第十章：静电场中的电介质.

1、第十章第十章 静电场中的电介质静电场中的电介质Review存在存在大量大量的可的可自由移动自由移动的电荷。的电荷。导体（导体（conductor):conductor):0E+E0E0E电介质（电介质（dielectric)dielectric)：理论上认为一个自由移动的电荷也没有理论上认为一个自由移动的电荷也没有. .所以，电场中的电介质不可能产生一个与原场相抵消的附加电场！所以，电场中的电介质不可能产生一个与原场相抵消的附加电场！0EE10.1 10.1 电介质对电场的影响电介质对电场的影响rEE0 r 电介质的相对介电常数电介质的相对介电常数介质中电场减弱介质中电场减弱1r10.2 10

2、.2 电介质的极化电介质的极化 非极性分子（无极分子）非极性分子（无极分子）极性分子极性分子 + + - -lqp无外场时（热运动）无外场时（热运动）整体对外整体对外不显电性不显电性(非极性分子电介质非极性分子电介质)(极性分子电介质极性分子电介质)0p+一、极化机制一、极化机制-+有外场时有外场时( (分子分子) ) 位移极化位移极化( (分子分子) ) 取取向极化向极化束缚电荷束缚电荷束缚电荷束缚电荷0EEE0EEE 非极性分子电介质非极性分子电介质 极性分子电介质极性分子电介质 E +E+-+总结：总结：束缚电荷束缚电荷束缚电荷束缚电荷0EEE0EEE 非极性分子电介质非极性分子电介质

3、极性分子电介质极性分子电介质 0E 0p 0E 0ip 电中性电中性 束缚电荷束缚电荷0E 0p 0ip 0E 0ip 电中性电中性束缚电荷束缚电荷虽然两种电介质受外场影响所发生的变化的虽然两种电介质受外场影响所发生的变化的微观机制不微观机制不同同，但是他们所表现的，但是他们所表现的宏观效果都是一样的宏观效果都是一样的。 电偶极子排列的有序程度反映了介质被极化的程度，排电偶极子排列的有序程度反映了介质被极化的程度，排列愈有序说明极化程度愈高。列愈有序说明极化程度愈高。二、二、电极化强度电极化强度描述极化强弱的物理量描述极化强弱的物理量在电介质中取一在电介质中取一宏观无限小微观无限大宏观无限小微

4、观无限大的体积元的体积元V定义电极化强度：定义电极化强度：0limiiVpPVipV非极性分子：非极性分子：Pnp1 1、定义、定义ip是每个分子的电偶极矩是每个分子的电偶极矩电极化强度越大，电介质被极化的程度越高。电极化强度越大，电介质被极化的程度越高。放在外电场放在外电场E中中电场强度越大，电极化强度越大：电场强度越大，电极化强度越大：有电介质存在时，空间任一点的有电介质存在时，空间任一点的总电场场强总电场场强0EEE实验表明，对各向同性的线性均匀电介质，实验表明，对各向同性的线性均匀电介质，电极化强度电极化强度与与总场总场强强的关系为：的关系为：00(1)rPEE：电介质的相对介电常数：

5、电介质的相对介电常数r：电介质电极化率：电介质电极化率1r源场源场0E极化场极化场E合场合场E2 2、E E与与P P的关系：的关系：3、电极化强度与极化电荷的关系电极化强度与极化电荷的关系在已极化的介质内任意作一闭合面在已极化的介质内任意作一闭合面S S 将把位于将把位于S附近的电介质分子分为两部分，一部分附近的电介质分子分为两部分，一部分在在S内，一部分在内，一部分在S 外。外。 只有电偶极矩穿过只有电偶极矩穿过S 的分子对的分子对S内的极化电荷有贡献。内的极化电荷有贡献。 1) 1) dS对对S内极化电荷的贡献内极化电荷的贡献l 在在dS附近厚为附近厚为 的薄层的薄层内，设其分子数密度为

6、内，设其分子数密度为nl SdSEP如果如果 /2 落在面内的是负电荷落在面内的是负电荷；如果如果 /2 落在面内的是正电荷。落在面内的是正电荷。所以，所以，ds对对S内极化电荷的贡献为：内极化电荷的贡献为：dqP ds qndVqdcosPdSP dS则落在则落在S内的极化电荷量为：内的极化电荷量为：cosqnl dSl SdSEP2 2）S所围的体积内的极化电荷为所围的体积内的极化电荷为SqPdS 封闭面内体束缚电荷等封闭面内体束缚电荷等于通过该封闭面的电极化强于通过该封闭面的电极化强度的通量的负值。度的通量的负值。3 3）电介质表面极化电荷面密度）电介质表面极化电荷面密度dqP dS d

7、Sqd cosPnnP eP ：表示介质外表：表示介质外表面法线方向面法线方向necosPdSlP dSEVdS lPE极化电荷面密度等于电极化强度沿介极化电荷面密度等于电极化强度沿介质表面法线方向的分量。质表面法线方向的分量。介质：介质：EE0E00intintsE dsqqiq0qq自由电荷自由电荷极化电荷极化电荷0intint01()sE dsqq00int()sEPdSq10.3 10.3 的高斯定理的高斯定理D0intsqP dSintsP dsq导体导体0电介质电介质 考虑自由电荷和极化电荷同时存在时的电场考虑自由电荷和极化电荷同时存在时的电场q0intqint取如图所示高斯面取如

8、图所示高斯面SdsP闭合曲面闭合曲面SPED00intsD dsq1、引入、引入 电位移矢量电位移矢量- 介质中高斯定理介质中高斯定理00int()sEPdSq 电位移矢量电位移矢量D D是同时描述电场和电介质极化的复合矢量是同时描述电场和电介质极化的复合矢量2.有电介质时的高斯定律有电介质时的高斯定律无电介质时，无电介质时，P=0，还原为真空中的高斯定律。，还原为真空中的高斯定律。三矢量之间关系三矢量之间关系DPE、讨论：讨论：1）0D=E+P0(1)rPEE00(1)rDEE0 rE 0 r 称为电介质的介电常数（电容率）称为电介质的介电常数（电容率）D , E , P方向一致方向一致2）

9、如何计算介质中的总场强？）如何计算介质中的总场强？0intsD dsqDEEDr0E 只有对那些自由电荷和电介质的分布都具有一定只有对那些自由电荷和电介质的分布都具有一定对称性的系统，才能用电介质的高斯定律简便的求解！对称性的系统，才能用电介质的高斯定律简便的求解！D D的高斯定律的应用的高斯定律的应用1、分析自由电荷分布和电介质分布的对称性，选择适、分析自由电荷分布和电介质分布的对称性，选择适当的高斯面，求出电位移矢量。当的高斯面，求出电位移矢量。2、根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。、根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。3、根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。、根据电极化强度

10、与电场的关系，求出电极化强度。4、根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。、根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。DSSq内int00d)(SPEEDEP) 1(0 rnP eqP ds EPq例例1 1：导体球带电：导体球带电Q Q ，置于均匀各向同性介质中，置于均匀各向同性介质中，求：求：1、场、场的分布；的分布；2、紧贴导体球表面处的极化电荷；紧贴导体球表面处的极化电荷；3、两介质交界、两介质交界处的极化电荷。处的极化电荷。 01r2r 解：解：1 1、场的分布、场的分布1Rr 01E21RrR rrerQE2102432RrR rerQE20441R2R3RrSSqD内int

11、0dS24 rDQ24 rQD01r2r 0R1R2R2 2、求紧贴导体球表面处的极化电荷、求紧贴导体球表面处的极化电荷1P21101041RQrr21114 RqQrr111cos11P3 3、两介质交界处极化电荷、两介质交界处极化电荷22224 RqQrr111neP32qqq22334 RqQrr221nene例例2 2：无限长同轴金属圆筒，内外筒半径分别为：无限长同轴金属圆筒，内外筒半径分别为R R1 1和和R R2 2，内外筒，内外筒间充满相对介电常数为间充满相对介电常数为 r r的油，在的油，在内外筒间加上电压内外筒间加上电压U U ( (外筒为外筒为正极），求电场及束缚电荷分布。

12、正极），求电场及束缚电荷分布。解：解：由自由电荷和电介质分布的对称性，电场强度和由自由电荷和电介质分布的对称性，电场强度和电位移矢量均应有轴对称性。电位移矢量均应有轴对称性。 做与圆筒同轴的圆柱面为做与圆筒同轴的圆柱面为高斯面，高为高斯面，高为llP1R2R0intq0int12Dqrl2SD dSDrl设内圆筒单位长度带电为设内圆筒单位长度带电为l l由电位移与电场的关系由电位移与电场的关系rD0E得得D01Rr rl221RrR02Rr E10Rr 2102RrRrrl20Rr lP1R2R12rdRRUE12d20RRrrrl210ln2RRrl解出解出并代入得到电场的分布为：并代入得到

13、电场的分布为：E方向沿半径向里方向沿半径向里内外筒电势差即电压内外筒电势差即电压10Rr 2121)/ln(RrRRRrU20Rr lP1R2REP) 1(0r由由得电极化强度矢量的分布得电极化强度矢量的分布P由由得束缚电荷的分布得束缚电荷的分布cosP10Rr 方向沿半径向里方向沿半径向里21210)/ln(1RrRRRrUr20Rr lP1R2R0112(1)ln(/)rPU RR R 0212(1)ln(/)rPU RR R 极化电荷在介质内表面为负，外表面为正。极化电荷在介质内表面为负，外表面为正。面密度不同，但极化电荷量相同。面密度不同，但极化电荷量相同。处1Rr 处2Rr r0例例

14、3 3：一无限大各向同性均匀介质平板厚度为：一无限大各向同性均匀介质平板厚度为d d，相对介电常，相对介电常数为数为r r，内部均匀分布体电荷密度为，内部均匀分布体电荷密度为 的自由电荷，求：的自由电荷，求：介质板内、外的介质板内、外的D D、E E、P P。0解：解：纵向切成许多个无限大平面，纵向切成许多个无限大平面，d d取坐标系如图取坐标系如图xorX=0处的平面为对称面。处的平面为对称面。电位移和电极化强度矢量也垂直于对称面。电位移和电极化强度矢量也垂直于对称面。0d dE0 自由电荷和极化电荷分布具有面对称性，自由电荷和极化电荷分布具有面对称性， 电场方向垂直于对称面。电场方向垂直于

15、对称面。以以x=0 x=0处的面为对称面，过场点作处的面为对称面，过场点作长方体形高斯面长方体形高斯面 r0od dxxS S2dx 当1、P02Sx2 DSsdDSxD0EDr 0 00 xrrrxP012dx 当2、r0d dxxS SPdS02DSsdDSdD20EDd00020P电容只与导体的几何因素和介质有关，与导体是否带电无关电容只与导体的几何因素和介质有关，与导体是否带电无关10.4 10.4 电容器和它的电容电容器和它的电容 1. 孤立导体的电容孤立导体的电容单位单位: :法拉法拉( F )Qu 电容：电容：uQC + +QuE半径为半径为R 的的孤立导体球的电容孤立导体球的电

16、容: :RC04Rr204RQErRQur04介质中：介质中：表征导体储电能力的物理量！表征导体储电能力的物理量！若若 R = Re , 则则 C = 714 F 若若 C = 1 10 3 F , 则则 R = ?C = 1 10 -3 F啊啊, ,体积体积还这么还这么大大! !1.8m9m1）定义：通常，由彼此绝）定义：通常，由彼此绝缘相距很近的两导体构成缘相距很近的两导体构成电容器。电容器。极板极板极板极板+ Q- QUU 其中一个导体极板带电的绝对值其中一个导体极板带电的绝对值Q两导体极板的电势差两导体极板的电势差2. 电容器的电容电容器的电容2）电容器的电容）电容器的电容QCU电容器

17、电容的大小取决于极板的形状、电容器电容的大小取决于极板的形状、大小、相对位置以及极板间介质。大小、相对位置以及极板间介质。插接（插接（3）dUS+Q-Q0rQdUEdS 0 rQSCUd(1) 平行板电容器平行板电容器3)几种常见的电容器几种常见的电容器平行板电容器平行板电容器柱形电容器柱形电容器球形电容器球形电容器dr1R2Rr1R2Rr讨论讨论3 3）dSC00rrSQE000CCr0CCr1 1）CS1Cd2）C的大小取决于电容器本身的大小取决于电容器本身结构以及极板间介质，与它是否结构以及极板间介质，与它是否带电无关。带电无关。 反映了电容器贮存电荷本领的大小。反映了电容器贮存电荷本领

18、的大小。(2) 球形电容器球形电容器QDr24204rQEr01211()4braQUE drRR 012214rQR RCURR 电容器电容的计算电容器电容的计算 QEUQCUrR1R2+Q-Q讨论讨论2R 014rCR 孤立导体电容孤立导体电容所以孤立导体可以看成是另一个球在无穷远处的球形电容器！所以孤立导体可以看成是另一个球在无穷远处的球形电容器！0212ln()rQlCUR R uR1R2lh(3) 柱形电容器柱形电容器讨论讨论2 2）电容只决定于电容器的结构，是固定值；）电容只决定于电容器的结构，是固定值； 与导体是否带电荷所带电荷多少无关。与导体是否带电荷所带电荷多少无关。0CCr

19、1 1）3、电容器的标识有两个重要的性能指标：、电容器的标识有两个重要的性能指标：一是电容值，二是耐压。一是电容值，二是耐压。增大电容值：增大电容值： 电容器并联电容器并联U1CnC2CiCC增大耐压：增大耐压：电容器串联电容器串联1CU2CnC11iCC例例 平行板电容器，其中充有两种均匀电介质。平行板电容器，其中充有两种均匀电介质。AB1d2d求求 (1) 各电介质层中的场强各电介质层中的场强(2) 极板间电势差极板间电势差解解 做一个圆柱形高斯面做一个圆柱形高斯面1S1S内）1(d1SqSDiS1 11DSS1D2S同理，做一个圆柱形高斯面同理，做一个圆柱形高斯面2S内）2(d2SqSD

20、iS2D21DD 21EE 12dBAUEr1211021ddddddrErE2211ddroro 各电介质层中的场强不同各电介质层中的场强不同 相当于电容器的串联相当于电容器的串联122121ddS/Cq UAB1d2d2S12ABd1S2S平板电容器中充介质的另一种情况平板电容器中充介质的另一种情况12UU由极板内为等势体由极板内为等势体11UEd22UEd1101EDr2202EDr11D22D122211SSqd12UE dE d2211SSq考虑到考虑到12qCCCU12 各电介质层中的场强相同各电介质层中的场强相同 相当于电容器的并联相当于电容器的并联例例 一单芯同轴电缆的中心为一

21、半径为一单芯同轴电缆的中心为一半径为R1的金属导线，外层一金的金属导线，外层一金属层。其中充有相对介电常数为属层。其中充有相对介电常数为 r 的固体介质，当给电缆加的固体介质，当给电缆加一电压后，一电压后，E1 = 2.5E2 ，若介质最大安全电势梯度为若介质最大安全电势梯度为E 电缆能承受的最大电压？电缆能承受的最大电压？解解 用含介质的高斯定理用含介质的高斯定理rErl02125 . 2 RR *102ERrl21dRRrEu2121dd2*10RRRRrrrERrrl12*1lnRRER1R2R求求 r 1E2E5 . 2ln*1ER215 . 2 EE 电容器的应用：电容器的应用：储能

22、、振荡、滤波、移相、旁路、耦合等。储能、振荡、滤波、移相、旁路、耦合等。 电容器的分类电容器的分类形状：形状：平行板、柱形、球形电容器等平行板、柱形、球形电容器等介质：介质：空气、陶瓷、涤纶、云母、电解电容器等空气、陶瓷、涤纶、云母、电解电容器等用途：用途：储能、振荡、滤波、移相、旁路、耦合电容器等。储能、振荡、滤波、移相、旁路、耦合电容器等。10.5 10.5 电容器的能量电容器的能量一、电容器储能一、电容器储能以平板电容器为例以平板电容器为例ABdqdAdF l00QQqAdAdqCldqE lABdq u212QC22111222QWCUQUCABu+-qdqCab充电充电放电放电我们都知道电容器能够充放电，充电使电容器两极板带上一定量的电荷，放电过程可以使灯泡亮，灯泡亮一定消耗一定的能量，它所消耗的能量只能来自电容器，所以电容器有储电本领，那么一个电容器到底能储存多少能量呢？它与那些物理量有关呢？下面我们以平行电容器为例讨论电容器的能量。如何