矢量空间的直和与直积.

1、5 矢量空间的直和与直积矢量空间的直和与直积 5-1 直和空间直和空间5-2 直积空间直积空间5-1 直和空间直和空间，这一类双矢量及其叠加可以构成一个新的矢量空间。这一类双矢量及其叠加可以构成一个新的矢量空间。 定义这个空间中的三种运算：定义这个空间中的三种运算：加法加法： )()()()(（5.1） 在直和空间中的加法单位元（零矢量）是在直和空间中的加法单位元（零矢量）是)2()1(OOO数乘数乘： aaa)(内积内积： )(（5.2） （5.3） 如果认定不同空间中矢量的内积为零，上述定义说明内积如果认定不同空间中矢量的内积为零，上述定义说明内积可按分配律展开。可按分配律展开。 21RR

2、R（5.5） LALA)(（5.6） 如果认定一个空间的算符作用到别的空间的矢量时得零矢如果认定一个空间的算符作用到别的空间的矢量时得零矢量，则上式可按分配律展开。量，则上式可按分配律展开。算符的加法和乘法可根据上述定义得出：算符的加法和乘法可根据上述定义得出：)()()()(MLBAMBLA（5.7） LMABMBLA)(5.8) )()()()(LMABLMABMBLAMBLALALA)()()()()(LMABLMABMBLAMBLA直和空间的维数：直和空间的维数：)()()()(mmmiii由此可以看出，若取直和空间的基矢为由此可以看出，若取直和空间的基矢为2, 1)1()2(, 2

3、, 1, 2 , 1,nmniOOmi2, 1)1()2(, 2 , 1, 2 , 1,nmniOOmi21nnn（5.9） （5.10） 2, 1)1()2(, 2 , 1, 2 , 1,nmniOOmi32121OOOOO，32121，（5.11） 32121（5.12） 33231332221231211122122111LLLLLLLLLLAAAAA（5.13） 33323123222113121122211211000000000000LLLLLLLLLAAAALOOALA（5.14） 当然，可以用相同的方法讨论两个以上的空间的直和。一切当然，可以用相同的方法讨论两个以上的空间的直和

4、。一切关系都是明显的，这里不在赘述。关系都是明显的，这里不在赘述。5-2 直积空间直积空间（5.17） )2()1(OOO 数乘数乘： )()(aaa(5.18) 内积内积： )(此外，还有一个直积的分配律：此外，还有一个直积的分配律：)(5.19) (5.20) (5.21) LALA)(算符运算有下列的关系：算符运算有下列的关系：LBLALBA)(LMABMBLA)(5.22) (5.23) (5.24) 从上面各式可以看出，只要记住算符只对自己空间中的矢从上面各式可以看出，只要记住算符只对自己空间中的矢量有作用，对别的空间的矢量没有作用，习惯了以后，算符间量有作用，对别的空间的矢量没有作

5、用，习惯了以后，算符间的乘号也可以省去。的乘号也可以省去。 算符的直积：算符的直积：LIIALA）（）（12(5.25) iiiii,mmmmm,iiiii,mmmmm,这时这时imimimmimimiE)()( (5.26) (5.27) mimiimE (5.28) 32221231211132121可以写成可以写成 21mnijnjmijnimLALALA,)(5.30) 直积算符的矩阵表示：直积算符的矩阵表示：33223222312233213221312123222222212223212221212113221222112213121212112133121112311233113

6、211311123121112211223112211211113121112111213111211111133231332221231211122122111LALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALLLLLLLLLAAAALA此式可以写成一种便于记忆的形式：此式可以写成一种便于记忆的形式：LALALALALA22122111(5.32) (5.31) 在矩阵理论中，上面的矩阵公式称为矩阵的直积，两个矩阵在矩阵理论中，上面的矩阵公式称为矩阵的直积，两个矩阵（可以不是方阵）的直积的定义就是（可以不是方阵）的直积的定义就是（5.31）式