第十九次课——第6章 位移法(4)—渐近法

1、第六章 位移法专题渐近法2 力矩分配法的基本原理力矩分配法的基本原理3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架4 无剪力分配法无剪力分配法5 剪力分配法剪力分配法1 概述概述分两次课介绍分两次课介绍1 概概 述述计算超静定结构计算超静定结构位移法位移法力力 法法组成和解算典型方程组成和解算典型方程力矩分配法力矩分配法无剪力分配法无剪力分配法迭代法迭代法位移法的变体位移法的变体 避免组成和解算典型方程避免组成和解算典型方程易于掌握，适合手算，可不计算结点位移而直接求得杆端弯矩易于掌握，适合手算，可不计算结点位移而直接求得杆端弯矩。2 力矩分配法的基本原理力矩分配法的

2、基本原理力矩分配法力矩分配法：适用于连续梁和无结点线位移的刚架计算。：适用于连续梁和无结点线位移的刚架计算。劲度系数劲度系数杆件杆件AB（如图）的（如图）的A端转动单端转动单位角位移时，位角位移时，A端（近端）的弯端（近端）的弯矩矩MAB称为该杆端的劲度系数，称为该杆端的劲度系数，用用SAB表示。劲度系数标志该杆表示。劲度系数标志该杆端抵抗转动能力的大小，又称端抵抗转动能力的大小，又称为为转动刚度转动刚度。 与杆件的线刚度有关，与与杆件的线刚度有关，与杆件另一端（远端）的支承情杆件另一端（远端）的支承情况有关。况有关。2 力矩分配法的基本原理力矩分配法的基本原理传递系数传递系数：远端（：远端（

3、B端）弯矩与近端（端）弯矩与近端（A端）弯矩的比值，用端）弯矩的比值，用 CAB表示。表示。ABBAABMMC等截面直杆的转动刚度和传递系数等截面直杆的转动刚度和传递系数远端支承情况远端支承情况转动刚度转动刚度S传递系数传递系数C固固 定定4i0.5铰铰 支支3i0滑滑 动动i-1 自由或轴向支杆自由或轴向支杆02 力矩分配法的基本原理力矩分配法的基本原理0P1111Fk1PMM 、图如图图如图b、cF1F14F13F12P1jMMMMF刚臂反力矩刚臂反力矩或结点上的或结点上的不平衡力矩不平衡力矩jSSSSiiik11413124131211134汇交于结点汇交于结点1的各杆端转动刚度总和的各

4、杆端转动刚度总和解典型方程得解典型方程得jjSMkF1F111P111 图图a所示刚架用位移法计算时，只有一个结点转角所示刚架用位移法计算时，只有一个结点转角Z1，其典型方程为其典型方程为12 力矩分配法的基本原理力矩分配法的基本原理)a ()()()()()()(F114F14F1114F1414F113F13F1113F1313F112F12F1112F1212jjjjjjjjjMMMSSMMMMMSSMMMMMSSMM由叠加法由叠加法11PMMM各杆近端弯矩为各杆近端弯矩为（a）式的第一项为固端弯矩，荷载产生的；）式的第一项为固端弯矩，荷载产生的； 第二项相当于把不平衡力矩第二项相当于把

5、不平衡力矩反号后反号后按转动刚度大按转动刚度大 小的比例分配给各近端小的比例分配给各近端分配弯矩分配弯矩。jjjSS111分配系数分配系数 同一结点同一结点 11j2 力矩分配法的基本原理力矩分配法的基本原理)b()()()()(F11414F4141F11313F3131F11212F21F111212F2121jjjjjMCMMMCMMMCMMSSCMM各杆远端弯矩为各杆远端弯矩为（b）式的第一项为固端弯矩；）式的第一项为固端弯矩； 第二项是将各近端的分配弯矩以传递系数的比例第二项是将各近端的分配弯矩以传递系数的比例 传到各远端传到各远端传递弯矩传递弯矩。2 力矩分配法的基本原理力矩分配法

6、的基本原理力矩分配法的步骤力矩分配法的步骤（1）固定结点。加入刚臂，产生不平衡力矩；各杆端有）固定结点。加入刚臂，产生不平衡力矩；各杆端有 固端弯矩。固端弯矩。（2）放松结点。在结点上加上一个）放松结点。在结点上加上一个反号的不平衡力矩反号的不平衡力矩， 计算各近端的分配弯矩及各远端的传递计算各近端的分配弯矩及各远端的传递 弯矩。弯矩。（3）各杆端弯矩。近端）各杆端弯矩。近端=固端弯矩固端弯矩+分配弯矩；分配弯矩； 远端远端=固端弯矩固端弯矩+传递弯矩传递弯矩2 力矩分配法的基本原理力矩分配法的基本原理例例1 试作图试作图a所示刚架的弯矩图。所示刚架的弯矩图。解：（解：（1）计算各杆端分配系数

7、。）计算各杆端分配系数。令令iAB=iAC =EI/4=1，则，则iAD=2。分配系数：。分配系数：222. 092333. 093445. 09421131414ADACAB（2）计算固端弯矩，查表计算。）计算固端弯矩，查表计算。mkN258m4kN50mkN758m4kN503mkN4012)m4(m/kN30mkN4012)m4(m/kN30FF2F2FDAADABBAMMMM2 力矩分配法的基本原理力矩分配法的基本原理（3）进行力矩的分配和传递。结点）进行力矩的分配和传递。结点A的不平衡力矩为的不平衡力矩为mkN35mkN)7540(FAjM计算过程如图计算过程如图b。固端在未分配之前

8、的固端在未分配之前的弯矩总和弯矩总和=-352 力矩分配法的基本原理力矩分配法的基本原理（4）计算杆端最后弯矩。并作弯矩图如图）计算杆端最后弯矩。并作弯矩图如图c。近端弯矩近端弯矩=固端弯矩固端弯矩+分配弯矩分配弯矩远端弯矩远端弯矩=固端弯矩固端弯矩+传递弯矩传递弯矩3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 对于具有多个结点转角但无侧移的结构，需先固定所有对于具有多个结点转角但无侧移的结构，需先固定所有结点，然后各结点轮流放松。把各结点的不平衡力矩轮流地结点，然后各结点轮流放松。把各结点的不平衡力矩轮流地进行分配、传递，直到小到可以停止。进行分配、传递，直到小到

9、可以停止。如图所示连续梁如图所示连续梁各杆件线刚度为各杆件线刚度为i7334374344214442144423212110iiiiiiiiiiii，分配系数为分配系数为固端弯矩为固端弯矩为0mkN450mkN600mkN600mkN300mkN300F32F23F21F12F10F01MMMMMM，计算过程如下图计算过程如下图 1、放松结点、放松结点1，其，其不平衡力矩为不平衡力矩为-300kNm，反号分，反号分配并传递，如图。配并传递，如图。 2、放松结点、放松结点2，其，其不平衡力矩为不平衡力矩为150+75=225kNm，反号分配并传递，反号分配并传递，如图。如图。 3、结点、结点1有

10、了新的有了新的不平衡力矩不平衡力矩-64kNm，反号分，反号分配并传递，如图。配并传递，如图。 如此反复将各结点的不平衡力矩进行分如此反复将各结点的不平衡力矩进行分配和传递，直到传递弯矩的数值小到可以略配和传递，直到传递弯矩的数值小到可以略去，停止计算。去，停止计算。 3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架例例2 试用力矩分配法计算图所示连续梁，并绘制弯矩图。试用力矩分配法计算图所示连续梁，并绘制弯矩图。解：解：EF的内力是的内力是 静定可去掉。静定可去掉。1、计算分配系数、计算分配系数 设设i=2EI/8m。375. 0625. 08 . 0344BADEB

11、CDCiii2、计算固端弯矩、计算固端弯矩mkN38. 9mkN62. 5m2kNFFFCDDCDEMMM各固端弯矩及计算过程如图各固端弯矩及计算过程如图b3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架3、计算杆端最后弯矩，作弯矩图如图、计算杆端最后弯矩，作弯矩图如图c。3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架例例3 试用力矩分配法计算图试用力矩分配法计算图a所示刚架。所示刚架。解：这是一个对称结构，承受正对称荷载，取一半结构如图解：这是一个对称结构，承受正对称荷载，取一半结构如图b。设：设：EI/8m=1， 各杆线刚度如图上各杆线刚度

12、如图上 圆圈中所注。圆圈中所注。3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架计算过程如图计算过程如图c。 校核各结点处的杆端弯矩是否满足平衡条件：校核各结点处的杆端弯矩是否满足平衡条件：03 .152 .125 .2701 .597 . 44 .54CjBjMM3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架一半刚架的弯矩图如图一半刚架的弯矩图如图d。 原刚架的弯矩图可利用对称性作出。（略）原刚架的弯矩图可利用对称性作出。（略） 3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架4 无剪力分配法无剪力分配法 图图a所示单

13、跨对称刚架，可将荷载分为正、反对称两所示单跨对称刚架，可将荷载分为正、反对称两组，如图组，如图b、c。 荷载正对称时如图荷载正对称时如图b，结点只有转角，没有侧移，可用力矩分配法计算。结点只有转角，没有侧移，可用力矩分配法计算。 荷载反对称时如图荷载反对称时如图c，结点有转角，还有侧移，要采用无剪力分配法计算。结点有转角，还有侧移，要采用无剪力分配法计算。 4 无剪力分配法无剪力分配法取反对称的半刚架如图取反对称的半刚架如图a所示。所示。 横梁横梁BC：两端无相对线位移：两端无相对线位移无侧移杆件无侧移杆件 竖柱竖柱AB：由于支座：由于支座C无水平反力，其剪力是静定的无水平反力，其剪力是静定的

14、 剪力静定杆件剪力静定杆件 （1）固定结点。加刚臂阻止结点）固定结点。加刚臂阻止结点B转动，不阻止其线位移，如图转动，不阻止其线位移，如图b。 柱柱AB上端不能转动，但可自由地水平滑行，相当于下端固定上端滑动的梁上端不能转动，但可自由地水平滑行，相当于下端固定上端滑动的梁，如图如图c。 横梁横梁BC因其水平位移并不影响内力，相当于一端固定另一端铰支的梁因其水平位移并不影响内力，相当于一端固定另一端铰支的梁。 查表可得查表可得 632F2FqlMqlMBAAB，qlFFABBASS0，全部水平荷载由柱全部水平荷载由柱的下端剪力平衡。的下端剪力平衡。 4 无剪力分配法无剪力分配法当上端转动时柱当上

15、端转动时柱AB的剪力为的剪力为0，处于纯弯曲受力状态，如图，处于纯弯曲受力状态，如图e。 与与上端固定下端滑动上端固定下端滑动同样角度时的受力和变形状态完全相同，如图同样角度时的受力和变形状态完全相同，如图f。 （2）放松结点。结点）放松结点。结点B即转动即转动Z1角，同时也发生水平位移，如图角，同时也发生水平位移，如图d。 因而，可推知其转动刚度为因而，可推知其转动刚度为i，传递系数为，传递系数为-1。 7623237123iiiiiiBCBA，4 无剪力分配法无剪力分配法固定结点时：柱固定结点时：柱AB的剪力是静定的的剪力是静定的 。放松结点时：柱放松结点时：柱B端的分配弯矩乘以端的分配弯

16、矩乘以-1传到传到A端，端， AB 杆的弯矩为常数而剪力为杆的弯矩为常数而剪力为0。 在力矩的分配传递过程中，柱中原在力矩的分配传递过程中，柱中原有的剪力保持不变而不增加新的剪力有的剪力保持不变而不增加新的剪力无剪力分配法无剪力分配法。 4 无剪力分配法无剪力分配法 图图a 所示刚架，各横梁均为有侧移杆，各竖柱均为剪力静定杆。只所示刚架，各横梁均为有侧移杆，各竖柱均为剪力静定杆。只加刚臂阻止各结点的转动，不阻止其线位移，如图加刚臂阻止各结点的转动，不阻止其线位移，如图b。 此时，各层柱子两端均无转角，只有侧移。分析任一层柱子例如此时，各层柱子两端均无转角，只有侧移。分析任一层柱子例如BC两端的

17、相对侧移时，可将其看作是下端固定上端滑动。如图两端的相对侧移时，可将其看作是下端固定上端滑动。如图c qlFCB2S4 无剪力分配法无剪力分配法推知推知：不论刚架有多少层，每一层柱子均可视为上端滑动下端固定的梁，：不论刚架有多少层，每一层柱子均可视为上端滑动下端固定的梁， 除了柱身承受本层荷载外，柱顶处还承受剪力，其值等于除了柱身承受本层荷载外，柱顶处还承受剪力，其值等于柱顶以上柱顶以上 各层所有水平荷载的代数和各层所有水平荷载的代数和。图图d为放松结点为放松结点c时的情形。时的情形。 结点结点c转动角度转动角度C，BC、CD两柱将产生相对侧移。两柱将产生相对侧移。 由平衡条件，两柱剪力均为由

18、平衡条件，两柱剪力均为0处于纯弯矩受力状态。处于纯弯矩受力状态。各柱的转动刚度取各自的线刚度各柱的转动刚度取各自的线刚度i，传递系数为，传递系数为-1。注意：汇交于结点注意：汇交于结点c的各杆才产生变形而受力；。的各杆才产生变形而受力；。 B以下各层无任何位移固不受力；以下各层无任何位移固不受力； D以上各层随以上各层随D点一起运动，各杆两端无相对点一起运动，各杆两端无相对 侧移，故不受力。侧移，故不受力。 放松结点放松结点C时，力矩的分配传递只在时，力矩的分配传递只在CB、CD、CF三杆范围内进行。放松其他结点时同理。三杆范围内进行。放松其他结点时同理。4 无剪力分配法无剪力分配法例例4 试

19、用无剪力分配法计算图试用无剪力分配法计算图a所示刚架。所示刚架。 解：解： 各柱端的转动刚度各柱端的转动刚度=柱的线刚度。柱的线刚度。 计算固端弯矩，柱计算固端弯矩，柱AC：mkN15mkN5FFCAACMM，柱柱CE：除本层荷载外还有柱顶剪力：除本层荷载外还有柱顶剪力10kN。mkN35mkN25FFECCEMM，mkN55mkN45FFGEEGMM，柱柱EG：除本层荷载外还有柱顶剪力：除本层荷载外还有柱顶剪力20kN。9-4 无剪力分配法无剪力分配法整个计算过程如图整个计算过程如图b。计算分配系数，如图计算分配系数，如图b。弯矩图如图弯矩图如图c。4 无剪力分配法无剪力分配法例例5 试作图

20、试作图a所示空腹梁（又称空腹桁架）的弯矩图，并求所示空腹梁（又称空腹桁架）的弯矩图，并求 结点结点F的竖向位移。的竖向位移。 解：解： 将支座去掉以反力代替其作用，将支座去掉以反力代替其作用， 利用对称性，将荷载和反力分解为利用对称性，将荷载和反力分解为 对对x轴正、反对称两组。轴正、反对称两组。正对称时：略去轴向变形影响，正对称时：略去轴向变形影响，各杆弯矩皆为各杆弯矩皆为0；反对称时：可用无剪力分配法求解，如图反对称时：可用无剪力分配法求解，如图b。4 无剪力分配法无剪力分配法 图图b所示结构外力平衡，有确定的内力和变形，但可以有所示结构外力平衡，有确定的内力和变形，但可以有任意的刚体位移

21、。假设任意的刚体位移。假设H点不动，点不动，B点无水平位移，如图点无水平位移，如图c。图图c与图与图b受力相同。受力相同。 取一半结构计算，如图取一半结构计算，如图d。 由于假设由于假设H点无水平位移，此时竖杆均为无侧移杆，所有横梁都是剪点无水平位移，此时竖杆均为无侧移杆，所有横梁都是剪力静定杆力静定杆可用可用无剪力分配法无剪力分配法求解。求解。 4 无剪力分配法无剪力分配法计算过程如图计算过程如图a。4 无剪力分配法无剪力分配法弯矩图如图弯矩图如图b。求求F点的竖向位移时，静定的基本体系如图点的竖向位移时，静定的基本体系如图c。)(0476. 032612896326227703264251

22、13265211553232218113231215231000013EIFlllllllllllllFlEIFy5 剪力分配法剪力分配法适用于所有横梁为刚性杆、竖柱为弹性杆的框架结构。适用于所有横梁为刚性杆、竖柱为弹性杆的框架结构。 图图a所示排架的横梁为刚性二力杆，只有一个独立结点线位移所示排架的横梁为刚性二力杆，只有一个独立结点线位移Z1。为。为求此位移，将各柱顶截开，得隔离体如图求此位移，将各柱顶截开，得隔离体如图b所示。所示。65S43S12S0FFFFFx，各柱顶剪力与柱顶水平位移各柱顶剪力与柱顶水平位移Z1的关系可查表得的关系可查表得125665S123443S121212S33

23、3ZhiFZhiFZhiF，剪力分配法剪力分配法令令256323422121333hiDhiDhiD，侧移刚度侧移刚度：即杆件发生单位侧移时，所产生的杆端剪力。：即杆件发生单位侧移时，所产生的杆端剪力。将剪力代入平衡条件，可求出线位移将剪力代入平衡条件，可求出线位移iDFDDDFZ3211从而可得各柱顶剪力为从而可得各柱顶剪力为FFDDFFFDDFFFDDFiii3365S2243S1112S，iiiDDDDDD332211，式中式中剪力分配系数剪力分配系数各柱固定端的弯矩为各柱固定端的弯矩为hFMhFMhFM56S6534S4312S21，剪力分配法剪力分配法：利用剪力分配系数求柱顶剪力的方

24、法。：利用剪力分配系数求柱顶剪力的方法。 5 剪力分配法剪力分配法 图图a所示结构，荷载作用在柱上。将结构分解为只有结点所示结构，荷载作用在柱上。将结构分解为只有结点线位移和只有荷载线位移和只有荷载q的单独作用，如图的单独作用，如图b、c所示。所示。图图b中各柱的内力可查表得到，从而求出附加链杆上的反力中各柱的内力可查表得到，从而求出附加链杆上的反力F1。图图c可用剪力分配法进行计算。可用剪力分配法进行计算。原结构内力原结构内力=图图b结构的内力结构的内力+图图c结构的内力结构的内力5 剪力分配法剪力分配法 图示结构只有一个独立结点线位移，图示结构只有一个独立结点线位移，可采用剪力分配法进行计

25、算。各住的侧移可采用剪力分配法进行计算。各住的侧移刚度为刚度为由剪力分配系数求得各柱顶剪力；由剪力分配系数求得各柱顶剪力；各柱的杆端弯矩各柱的杆端弯矩=柱顶剪力柱顶剪力h/2。333332223111121212hEIDhEIDhEID， 图示结构由水平投影平衡条件可知，图示结构由水平投影平衡条件可知，任一层的任一层的总剪力等于总剪力等于该层以上该层以上所有水平荷所有水平荷载的代数和载的代数和，并按剪力分配系数分配到该，并按剪力分配系数分配到该层的各个柱顶。层的各个柱顶。由剪力可确定各竖柱的弯矩。由剪力可确定各竖柱的弯矩。5 剪力分配法剪力分配法 例例6 试用剪力分配法求图试用剪力分配法求图a所示刚架竖柱的弯矩图。竖柱所示刚架竖柱的弯矩图。竖柱E 为常数。为常数。解：为计算方便，设解：为计算方便，设12EI/h3=1。 则上层各竖柱的侧移刚度为则上层各竖柱的侧移刚度为 D1=D2=