浅谈一元函数极限的求解方法

1、浅谈一元函数极限的求解方法专业名称：班 级：学生姓名：指导教师： 完成时间：目录内容摘要1关键词1Abstract1Key Words10 引 言21 一元函数极限的基本概念31.1一元函数极限的定义31.2 一元函数极限的性质32 求一元函数极限极限的方法42.1 利用定义求极限42.2 利用单侧极限求极限52.3 利用双侧极限62.4利用迫敛性定理求极限72.5 利用两个重要极限72.6 利用函数极限的四则运算求极限82.7 利用洛必达法则92.8 用单调有界原理求极限102.9 利用柯西准则求极限112.10 利用等价无穷小量代替求极限112.11 利用函数连续性求极限122.12 用导

2、数定义求极限132.13利用中值定理求极限14结束语15参考文献16致谢17内容摘要：本文简单介绍了一元函数极限的基本概念及其性质并系统地介绍了利用定义、两个重要极限、无穷小量、泰勒公式、洛必达法则、迫敛法则、四则运算法则、双侧极限、综合方法等9种常用求一元函数极限的方法,并结合实际问题对各个方法进行了详细的举例说明.关键词：极限;方法;函数;泰勒公式Abstract: This paper briefly introduces the basic concept of limit of binary and its properties are introduced in a systema

3、tic way using the definition, two important limits, infinitesimal, Taylor formula, LHospital Rule, forced convergence rule, four arithmetic operations, bilateral limit, the synthetic method of nine kinds of commonly used for a limit of binary function method, and the combined with the practical prob

4、lems of various methods were detailed examples.Key Words: limit; method; function; Taylor formula0 引 言 高等数学是以函数为研究对象,以极限理论和极限方法为基本方法,以微积分学为主要内容的一门学科,极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位.高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化,如连续、导数、微积分等等都是由极限定义的,离开了极限的思想高等数学就失去了基础失去了价值,因此极限运算是高等数学的基本运算.由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限定义本身去求极限,又由于极限运算分布

5、于整个高等数学的始终,许多重要的概念是由极限定义的.极限知识是研究导数、各种积分、级数等的基本工具.反过来,我们也可以利用这些概念来求一些极限,所以运算方法繁多.针对这种情况,本文通过立体归纳总结出了如下常见的求极限的方法. 1 一元函数极限的基本概念1.1一元函数极限的定义(1) 函数 在点的空心邻域有定义,是一个确定的数,若对,存在,使得当时,都有,则称趋向于时极限存在,且以为极限,记作.(2) 函数是(或或)上的函数,是一个确定的数,若,总存在,使得当（或或）时,都有,则称函数当趋于（或或）时极限存在,并以为极限,记为（或或.(3) 若函数在（或）内有定义,是一个确定的常数,若,总存在,

6、使当(或)时,都有,则称函数在趋于(或)时右（或左）极限存在,并以为右（或左极限）,记作(或).有时也记作或.1.2 一元函数极限的性质(1) 唯一性 若存在,则它只有一个极限.(2) 局部有界性 若存在,则在的某个空心邻域内有界.(3) 局部保号性 若(或),则对任意正数,存在的某一空心邻域,使对,恒有或.(4) 保不等式性 若,且有,成立,则,即.(5) 迫敛性 若,且有,则.2 求一元函数极限极限的方法 2.1 利用定义求极限 定义2.1.1 设在点的空心邻域有定义,A为定数。若对于任给的,存在,使得当时有，则称函数当趋于时,以A为极限,记作 或. 定义2.1.2 设f为定义在a,+)上

7、的函数,A为定值,若对任给正数,存在正数M(a), 使得当xM时有|-A|<, 则称函数当时以A为极限,记作=A或 A(x+).趋向于-时的函数极限的定义与定义2.1.2相似,只要把定义中的>M改为<-M即可.例 1 用极限定义证明：证：由 = =.,取 则当0<|x-2|<时,就有 由函数极限定义有 .例 2 按定义证明. 证：由 令,则让即可,存在,当时,不等式成立,所以.2.2 利用单侧极限求极限 这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限,首先必须考虑分段点的左、右极限如果左、右极限都存在且相等,则函数在分界点处的极限存在,否则极限不存在 定理2.2.1 函

8、数极限存在且等于A的充分必要条件是左极限 及右极限都存在且都等于A.即有= A =A.例 3 求在=0的极限。解： ，在=0的极限存在，即 .2.3 利用双侧极限 这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限,首先必须考虑分段点的左、右极限,如果左、右极限都存在且相等,则函数在分界点处的极限存在,否则极限不存在.例4设,求在的极限 解由于 则 故 。例5设求.解 因,所以不存在.2.4利用迫敛性定理求极限 定理2.4设,且在某内,则.例6求的极限.解. 且 由迫敛性知 . 2.5 利用两个重要极限两个重要极限公式： (1) (2) 在这一类型题中,一般也不能直接运用公式,需要恒等变形进行化简后才可

9、以利用公式.(1) 利用来求极限的扩展形为：令,当或时,则有或.例7求 .解令,则,且当时 故.(2) 利用来求极限的另一种形式为.事实上,令所以.例8 求的极限.解原式=.2.6 利用函数极限的四则运算求极限 定理2.6.1 若极限和都存在，则函数,.当时也存在,且 (1) ；(2) 若：(3) 若，则在时极限也存在，且有.例 9 求 .解：由于时，故无法直接用四则运算,应先化简原函数 ， 原式= .2.7 利用洛必达法则法则一：型(1) =0; (2) 在点的某空心领域内两者都可导且;(3) (可为实数也可为或)则.例 10 求.解利用(x0)得= =.法则二：型(1)=;(2)在点的某右

10、领域（）内两者都可导且;(3)= (可为实数也可为或)则.例 11 求.解：原式= .其它类型不定式极限不定式极限还有,等类型.这些类型经过简单的变换,都可以化为型和型的不定式极限.例12求.解这是一个型的不定式极限,作恒等变形=,将它转化为型的不定式极限,并用洛比达法则得到.2.8 用单调有界原理求极限定理2.8.1 设f为定义在上的单调有界函数,则右极限存在. 当时，有相应的单侧极限在其定义域内，上述定理亦存在。在运用此定理时,先确定定义域,再证明其单调性,然后就求极限.例 13 设,=1,2 ,求.解：因为 ，,所以即单调增加，根据有界性显然存在.设=a,对，两边求极限，得，解之得 (舍

11、去)，因此 .2.9 利用柯西准则求极限设函数在内有定义, 存在的充要条件是：任给,存在正数,使得对任何有:. 从定义出发,一般用于反正法,函数列中用的多,主要找准,然后作出的差.例 14 求极限.解 :取,对任给M>0,记n=M+1> M，存在， 使得, 则由柯西准则可知不存在.2.10 利用等价无穷小量代替求极限所谓等价无穷小量即当时,与均为无穷小量,若称与是时的等价无穷小量,记作 . 定理:设函数,在内有定义,且有， 若 ，则； 若，则.由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限.例 15 求 的极限.解：由， 而 ； ； 故有 . 2.11 利用函数连续性求极限 定

12、理2.11.1 若函数在点处连续,则在点有极限,且极限值等于函数值.设复合函数是由函数, 复合形成的,并且,则在处的极限存在且 . 例 16 求 . 解：令，则，当时，,于是有 .2.12 用导数定义求极限 导数的定义：函数在附近有定义，则，如果 存在,则此极限值就称函数在点 的导数记为，即 .在这种方法的运用过程中,首先要选好,然后把所求极限,表示成在定点的导数.例 17 求 .解： =.2.13利用中值定理求极限2.13.1 利用微分中值定理Lagrange中值定理若函数满足：（1）在连续：（2）在可导，则在内至少存在一点，使. Lagrange中值定理是微分学重要的基本定理,它利用函数的

13、局部性质来研究函数的整体性质,其应用十分广泛.例18 求.解： 因为 ，所以 . 2.13.2利用积分中值定理求极限积分中值定理设函数f(x)在闭区间a, b上连续 在a, b上不变号且可积,则在a, b上至少有一点 使得 .例 19 求 .解： =. = ，所以 .结束语以上方法是在数学分析里求解一元函数极限的重要方法.在做求解一元函数极限的题目时,仅仅从表面掌握以上方法而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的,必须要细心分析仔细甄选,选择出适当的方法，起到事半功倍的效果.参考文献1.李志慧.李永明.高等代数分析与选讲M.陕西师范大学数学与信息科学学院, 2005，09（142）

14、2.华东师范大学数学系.数学分析M.高等教育出版社2001.6（23176）3.同济大学数学系.数学分析M.高等教育出版社2003.9.（21172）4. 邹应.数学分析习题及解答 M.武汉大学出版社.2001（168169）（176177）.5.郝梅求.函数极限的方法J.福建教育学校学报,2006（10）6.刘玉琏, 傅沛仁,数学分析讲义,下册M. 北京.高等教育出版社, 2008（32196）7华东师范数学系数学分析第三版(上册)M 北京高等教育出版社,2001（23176） 8 欧阳光中.数学分析M.上海.复旦大学出版社,2002（24169）9钱吉林.数学分析解题精粹M.武汉.崇文书局出版社,2001(56221)10单立波,张广梵.积分习题集.一分册.M.津.开大学出版社,2000（0169）11王兰林，一元函数求极限的方法探析.科技创新与应用第11期 2012