第五章 拉普拉斯变换.

1、信号与系统信号与系统Signals and Systems第第5章章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换Signals and Systems5.1 5.1 拉普拉斯变换的定义和收敛域拉普拉斯变换的定义和收敛域5.2 5.2 典型信号的拉普拉斯变换典型信号的拉普拉斯变换5.3 5.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质5.4 5.4 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换5.5 5.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系5.6 5.6 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析5.7 5.7 系统函数系统函数5.8 5.8 周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换周期信号与抽样信

2、号的拉普拉斯变换中国民航大学 CAUC5.1 5.1 拉普拉斯变换的定义和收敛域拉普拉斯变换的定义和收敛域de )j (21)(j tFtfttfFde )()j (tjf (t) = ea at u(t) (a a 0)的傅里叶变换？的傅里叶变换？不存在不存在!f (t) = u(t) 的傅里叶变换？的傅里叶变换？存在存在!中国民航大学 CAUC5.1 5.1 拉普拉斯变换的定义和收敛域拉普拉斯变换的定义和收敛域f (t) = ea at u(t) (a a 0)的傅里叶变换？的傅里叶变换？不存在不存在!as1ttftftttdee )(e )(Fj tttdee)j(0a0)(dettsa

3、js令若若 a a中国民航大学 CAUC5.1 5.1 拉普拉斯变换的定义和收敛域拉普拉斯变换的定义和收敛域推广到一般情况推广到一般情况令令s= +j ttftftttdee )(e )(Fj ttftde )()j()(de )(sFttfstttfsFstde )()(对对 f(t)e- - t求傅里叶反变换可推出求傅里叶反变换可推出ssFtfstde )(j21)(jj双边双边拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换中国民航大学 CAUC5.1 5.1 拉普拉斯变换的定义和收敛域拉普拉斯变换的定义和收敛域)()(tfLsF)()(sFtfL)()(1sFLtf F(s)为单位带宽内各谐波的合成振幅，

4、是密度函数。为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。s是复数，称为是复数，称为复频率复频率，F(s)称称复频谱复频谱。中国民航大学 CAUC5.1 5.1 拉普拉斯变换的定义和收敛域拉普拉斯变换的定义和收敛域关于积分下限的说明：关于积分下限的说明： 积分下限定义为积分下限定义为，目的在于：，目的在于：分析和计算时可以直接利用给定的起始分析和计算时可以直接利用给定的起始0 0- -状态；状态；可把可把f(t)在在t=0时刻出现的冲激包含到积分中去。时刻出现的冲激包含到积分中去。0d)()(ettfsFstjjd)(j21)(essFtfst中国民航大学 CAUC5.1 5.1 拉普拉斯变换的定

5、义和收敛域拉普拉斯变换的定义和收敛域对于函数对于函数f(t)，若当若当 0时时, ,0e )(limtttf则则f(t)e- t在在 0的全部范围内收敛，其积分存在，的全部范围内收敛，其积分存在，f(t)可以进行拉氏变换。可以进行拉氏变换。 0所定义所定义的的s平面范围称为平面范围称为F(s)的收敛域的收敛域。 对单边对单边拉氏变换，拉氏变换，一般一般对对F(s)的收敛域不给标的收敛域不给标注，因为这时注，因为这时F(s)与与f(t)是一一对应的是一一对应的。中国民航大学 CAUC5.1 5.1 拉普拉斯变换的定义和收敛域拉普拉斯变换的定义和收敛域 0称收敛条件称收敛条件收收敛敛域域j 0 0

6、称（绝对）收敛坐标称（绝对）收敛坐标S平面平面右半平面右半平面左半平面左半平面0收敛轴收敛轴 f(t)=eat, a 0, F(s)=Lf(t)，求求F(s)的的收敛域。收敛域。中国民航大学 CAUC5.2 5.2 典型信号的拉普拉斯变换典型信号的拉普拉斯变换)-( 1deee 0aastLstatat j1)(e atuFat)0( 1de1)(0sttuLst )( j1)(tuF中国民航大学 CAUC5.2 5.2 典型信号的拉普拉斯变换典型信号的拉普拉斯变换20200j -jj -j0)j1j1(21 e e21)e (e21cos0000ssssLLLtLtttt202000j -j

7、0 )j1j1(j21 )e (ej21sin00sssLtLtt中国民航大学 CAUC5.2 5.2 典型信号的拉普拉斯变换典型信号的拉普拉斯变换20200)j( -)j( -j -j0)()j(1)j(121 ee21)e (ee21cose 0000asasasasLLtLtatattatat202000)j( -)j( -0)( )j(1)j(1j21 e ej21sine 00asasasLtLtataat中国民航大学 CAUC5.2 5.2 典型信号的拉普拉斯变换典型信号的拉普拉斯变换1de )()(0tttLst1)(tFttsnststtttLstnstnstnstnnde)e

8、 (de)(de )(010-00ttsnstnde01根据以上推理根据以上推理,可得可得)(1)()(21tutLsnsntutLsntutLnnn)(12210tutLsssnsnsn1!)(nLnsntut 1nntLsntL中国民航大学 CAUC5.3 5.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质若若则则)()( ),()(2211sFtfLsFtfL. ),()()()(2122112211为常数和kksFksFktfktfkL若若则则)()(sFtfL1 ()sL f atFaaa 0中国民航大学 CAUC5.3 5.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质若若则则

9、)()(sFtfL)(e)()(000sFttuttfLstt0 0)j (e)(F ),j ()(F 0-j0FttfFtft则若中国民航大学 CAUC5.3 5.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质试求如图所示试求如图所示的单边的单边Laplace变换。变换。f(t)EtT0Lf(t)=0)u(at-t0)，a 0，t0 0。 ( )e(2), ( ).tf tu tF s若求2( 2)() e e( 2)tf tut 22e( )e1sF ss解解: :中国民航大学 CAUC5.3 5.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 例例 求图示信号的拉氏变换。求图示信号的

10、拉氏变换。21s)()(ttutf021stes)()()(001ttutttfsts1102)()()(02tutttf解解: :中国民航大学 CAUC5.3 5.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质若若则则)()(sFtfL)(e )(asFtfLat求求e-atsin 0t和和e-atcos 0t的的Laplace变换。变换。解解: :202020200cos , sin sstLstL202020200)(cose , )(sine asastLastLatat中国民航大学 CAUC5.3 5.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质)()(sFtfL)0()0()

11、0()(d)(d)0()(d)(d)1()1(21 nnnnnnffsfssFsttfLfssFttfL若若则则式中，式中，f(0-)及及f(k)(0-)分别表示在分别表示在t=0-时时f(t)及及f(k)(t)的值。的值。? d)()( dd)(d , )()()(是否正确ttutfLttfLtutfLtfL中国民航大学 CAUC5.3 5.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质时域微分特性的特点时域微分特性的特点它能将时域中的它能将时域中的微分运算微分运算化为化为s域中的域中的乘法运算乘法运算，因此它就可将微分方程变换为因此它就可将微分方程变换为s域中的代数方程；域中的代数方程；

12、微分特性在将时域中的微分运算化为微分特性在将时域中的微分运算化为s域中的域中的乘法运算的变换式中，自动引入了起始状态乘法运算的变换式中，自动引入了起始状态f(0-) ，这就避免了在系统分析中由，这就避免了在系统分析中由f(0-)求求f(0+)这一步，使我们可直接利用已知的这一步，使我们可直接利用已知的f(0-)条件，条件，给系统的分析带来了极大的方便。给系统的分析带来了极大的方便。中国民航大学 CAUC5.3 5.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质。求求图图示示信信号号)(),(sFtf解：解：)(2)2(4)(2)( ttttfsseetfLsF242)()(2/ 2)242(

13、1)()(2/1sseestfLsF)21 (2)(2/2sseessF22/2)1 (2ses 例例 中国民航大学 CAUC5.3 5.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质sfssFfLt)0()(d)()1()()(sFtfL若若则则ssFfLt)(d)(000)1(d)(d)()0(,ffftt式中求求tu(t)和和tnu(t)的的Laplace变换。变换。中国民航大学 CAUC5.3 5.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质)()(sFtfL若若则则nnnnssFtftLssFttfLd)(d) 1()( , d)(d)()()(sFtfL若若则则sxxFttf

14、Ld)()(中国民航大学 CAUC5.3 5.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质。求求)(,sin)()111sFtttf。求）)( ,sin)(2202sFdxxxtft 例例 解：解：11sin 2stttsin dxxs112sarctg1sarctgssF11)(2中国民航大学 CAUC5.3 5.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质)(lim )()( ssF，sFtfLs且若 0)(lim)(lim)0()(stssFtfftf的初值则则)(limssFs在时域中意味着在时域中意味着f(t)不含冲激不含冲激或冲激的导数；或冲激的导数；，ssFs)(lim若

15、则不可直接利用则不可直接利用“初值定理初值定理”求求f(t)的初值。的初值。中国民航大学 CAUC5.3 5.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 例例 。 )0( 1)()(f，sstfLsF试求给定)(lim )()( tf，sFtfLt且 0 )(lim)(lim)()(stssFtfftf的终值则则若若)(limtft在在s域中意味着域中意味着F(s)的极点均在的极点均在s左半平面及原点仅有单极点；左半平面及原点仅有单极点；中国民航大学 CAUC5.3 5.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 例例 . 1)1()(”“,1)()( ) 1 (lim0ssf，s

16、tuLsFs即终值定理可应用有单极点在原点01(2) ( )e (0),1“”,( )()0.limatsF sLasassafssa 其极点在 左半平面可应用 终值定理 即1(3) ( )e (0),“”( ).atF sLasassaf其极点在 右半平面不可应用 终值定理 求得中国民航大学 CAUC5.3 5.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 例例 ).(,)23(5)()(2fssstfLsF求)()(),()()()(221121sFtfLsFtfL，tftf且均为因果信号与)()()(*)(2121sFsFtftfL则则若若中国民航大学 CAUC5.4 5.4 拉普拉

17、斯反变换拉普拉斯反变换 0de )(j2100jjtssFttfts（1 1）查表法）查表法（2 2）利用常用信号拉氏变换与基本性质）利用常用信号拉氏变换与基本性质（3 3）部分分式法）部分分式法 ( (亥维赛德展开定理亥维赛德展开定理) )（4 4）留数法）留数法回线积分法回线积分法（5 5）数值计算方法）数值计算方法计算机计算机方法：方法：中国民航大学 CAUC5.4 5.4 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换01110111)()()(bsbsbsbasasasasBsAsFnnnnmmmmam和和bn 都是实数，都是实数，m与与n是正整数。是正整数。 F(s)为为( m n)，极点为，极点为

18、)()()()()()(21npspspssAsBsAsFnnpskpskpsksF2211)(nisFpskipsii, 2 , 1)()()()eee()(2121tukkktftpntptpn中国民航大学 CAUC5.4 5.4 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换01110111)()()(bsbsbsbasasasasBsAsFnnnnmmmm F(s)为为( m n)，包含一对，包含一对共轭共轭)()()( ,)j()j()( )j()j()()()()()()()(1122sDsAsFsssFsssDsAssDsAsBsAsF其中aaaaa aaaajj)j()j()()()()(211

19、sKsKsssFsBsAsFaaaj2)j()()j(1j1FsFsKsaaaj2-)j()()j(1j2FsFsKs中国民航大学 CAUC5.4 5.4 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 F(s)为为( m n)，包含一对，包含一对共轭共轭 aaaajj)j()j()()()()(211sKsKsssFsBsAsF,j2)j()()j(1j1aaaFsFsKsaaaj2-)j()()j(1j2FsFsKs21KK jj21aapp j j 21BAKBAK令)()sincos(2e jj)(t-211tutBtAsKsKLtfcaaa中国民航大学 CAUC5.4 5.4 拉普拉斯反变换拉普拉斯反

20、变换 例例 ).(,)2)(52(3)()(22tfsssstfLsF求解：解：)2 j-1()2 j1()2(3)(2sssssF)2 j1(j2)1()2(321sKsKsK5/7)()2(21ssFsKj21 52j51)()2 j1(j212psFsKsA Ba a0 ),2sin522cos51(e2e57)( 2ttttftt中国民航大学 CAUC5.4 5.4 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 F(s)为为( m n)，包含，包含k重重01110111)()()(bsbsbsbasasasasBsAsFnnnnmmmm)()()()()()(1sDpssAsBsAsFk)()()()

21、()()(111112111sDsEpsKpsKpsKsFkkk 111)()(dd21 ,)()(dd , )()(12213112111pskpskpsksFpssKsFpssKsFpsKkisFpssiKpskiii, 2 , 1 ,)()(dd)!1(1111 1 -1 中国民航大学 CAUC5.4 5.4 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 F(s)为为( m n)，包含，包含k重重)()()()()()(1sDpssAsBsAsFk)()()()()()(111112111sDsEpsKpsKpsKsFkkk : ,e!1)(1 1可得利用atnntnas 0 ,)()(ee)!2(e)

22、!1( )()(112121111111tsDsELKtkKtkKsFLtftpktpktpk中国民航大学 CAUC5.4 5.4 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 例例 ).(,) 1(2)()(3tfssstfLsF求 F(s)为为( m n)01110111)()()(bsbsbsbasasasasBsAsFnnnnmmmm)()()()()(12210sBsAsBsBsBBsBsAsFnmnm)()(1sBsA为为，根据极点情况按，根据极点情况按展开展开。 0 ,)()()()()( )()(11)(101tsBsALtBtBtBsFLtfnmnm中国民航大学 CAUC5.4 5.4 拉普

23、拉斯反变换拉普拉斯反变换 例例 ).(,35210114)()(22tfsssstfLsF求解：解：2312 232522235242)(2122sKsKsssssssF2/5122/ , 32/322/2/3211ssssKssK2/32/5132)( sssF0 ,e25e3)(2)( 23tttftt中国民航大学 CAUC5.4 5.4 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换22e( )( )25ssF sf tss已知，求？ 例例 2212e( )( )25sssF sFs ess4) 1(14) 1(122sss)(2sin212cos)()(111tutetesFLtftt)(2sin2co

24、s221tuttetsesFLtf211)()()2()2(2sin)2(2cos221)2(tuttet4) 1()(21sssF解：解：中国民航大学 CAUC5.4 5.4 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换小结拉普拉斯反变换小结首先判断首先判断F(s)是否为真分式，若不是，则必是否为真分式，若不是，则必须将须将F(s)化为真分式，再进行第化为真分式，再进行第2）步；若是，则）步；若是，则进行第进行第2）步。）步。2）对于为真分式的对于为真分式的F(s)，将，将F(s)按极点展开为按极点展开为部分分式，求对应极点的留数。部分分式，求对应极点的留数。01110111)()()(bsb

25、sbsbasasasasBsAsFnnnnmmmm3）对对F(s)的每一个部分分式进行拉氏反变换，的每一个部分分式进行拉氏反变换，从而得到从而得到f(t)。中国民航大学 CAUC5.5 5.5 拉氏变换与傅氏变换的关系拉氏变换与傅氏变换的关系双边拉氏变换双边拉氏变换s= +j -t单边拉氏变换单边拉氏变换s= +j 0 t傅氏变换傅氏变换s=j -t当当t 0时，时，f(t)=0? ? =0Lf(t)=Ff(t)e- t s= +j Lf(t)=Ff(t)u(t)e- t s= +j 中国民航大学 CAUC5.5 5.5 拉氏变换与傅氏变换的关系拉氏变换与傅氏变换的关系，f(t)的的拉氏变换存

26、在而傅氏变换均不存在。拉氏变换存在而傅氏变换均不存在。，f(t)的拉氏变换和傅氏变换均存在。的拉氏变换和傅氏变换均存在。j)()j (ssFF中国民航大学 CAUC5.5 5.5 拉氏变换与傅氏变换的关系拉氏变换与傅氏变换的关系，f(t)的的拉普拉普拉斯变换和傅里叶变换均存在。拉斯变换和傅里叶变换均存在。)()()j (1njnNnsKsFFNnnnasKsFsF1j)()(Fa(s)的极点位于的极点位于s左半平面左半平面。, )j()()(00kasKsFsF)()!1(j)()j (0)1(10jkkskKsFF中国民航大学 CAUC5.6 5.6 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复

27、频域分析已知系统的微分方程已知系统的微分方程用拉氏变换解微分方程用拉氏变换解微分方程 )()(dd)(dd)(d)(d)(dd)(d)(d)(d 1111011110teEdtteEtteEtteEtrCttrCttrCtttrCmmmmmmnnnnnn拉氏变换的微分定理拉氏变换的微分定理s域代数方程域代数方程解解s域代数方程域代数方程R(s)r(t)r(t)=L-1R(s)中国民航大学 CAUC5.6 5.6 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析已知电路已知电路用拉氏变换解电路用拉氏变换解电路时域电路时域电路s域电路域电路电路元件的电路元件的s域模型域模型解解s域电路（如同解纯电

28、阻电路一样）域电路（如同解纯电阻电路一样）R(s)r(t)r(t)=L-1R(s)中国民航大学 CAUC5.6 5.6 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析拉氏反变换拉氏反变换S域响应域响应R(s)解代数方程解代数方程时域微分方程时域微分方程时域响应时域响应r(t)解微分方程解微分方程拉氏变换拉氏变换S域代数方程域代数方程中国民航大学 CAUC5.6 5.6 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析 )()(dd)(dd)(d)(d)(dd)(d)(d)(d 1111011110teEdtteEtteEtteEtrCttrCttrCtttrCmmmmmmnnnnnne(t)

29、为激励为激励,r(t)为响应为响应;Ci 、 Ej为常数为常数(i=0,1,2,n;j=0,1,2,m)。令令e(t)为因果信号为因果信号 )(0)(0)0()(d)(d )1()1(2100 nnnnnnrrsrssRsCttrC )(0)(0)0()(d)(d )2()1(3211111 nnnnnnrrsrssRsCttrC )0()(d)(d 11rssRCttrCnn )()( sRCtrCnn中国民航大学 CAUC5.6 5.6 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析 )()(dd)(dd)(d)(d)(dd)(d)(d)(d 1111011110teEdtteEtteE

30、tteEtrCttrCttrCtttrCmmmmmmnnnnnn令令e(t)为因果信号为因果信号 )(d)(d 0m0sEsEtteEmm )(d)(d 1111m1sEsEtteEmm )(d)(d 11ssEEtteEmm )()( sEEteEmm中国民航大学 CAUC5.6 5.6 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析)0( )0()( )0()( )0()( )()( )()( )1(0)2(10)1(231201211011101110 nnnnnnnnmmmmnnnnrCrCsCrCsCsCrCsCsCsEEsEsEsEsRCsCsCsCA0(s)A1(s)An-2(

31、s)An-1(s)中国民航大学 CAUC5.6 5.6 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析)0()()()( )()(10)(11101110 niiimmmmnnnnrsAsEEsEsEsEsRCsCsCsC)()()0()( )( )( 111010)(11101110sRsRCsCsCsCrsAsECsCsCsCEsEsEsEsRzizsnnnnniiinnnnmmmm Rzs(s)Rzi(s)中国民航大学 CAUC5.6 5.6 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析)()()0()( )( )( 111010)(11101110sRsRCsCsCsCrsAsE

32、CsCsCsCEsEsEsEsRzizsnnnnniiinnnnmmmm Rzs(s)Rzi(s)nnnnmmmmCsCsCsCEsEsEsE 11101110 Rzs(s)nnnnCsCsCsC 11101 Rzi(s)R(s)E(s)0()()(10iniirsA中国民航大学 CAUC5.6 5.6 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析nnnnmmmmzsCsCsCsCEsEsEsEsEsRsH 11101110 )()( )( : 系统函数定义)( )( 11101110sECsCsCsCEsEsEsEsRnnnnmmmmzs )()(dd)(dd)(d)(d)(dd)(d)

33、(d)(d 1111011110teEdtteEtteEtteEtrCttrCttrCtttrCmmmmmmnnnnnn中国民航大学 CAUC5.6 5.6 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析 例例 已知某已知某LTI系统的零输入响应为系统的零输入响应为rzi(t)=-e-t-5e-5tu(t)，根，根据这一已知条件回答以下两个问题：据这一已知条件回答以下两个问题：（1 1）能否唯一确定系统函数的全部零点？若能，请列出。）能否唯一确定系统函数的全部零点？若能，请列出。（2）能否唯一确定系统函数的全部极点？若能，请列出。）能否唯一确定系统函数的全部极点？若能，请列出。解：解：nnn

34、nmmmmCsCsCsCEsEsEsEsH 11101110 )( nnnnniiiziCsCsCsCrsAsR 111010)()0()( )( （1）不能。）不能。（2）能唯一确定）能唯一确定H(s)的全部极点。极点为的全部极点。极点为-1、-5。中国民航大学 CAUC5.6 5.6 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析 例例 系统的微分方程为系统的微分方程为 r ,(t) + 5r ,(t) + 6r(t) = 2e (t) + 8e(t)，激励激励 e(t) = e tu(t)，起始状态，起始状态r(0 )=3，r，(0 )=2，求响应求响应r(t)，并指出零输入，并指出零

35、输入 响应和零状态响应响应和零状态响应。解：解：)(8)(2)(6)0 ()( 5)0 ( )0 ()(,2sEssEsRrssRrsrsRs) 65()0( )0() 5()(6582)(22ssrrssEssssR)()(sRsRzizs,3821165173)(2ssssssRzi0,e8e11)()(321tsRLtrttzizi)()ee4e3 ()()(321tusRLtrtttzszs312413116582)(2ssssssssRzs0,e7e7e3)()()(32ttrtrtrtttzizs中国民航大学 CAUC5.6 5.6 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析

36、已知电路已知电路时域响应时域响应r(t)S域响应域响应R(s)拉氏反变换拉氏反变换列写微方列写微方拉氏变换拉氏变换中国民航大学 CAUC5.6 5.6 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析 给定如图所示的电路，给定如图所示的电路，t 0时开关时开关S处于位置处于位置1且已达到且已达到稳态；当稳态；当t=0时，时，S由位置由位置1转向位置转向位置2。分别求。分别求vc(t)与与vR(t)。 EE+ + + +RC12vc(t)+ + + + vR(t)中国民航大学 CAUC5.6 5.6 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析 在下图所示的电路中，已知在下图所示的电路中，已

37、知C=1/2F,R1=R2=2 ,L=2H，起始状态起始状态v1(0-)=1V，v1(0-)=2V/s；激励；激励is(t)=u(t) (A)，为为单位阶跃电流。求响应单位阶跃电流。求响应v1(t) ，并指出，并指出v1zs(t)和和v1zi(t)各是各是什么？什么？ is(t)R2Cv1(t)+ + LR1中国民航大学 CAUCRiR(t)vR(t)+ +- -vR(t)=RiR(t)RIR(s)VR(s)+ +- -VR(s)=RIR(s)时时 域域s 域域5.6 5.6 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析中国民航大学 CAUCCic(t)vc(t)+ +- -vc(0-)0

38、(d)(1 d)(1d)(1 d)(1)(000tccctctccviCiCiCiCtvIc(s)Vc(s)+ +- -+ +- -sC1svc)0(svsIsCsVccc)0()(1)(时时 域域s 域（电压源模型）域（电压源模型）5.6 5.6 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析中国民航大学 CAUCttvCticcd)(d)(Cic(t)vc(t)+ +- -vc(0-)时时 域域s 域（电流源模型）域（电流源模型）)0()()(cccCvssCVsIIc(s)Vc(s)+ +- -sC1)0(cCv5.6 5.6 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析中国民航大

39、学 CAUCttiLtvLLd)(d)(LiL(t)vL(t)+ +- -iL(0-)0()()(LLLLissLIsVIL(s)VL(s)+ +- -+ +- -sL)0(LLi时时 域域s 域（电压源模型）域（电压源模型）5.6 5.6 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析中国民航大学 CAUCtLLLivLti0)0(d)(1)(LiL(t)vL(t)+ +- -iL(0-)时时 域域s 域（电流源模型）域（电流源模型）sisVsLsILLL)0()(1)(IL(s)VL(s)+ +- -sLsiL)0(5.6 5.6 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析中国民航

40、大学 CAUC2）比例器）比例器 r(t)=Ae(t)1）加法器）加法器 r(t)=e1(t)+e2(t)R(s)= E1(s) +E2(s)R(s)= AE(s)R(s)E(s)E1(s)E2(s)R(s)5.6 5.6 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析中国民航大学 CAUC-( )( )(0 )R ssE sed ( )( )de tr tt-( )( )dtr te3）微分器）微分器4）积分器）积分器(1)(0 )( )( )eE sR sssR(s)E(s)+ + +(1)-(0 ) /es5.6 5.6 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析-(0 )eE(

41、s)R(s)中国民航大学 CAUC将时域电路的每一个元件都用相应的将时域电路的每一个元件都用相应的s域模型代替，域模型代替，便将时域电路转化成了复频域电路；便将时域电路转化成了复频域电路；分析复频域电路就象分析时域分析复频域电路就象分析时域纯电阻纯电阻电路一样，可电路一样，可采用欧姆定律、采用欧姆定律、KVL及及KCL进行。进行。1） 画出画出t=0-时的等效电路，求起始状态；时的等效电路，求起始状态；2） 画出加入激励时的画出加入激励时的s域等效模型；域等效模型；3） 列列s域电路方程（代数方程）；域电路方程（代数方程）；4） 解解s域方程，求出域方程，求出s域响应；域响应；5） 反变换求反

42、变换求t域响应。域响应。5.6 5.6 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析中国民航大学 CAUC 给定如图所示的电路，给定如图所示的电路，t 0时开关时开关S处于位置处于位置1且已达到且已达到稳态；当稳态；当t=0时，时，S由位置由位置1转向位置转向位置2。分别求。分别求vc(t)与与vR(t)。 EE+ + + +RC12vc(t)+ + + + vR(t)5.6 5.6 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析中国民航大学 CAUC 在下图所示的电路中，已知在下图所示的电路中，已知R=1 ，C=1F，激励激励 vs(t)=(1+e-3t)u(t) (V)，起始状态起始

43、状态vc(0-)=1V 。求响应电压。求响应电压vc(t) ，并指出，并指出vczs(t)和和vczi(t)各是什么？各是什么？ vs(t)RCvc(t)+ + + + i (t)5.6 5.6 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析 Vs(s)R+ + + + I (s)+ +sC1 Vc(s)vc(0 )/s311)()(sssvLsVSSsCRsvsVsICS1)0()()(中国民航大学 CAUC5.6 5.6 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析 Vs(s)R+ + + + I (s)+ +sC1 Vc(s)vc(0 )/sRCsvRCsRCsVsvsIsCsVC

44、SCC1)0(1/)( )0()(1)(32/112/11 )3)(1(321/)()( sssssssRCsRCsVsVSCZS中国民航大学 CAUC5.6 5.6 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析32/112/11)( ssssVCZSvczs(t)=L-1Vczs(s)=(1-0.5e-3t-0.5e-t)u(t)=(1-0.5e-3t-0.5e-t)u(t)vcp(t)vch(t)vcs(t)vct(t)暂态（瞬态）响应暂态（瞬态）响应:随着时间的增大该响应将逐渐减随着时间的增大该响应将逐渐减小，并最终趋于零；小，并最终趋于零；稳态响应稳态响应:随着时间的增大该响应随着

45、时间的增大该响应不会消失不会消失。激励激励vs(t)=(1+e-3t)u(t) 中国民航大学 CAUC5.6 5.6 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析RCsvRCsRCsVsVCSC1)0(1/ )()(111)0()(CZisRCsvsVCvczi(t)=L-1Vczi(s)=e-tu(t)激励激励vs(t)=(1+e-3t)u(t) vch(t)，vct(t)vc(t)=vczs(t)+vczi(t)=1-0.5e-3t-0.5e-t+e-t t 0=1-0.5e-3t+0.5e-t t 0=1-0.5e-3t+0.5e-t t 0vczs(t)vczi(t)vcp(t)v

46、ch(t)vcs(t)vct(t)中国民航大学 CAUC5.6 5.6 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析稳定稳定系统各种响应之间的关系系统各种响应之间的关系全响应全响应零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应强迫响应强迫响应自由响应自由响应稳态响应稳态响应暂态响应暂态响应减幅减幅等幅等幅中国民航大学 CAUC5.7 5.7 系统函数系统函数nnnnmmmmzsCsCsCsCEsEsEsEsEsRsH 11101110 )()( )( : 系统函数定义 )()(dd)(dd)(d)(d)(dd)(d)(d)(d 1111011110teEdtteEtteEtteEtrCttrCt

47、trCtttrCmmmmmmnnnnnn中国民航大学 CAUC5.7 5.7 系统函数系统函数零状态零状态rzs(t)=h(t)e(t)= (t)()()( sEsRsHzs)()()( sHsEsRzs若若 E(s)=L (t)=1则则 Rzs(s)=冲激响应的拉氏变换冲激响应的拉氏变换=1 H(s)=H(s)()( sHth中国民航大学 CAUC5.7 5.7 系统函数系统函数即：激励为即：激励为est 时，时， H(s) 为系统零状态响应的为系统零状态响应的加权函数加权函数。 3）H(s)仅仅取决于系统自身的结构和参数，而与激励取决于系统自身的结构和参数，而与激励的形式的形式无任何无任何

48、关系。关系。 sHth) 1时，当sttee)()2stzssHtre)()(，系统单位冲激响应的拉氏变换，系统单位冲激响应的拉氏变换中国民航大学 CAUC5.7 5.7 系统函数系统函数策动点策动点导纳导纳策动点策动点阻抗阻抗)()()(12sUsIsH)()()(12sIsUsH)()()(12sUsUsH)()()(12sIsIsH )()(22sIsUsZout )()(22sUsIsYout )()(11sIsUsZin )()(11sUsIsYin转移转移导纳导纳转移转移阻抗阻抗转移转移电压比电压比转移转移电流比电流比策动点函数：策动点函数：激励与响应激励与响应 在同一端口在同一端

49、口转移函数：转移函数：激励与响应激励与响应不不在同一端口在同一端口中国民航大学 CAUC5.7 5.7 系统函数系统函数h(t)e(t)r(t)=e(t) h(t)E(s)R(s)=E(s)H(s)H(s) 由系统的冲激响应求解：由系统的冲激响应求解：H(s)=Lh(t)(/ )()(sEsRsHzs中国民航大学 CAUC5.7 5.7 系统函数系统函数 例例 已知描述系统的微分方程为已知描述系统的微分方程为)(3d)(d2)(2d)(d3d)(d22tettetrttrttr激励为激励为e(t)=(1+e-t)u(t)，求系统函数，求系统函数H(s)。中国民航大学 CAUC5.7 5.7 系统函数系统函数 例例 下图所示的电路中，电容均为下图所示的电路中，电容均为1F1F，电阻均，电阻均为为1 1 ，试求电路的传递函数，试求电路的传递函数H(s)=I2(s)/V1(s)。1 1 1 1F1F+ +- -v1(t)i2(t)中国民航大学 CAUC 例例 已知系统模拟框图如图示，写出系统函数已知系统模拟框图如图示，写出系统函数H(s)=R(s