模块3 材料力学(应力和变形)

1、材料力学材料力学模块三模块三 应力和变形应力和变形【模块概述模块概述】 内力是杆件横截面上的分布内力系的合力内力是杆件横截面上的分布内力系的合力或合力偶矩，是截面上连续分布内力的合成结或合力偶矩，是截面上连续分布内力的合成结果果, ,而杆件的失效或破坏，不仅与截面上的总而杆件的失效或破坏，不仅与截面上的总内力有关，而且与截面上内力分布的密集程度，内力有关，而且与截面上内力分布的密集程度，应力及变形等有关。应力及变形等有关。 本模块以应力和变形为主线，讨论分析轴本模块以应力和变形为主线，讨论分析轴心拉压杆、扭转圆轴、平面弯曲梁等杆件的应心拉压杆、扭转圆轴、平面弯曲梁等杆件的应力分布情况及变形特点

2、力分布情况及变形特点, ,找到应力和变形的计找到应力和变形的计算公式，为强度、刚度和稳定性的计算提供理算公式，为强度、刚度和稳定性的计算提供理论依据。论依据。【学习目标学习目标】 【学习重点学习重点 】 应力、应变、胡克定律的概念；应力、应变、胡克定律的概念；轴向拉压杆的应力和变形计算；轴向拉压杆的应力和变形计算；平面弯曲梁横截面上的应力和切应力的分平面弯曲梁横截面上的应力和切应力的分布及计算；布及计算；梁的挠度和转角的计算。梁的挠度和转角的计算。3.1 3.1 应力、应变及相互关系应力、应变及相互关系3.1.13.1.1 应力应力1 1、应力的概念、应力的概念 构件的失效或破坏，不仅与截面上

3、的总内力有关，构件的失效或破坏，不仅与截面上的总内力有关，而且与横截面上内力分布的密集程度有关。而且与横截面上内力分布的密集程度有关。FFAFF2A试问试问下面两根材料相同的杆件哪一根容易破坏？下面两根材料相同的杆件哪一根容易破坏？3.1.13.1.1 应力应力当面积趋于零时，平均应力的大小和方向都将趋于一定当面积趋于零时，平均应力的大小和方向都将趋于一定极限，得到：极限，得到：dAdFAFp lim0AAFpm平均应力平均应力: :某范围内单位面积上内力的平均集度某范围内单位面积上内力的平均集度3F4F4F3FAFCCp我们将内力在一点处的密集程度称为应力。我们将内力在一点处的密集程度称为应

4、力。P P称为该截面上该点处的应力。称为该截面上该点处的应力。3F4F4F3FAFCCp某点的总应力某点的总应力P P 可以分解成可以分解成: : 垂直于截面的法向分量垂直于截面的法向分量正应力正应力 （拉应力为正值，压应力为负值）（拉应力为正值，压应力为负值） 平行于截面的切向分量平行于截面的切向分量切应力切应力 （绕研究对象产生顺时针转动趋势时为正值（绕研究对象产生顺时针转动趋势时为正值或或 左上右下为正）左上右下为正）3.1.13.1.1 应力应力2 2、正应力和切应力、正应力和切应力应力的单位是帕斯卡（简称帕）（应力的单位是帕斯卡（简称帕）（PaPa），）， 1Pa1Pa（帕斯卡）（帕

5、斯卡）= = 1N/m1N/m2 2 工程实际中常采用兆帕（工程实际中常采用兆帕（MPaMPa）、吉帕（）、吉帕（GPaGPa）等单位。等单位。 1MPa = 101MPa = 106 6Pa 1GPa = 10Pa 1GPa = 109 9PaPa3.1.13.1.1 应力应力3 3、应力的单位、应力的单位 对于构件任一点的变形，只有线变形和角变对于构件任一点的变形，只有线变形和角变形两种基本变形，分别由线应变和切应变来度量。形两种基本变形，分别由线应变和切应变来度量。 3.1.23.1.2 线应变和胡克定律线应变和胡克定律dxdu 与正应力相应，单元体沿着正应力方向和垂与正应力相应，单元体

6、沿着正应力方向和垂直于正应力方向产生了伸长和缩短，这种变直于正应力方向产生了伸长和缩短，这种变形称为线变形。形称为线变形。线应变线应变: : 为无量纲量值，为无量纲量值，规定规定拉应变为正，压应变为拉应变为正，压应变为负。负。胡克定律：胡克定律：3.1.23.1.2 线应变和胡克定律线应变和胡克定律EE-E-是与材料有关的常数，称为弹性模量。是与材料有关的常数，称为弹性模量。 它是材料力学性质之一，是衡量材料抵抗弹它是材料力学性质之一，是衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指标，对同一材料，弹性模量性变形能力的一个指标，对同一材料，弹性模量E E为常数。弹性模量的单位与应力的单位相同。为常数。弹性模

7、量的单位与应力的单位相同。 实验结果表明，若在弹性范围内加载，正应力实验结果表明，若在弹性范围内加载，正应力与正应变成正比，即：与正应变成正比，即：3.1.33.1.3 切应变和剪切胡克定律切应变和剪切胡克定律 为无量纲的量值，单位是弧度（为无量纲的量值，单位是弧度（radrad）。）。 切应变切应变: : 与切应力相应，单元体发生了剪切变形，剪与切应力相应，单元体发生了剪切变形，剪切变形程度用单元体直角的改变量度量。单切变形程度用单元体直角的改变量度量。单元体直角的改变量称为切应变，用元体直角的改变量称为切应变，用 表示。表示。3.1.33.1.3 切应变和剪切胡克定律切应变和剪切胡克定律

8、实验结果表明，若在弹性范围内加载（应力小实验结果表明，若在弹性范围内加载（应力小于某一极限值），切应力与切应变成正比，即于某一极限值），切应力与切应变成正比，即 G-G-是与材料有关的常数，称为剪切弹性模量。是与材料有关的常数，称为剪切弹性模量。剪切胡克定律：剪切胡克定律： 它是材料的又一力学性质。对同一材料，剪切它是材料的又一力学性质。对同一材料，剪切弹性模量弹性模量G G为常数。剪切弹性模量为常数。剪切弹性模量G G的单位与应力的的单位与应力的单位相同。单位相同。 3.1.43.1.4 切应力互等定理切应力互等定理 平面的交线，其方向则共同指向或共同背离两平平面的交线，其方向则共同指向或共

9、同背离两平面的交线，这种关系称面的交线，这种关系称切应力互等定理切应力互等定理。 。 由平衡方程由平衡方程0Zm得得yxzxyzdddddd )()(该定理具有普遍性。该定理具有普遍性。 在单元体互相垂直的两个在单元体互相垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等；且数值相等；二者都垂直于两二者都垂直于两3.23.2 轴向拉压杆的应力和变形轴向拉压杆的应力和变形3.2.13.2.1 轴向拉（压）杆的应力轴向拉（压）杆的应力1.1.横截面上的应力横截面上的应力 拉压杆横截面上的内力为轴力，其方向垂直于横拉压杆横截面上的内力为轴力，其方向垂直于横截面，显然与轴力相

10、应的只可能是垂直于截面的正应截面，显然与轴力相应的只可能是垂直于截面的正应力。做如下实验：力。做如下实验：FF1122112 2 现象：横向线现象：横向线1-11-1、2-22-2仍为直线，且垂直于杆件轴线，仍为直线，且垂直于杆件轴线，只是间距增大，分别平移至图示只是间距增大，分别平移至图示1 1-1-1与与2 2-2-2位置。位置。：横截面面积：横截面上的轴力ANANAF拉应力为正，压应力为负。拉应力为正，压应力为负。 根据现象可作出假设：受轴向拉伸的杆件，变形根据现象可作出假设：受轴向拉伸的杆件，变形后横截面仍保持为平面，两横截面之间所有的纵向纤后横截面仍保持为平面，两横截面之间所有的纵向

11、纤维都伸长了相同的长度。维都伸长了相同的长度。3.2.13.2.1 轴向拉（压）杆的应力轴向拉（压）杆的应力FNFN得出结论：轴向拉压时，杆件横截面上各点处只产生得出结论：轴向拉压时，杆件横截面上各点处只产生正应力，且大小相等。即正应力，且大小相等。即3.2.13.2.1 轴向拉（压）杆的应力轴向拉（压）杆的应力：横截面面积：横截面上的轴力ANANAF公式的适用范围：公式的适用范围： 外力作用线必须与杆轴线重合；外力作用线必须与杆轴线重合； 距外力作用点较远部分正确（圣维南原理）；距外力作用点较远部分正确（圣维南原理）； 必须是等截面直杆，截面变化较缓慢时，可近必须是等截面直杆，截面变化较缓慢

12、时，可近似计算。似计算。 对于对于等直杆等直杆:当有多段轴力时，最大轴力所当有多段轴力时，最大轴力所对应的截面即为危险截面；对应的截面即为危险截面；对对变截面杆变截面杆：则取：则取决于内力值和截面尺寸两个因素，则应对若干决于内力值和截面尺寸两个因素，则应对若干个可能的危险截面进行计算并比较才能知道最个可能的危险截面进行计算并比较才能知道最大应力之所在。大应力之所在。 危险截面危险截面: :最大应力所在的横截面，也就是最大应力所在的横截面，也就是可能最先破坏的横截面，称为危险截面。可能最先破坏的横截面，称为危险截面。 危险点危险点: :危险截面上最大应力所在的点危险截面上最大应力所在的点 。AN

13、max2.2.危险截面及危险点危险截面及危险点 3.2.13.2.1 轴向拉（压）杆的应力轴向拉（压）杆的应力 危险点则是由应力在截面上的分布规律来判危险点则是由应力在截面上的分布规律来判定的。定的。轴心压杆危险点的应力轴心压杆危险点的应力解：解：(1)(1)作轴力图作轴力图 【例例3.13.1】已知图示阶梯状直杆若横截面面积为已知图示阶梯状直杆若横截面面积为: : , ,求各横截面上的应力。求各横截面上的应力。(2)(2)求应力求应力 311120 10100200NMPaA 322210 1033.3300NMPaA 333310 1025400NMPaA3.3.斜截面上的应力斜截面上的应

14、力3.2.13.2.1 轴向拉（压）杆的应力轴向拉（压）杆的应力F FF Fk kk ka aA AF Fk kk kN Na ap pa a横截面上：横截面上：斜截面上：斜截面上：总总应力应力：AFAFN cosAA AFpN cosAF cos Fkkp nt 3.2.13.2.1 轴向拉（压）杆的应力轴向拉（压）杆的应力F FF Fk kk ka aA AF Fk kk kN Na ap pa a 将总应力分解为垂直于将总应力分解为垂直于斜截面的斜截面的正应力和正应力和相切于斜相切于斜截面的截面的切应力切应力，则，则2coscos p2sin2sin p结论：轴向拉压杆在斜截结论：轴向拉

15、压杆在斜截面上的正应力和切应力随面上的正应力和切应力随斜截面方位的变化而变化斜截面方位的变化而变化。3.2.13.2.1 轴向拉（压）杆的应力轴向拉（压）杆的应力几个特殊截面上的应力几个特殊截面上的应力：1.1.横截面横截面 = 0= 0 ，max0 2.2.纵截面纵截面 = 90= 90 ，09090 3.3.斜截面斜截面 = 45= 45 ， ,245 4.4.斜截面斜截面 = -45= -45 ， ,245 0 ,0 max452 min452 2cos2sin2 拉压杆的最大正应力发生在横截面上；最大拉压杆的最大正应力发生在横截面上；最大切应力发生在与杆成切应力发生在与杆成4545斜截

16、面上；平行于杆轴斜截面上；平行于杆轴线的纵向截面上无任何应力。线的纵向截面上无任何应力。3.2.23.2.2 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形1.1.轴向拉（压）杆的变形轴向拉（压）杆的变形LLL1（1 1）纵向变形：）纵向变形：伸长量：伸长量：纵向线应变纵向线应变 ：ll（2 2）横向变形：）横向变形： 横向变形量：横向变形量：横向线应变横向线应变 ：1aaa ,aa3.2.23.2.2 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形2.2.胡克定律胡克定律 即当杆件的应力不超过某一极限时，其纵向即当杆件的应力不超过某一极限时，其纵向变形与轴力、杆长成正比，与横截面面积成反比。变形与轴力、杆长成正比，与横

17、截面面积成反比。 称为杆的拉伸（压缩）刚度。另外，此称为杆的拉伸（压缩）刚度。另外，此式只适用于在杆长度内变形是均匀的情况。式只适用于在杆长度内变形是均匀的情况。 EAlNl.EA 因为因为 ， ，则根据胡克定律，则根据胡克定律 ，可得胡克定律的另一种表达式为可得胡克定律的另一种表达式为3.2.23.2.2 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形EANll3.3.泊松比泊松比 , , 2(1)EG或或 对于各向同性材料来说，拉压弹性模量对于各向同性材料来说，拉压弹性模量E E、泊、泊松比松比及剪切弹性模量及剪切弹性模量G G之间有如下的关系之间有如下的关系: :3.2.23.2.2 轴向拉压杆的变形

18、轴向拉压杆的变形 实验结果表明，当杆件应力不超过比例极限时，实验结果表明，当杆件应力不超过比例极限时，横向线应变横向线应变与纵向线应变与纵向线应变的绝对值之比为一的绝对值之比为一常数，此比值称为泊松比常数，此比值称为泊松比，为无量纲的量。即，为无量纲的量。即 3.33.3 圆轴扭转的应力和变形圆轴扭转的应力和变形3.3.13.3.1 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 基本思路：基本思路： 应力分布应力分布应力公式应力公式变变 形形应变分布应变分布平面假定平面假定物理关系物理关系静静力方程力方程变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力静力学学关系关系 3.3.13.3.1 圆轴扭转时的应力圆

19、轴扭转时的应力 1.1.变形几何关系变形几何关系作如下实验：作如下实验：可看到如下现象：可看到如下现象： (l)(l)所有纵线都倾斜了相同角度而成为平行螺所有纵线都倾斜了相同角度而成为平行螺旋线，变形很小时近似为一直线，矩形都歪斜旋线，变形很小时近似为一直线，矩形都歪斜成为平行四边形成为平行四边形。直角发生了改变，其改变量直角发生了改变，其改变量为为 （切应变）（切应变）。 (2)(2)横向的各圆周线大小、形状以及之间的距横向的各圆周线大小、形状以及之间的距离均无改变，只是都绕轴线旋转了一个角度。离均无改变，只是都绕轴线旋转了一个角度。3.3.13.3.1 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 根

20、据变形现象作出根据变形现象作出“平面假设平面假设”：圆轴的：圆轴的横截面在受扭变形时保持为平面，并像刚性平横截面在受扭变形时保持为平面，并像刚性平面一样绕轴线相对转动。面一样绕轴线相对转动。3.3.13.3.1 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力横截面上各点无轴向变形，故横截面上没有横截面上各点无轴向变形，故横截面上没有正应力。正应力。横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，故横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，故横截面上有剪应力存在。横截面上有剪应力存在。各横截面半径不变，所以剪应力方向与截面各横截面半径不变，所以剪应力方向与截面径向垂直径向垂直。可得到如下结论：可得到如下结论： 受扭圆轴的横截面

21、上存在有与截面径向垂受扭圆轴的横截面上存在有与截面径向垂直的剪应力。直的剪应力。3.3.13.3.1 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 从受扭圆轴中取出一微段从受扭圆轴中取出一微段dxdx，则在则在dxdx微段上的楔形单元体的矩微段上的楔形单元体的矩形格子形格子abcdabcd变成了平行四边形变成了平行四边形ababc cd d，如右图所示。直角改变，如右图所示。直角改变即切应变即切应变 的大小为：的大小为：xbbabbbdtan 又在直角三角形又在直角三角形ObbObb中有：中有：rdbbdxdrr同一截面上的各点同一截面上的各点为常量。为常量。2 .2 .物理关系物理关系由剪切胡克定律由剪

22、切胡克定律 得：得： GdxdG由上式可知：由上式可知：横截面上某点的切应力与该点到圆心的距离成正比；横截面上某点的切应力与该点到圆心的距离成正比；在同一半径的圆周上各店的切应力值均相等；在同一半径的圆周上各店的切应力值均相等；在截面中心处切应力为零，截面边缘各点切应力最大，在截面中心处切应力为零，截面边缘各点切应力最大，其他各点处的切应变沿截面半径按直线规律变化。其他各点处的切应变沿截面半径按直线规律变化。及及3.3.13.3.1 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力3.3.13.3.1 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力切应力沿半径的分布如下图所示：切应力沿半径的分布如下图所示： 因为因为 为垂

23、直于半径平面内的切应变，所以为垂直于半径平面内的切应变，所以 也与半径垂直：也与半径垂直：3. 3. 静力学关系静力学关系 圆轴横截面上各微面积上的微剪力对轴心的力矩的总圆轴横截面上各微面积上的微剪力对轴心的力矩的总和必须与该截面上的扭矩相等，故有和必须与该截面上的扭矩相等，故有代入上式可得：代入上式可得： dxdG将将AxMdA3.3.13.3.1 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力AxGAxGdAMAAAxddd ddd 22GIMx dd AIApd2式中式中就是该截面对形就是该截面对形心的极惯性矩，则得：心的极惯性矩，则得：代入物理关系式代入物理关系式得：得： IMx上式中：上式中：抗扭

24、截面模量或抗扭截面系数。抗扭截面模量或抗扭截面系数。 最大切应力：最大切应力：maxmaxxxppMMIWpW 显然，当显然，当 时，即在横截面周边上的各点处剪应时，即在横截面周边上的各点处剪应力将达到其最大值。力将达到其最大值。 3.3.13.3.1 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 即，圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算公即，圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算公式为：式为：IMx2/maxD3.3.13.3.1 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力IMx横截面上距圆心为横截面上距圆心为 处任一点剪应力计算公式。处任一点剪应力计算公式。 公式讨论公式讨论：仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变

25、形时的等截面圆轴。仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等截面圆轴。式中：式中：M Mx x横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。 I Ip p极惯性矩，纯几何量。极惯性矩，纯几何量。尽管由等直实心圆轴推出，但同样适用于等直空心圆轴，也尽管由等直实心圆轴推出，但同样适用于等直空心圆轴，也近似适用于截面沿轴线变化缓慢的小锥度圆轴。近似适用于截面沿轴线变化缓慢的小锥度圆轴。 3.3.23.3.2 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 在圆轴扭转过程中，各横截面像一个个圆盘绕杆轴做在圆轴扭转过程中，各横截面像一个个圆

26、盘绕杆轴做相对转动。两个横截面绕杆轴线转动的相对角位移即扭转相对转动。两个横截面绕杆轴线转动的相对角位移即扭转角，用角，用 表示。表示。其中其中，d d代表相距为代表相距为dxdx的两横截面间的相对扭转角。的两横截面间的相对扭转角。则相距为则相距为 的的两横截面间的两横截面间的扭转角扭转角可表示成：可表示成：GIMdxdx前面已知：前面已知：lxdxGIMd0l反映了抵抗扭转变形的能力，称为反映了抵抗扭转变形的能力，称为轴的抗扭刚度轴的抗扭刚度。GI对分段等截面直圆轴：对分段等截面直圆轴：GIlMx ACAC和和DBDB梁段的各横截面梁段的各横截面上，剪力和弯矩同时存在，上，剪力和弯矩同时存在

27、，这种平面弯曲称为横力弯曲。这种平面弯曲称为横力弯曲。 CD CD梁段内，横截面上只梁段内，横截面上只有弯矩而没有剪力，这种平有弯矩而没有剪力，这种平面弯曲称为纯弯曲。面弯曲称为纯弯曲。M图FaQ图FFFFaaCDAB3.43.4 平面弯曲梁的应力平面弯曲梁的应力3.4.13.4.1 纯弯曲与横力弯曲纯弯曲与横力弯曲 横力弯曲时，各截面上弯横力弯曲时，各截面上弯矩是不同的；纯弯曲时，各截矩是不同的；纯弯曲时，各截面上弯矩为一不变的常数值。面上弯矩为一不变的常数值。 同拉（压）杆的正应力、圆轴扭转的切应力的同拉（压）杆的正应力、圆轴扭转的切应力的分析一样，纯弯曲梁横截面上的正应力分析一样，纯弯曲

28、梁横截面上的正应力研究思路研究思路是是：3.4.23.4.2 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力应力分布应力分布应力公式应力公式变变 形形应变分布应变分布平面平面、单向受力、单向受力假假设设物理关系物理关系静静力方程力方程变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力静力学学关系关系（中性轴）（对称轴）yz中性层a)c)b)MMMMd2211纵线横线x1 1、变形几何关系、变形几何关系3.4.23.4.2 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力 如右图所示，在梁的如右图所示，在梁的侧面画上与轴线平行的纵侧面画上与轴线平行的纵向线以及与梁轴垂直的横向线以及与梁轴垂直的横向线

29、，然后在梁纵向对称向线，然后在梁纵向对称平面内加一对力偶矩为平面内加一对力偶矩为M M的外力偶，使梁发生纯弯的外力偶，使梁发生纯弯曲，观察其变形。曲，观察其变形。（1 1）梁上的纵向线都弯成了曲线，且下部分（靠近凸边）梁上的纵向线都弯成了曲线，且下部分（靠近凸边）的纵向线伸长，上部分（靠近凹边）的纵向线缩短，而中的纵向线伸长，上部分（靠近凹边）的纵向线缩短，而中间的一条纵向线长度不变。间的一条纵向线长度不变。（2 2）梁上的横向线仍为直线，只是互相倾斜了一个角度，）梁上的横向线仍为直线，只是互相倾斜了一个角度，不再互相平行，但仍与梁弯曲后的轴线垂直；不再互相平行，但仍与梁弯曲后的轴线垂直；（3

30、 3）矩形截面的上部变宽下部变窄。）矩形截面的上部变宽下部变窄。Oyz1212MM3.4.23.4.2 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力可以观察到以下现象：可以观察到以下现象： 平面假设平面假设：梁的横截面在纯弯曲变形后仍保：梁的横截面在纯弯曲变形后仍保持为平面，并垂直于梁弯曲后的轴线。横截面只持为平面，并垂直于梁弯曲后的轴线。横截面只是绕其面内的某一轴线（中性轴）转了一个角度。是绕其面内的某一轴线（中性轴）转了一个角度。 单向受力假设单向受力假设：将梁看成由无数条纵向纤维：将梁看成由无数条纵向纤维组成，各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或组成，各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉

31、伸或压缩，不存在相互的挤压。压缩，不存在相互的挤压。3.4.23.4.2 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力根据观察到的变形现象，可作出如下假设：根据观察到的变形现象，可作出如下假设：中性层MMzy中性轴受压区受拉区中性层中性层：梁的下部纵向纤维伸长，而上部纵向纤维缩短，由：梁的下部纵向纤维伸长，而上部纵向纤维缩短，由变形的连续性可知，梁内肯定有一层长度不变的纤维层，称变形的连续性可知，梁内肯定有一层长度不变的纤维层，称为中性层。为中性层。中性轴中性轴：中性层与梁横截面的交线称为中性轴。：中性层与梁横截面的交线称为中性轴。 中性层是对整个梁讲的，而中性轴是就梁的某个横截中性层是对

32、整个梁讲的，而中性轴是就梁的某个横截面而言。面而言。3.4.23.4.2 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力1212o1ao2b1122MM1212o1ao2bdx从梁中取出的长为从梁中取出的长为dxdx的微段的微段变形后其两端相对转了变形后其两端相对转了d d 角角a1b1O2O1d3.4.23.4.2 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力距中性层为距中性层为y y处的纵向纤维处的纵向纤维abab的变形的变形式中式中为中性层上的纤维的曲率半径。为中性层上的纤维的曲率半径。则纤维则纤维abab的线应变为的线应变为原长：原长：dxdOOab21211111OObaaba

33、bbaO1O2yyddd)(a1O1b1O2d变形后长：变形后长：dyba)(113.4.23.4.2 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力1212o1ao2b3.4.23.4.2 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力 对于确定的横截面是一常量。该方程表明中性层对于确定的横截面是一常量。该方程表明中性层等远处的各纵向纤维变形相同，等远处的各纵向纤维变形相同，线应变沿截面高度成线线应变沿截面高度成线性分布性分布，在中性轴上线应变为零，在中性轴两侧分别为，在中性轴上线应变为零，在中性轴两侧分别为拉应变和压应变。拉应变和压应变。故可得线应变沿截面高度方向分布的表达式：故可得线

34、应变沿截面高度方向分布的表达式：y其中曲率其中曲率dxd1 2 2、物理关系、物理关系 由于假设梁内各纵向纤维只受拉伸或压缩，所以当材料由于假设梁内各纵向纤维只受拉伸或压缩，所以当材料在线弹性范围内工作时，由胡克定律可得各纵向纤维的正应在线弹性范围内工作时，由胡克定律可得各纵向纤维的正应力为：力为： EyE 梁横截面上任一点处的正应力与梁横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比。即该点到中性轴的距离成正比。即弯曲弯曲正应力沿截面高度成线性分布正应力沿截面高度成线性分布。 中性轴上各点处的正应力等于零，中性轴上各点处的正应力等于零，距中性轴最远的上、下边缘上各点处距中性轴最远的上、下边

35、缘上各点处正应力最大，其它点的正应力介于零正应力最大，其它点的正应力介于零到最大值。到最大值。3.4.23.4.2 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力坐标系的选取：坐标系的选取： y y轴：截面的纵向对称轴轴：截面的纵向对称轴z z轴：中性轴轴：中性轴x x轴：沿轴线轴：沿轴线 受力分析：受力分析：d dA A上的内力为上的内力为dAdA，于是整个截面上所有内于是整个截面上所有内力组成一空间平行力系，由于横截面上只有绕中性轴的弯矩力组成一空间平行力系，由于横截面上只有绕中性轴的弯矩M MZ Z，所以横截面法向的轴力所以横截面法向的轴力F FN N和力偶矩和力偶矩MyMy应为零，即

36、：应为零，即：ANdAF00dAzAyMAzMMdAyFx0My=0Mz=M3 3、静力学关系、静力学关系3.4.23.4.2 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力xyzOdAM（y y，z z）ANdAF00dAzAyMAzMMdAy0SZAEydAE故：Sz = 0 即中性轴 z 必过横截面的形心。y代入胡克定律：代入胡克定律：0E及：0yzAIEdAyZE故：Iyz0， y轴为对称轴，z轴又过形心，则轴y，z为横截面的形心主惯性轴。MEdAEIyZA2（中性层曲率公式）（中性层曲率公式）故故：zEIM13.4.23.4.2 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力其中

37、其中EIEIZ Z称为梁的抗弯刚度。称为梁的抗弯刚度。zIMyZEIM1得纯弯曲时横截面上正应力的计算公式：得纯弯曲时横截面上正应力的计算公式：y代入：代入：表明：横截面上任一点的正应力与该横截面上的弯矩和表明：横截面上任一点的正应力与该横截面上的弯矩和该点到中性轴的距离成正比，而与该截面对中性轴的惯性矩该点到中性轴的距离成正比，而与该截面对中性轴的惯性矩成反比。成反比。3.4.23.4.2 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力梁轴线变形后的曲率公式：梁轴线变形后的曲率公式：zIMy计算正应力时，计算正应力时，M M和和y y可均用绝对值代入。可均用绝对值代入。为拉应力还为拉应力还

38、是压应力（正负）可由弯矩的正负和所求点的位置来判断。是压应力（正负）可由弯矩的正负和所求点的位置来判断。-+zMzM+-3.4.23.4.2 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力适用条件：适用条件： (1) (1) 梁的横截面至少具有一个纵向对称轴。梁的横截面至少具有一个纵向对称轴。 (2) (2) 正应力不超过材料的比例极限。正应力不超过材料的比例极限。 (3) (3) 梁产生纯弯曲。梁产生纯弯曲。 横力弯曲：梁的横截面上既有弯矩又有剪力。此时，横横力弯曲：梁的横截面上既有弯矩又有剪力。此时，横截面是不仅有正应力，而且有切应力。截面是不仅有正应力，而且有切应力。3.4.23.4.

39、2 横力弯曲梁横截面上的正应力横力弯曲梁横截面上的正应力zIyxM)(hlhl 对于跨度与截面高度之比对于跨度与截面高度之比 大于大于5 5的横力弯曲梁，横截的横力弯曲梁，横截面上的最大正应力按纯弯曲正应力公式计算，满足工程上的面上的最大正应力按纯弯曲正应力公式计算，满足工程上的精度要求。梁的跨高比精度要求。梁的跨高比 越大，误差就越小。越大，误差就越小。 梁在纯弯曲时所作的平面假设和各纵向纤维间无挤压的梁在纯弯曲时所作的平面假设和各纵向纤维间无挤压的假设不再成立。假设不再成立。 例例 简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载q q作用，试完成：作用，试完成：(1) (1) 求距左端为求距左端为m m

40、的的C C截面上截面上a a、b b、c c三点的正应力。三点的正应力。(2) (2) 求梁的最大正应求梁的最大正应力值，并说明最大正应力发生在何处。力值，并说明最大正应力发生在何处。(3) (3) 作出作出C C截面上正截面上正应力沿截面高度的分布图。应力沿截面高度的分布图。 12050abc200q=3.5kN/mABc3m1m解解 （1 1）求指定截面上指定点的应力）求指定截面上指定点的应力先求出支座反力先求出支座反力, ,由对称性由对称性C C截面积的弯矩截面积的弯矩 矩形截面对中性矩形截面对中性轴轴z的惯性矩的惯性矩82qlM MC C= =(5.25(5.251 13.53.51

41、10.5)kNm0.5)kNm =3.5kNm =3.5kNm47433mm108mm)12200120(12bhIz12050abc200q=3.5kN/mABc3m1m 计算计算C C截面上截面上a a、b b、c c三点三点的正应力：的正应力：)(MPa38. 4MPa)108100105 . 3(76拉应力zacaIyM)(MPa19. 2MPa)10850105 . 3(76拉应力zbcbIyM)(MPa38. 4MPa)108100105 . 3(76压应力zcccIyM12050abc200(2) 求梁的最大正应力值，及最大正应力发生的位置。求梁的最大正应力值，及最大正应力发生的

42、位置。 梁的最大正应力发生在最大弯矩梁的最大正应力发生在最大弯矩Mmax所在的上、下边所在的上、下边缘处。由梁的变形情况可以判定，最大拉应力发生在跨中缘处。由梁的变形情况可以判定，最大拉应力发生在跨中截面的下边缘处；最大压应力发生在跨中截面的边缘处。截面的下边缘处；最大压应力发生在跨中截面的边缘处。其最大正应力的值为其最大正应力的值为MPa93. 4MPa1081001094. 376maxmaxmaxzIyMmkN94. 3mkN)835 . 3(822maxqlM(3) 作作C截面上正应力沿截面高度的分布图。截面上正应力沿截面高度的分布图。MPa38. 4MPa38. 4一般情况下，最大正

43、应力发生于弯矩最大的横截一般情况下，最大正应力发生于弯矩最大的横截面上矩中性轴最远处。面上矩中性轴最远处。maxzIyMmaxmaxmaxzzWyImaxzWMmaxmax式中式中W WZ Z仅与截面的几何形状及尺寸有关，称为截面对中仅与截面的几何形状及尺寸有关，称为截面对中性轴的抗弯截面模量。单位：性轴的抗弯截面模量。单位：m m3 3或或mmmm3 3 。令：令：梁的最大正应力梁的最大正应力 习惯上把产生最大应力的截面称为习惯上把产生最大应力的截面称为危险截面危险截面，产生最，产生最大应力的点称为大应力的点称为危险点危险点。M 3.4.23.4.2 横力弯曲梁横截面上的正应力横力弯曲梁横截

44、面上的正应力若截面是高为若截面是高为h h ，宽为，宽为b b的的矩形，则的的矩形，则6212223bhhbhhIWzz123bhIz若截面是直径为若截面是直径为d d的圆形，则的圆形，则32264234ddddIWzz644dIz3.4.23.4.2 横力弯曲梁横截面上的正应力横力弯曲梁横截面上的正应力 若截面是外径为若截面是外径为D D、内径为、内径为d d的空心圆形，则的空心圆形，则 43441322642DDdDDIWzzDdDd44164DIz 对于各种型钢的惯性矩和抗弯截面系数可从书后对于各种型钢的惯性矩和抗弯截面系数可从书后“附录附录”型钢表中查出。型钢表中查出。 3.4.23.

45、4.2 横力弯曲梁横截面上的正应力横力弯曲梁横截面上的正应力 对于中性轴不是截面对称轴的梁，例如对于中性轴不是截面对称轴的梁，例如T T型截面的等直梁。型截面的等直梁。yy1y2Cz 同一横截面上同一横截面上t tmaxmax c cmaxmax ，这时整个梁的，这时整个梁的t tmaxmax 或或 c cmaxmax不一定发生在不一定发生在| |M Mmaxmax| | 截面处，需对截面处，需对最大正弯矩和最大最大正弯矩和最大负弯矩处的负弯矩处的 t tmaxmax和和 c cmaxmax分别计算分别计算。3.4.23.4.2 横力弯曲梁横截面上的正应力横力弯曲梁横截面上的正应力1 1、矩形

46、截面梁的弯曲切应力、矩形截面梁的弯曲切应力3.3.4 4. .3 3 横力弯曲梁横截面上的切应力横力弯曲梁横截面上的切应力 图示一矩形截面梁受任意横向荷载作用，假想用图示一矩形截面梁受任意横向荷载作用，假想用1-11-1和和2-22-2两横截面截出长为两横截面截出长为dxdx的微段，那么两横截面上均有的微段，那么两横截面上均有剪力和弯矩，其中剪力和弯矩，其中弯矩产生正应力，剪力产生切应力弯矩产生正应力，剪力产生切应力。F2F1q(x)1122xdx1122MM+dMQQ3.3.4 4. .3 3 横力弯曲梁横截面上的切应力横力弯曲梁横截面上的切应力 由于横向力作用在矩形截面梁的纵向对称平面内，

47、由于横向力作用在矩形截面梁的纵向对称平面内，则任一截面的剪力则任一截面的剪力Q Q必位于对称轴必位于对称轴y y上，通常横截面的宽上，通常横截面的宽度度b b总是比高度总是比高度h h小。在这种情况下，对小。在这种情况下，对切应力在横截面切应力在横截面上的分布规律上的分布规律可作出如下两个假设：可作出如下两个假设： （1 1）截面上任意一点的切应力的方向都平行于剪力）截面上任意一点的切应力的方向都平行于剪力Q Q的方向。的方向。 （2 2）切应力沿截面宽度均匀分布，即切应力的大小只）切应力沿截面宽度均匀分布，即切应力的大小只与与y y坐标有关（坐标有关（y y轴为截面的纵向对称轴）。轴为截面的

48、纵向对称轴）。1122y1122MM+dMFsFs 一般来说，一般来说，1-11-1截面上的弯矩和截面上的弯矩和2-22-2截面上的弯矩并截面上的弯矩并不相等，因此上述两个截面上同一个坐标点处（用不相等，因此上述两个截面上同一个坐标点处（用y y表示表示）的正应力值也不相等，如下图所示，但两截面上的剪）的正应力值也不相等，如下图所示，但两截面上的剪力力Q Q值相等。值相等。3.3.4 4. .3 3 横力弯曲梁横截面上的切应力横力弯曲梁横截面上的切应力3.3.4 4. .3 3 横力弯曲梁横截面上的切应力横力弯曲梁横截面上的切应力 假想距中性层为假想距中性层为y y处用一水平截面将该微段截开，

49、取处用一水平截面将该微段截开，取截面以下六面体进行研究。在六面体左右竖直侧面上有截面以下六面体进行研究。在六面体左右竖直侧面上有正应力正应力1 1、2 2和剪应力和剪应力 ；顶面上有与；顶面上有与 互等的剪应力互等的剪应力 。3.3.4 4. .3 3 横力弯曲梁横截面上的切应力横力弯曲梁横截面上的切应力 建立如下图所示的坐标系，可知在左、右侧面上的建立如下图所示的坐标系，可知在左、右侧面上的正应力正应力1 1和和22分别构成了与正应力方向相同的两个合力分别构成了与正应力方向相同的两个合力N N1 1和和N N2 2，它们为，它们为dAyIMdANAAz11111式中式中 A A1 1-横截面

50、上距中性轴横截面上距中性轴为为y y的横线以外的面积。的横线以外的面积。令令dAySAz11指指A1的截面积对矩的截面积对矩形截面中性轴的静距。则上式可形截面中性轴的静距。则上式可简化为简化为zzSIMN1同理可得同理可得zzSIdMMN2yyzbacdy1dA1N2NdA1Qxdxb3.3.4 4. .3 3 横力弯曲梁横截面上的切应力横力弯曲梁横截面上的切应力bacd1N2NQdxb 因微段的左右两侧面上的弯矩因微段的左右两侧面上的弯矩不同，故不同，故N N1 1和和N N2 2的大小也不相同。的大小也不相同。N N1 1和和N N1 1只有和水平切应力的合力一只有和水平切应力的合力一起，

51、才能维持六面体在起，才能维持六面体在x x方向的平方向的平衡，即衡，即0)(012bdxNNX将将N N1 1和和N N2 2代入上式，有代入上式，有zzzzzzdxbIdMSbdxSIMSIdMM0)(根据梁内力间的微分关根据梁内力间的微分关系系QdxdM可得可得zzbIQSbIQSzz*式中，式中，Q Q需求切应力处横截面上的剪力；需求切应力处横截面上的剪力； I Iz z为横截面对中性轴的惯性矩；为横截面对中性轴的惯性矩； S Sz z* *为横截面上需求切应力处平行于中性轴的线以为横截面上需求切应力处平行于中性轴的线以 上（或以下）部分的面积对中性轴的静矩；上（或以下）部分的面积对中性

52、轴的静矩； bb为横截面的宽度。为横截面的宽度。bhyzyQ3.3.4 4. .3 3 横力弯曲梁横截面上的切应力横力弯曲梁横截面上的切应力 即矩形截面上距中性轴为即矩形截面上距中性轴为y y处任处任意点的切应力计算公式为：意点的切应力计算公式为：3.3.4 4. .3 3 横力弯曲梁横截面上的切应力横力弯曲梁横截面上的切应力 由前面的假设可知，在由前面的假设可知，在同一横截面上，与中性轴等距离点同一横截面上，与中性轴等距离点的切应力相等，方向与剪力同向平行。的切应力相等，方向与剪力同向平行。根据切应力公式可进一根据切应力公式可进一步讨论切应力在矩形截面上的分布规律。步讨论切应力在矩形截面上的

53、分布规律。 如右图所示，在矩形截面上取微面如右图所示，在矩形截面上取微面积积dA=bdydA=bdy1 1, ,则距中性轴为则距中性轴为y y的横线以下的的横线以下的面积面积A A1 1对中性轴对中性轴Z Z的静距为的静距为)4(22221111yhbdbydAyShyyAz 将此式代入切应力公式，可得矩形截面切应力计算公式的将此式代入切应力公式，可得矩形截面切应力计算公式的具体表达式为具体表达式为)4(222yhIQzzIQh82max3.3.4 4. .3 3 横力弯曲梁横截面上的切应力横力弯曲梁横截面上的切应力)4(222yhIQz 从上式可以看出切应力从上式可以看出切应力 沿截面高度按

54、抛物线规律变化。沿截面高度按抛物线规律变化。当当 时，即矩形截面的上、下边缘处切应力时，即矩形截面的上、下边缘处切应力 ；当；当 时时，截面中性轴上的切应力为最大值，为，截面中性轴上的切应力为最大值，为2hy00ybhQ5 . 1max 说明：矩形截面梁任一说明：矩形截面梁任一横截面上的最大切应力发生横截面上的最大切应力发生在中性轴上，其值为该截面在中性轴上，其值为该截面上平均切应力上平均切应力Q Q/ /A A的的1.51.5倍，倍，切应力沿截面高度的分布规切应力沿截面高度的分布规律如图示。律如图示。 zyQ3.3.4 4. .3 3 横力弯曲梁横截面上的切应力横力弯曲梁横截面上的切应力将矩

55、形截面的惯性矩将矩形截面的惯性矩 代入代入 ，可得，可得123bhIzzIQh82max2 2、工字形截面梁的弯曲切应力、工字形截面梁的弯曲切应力3.3.4 4. .3 3 横力弯曲梁横截面上的切应力横力弯曲梁横截面上的切应力 工字形截面梁由腹板和翼缘组成。实验表明，在翼缘上切工字形截面梁由腹板和翼缘组成。实验表明，在翼缘上切应力很小，横截面上的切应力主要分布于腹板上，在腹板上切应力很小，横截面上的切应力主要分布于腹板上，在腹板上切应力沿腹板高度按抛物线规律变化，腹板的切应力平行于腹板应力沿腹板高度按抛物线规律变化，腹板的切应力平行于腹板的竖边，且沿宽度方向均匀分布，分布情况如下图所示。的竖边

56、，且沿宽度方向均匀分布，分布情况如下图所示。max结论：结论： 翼缘部分翼缘部分t tmaxmax 腹板上的腹板上的t tmaxmax，只计算腹板上的只计算腹板上的t tmaxmax。 铅垂剪应力主要腹板承受（铅垂剪应力主要腹板承受（9595 97%97%），且），且t tmax max t tminmin则工字钢的最大剪应力则工字钢的最大剪应力dIQSzz*dmax*maxzzISQ）（dhF1Qmax平均式中，式中，h h1 1腹板的高度。腹板的高度。 d d腹板的宽度。腹板的宽度。maxmin3.3.4 4. .3 3 横力弯曲梁横截面上的切应力横力弯曲梁横截面上的切应力 腹板上切应力仍

57、然沿用矩形截面梁弯曲切腹板上切应力仍然沿用矩形截面梁弯曲切应力计算公式：应力计算公式：式中式中 d d取腹板的宽度取腹板的宽度最大切应力在中性轴上，其值为最大切应力在中性轴上，其值为I Iz z/(S/(Sz z* *) )maxmax就是型钢表中给出的比值就是型钢表中给出的比值I Ix x/S/Sx x3 3、圆形截面梁的弯曲切应力、圆形截面梁的弯曲切应力AQdddQIbQSz34641243*max3.3.4 4. .3 3 横力弯曲梁横截面上的切应力横力弯曲梁横截面上的切应力 在圆形截面上，任一平行于中性轴的横线在圆形截面上，任一平行于中性轴的横线aaaa1 1两端处，切应两端处，切应力

58、的方向必切于圆周，并相交于力的方向必切于圆周，并相交于y y轴上的轴上的C C点。因此，横线上各点。因此，横线上各点切应力方向是变化的。但圆截面上最大应力仍在中性轴上各点切应力方向是变化的。但圆截面上最大应力仍在中性轴上各点处，切应力的方向皆平行于剪力点处，切应力的方向皆平行于剪力Q Q，分布情况如下图所示。，分布情况如下图所示。 横截面上最大切应力为其平均横截面上最大切应力为其平均切应力的切应力的1.331.33倍。倍。4 4、圆环形截面梁的弯曲切应力、圆环形截面梁的弯曲切应力AQtdttdQIbQSz28223020*max3.3.4 4. .3 3 横力弯曲梁横截面上的切应力横力弯曲梁横

59、截面上的切应力 薄壁圆环横截面上切应力的大小沿壁厚无变化，或沿壁厚薄壁圆环横截面上切应力的大小沿壁厚无变化，或沿壁厚为常量；任一点处的切应力方向与所在点的圆周边相切。为常量；任一点处的切应力方向与所在点的圆周边相切。 根据薄壁截面上剪流的特点，横截面纵向对称轴线上各点根据薄壁截面上剪流的特点，横截面纵向对称轴线上各点的切应力必为零，切应力沿的切应力必为零，切应力沿y y轴对称分布，且最大切应力仍在中轴对称分布，且最大切应力仍在中性轴上。性轴上。 薄壁圆环截面上最大切应力为薄壁圆环截面上最大切应力为其平均切应力的其平均切应力的2 2倍。倍。3.53.5 平面弯曲梁的变形平面弯曲梁的变形3.5.1

60、3.5.1平面弯曲梁的变形平面弯曲梁的变形 如下图所示简支梁，以变形前直梁的轴线为如下图所示简支梁，以变形前直梁的轴线为x x轴，垂直向轴，垂直向下的轴为下的轴为y y轴，建立轴，建立xOyxOy直角坐标系。当梁在直角坐标系。当梁在xyxy面内发生弯曲时，面内发生弯曲时，梁的轴线由直线变为梁的轴线由直线变为xyxy面内的一条光滑连续曲线面内的一条光滑连续曲线，变形后的梁，变形后的梁轴称为轴称为梁的挠曲线（或弹性曲线）梁的挠曲线（或弹性曲线）。 当梁发生弯曲时梁的各个截面不仅发生了当梁发生弯曲时梁的各个截面不仅发生了线位移（线位移（y y），而且还产生了而且还产生了角位移（角位移（）。3.5.1