现代控制理论薛安克版第10章习题答案

1、 Institute of Systems Science and Control Engineering，Hangzhou Dianzi University10-1，10-2，10-3，10-4知识点 极点配置的设计步骤：1)标准算法（书上步骤） 1.判断受控系统的可控性。如果状态完全可控，继续下一步，否则，此系统不可实现极点的任意配置；2.从矩阵的特征多项式：，确定系数；3.求取使系统化为可控标准型的线性非奇异变换矩阵，其中为的最后一行，如果已经为可控标准型，则。4.期望的特征多项式：5.按照求取状态反馈增益矩阵。2)解联立方程法（例题步骤） 1.判断受控系统的可控性。如果状态完全可控，

2、继续下一步，否则，此系统不可实现极点的任意配置；2.设状态反馈增益矩阵为。3.引入之后，系统的特征多项式为：4.期望的特征多项式：5.联立方程得出。10-1. (1)由给定的传递函数 无零、极点相消，知系统可控，可实现极点任意配置，采用可控标准型的实现形式为：方法一：1.矩阵的特征多项式：2.由题知，系统已经为可控标准型，则。3.由期望的闭环极点可以得到，系统的期望特征多项式为：4.则系统的状态反馈增益矩阵为：方法二： 1.设，引入状态反馈后，系统的特征多项式为： 2.由期望的闭环极点可以得到，系统的期望特征多项式为： 3.对应系数相等，可得 即 （2）同（1） ， 系统可控，可实现极点任意配

3、置 采用可控标准型实现： 方法一：1.矩阵的特征多项式：2.由题知，系统已经为可控标准型，则。3.由期望的闭环极点可以得到，系统的期望特征多项式为：4.则系统的状态反馈增益矩阵为：方法二：1.设，引入状态反馈后，系统的特征多项式为： 2.由期望的闭环极点可以得到，系统的期望特征多项式为： 3.对应系数相等，可得 即 10-2.由题知，期望的状态反馈系统的闭环特征多项式为： （1） 由原系统的传递函数：方法二： 1.无零、极点相消，系统可控，可采用状态反馈达到期望的性能指标。 可控标准型的实现形式： 2.设，引入状态反馈后，系统的特征多项式为： （2） 3.（1）与（2）式，对应系数相等可解得：

4、 故 10-3.与10-1类似。1.由（A,B,C）的形式知，为可控标准型，故系统可控，可实现极点任意配置。2.设，引入状态反馈后，系统的特征多项式为： （1）3.期望的特征多项式为： （2） 4.（1）与（2）对应系数相等，得 故10-4.（1）1.先判断系统的可控性： 1.系统可控，可通过状态反馈实现极点任意配置。 2.设,引入状态反馈后，系统的特征多项式为: 3.期望的特征多项式为: 4.对应系数相等, 即: 状态反馈系统的结构图:10-5知识点 设计全维状态观测器的步骤：1.判断可观性，系统完全可观时可以任意配置极点。2.对于阶数较高的系统，需要先化为可观标准型：变换矩阵，其中，为可观

5、性判别阵逆矩阵的最后一列。3.确定可观标准型所对应的反馈矩阵，特征方程为：4.期望有特征多项式：5.对应系数相等，得到。 6.确定给定系统的状态方程的状态观测器反馈矩阵。 则，原系统的状态观测器的状态方程为： 10-5.（1） 1.检测系统的状态可观性： 可观性判别矩阵： , 系统完全可观，可通过设计全维状态观测器实现极点任意配置。但系统但不具有规范形式，对于除数较高的系统，需将其转化为可观标准型。2. 确定变换矩阵。 3. 化系统为可观标准型。引入线性非奇异变换 其中， 4.设在可观标准型下，系统的状态观测器的反馈矩阵为,相应的特征多项式为： 根据极点配置要求，期望的特征多项式为 对应系数相

6、等，可得 故 5. 确定给定系统的状态方程的状态观测器反馈矩阵。 所以，原系统的状态观测器的状态方程为： 输出方程： （PS.）二阶不算高阶，可以直接计算，设 状态观测器的特征多项式为： 期望的特征多项式为： 对应系数相等，可解得 即：（2）同（1）1.可观性判别矩阵： 系统完全可观，可通过设计全维状态观测器实现极点任意配置。2. 确定变换矩阵。 3.化为可观标准型 4.设在可观标准型下，系统的状态观测器的反馈矩阵,相应的特征多项式为： 根据极点配置要求，期望的特征多项式为： 对应系数相等，可得 故 5. 确定给定系统的状态方程的状态观测器反馈矩阵。状态观测器的状态方程为：输出方程： 直接计算

7、，设 状态观测器的特征多项式为： 期望的特征多项式为：对应系数相等，可解得 即：（3）同（1） 1.可观性判别矩阵： 系统完全可观，可通过设计全维状态观测器实现极点任意配置。2.确定变换阵。 3.化为可观标准型 4.设在可观标准型下，系统的状态观测器的反馈矩阵,相应的特征多项式为： 根据极点配置要求，期望的特征多项式为：对应系数相等，可得 故 5. 确定给定系统的状态方程的状态观测器反馈矩阵。状态观测器的状态方程为：输出方程： 直接计算，设 状态观测器的特征多项式为： 期望的特征多项式为： 对应系数相等，可解得 即：（4） 同（1） 可观性判别矩阵： 系统完全可观，可通过设计全维状态观测器实现

8、极点任意配置。 法一：化为可观标准型 设在可观标准型下，系统的状态观测器的反馈矩阵 ,相应的特征多项式为：根据极点配置要求，期望的特征多项式为 对应系数相等，可得 故 , 状态观测器的状态方程为： 输出方程： 法二：直接计算，设 状态观测器的特征多项式为： 期望的特征多项式为： 对应系数相等，可解得 即： （5） 同（1） 1.可观性判别矩阵： 系统完全可观，可通过设计全维状态观测器实现极点任意配置。 法一：化为可观标准型 设在可观标准型下，系统的状态观测器的反馈矩阵,相应的特征多项式为： 根据极点配置要求，期望的特征多项式为 对应系数相等，可得 故 , 状态观测器的状态方程为： 法二：直接计

9、算，设 状态观测器的特征多项式为： 期望的特征多项式为： 对应系数相等，可解得 即：10-6.（1）.由传递函数形式(无零、极点相消)，系统可控、可观，存在矩阵K、 G，使得系统及观测器的极点可以任意配置。由分离定律可知，状态反馈、状态观测器部分可独立设计。a) 状态反馈部分因为系统可控，可写出可控标准型形式：由于系统阶数较低，这里我们采用直接设计方法：设，引入状态反馈后，系统的特征多项式为： （1）由期望的闭环系统的传递函数值，期望的特征多项式为： （2）（1）与（2）对应系数相等，得故 b) 状态观测器部分： 设 状态观测器的特征多项式为： 期望的特征多项式为： 对应系数相等，可解得 即：

10、 状态观测器的状态方程为： 输出方程：（2）采用状态反馈、状态观测器之后，系统的结构图如下：状态观测器反馈控制器 10-7.先判断系统的可控、可观性： 系统可控、可观，故存在矩阵K、 G，使得系统及观测器的极点可以任意配置。 a）状态反馈部分： 由于系统阶数较低，这里我们采用直接设计方法： 设，引入状态反馈后，系统的特征多项式为： （1） 由期望的闭环系统的传递函数值，期望的特征多项式为： （2） （1）与（2）对应系数相等，得 故 b）状态观测器部分： 设 状态观测器的特征多项式为： 期望的特征多项式为： 对应系数相等，可解得 即： 状态观测器的状态方程为： 输出方程：10-8，10-9知识点： 线性定常系统的状态方程为：二次型性能指标为：式中，为正定（或半正定）实对称矩阵，为正定实对称矩阵。使最小的控制是状态的线性函数，即其中，。为常数对称正定矩阵，且满足下列的代数黎卡提方程：。10-8. 由题知: , ,系统可控 由性能指标的表达式可得: 由于 , ,所以Q、R是正定的 设，由黎卡提方程 可解得： 因为P为正