力学牛顿运动定律

1、质点动力学质点动力学第二章第二章 三个定律三个定律牛顿第一定律牛顿第一定律牛顿第二定律牛顿第二定律牛顿第三定律牛顿第三定律动量定理动量定理角动量定理角动量定理动能定理动能定理三个守恒定律三个守恒定律动量守恒定律动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律三个定理三个定理2 21 1 牛顿运动定律和惯性系牛顿运动定律和惯性系一、牛顿运动定律的表述及其应用一、牛顿运动定律的表述及其应用 1 牛顿第一定律牛顿第一定律(又称为惯性定律又称为惯性定律) (1)表述表述: 任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其它物体对它作用的力迫使它改

2、变这种状态为止。到其它物体对它作用的力迫使它改变这种状态为止。(2)两个重要的概念两个重要的概念 惯性惯性:一切物体都会保持运动状态不变，并且反抗外界改一切物体都会保持运动状态不变，并且反抗外界改变其运动状态。这种固有属性称为惯性，其大小用质量变其运动状态。这种固有属性称为惯性，其大小用质量来量度。来量度。 力力:力是一个物体对另一物体的作用，这种作用能迫使物力是一个物体对另一物体的作用，这种作用能迫使物体改变其运动状态，力是使物体产生加速度的原因。体改变其运动状态，力是使物体产生加速度的原因。（3 3）第一定律定义了惯性参照系。）第一定律定义了惯性参照系。惯性系：惯性系：满足牛顿第满足牛顿第

3、一定律的参照系一定律的参照系( (相对于惯性系作匀速直线运动的参照系）相对于惯性系作匀速直线运动的参照系）。否则叫。否则叫非惯性系。非惯性系。甲A乙甲看甲看A:满足第一定律满足第一定律乙看乙看A:不满足第一定律不满足第一定律甲是惯性系，甲是惯性系，乙是非惯性系乙是非惯性系（4）牛顿第一定律的独立性问题：）牛顿第一定律的独立性问题：牛顿第二定律中，当牛顿第二定律中，当 时，时， ， 质点保持静止或匀速直线运动，质点保持静止或匀速直线运动，是否说明牛顿第一定律是第二定律的推论？是否说明牛顿第一定律是第二定律的推论？0F 0a 答：答：否否。牛顿第二定律可用实验验证，而牛顿第一定律，。牛顿第二定律可

4、用实验验证，而牛顿第一定律，由于物体实际上不可能不受力，故不能用实验验证。由于物体实际上不可能不受力，故不能用实验验证。 牛顿第一定律是从大量实验事实中概括总结出来的，但它牛顿第一定律是从大量实验事实中概括总结出来的，但它不能直接用实验来验证。因为世界上没有完全不受其他物体作不能直接用实验来验证。因为世界上没有完全不受其他物体作用的用的“孤立孤立”物体。我们确信牛顿第一定律的正确性，是因为物体。我们确信牛顿第一定律的正确性，是因为从它所导出的其他结果都和实验事实相符合。从长期实践和实从它所导出的其他结果都和实验事实相符合。从长期实践和实验中总结归纳出一些基本规律验中总结归纳出一些基本规律( (

5、常称为原理、公理、基本假设常称为原理、公理、基本假设或定律等或定律等) )，虽不能用实验等方法直接验证，但以它们为基础，虽不能用实验等方法直接验证，但以它们为基础导出的定理等都与实践相符合，因此人们公认这些基本规律的导出的定理等都与实践相符合，因此人们公认这些基本规律的正确，并以此为基础研究其它有关问题，甚至建立新的学科。正确，并以此为基础研究其它有关问题，甚至建立新的学科。这种科学的，唯物的研究问题的方法，在科学发展史中屡见不这种科学的，唯物的研究问题的方法，在科学发展史中屡见不鲜。如牛顿第一定律、能量守恒定律、热力学第二定律，爱因鲜。如牛顿第一定律、能量守恒定律、热力学第二定律，爱因斯坦狭

6、义相对论的两条基本假设等都属于这类基本规律。斯坦狭义相对论的两条基本假设等都属于这类基本规律。牛顿第一定律是从大量实验事实中概括总结出来的牛顿第一定律是从大量实验事实中概括总结出来的牛顿第一定律可以陈述为：牛顿第一定律可以陈述为：任何质点，只要其它物体作用于它的所有任何质点，只要其它物体作用于它的所有力的合力为零，则该质点就保持其静止或力的合力为零，则该质点就保持其静止或匀速直线运动状态不变。匀速直线运动状态不变。几种实用的几种实用的 惯性系惯性系（1）地面参考系）地面参考系因为地球有自转角速度：因为地球有自转角速度： 由于我们生活在地面上，由于我们生活在地面上，地面是一个最常用的惯性系。地面

7、是一个最常用的惯性系。但只能说地面是一个近似的惯但只能说地面是一个近似的惯性系，而不是一个严格的惯性性系，而不是一个严格的惯性系。系。由于地球的自转，地球上的物体有法向加速度。由于地球的自转，地球上的物体有法向加速度。151.103 . 7srad（2）地心）地心 参考系参考系 地心参考系相对地面参地心参考系相对地面参考系严格些，地球绕太阳公考系严格些，地球绕太阳公转的角速度：转的角速度：172.100 . 2srad（3）日心）日心 参考系参考系 日心参考系相对地心参考日心参考系相对地心参考系更严格些，但太阳还绕银系更严格些，但太阳还绕银河中心旋转：河中心旋转：1123.100 . 8sra

8、d（4）FK4参考系参考系 FK4参考参考系是以选定的系是以选定的1535颗恒星的颗恒星的平均静止的位平均静止的位形作为基准的形作为基准的参考系，是比参考系，是比以上三个参考以上三个参考系都严格的惯系都严格的惯性系。性系。 2 牛顿第二定律牛顿第二定律 表述表述:一个物体的动量随时间的变化率正比于这一个物体的动量随时间的变化率正比于这个物体所受的合力，其个物体所受的合力，其方向与所受的合力方向方向与所受的合力方向相同相同。其数学表达式为：。其数学表达式为：dtPdF dtvdmamdtvdm m为变量为变量m为常量为常量 dtvmd)(dtdmv 因为这方程虽然只与受力物体的加速度有关，因为这

9、方程虽然只与受力物体的加速度有关，而与其位置和速度无直接的关系，但根据此而与其位置和速度无直接的关系，但根据此方程所求出的加速度，可以进一步求出物体方程所求出的加速度，可以进一步求出物体的速度与时间的关系以及位置与时间的关系，的速度与时间的关系以及位置与时间的关系，所以它也称为所以它也称为牛顿运动方程。牛顿运动方程。是质点动力学的基本方程是质点动力学的基本方程牛顿第二定律的数学表达式牛顿第二定律的数学表达式牛顿第二定律是关于物体运动规律的定量牛顿第二定律是关于物体运动规律的定量说明，是牛顿定律的核心部分说明，是牛顿定律的核心部分在第二定律中容易看出，在外力一定时，不在第二定律中容易看出，在外力

10、一定时，不同物体的加速度与其质量成反比。质量越大，同物体的加速度与其质量成反比。质量越大，加速度越小；质量越小；加速度就越大。这加速度越小；质量越小；加速度就越大。这就是说，质量大的质点，改变其运动状态较就是说，质量大的质点，改变其运动状态较难；质量小的质点，改变其运动状态较易。难；质量小的质点，改变其运动状态较易。由此可见，由此可见，质量是物体惯性大小的量度，又质量是物体惯性大小的量度，又称为称为惯性质量惯性质量。牛顿第二定律是牛顿第二定律是力的力的瞬时瞬时作用规律作用规律它说明了物体所受合外力与物体获得的它说明了物体所受合外力与物体获得的加速度之间的瞬时关系。力和加速度同加速度之间的瞬时关

11、系。力和加速度同时产生，同时变化，同时消失，它们之时产生，同时变化，同时消失，它们之间具有间具有瞬时性瞬时性，同时性同时性和和同向性。同向性。牛顿第二定律是矢量式，在应用该定律时，牛顿第二定律是矢量式，在应用该定律时，经常把力和加速度沿选定的坐标轴分解。在经常把力和加速度沿选定的坐标轴分解。在直角坐标系中，第二定律可写成如下分量式：直角坐标系中，第二定律可写成如下分量式：222222dtzdmmaFdtydmmaFdtxdmmaFiziziyiyxiix2vmmaFdtdvmmaFnn在自然坐标系中为：在自然坐标系中为：还应指出，牛顿第二定律只适用于惯性参考还应指出，牛顿第二定律只适用于惯性参

12、考系。系。讨论：讨论：10 这里这里“m”为变量为变量, 指的是相对论中质量随速度变化。指的是相对论中质量随速度变化。20 牛顿第二定律只适用于质点及惯性系。牛顿第二定律只适用于质点及惯性系。30 非惯性系中，必须引入非惯性系中，必须引入 “惯性力惯性力”的概念，牛顿第二的概念，牛顿第二定律才能继续沿用。定律才能继续沿用。30 非惯性系中，必须引入非惯性系中，必须引入 “惯性力惯性力”的概念，牛顿第二的概念，牛顿第二定律才能继续沿用。定律才能继续沿用。gm0 ，球对车球对车aNam,aaa ，问题出在：在非惯性系中用了牛顿第二定律！问题出在：在非惯性系中用了牛顿第二定律！奇怪奇怪? 0F*若在

13、若在加速平动参照系：加速平动参照系：a 00球对地球对地a F没问题！没问题！ 地面上的观察者认为没有问题，小球所受合力为零，地面上的观察者认为没有问题，小球所受合力为零，它它 的加速度也为零。的加速度也为零。惯惯性性力力*f哦！am 车厢中的观察者以车厢为参照系（非惯性系）车厢中的观察者以车厢为参照系（非惯性系）他认为，小球受三个力的作用：他认为，小球受三个力的作用：其合力为其合力为：*惯惯性性力力fNgmF 其中其中: F质点在非惯性系受的所有力的合力质点在非惯性系受的所有力的合力*惯惯性性力力f:，am ，amF 这就是这就是非惯性系非惯性系的牛顿第二定律的牛顿第二定律gmN 为非惯性系

14、对惯性系的加速度为非惯性系对惯性系的加速度a 是质点对非惯性系的加速度是质点对非惯性系的加速度,a , gm , N* 惯惯性性力力f非惯性系中引入惯性力后，牛二律的形式与惯性系一致。非惯性系中引入惯性力后，牛二律的形式与惯性系一致。,ma 真实力真实力虚拟力虚拟力am *f*f惯惯性性力力是是参参考考系系加加速速运运动动引引起起的的附附加加力力， 本本质质上上是是物物体体惯惯性性的的体体现现。 它它不不是是物物体体间间的的相相互互作作用用，没没有有施施力力物物体体，因因而而也也就就没没有有反反作作用用力力。在在非非惯惯性性系系中中用用它它分分析析问问题题通通常常比比较较方方便便。 小故事小故

15、事: 二战中，美军二战中，美军 Tinosa 号潜艇携号潜艇携带了带了 16 枚鱼雷攻击敌主力舰。 在枚鱼雷攻击敌主力舰。 在 4000 码处侧码处侧面攻击，发射了面攻击，发射了 4 枚鱼雷，使敌舰停航了。但枚鱼雷，使敌舰停航了。但在在 875 码处正面攻击，发射了码处正面攻击，发射了 11 枚鱼雷，却枚鱼雷，却均未爆炸，只好剩一枚回去研究。这是为什么均未爆炸，只好剩一枚回去研究。这是为什么呢？呢？ 解释解释:正面短距离攻击正面短距离攻击鱼雷鱼雷(S系系)撞舰撞舰体时加速度体时加速度 a0大大惯性惯性力力 F0大大撞针滑块与导撞针滑块与导板间的摩擦力板间的摩擦力0F m m大大撞针撞击雷管末速

16、度变撞针撞击雷管末速度变小小不能引发雷管。不能引发雷管。 F0 S 撞针撞针 滑块滑块 雷管雷管 敌舰体敌舰体 v a0 鱼雷鱼雷 导板导板 潮汐潮汐与惯性力与惯性力 日涨为潮，夜涨为汐。日涨为潮，夜涨为汐。 1）地球上潮汐主要受月亮的影响，而太阳）地球上潮汐主要受月亮的影响，而太阳引力大于月球引力， 为什么潮汐受太阳影响反引力大于月球引力， 为什么潮汐受太阳影响反而弱一些呢？而弱一些呢？ 2） 为什么潮汐同时在向月和背月侧发生？） 为什么潮汐同时在向月和背月侧发生？ 解释：解释：潮汐是由潮汐是由引力梯度引力梯度引起的，而不是引起的，而不是由引力大小所决定的。由引力大小所决定的。 由于月球到地

17、球的距离比太阳到地球的由于月球到地球的距离比太阳到地球的距离小得多， 使得月球在地球的引力梯度比太距离小得多， 使得月球在地球的引力梯度比太阳在地球的引力梯度大， 所以月球的引潮力比阳在地球的引力梯度大， 所以月球的引潮力比太阳的引潮力大。经计算有：太阳的引潮力大。经计算有： 18. 23地月地日日月日引潮月引潮rrMMFF地球地球月亮月亮涨潮涨潮落潮落潮月球对地面上海水的引潮力月球对地面上海水的引潮力落潮落潮涨潮涨潮月月月月日日地地地地大潮大潮小潮小潮大潮与小潮大潮与小潮日日 引潮力常触发地震， 尤其是在大潮期， 即引潮力常触发地震， 尤其是在大潮期， 即阴历初一、十五阴历初一、十五 左右。

18、例如：左右。例如： 唐山地震：唐山地震：76 年阴历七月初二年阴历七月初二 印度地震：印度地震：93 年阴历八月十五年阴历八月十五 神户地震：神户地震：95 年阴历十二月十七年阴历十二月十七 固体潮（形变）：固体潮（形变）： 由于由于地球对月球引潮力有阻止月球自转的地球对月球引潮力有阻止月球自转的作用，最终使月球自转和公转周期一致。作用，最终使月球自转和公转周期一致。月球对地球的引潮力也使地球自转变慢。由月球对地球的引潮力也使地球自转变慢。由植物年轮、珊瑚和牡蛎化石生长线判断，在植物年轮、珊瑚和牡蛎化石生长线判断，在 3亿年前，一年约为亿年前，一年约为 400 天。天。 休梅克休梅克列维列维

19、9 号彗星被木星引潮力撕碎。号彗星被木星引潮力撕碎。 3 牛顿第三定律牛顿第三定律 表述表述: :当物体当物体A A以力以力F F作用于物体作用于物体B B时，物体时，物体B B同时也以力同时也以力F F作用在物体上，力作用在物体上，力F F和和F F总是大总是大小相等，方向相反，且在同一直线上。可用小相等，方向相反，且在同一直线上。可用数学表达为：数学表达为：FF作用力与反作用力的特点：作用力与反作用力的特点： * *作用力和反作用力总是成对出现，同时存在，作用力和反作用力总是成对出现，同时存在，同时消失，没有主从之分。同时消失，没有主从之分。*作用力和反作用力是分别作用在两个物体上的，作用

20、力和反作用力是分别作用在两个物体上的，不能相互抵消。不能相互抵消。 *作用力和反作用力总是属于同种性质的力。作用力和反作用力总是属于同种性质的力。 第三定律比第一、二定律前进了一步，由对单个第三定律比第一、二定律前进了一步，由对单个质点的研究过渡到对两个以上质点的研究，它是质点的研究过渡到对两个以上质点的研究，它是由质点力学过渡到质点系力学的桥梁。由质点力学过渡到质点系力学的桥梁。*第三定律不涉及物体的运动，与参照系无关，无论第三定律不涉及物体的运动，与参照系无关，无论在惯性系还是非惯性系中均成立。在惯性系还是非惯性系中均成立。需要指出，作用力与反作用力相等而方向相反，是需要指出，作用力与反作

21、用力相等而方向相反，是以力的传递不需要时间即传递速度无限大为前提的。以力的传递不需要时间即传递速度无限大为前提的。如果力的传递速度有限，作用力与反作用力就不一如果力的传递速度有限，作用力与反作用力就不一定相等了。例如，电磁力以光速传递，但在较强电定相等了。例如，电磁力以光速传递，但在较强电磁力作用下，粒子的运动速度可达很大，与光速可磁力作用下，粒子的运动速度可达很大，与光速可比拟，此时作用力与反作用力就不一定相等了。比拟，此时作用力与反作用力就不一定相等了。在通常的力学问题中，物体的运动速度往往不大，即在通常的力学问题中，物体的运动速度往往不大，即使力以有限的速度传递，但因传递速度比物体运动的

22、使力以有限的速度传递，但因传递速度比物体运动的速度大得多，所以牛顿第三定律总是适用的。速度大得多，所以牛顿第三定律总是适用的。(3)牛顿运动定律的适用条件与适用范围牛顿运动定律的适用条件与适用范围* *牛顿运动定律仅适用于惯性参考系。牛顿运动定律仅适用于惯性参考系。 * *牛顿运动定律仅适用于物体速度比光速低得多牛顿运动定律仅适用于物体速度比光速低得多的情况，不适用于接近光速的高速运动物体。在的情况，不适用于接近光速的高速运动物体。在高速情况下，必须应用相对论力学，牛顿力学是高速情况下，必须应用相对论力学，牛顿力学是相对论力学的低速近似相对论力学的低速近似* *牛顿运动定律一般仅适用于宏观物体

23、，在微观牛顿运动定律一般仅适用于宏观物体，在微观领域中，要应用量子力学，而牛顿力学是量子力领域中，要应用量子力学，而牛顿力学是量子力学的宏观近似。学的宏观近似。二、几种常见的力二、几种常见的力 通常将力学的问题分为两类：一类是通常将力学的问题分为两类：一类是已知力求运动已知力求运动；另一类是另一类是已知运动求力已知运动求力。当然在实际问题中常常是两者兼。当然在实际问题中常常是两者兼有。其中有。其中关键的是正确分析物体的受力情况关键的是正确分析物体的受力情况，为此我们必，为此我们必须认清有关须认清有关各种力的特点和作用方式各种力的特点和作用方式。在力学中最常见的。在力学中最常见的三种力，即三种力

24、，即重力、弹性力和摩擦力重力、弹性力和摩擦力。 1.重力重力 重力是地球对其附近物体的一种吸引力，即重力是地球对其附近物体的一种吸引力，即地球与物体之间的万有引力。地球与物体之间的万有引力。 地球表面附近的一切物体，不论是处于静止地球表面附近的一切物体，不论是处于静止或运动状态，都要受到重力的作用。或运动状态，都要受到重力的作用。 忽略地球的自转效应时忽略地球的自转效应时, ,其大小为：其大小为： mgrMmGW2方向铅直向下，指向地心。方向铅直向下，指向地心。2.弹性力弹性力 弹性力是物体在外力作用下发生形变弹性力是物体在外力作用下发生形变(即改变形即改变形状或大小状或大小)时，物体内部产生

25、企图恢复原来形状的时，物体内部产生企图恢复原来形状的力，它的方向要根据物体变形的情况来决定。力，它的方向要根据物体变形的情况来决定。 弹性力产生在直接接触的物体之间，并以物体弹性力产生在直接接触的物体之间，并以物体的形变为先决条件。的形变为先决条件。 例例：如图，试分析静止圆：如图，试分析静止圆球的受力。球的受力。GN圆球和斜面有接触但无力的作用圆球和斜面有接触但无力的作用* 接触是产生弹性力的必要条件，而不是充分条件。接触是产生弹性力的必要条件，而不是充分条件。(1) 弹簧的弹性力弹簧的弹性力 弹簧被拉伸或压缩时产生的弹簧被拉伸或压缩时产生的弹簧弹性力弹簧弹性力，遵，遵守胡克定律：守胡克定律

26、： ，x表示形变位移，表示形变位移， k为为弹簧的劲度系数。而弹簧弹性力的方向总是指弹簧的劲度系数。而弹簧弹性力的方向总是指向要恢复它原长的方向。向要恢复它原长的方向。kxf(2)绳索中的张力绳索中的张力 绳子被拉紧时会产生张绳子被拉紧时会产生张力力,大小取决于绳被拉紧的大小取决于绳被拉紧的程度，它的方向总是沿着绳程度，它的方向总是沿着绳而指向绳要收缩的方向。而指向绳要收缩的方向。TaT 若整根绳子是一轻绳，即它的质量可忽略不计，若整根绳子是一轻绳，即它的质量可忽略不计，则绳子两端所受的拉力的大小相等，而且绳子内部则绳子两端所受的拉力的大小相等，而且绳子内部的张力的大小各处一样并等于它两端的外

27、力的数值的张力的大小各处一样并等于它两端的外力的数值大小。大小。 (3) 物体间相互挤压而引起的弹性力物体间相互挤压而引起的弹性力 把一个重物放在桌面上，由于重物压紧桌面，把一个重物放在桌面上，由于重物压紧桌面，它们都会因相互挤压而产生微小的形变，通常我它们都会因相互挤压而产生微小的形变，通常我们把重物作用于支持面上的弹性力叫做压力，而们把重物作用于支持面上的弹性力叫做压力，而把支持面作用于重物的弹性力叫做支承力。把支持面作用于重物的弹性力叫做支承力。 压力和支承力方向垂直于物体间的接触面或接压力和支承力方向垂直于物体间的接触面或接触点的公切面，指向受力物体，称之法向力。触点的公切面，指向受力

28、物体，称之法向力。 一个物体所受的压力一个物体所受的压力的大小还与物体受到的其的大小还与物体受到的其他作用力以及它的运动状他作用力以及它的运动状态有关，因此在具体问题态有关，因此在具体问题中一般需由动力学方程解中一般需由动力学方程解算得出。算得出。 3.摩擦力摩擦力 两个两个彼此接触而相互挤压彼此接触而相互挤压的物体，当存在着的物体，当存在着相对运动相对运动或相对运动趋势或相对运动趋势时，在两者的接触面上就会引起相互时，在两者的接触面上就会引起相互作用的摩擦力作用的摩擦力摩擦力产生在直接接摩擦力产生在直接接触的物体之间，并以触的物体之间，并以两物体之间是否有相两物体之间是否有相对运动或相对运动

29、的对运动或相对运动的趋势为先决条件。趋势为先决条件。摩擦力的方向沿两物体接触摩擦力的方向沿两物体接触面的切线方向，并与物体相面的切线方向，并与物体相对运动或相对运动趋势的方对运动或相对运动趋势的方向相反。粗略地说，向相反。粗略地说，产生摩产生摩擦力的原因通常是由于两物擦力的原因通常是由于两物体的接触表面凹凸不平。体的接触表面凹凸不平。静摩擦力静摩擦力生活经验表明，当我们用手去推地板上的木箱生活经验表明，当我们用手去推地板上的木箱时，用力较小是推不动的；直到推力逐渐增到时，用力较小是推不动的；直到推力逐渐增到足够大时，木箱才开始滑动。这说明，两个相足够大时，木箱才开始滑动。这说明，两个相互接触的

30、物体在受到外力作用而具有相对运动互接触的物体在受到外力作用而具有相对运动趋势时，物体之间就产生一种阻碍相对滑动的趋势时，物体之间就产生一种阻碍相对滑动的力，力，它发生在物体的接触处它发生在物体的接触处，这种力叫做静摩，这种力叫做静摩擦力。擦力。根据实验，最大静摩擦力的大小与接触面的法向支根据实验，最大静摩擦力的大小与接触面的法向支承力的大小成正比承力的大小成正比. .静摩擦力的大小由沿水平方向的外力大小所决定，静摩擦力的大小由沿水平方向的外力大小所决定，且随外力大小的改变而改变，方向与相对滑动的且随外力大小的改变而改变，方向与相对滑动的趋势相反。当外力增加到某一数值，物体刚能滑趋势相反。当外力

31、增加到某一数值，物体刚能滑动时，静摩擦力达到极限值而不再随外力增大而动时，静摩擦力达到极限值而不再随外力增大而增大，这一极限值叫做最大静摩擦力，用符号增大，这一极限值叫做最大静摩擦力，用符号f fmaxmax表示。当外力小于最大静摩擦力时，物体将保持表示。当外力小于最大静摩擦力时，物体将保持它原来的静止状态。静摩擦力可取零至最大静擦它原来的静止状态。静摩擦力可取零至最大静擦力之间的各个数值。力之间的各个数值。滑动摩擦力滑动摩擦力当作用于上述物体的力超过最大静摩擦力而当作用于上述物体的力超过最大静摩擦力而发生相对滑动时，两接触面之间的摩擦力称发生相对滑动时，两接触面之间的摩擦力称为为滑动摩擦力滑

32、动摩擦力fk= N应用牛顿定律的解题步骤：应用牛顿定律的解题步骤：列出用字母表列出用字母表达的牛顿方程达的牛顿方程用字母表用字母表达出解答达出解答 选选 择择研究对象研究对象画出画出受力图受力图建立建立坐标系坐标系代入代入数字数字 数字答案数字答案（写上单位）（写上单位）例例.一质量为一质量为 m 的物体，以的物体，以 v0 的初速度沿与水平方向成的初速度沿与水平方向成 角的方向抛出，空气的阻力与物体的动量成正比，比例系角的方向抛出，空气的阻力与物体的动量成正比，比例系数为数为 k ，求物体的，求物体的运动轨迹。运动轨迹。解：解：建立坐标系如图建立坐标系如图研究对象研究对象“m”受力：受力：v

33、kmgm- ,gmvkm运动方程：运动方程： （矢量方程）（矢量方程） gm运动方程的分量式：运动方程的分量式： xkmvx : ykmvmgy :mdtdvmxdtdvmyvkmdtvdm )1(kdtvdvxx )2(dtkvgdvyy 由（由（1） dtkvdvxx gmvkm cos0ktxevv tktxdtevdx000cos)1 (cos0ktekvx dtdx dtdvkvgyy dtdvkvxx 0t cos0vxv由（由（2） tvvyydtkvgdvy0sin0)sin(10gekvgkvkty gmvkm tktydtgekvgkdy000)sin(1kgtekvgky

34、kt )1)(sin(102)2(dtkvgdvyy dtdy )1 (cos0ktekvx kgtekvgkykt )1)(sin(102例例. 一光滑的劈，质量为一光滑的劈，质量为 M ，斜面倾角为，斜面倾角为 ，并位于，并位于 光光滑的水平面上，另一质量为滑的水平面上，另一质量为m 的小块物体，沿劈的斜面无的小块物体，沿劈的斜面无摩擦地滑下，摩擦地滑下， 求求劈对地的加速度。劈对地的加速度。M 解：解：研究对象：研究对象：m 、Mm设设M对对地地的加速度为的加速度为 1a2a以以劈劈为参照系，建立坐标如图为参照系，建立坐标如图,x,yxymg1N*1fMg2N1N*2f1a受力分析：如图

35、受力分析：如图2am 对对M的加速度为的加速度为 运动方程：运动方程：对对m： :,x)1(2ma :,y)2(0 对对M：:x)3(0 1Ma M对对M:ym对对M sin mg cosmg sin1N)4(0cos12 MgNN,x,ymg1N*1f2axyMg2N1N*2f1a cos *1f1N sin*1f*2f ,11NN 将将 *1f,1ma *2f1Ma代入（代入（2）（）（3） sincos11mamgN11sinMaN 21sincossinmMmgaM对地对地附：附：将上式代入（将上式代入（1）得）得gmMmMa 22sinsin)(m对对M：m对地：对地： 21aaa)

36、1(2macossin *1fmg)2(0sincos*11fNmg)3(0*21sinfN)4(0cos12MgNN（2）（3）rmlnnTmgT cosmg= 0nsinma=T解得：解得：=rvna=2r=sin 2lvv 例例. 一圆锥摆。已知：一圆锥摆。已知：,l 求：求：=cosg21l() 例例.一电梯以加速度一电梯以加速度 a上升，在电梯内上升，在电梯内有一轻滑轮，其上通过绳子挂有一对重物，有一轻滑轮，其上通过绳子挂有一对重物，他们的质量分别为他们的质量分别为 m1, m2 。( m1m2 ) 试求：两重物相对于电梯的加速度试求：两重物相对于电梯的加速度ar，及绳子的张力。，及绳子的张力。m