倒数。 也称为X的权逆阵， 为 的Y权逆阵， 为X关于Y的相关权逆阵。当 说明X与Y相互独立（不相关）XYYQXXQiXiXXYQiXXXQXYQ0TYXXYQQjX3.权阵设有独立观测值 ，其方差为 ，权为 ，单位权方差为 。X的协因数阵为： =则有： ）（niXi, 2 , 12iipnnXXXX211 ,22221,0000000nnnXXDnnnXXPPPP00000021,202202220212000000001nXXXXDQnppp101000121IQPQPXXXXXXXX120 称为 的权阵。当 是对角阵时，权阵 的主对角线元素就是 的权；当 是非对角阵时，权阵的主对角

44、线元素不再是 的权了，权阵的各个元素也不再有权的意义了。但是，相关观测值向量的权阵 在平差计算中，也能同样起到同独立观测值向量的权阵一样的作用。XXPXXXQXXPiXXXPXXQiX设有观测值向量 和 的线性函数根据协方差传播律：顾及协方差阵与协因数阵的关系 XY00FFYWKKXZTXYZWTYXWZTYYWWTXXZZKDFDFKDDFDFDKKDD化简得：上式称为。协方差传播律与协因数传播律联合称为广义传播律。TXYTXYZWTYXTYXWZTYYTYYWWTXXTXXZZKFQKQFQFQKFQKQFFQFQFQKQKKQKQ202020202020202020202020TXYZWTYXWZTYYWWTXXZZKFQQFQKQFFQQKQKQQD20如果Z和W的各个分量是X和Y的非线性函数 线性化： ),(),(),(,),(),(),(21212211212121221121rWrrWrWrnZtnZnZtYYYfYYYfYYYfWWWWXXXfXXXfXXXfZZZZFdYdWKdXdZnZtZtZtnZZZnZZZXfXfXfXfXfXfXfXfXfK212221212111rWrWrWrrWWWrWWWYfYfYfYfYfYfYfYfYfF212221212111TXYZWTYXWZTYYWWTXXZZKFQQFQKQFFQQKQKQ对于独立观测值 ，假