复变函数的积分上课用

1、第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分 本章介绍复变函数的积分概念，解本章介绍复变函数的积分概念，解析函数积分的主要性质析函数积分的主要性质. . 重点是重点是Cauchy积分定理、积分定理、Cauchy积分公式、积分公式、Cauchy(高阶高阶)导数公式导数公式. .3.1 3.1 复变函数的积分复变函数的积分1 1 积分的概念积分的概念2 2 积分存在条件及性质积分存在条件及性质3 3 积分实例积分实例1. 1. 积分的概念积分的概念 设 C 为平面上给定的一条连续曲线, 如果选定 C 的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把 C 理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线

2、有向曲线。xyoAB如果如果 A 到到 B 作为曲线作为曲线 C 的正向的正向,那么那么 B 到到 A 就是曲线就是曲线 C 的负向的负向, . C记为记为关于实变函数积分定义关于实变函数积分定义. 211( )dxlim().nxkkxnkf xf xx 简单闭曲线 C 的正向是指当曲线上的点 P 沿此方向前进时, 邻近 P 点的曲线的内部始终位于 P 点的左方. xyoPPPP与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明关于曲线方向的说明: 以后把两个端点中的一个作为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方向总是指从起点到终点的方向., , , , )( 110BzzzzzAn

3、CBADCDzfwnkk 设分点为设分点为个弧段个弧段任意分成任意分成把曲线把曲线的一条光滑的有向曲线的一条光滑的有向曲线终点为终点为内起点为内起点为为区域为区域内内定义在区域定义在区域设函数设函数oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 , 1 kkkzzz记记 , 1的长度的长度为为kkkzzs (, ), 2 , 1( 1kkknkzz 上任意取一点上任意取一点在每个弧段在每个弧段 (,)()()( 111knkknkkkknzfzzfS 作和式作和式oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 ,max 1knks 令令 , 0 时时无限增加且无限增加且当当 n , )

4、( , , 记为记为的积分的积分沿曲线沿曲线函数函数那么称这极限值为那么称这极限值为一极限一极限有唯有唯的取法如何的取法如何的分法及的分法及如果不论对如果不论对CzfSCnk .)(limd)(1knkknCzfzzf 关于积分定义的说明关于积分定义的说明: .d)( , )1( CzzfC记为记为那么沿此闭曲线的积分那么沿此闭曲线的积分是闭曲线是闭曲线如果如果 . ,)( )( , )2(变函数定积分的定义变函数定积分的定义实实这个积分定义就是一元这个积分定义就是一元为实函数为实函数而而轴上的区间轴上的区间是是如果如果xuzfbxaxC 2. 2. 积分存在的条件及积分性质积分存在的条件及积

5、分性质.d)( , )(一定存在一定存在积分积分是光滑曲线时是光滑曲线时是连续函数而是连续函数而如果如果 CzzfCzf nkkkkkkknkkkkkkknkkkyuxviyvxuzf111),(),(),(),()( Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i : ddd )(相乘后求积分得到相乘后求积分得到与与yixzivuzf Czzfd)( Cyixivu)dd)( Cyvyiuxivxudddd.dddd CCyuxviyvxu Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 从从形式上形式上可以看成是可以看成是公式公式复变函数的积分与实函数的积分有类似的性质复变函数的积

6、分与实函数的积分有类似的性质.;d)(d)()1( CCzzfzzf )(;d)(d)()2(为常数为常数kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf 21d)(d)(d)( ,C )4(2121CCCzzfzzfzzfCCCC则则的起点，的起点，的终点是的终点是设设 CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)( ,)( )( , )5(则则上满足上满足在在函数函数的长度为的长度为设曲线设曲线估值不等式估值不等式例例 1解解. d1 , 43 模的一个上界模的一个上界积分积分试估计试估计的直线段的直线段为从原点到点为从原点到点设设 CziziC 1

7、),(0 ,)43( ttizC的参数方程为的参数方程为 Czizd1 Csizd1 C)14(31dsitt因此因此 Cdstt22)14()3(1 Cdst2592542512.325d35d1 CCsziz故故3. 3. 积分的计算积分的计算则则的终点，的终点，是是的起点的起点是是滑曲线，滑曲线，是一条光是一条光设设CzCzttiytxtzzC)(,)()()()()(: ttytytxutxtytxvittytytxvtxtytxuzzfCd)()(),()()(),( d)()(),()()(),(d)( tty itxtytxivtytxud)()()(),()(),(.d)()(

8、 ttztzf参数方程求法参数方程求法例例 2 解解 . 2 : ,d zCzzC圆周圆周为为其中其中计算计算积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),20(2 iez d2diiez Czzd 20d22 iie)2( z因为因为 20d)sin(cos4 ii. 0 例例 3 解解. , , ,d)(1 010为整数为整数径的正向圆周径的正向圆周为半为半为中心为中心为以为以求求nrzCzzzCn zxyor0z 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire2202001d n=0dd n0inninniiei

9、rerzxyor0z , 0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d i;2 i , 0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d)sin(cos ninrin; 0 rzznzzz0d)(1 10所以所以 . 0, 0, 0,2nni重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心、半径无关：积分值与路径圆周的中心、半径无关. .例例 4 解解 . 43 : ,d 的直线段的直线段从原点到点从原点到点计算计算iCzzC 直线方程为直线方程为, 10,4,3 ttytx ,)43( , tizC 上上在在 ,d)43(dtiz d)43(d102 ttizzC d)43(102 tti .2

10、)43(2i 解解例例 5 . 1 1 (3) ; 1 (2) ; 1 (1) : d ,dRe 2的折线的折线再到再到轴到点轴到点从原点沿从原点沿的弧段的弧段上从原点到点上从原点到点抛物线抛物线的直线段的直线段从原点到点从原点到点为为其中其中计算计算ixixyiCzzzzCC (1) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),10()( titttz,d)1(d,Re tiztz 于是于是 CzzdRe 10d)1(tit);1(21i xyoi 11iy=x d)1(d102 ttizzC d)1(102itti (2) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为xyoi 11iy=x2x

11、y ),10()(2 titttz,d)21(d,Re ttiztz 于是于是 CzzdRe 10d)21(titt1032322 tit;3221i d Czz 102d)21)(tititt 1023d3)2(ttitt; i xyoi 11iy=x2xy (3) 积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为),10()( tttz1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为),10(1)( tittz,dd,Re tztz 于是于是,dd, 1Re tizz 于是于是 CzzdRe 10dtt 10d1ti.21i dd10 ttzz

12、C d)1(10 tiit. i 注意注意1.d)( , , ,d)( )( , C zzfzzfzf必须记作必须记作的限制的限制要受积分路线要受积分路线因这是曲线积分因这是曲线积分分记成分记成的积的积的的终点为终点为一般不能把起点为一般不能把起点为 注意注意2与积分路径有关。与积分路径有关。径无关，但曲线积分径无关，但曲线积分与积分路与积分路可以看出，曲线积分可以看出，曲线积分从例从例 CCd)Re(d5 zzzz3.23.2 Cauchy积分定理积分定理1. Cauchy积分定理积分定理2. 复合闭路定理复合闭路定理3. 典型例题典型例题1. Cauchy积分定理积分定理首先介绍高等数学中

13、的首先介绍高等数学中的Green定理定理: )( ),(),( 的取正向的边界曲线。的取正向的边界曲线。是是其中，其中，则有：则有：，上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数在在及及数数围成，函围成，函由分段光滑曲线由分段光滑曲线设单连通区域设单连通区域DLQdyPdxdxdyyPxQDyxQyxPLDLD 柯西积分定理柯西积分定理. 0d)( , )( czzfCJordanDDzf有有曲线曲线内的任一可求长的内的任一可求长的上的解析函数，则对上的解析函数，则对是单连通区域是单连通区域设设DC说明：该定理的主要部说明：该定理的主要部分是分是Cauchy于于1825年建年建立；立；它是复变函数

14、理论的基它是复变函数理论的基础。础。试着证明试着证明 Cauchy 积分定理积分定理: )(dxdyyPxQQdyPdxDL Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 由由Green公式公式 Cyvxudd )(dxdyyuxvD 0 Cyuxvdd dxdyyvxuD 0 改进的改进的Green定理定理: )( ,),(),( 的取正向的边界曲线。的取正向的边界曲线。是是其中，其中，上连续，则有：上连续，则有：在在，且，且上存在上存在在在及及数数围成，函围成，函由分段光滑曲线由分段光滑曲线设单连通区域设单连通区域DLQdyPdxdxdyyPxQDyPxQxQyPDyxQyxPLDL

15、D 1825年年 Cauchy 建立该定理时，对建立该定理时，对 u, v 加了导数加了导数连续性条件；连续性条件；Gaursat 去掉了导数连续性的假设。去掉了导数连续性的假设。Cauchy 积分定理的证明积分定理的证明: Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i Cyvxudd )(dxdyyuxvD 0 Cyuxvdd dxdyyvxuD 0 上可微，且上可微，且在在解析，解析，由由Dvuzf,)(0 xvyu0 yvxu由改进的由改进的Green公式公式 czzf. 0d)(注意注意2 2 若曲线若曲线 C 是区域是区域 D 的边界的边界, )( zf函数函数则则上连续上连续

16、在闭区域在闭区域 , CDD , 内解析内解析在在D注意注意1 1 定理中的定理中的 C 可以不是简单曲线可以不是简单曲线.DC 注意注意3 3 定理的条件必须是定理的条件必须是“单连通区域单连通区域”.注意注意4 4 定理不能反过来用定理不能反过来用. . )( , 0d)( 内处处解析内处处解析在在而说而说即不能由即不能由CzfzzfC ;2321 1)( :内内在圆环域在圆环域例如例如 zzzf . 11)( :2内内在在例如例如 zzzf解解例例 1 1 1.d321 zzz计算积分计算积分 , 1 321 内解析内解析在在函数函数 zz根据根据Cauchy积分定理积分定理, 有有 1

17、. 0d321zzz例例 2 2.d)1(1 212 izzzz计算积分计算积分解解,11211)1(12 izizzzz , 21 1 1 上解析上解析都在都在和和因为因为 izizz根据根据Cauchy积分定理得积分定理得 212d)1(1izzzz 21d1211211izzizizz 212121d121d121d1izizizzizzizzz0 21d121izzizi 221. i 2.2.复合闭路定理复合闭路定理 , , , , , , , , , , , 2121DCCCCCCCCDCnn为边界的区域全含于为边界的区域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它们它

18、们内部的简单闭曲线内部的简单闭曲线是在是在内的一条简单闭曲线内的一条简单闭曲线多连通域多连通域为为设设 , )( 内解析内解析在在如果如果DzfDC1C2C3C那末那末,d)(d)(1 nkCCkzzfzzf ; 均取正方向均取正方向及及其中其中kCC);(,4321如图如图作两条辅助线作两条辅助线AAAA, 2 n设设证明证明DCA1A2A3A4C1C2EFGIH构成的边界，构成的边界，为为这样这样IEAHAAGAAFAAEA12344321 积分定理，积分定理，所围区域内解析，由所围区域内解析，由在在Cauchyzf )( . 0d)(zzfIEIAEAC 11 IEIAAAHAHAAAG

19、AGAAAFAFAAAEA 1122334444332211 又又23321 HAHAFAFAC 442 GAGAC DCA1A2A3A4C1C2EFGIH 21. 0d)(CCCzzf CCCzzfzzfzzf210d)(d)(d)( CCCzzfzzfzzf21d)(d)(d)(当当 n 为其它值时，可同样证明。为其它值时，可同样证明。特殊情况：闭路变形原理特殊情况：闭路变形原理 , )( )( 如图如图在多连通域内解析在多连通域内解析设函数设函数zf ),( 1正向为逆时针方向正向为逆时针方向单闭曲线单闭曲线内的任意两条简内的任意两条简为为及及DCC. 11DDCC全含于全含于为边界的区

20、域为边界的区域及及DC1C1D CCzzfzzf1d)(d)(由复合闭路原理由复合闭路原理这就是闭路变形原理这就是闭路变形原理解析函数沿闭曲线的积分解析函数沿闭曲线的积分, ,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值. .DC1C1D CCzzfzzf1d)(d)(在变形过程中曲线不经过函在变形过程中曲线不经过函数数 f(z) 的不解析的点的不解析的点. .说明：说明：3.3.典型例题典型例题例例1 1解解 . 1 ,d12 2曲线曲线在内的任何正向简单闭在内的任何正向简单闭为包含圆周为包含圆周计算积分计算积分 zzzzz, 1 0 12 2 zzzzz

21、和和内有两个奇点内有两个奇点在复平面在复平面因为函数因为函数依题意知依题意知, xyo 1 包含这两个奇点，包含这两个奇点， , 21CC 和和不相交的正向圆周不相交的正向圆周内作两个互不包含也互内作两个互不包含也互在在 xyo 1 , 0 1 zC 只包含奇点只包含奇点 , 1 2 zC 只包含奇点只包含奇点1C2C根据复合闭路原理根据复合闭路原理, zzzzd122 21d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii.4 i 例例2 2 . 1 2 ,d 所组成所组成向圆周向圆周和负和负为正向圆周为正向圆周计算积分计算积分 zzzz

22、ezxyo121C2C解解 , 21围成一个圆环域围成一个圆环域和和CC, 上处处解析上处处解析在此圆环域和其边界在此圆环域和其边界函数函数zez圆环域的边界构成一条复合闭路圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合原理根据闭路复合原理,. 0d zzez例例3 3. , ,d)(1 1为整数为整数的任一简单闭路的任一简单闭路为含为含求求nazazn 解解 , 内部内部在曲线在曲线因为因为 a a , 故可取很小的正数故可取很小的正数 , : 1内部内部含在含在使使 az1 由闭路变形原理，由闭路变形原理， 1 d)(1 d)(1 11zazzaznn,20 ieaz令令 1d)(11zazn

23、 201d)( niieie 20d ninie . 0, 00,2d)(1 1nnizazn 故故 a 1 这一结果很重要。这一结果很重要。3.3 3.3 Cauchy积分公式积分公式 1 问题的提出2 柯西积分公式3 高阶导数公式4 典型例题1.1.问题的提出问题的提出 . , 0中一点中一点为为为一单连通区域为一单连通区域设设DzD ,d)( 0 Czzzzf一般不为零一般不为零所以所以 .)( , )( 00不解析不解析在在那末那末内解析内解析在在如果如果zzzzfDzf 根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变的变化而改变, 求这

24、个值求这个值. .0的闭曲线的闭曲线内围绕内围绕为为zDC, , 00 zzzC的正向圆周的正向圆周半径为很小的半径为很小的为中心为中心取作以取作以积分曲线积分曲线 , )( 的连续性的连续性由由zf , )( 0处的值处的值接近于它在圆心接近于它在圆心的缩小而逐渐的缩小而逐渐的值将随着的值将随着上函数上函数在在zzfC )(.d)( d)(000缩小缩小将接近于将接近于 CCzzzzfzzzzf Czzzzfd)(00).(2d1)(000zifzzzzfC 2.2.Cauchy积分公式积分公式 , , , , )( 0那末那末内任一点内任一点为为于于它的内部完全含它的内部完全含闭曲线闭曲线

25、内的任何一条正向简单内的任何一条正向简单为为内处处解析内处处解析在区域在区域如果函数如果函数CzDDCDzfD 0zCCauchy积分公式积分公式 Czzzzfizf.d)(21)( 00对于对于f(z),若若C围成的点集为多连通域围成的点集为多连通域,则成立否则成立否?把把C换成该多连通域的内外边界换成该多连通域的内外边界, 上式也成立上式也成立.z0例例 1 1解解 44.d3211)2( ;dsin(1) zzzzzzzz求下列积分求下列积分 4dsin(1)zzzz , sin)( 在复平面内解析在复平面内解析因为因为zzf , 4 0内内位于位于 zz 4dsinzzzz; 0 由由

26、Cauchy积分公式积分公式0sin2 zzi 4.d3211)2(zzzz 44d32d11zzzzzz2212 ii.6 i 例例 2 2 2.d1 zzzze计算积分计算积分解解 , )( 在复平面内解析在复平面内解析zezf , 2 1内内位于位于 zz由由Cauchy积分公式积分公式122d1 zzzzeizze.2ie 关于关于Cauchy积分公式的说明积分公式的说明: :(1) 把函数在把函数在C内部任一点的值用它在边界上的内部任一点的值用它在边界上的 值表示值表示. （这是解析函数的一个重要特征）（这是解析函数的一个重要特征）(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积公式不

27、但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个而且给出了解析函数的一个 积分表达式积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具这是研究解析函数的有力工具)3.3.高阶导数公式高阶导数公式内解析，内解析，的在单连通区域的在单连通区域设函数设函数Dzf )( 曲线，曲线，的一条可求长的正向的一条可求长的正向围绕围绕内内为为JordanzDC 0，的内部全含于的内部全含于而且它而且它D : )(0阶导数为阶导数为处的处的在在则则nzzf), 2 , 1( d)()(2!)(100)( nzzzzfinzfCnnD 0zC高阶导数公式的作用高阶导数公式的作用: :

28、不在于通过积分来求导不在于通过积分来求导, , 而在于通过求导来求积分而在于通过求导来求积分. .( )010( )2d() (1,2,)()!nnCf zizfznzzn例例 3 3.dcos)2(;d)1(1(1) 12243 zzzzzzezzz求积分求积分解解 , 1 )1(3在复平面内解析在复平面内解析函数函数 z , 2 10内内在在 zz, 3 n 243d)1(1zzzz131! 32 zzi;2 i Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根据公式根据公式 12dcos)2(zzzzze , cos 在复平面内解析在复平面内解析函数函数zez , 1 00内内在

29、在 zz, 1 n 12dcoszzzzze0)cos(! 12 zzzei0sincos2 zzzzezei.2 i 4.4.典型例题典型例题例例 4 4.d)1(1 212 izzzz计算积分计算积分解解 )1(12zz)(1izizz izizz )(1)(zf , 21 )( 内解析内解析在在因为因为 izzf,0iz 由由Cauchy积分公式积分公式 212d)1(1izzzz 21d)(1izzizizzizizzi )(122212ii . i 例例 5 5解解).1( ,d173)( , 3 222ifzzfyxCC 求求表示正向圆周表示正向圆周设设 根据根据Cauchy积分公

30、式知积分公式知, , 内时内时在在当当Czzizf )173(2)(2),173(22 zzi),76(2)( zizf故故 , 1 内内在在而而Ci ).136(2)1( iif 所以所以例例 6 6;211 (1): ,d14sin 2 zCzzzC其中其中计算积分计算积分解解 2112d14sin)1(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 例例 6 6;211 (2): ,d14sin 2 zCzzzC其中其中计算积分计算积分 2112d14sin)2(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 解解 22d14sin)3

31、(zzzz由复合闭路定理由复合闭路定理, 得得例例 6 6. 2 (3): ,d14sin 2 zCzzzC其中其中计算积分计算积分解解 22d14sinzzzz 2112d14sinzzzz 2112d14sinzzzzii 2222.2 i 例例 7 7解解 CzCzzezzzrzC.d)1()2(;d)1(cos)1( . 1 : ,225为正向圆周为正向圆周其中其中计算下列积分计算下列积分 , 1 )1(cos )1(5处不解析处不解析内内在在函数函数 zCzz , cos 内处处解析内处处解析在在但但Cz Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根据公式根据公式 Czz

32、zd) 1(cos51)4()(cos)!15(2 zzi;125i , )1( )2(22处不解析处不解析内的内的在在函数函数izCzez 1C2Cxyo iCi , 1CiC为中心作一个正向圆周为中心作一个正向圆周内以内以在在 , 2Ci为中心作一个正向圆周为中心作一个正向圆周以以 , , )1( 2122围成的区域内解析围成的区域内解析在由在由则函数则函数CCCzez 根据复合闭路原理根据复合闭路原理 Czzzed)1(22 21d)1(d)1(2222CzCzzzezze 1d)1(22Czzze 1d)()(22Czzizizeizzizei 2)()!12(2,2)1( iei1C

33、2Cxyo iCi 2d)1( 22Czzze同理可得同理可得,2)1( iei Czzzed)1( 22 2)1(iei 2)1(iei于是于是)(1(2iiieei )1sin1(cos)1(22 i).1cos1(sin i例例 8 8解解) (.d 1为整数为整数求积分求积分nzzeznz , 0)1( n , 1 上解析上解析在在 zzenz由由Cauchy 积分定理得积分定理得 1; 0dznzzze, 1)2( n由由Cauchy积分公式得积分公式得 1dznzzze0)(2 zzei;2 i , 1)3( n Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根据公式根据公

34、式 1dznzzze0)1()()!1(2 znzeni.)!1(2 ni例例4 4解解. 31)2(; 23)1(:.d)2(1 32 zzCzzzC其中其中求积分求积分 , 0 2 )2(1 32 zzzz和和有两个奇点有两个奇点函数函数, 23)1( z 2, z仅包含奇点仅包含奇点,1)( 3zzf 取取 Czzzd)2(1 32 Czzzd)2(1 23231! 12 zzi;83 i 31)2( z , 0 2 内内都含在都含在和和两个奇点两个奇点Czz 2, 0 21和和分别包含分别包含和和作简单闭曲线作简单闭曲线CC , 21互不包含且互不相交互不包含且互不相交和和CC根据复合

35、闭路原理和高阶导数公式根据复合闭路原理和高阶导数公式, Czzzd)2(1 32 21d)2(1d)2(1 3232CCzzzzzz 21d)2(1d)2(1 2332CCzzzzzz23021! 12)2(1 ! 22 zzzizi8383ii . 0 3.4 3.4 解析函数的原函数解析函数的原函数1 原函数的概念2 积分公式1. 原函数的概念. )( )( , )()( , )( )( 的原函数的原函数内内在区域在区域为为那末称那末称即即内的导数为内的导数为在区域在区域如果函数如果函数定义定义DzfzzfzzfDz 原函数之间的关系原函数之间的关系: : . )(一个常数一个常数的任何两

36、个原函数相差的任何两个原函数相差zf内必是解析函数。内必是解析函数。在区域在区域，则函数，则函数内存在原函数内存在原函数在区域在区域如果如果 )( )( )(DzfzDzf )()()()( zHzGzHzG 那末那末0)()( zfzf .)()( czHzG 于是于是) ( 为任意常数为任意常数c , )( )( zFBzf内有一个原函数内有一个原函数在区域在区域如果如果那末它就有无穷多个原函数那末它就有无穷多个原函数, . )()(为任意常数为任意常数一般表达式为一般表达式为cczF 根据以上讨论可知根据以上讨论可知:证证 , )( )( )( 的任何两个原函数的任何两个原函数是是和和设

37、设zfzHzG根据根据Cauchy积分定理，可以得到积分定理，可以得到 . d)( , )( 无关无关线线与连结起点及终点的路与连结起点及终点的路那末积分那末积分内处处解析内处处解析在单连通区域在单连通区域若函数若函数CzzfDzfC 由此结论可知由此结论可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关和终点有关, 即：即：D 0z1z 1C2CD 0z1z 1C2C , , 10zz终点为终点为如果起点为如果起点为 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzf记为记为 , , , 110zzBzz 并令并令内变动内变动在在让让如果固定如果固定

38、.d)()( 0 zzfzFD 内的一个单值函数内的一个单值函数便可确定便可确定 . )()( , d)()( , )( 0zfzFDfzFDzfzz 并且并且内的一个解析函数内的一个解析函数必为必为函数函数则则内处处解析内处处解析在单连通域在单连通域如果函数如果函数 .)( d)()( 0的一个原函数的一个原函数是是可以证明可以证明zffzFzz (证明略证明略,下面要用到下面要用到)2. Newton-Leibniz 公式公式. , )()(d )( , )( )( , )( 100110内的两点内的两点为域为域这里这里那末那末的一个原函数的一个原函数为为内处处解析内处处解析在单连通域在单

39、连通域如果函数如果函数BzzzGzGzzfzfzGBzfzz 说明说明: : 有了以上定理有了以上定理, 复变函数的积分就可以用复变函数的积分就可以用与微积分学中类似的方法去计算与微积分学中类似的方法去计算.证证 , )( d)( 0的原函数的原函数也是也是因为因为zfzzfzz ,)( d)( 0czGzzfzz 所以所以 , 0时时当当zz 根据根据 Cauchy 积分定理积分定理, , )( 0zGc 得得 , )()( d)( 00zGzGzzfzz 所以所以 . )()( d)( 0110zGzGzzfzz 或或例例1 1解解 . d 10的值的值求求 zzzz , 是解析函数是解析

40、函数因为因为 z ,21 2z它的原函数是它的原函数是 21 d 10102zzzzzzz ).(212021zz 例例2 2. dcos 02的值的值求求 izzz解解 izzz02dcos izz022dcos21iz 02sin21)sin(212 .sin212 例例3 3. dcos 0的值的值求求 izzz解解 , cos 是解析函数是解析函数因为因为zz ,cossin zzz 它的一个原函数是它的一个原函数是 izzz0dcosizzz0cossin 1cossin iii12211 eeieei. 11 e例例4 4. d 11的值的值求求 izzze解解利用分部积分法可得利

41、用分部积分法可得 ,)1( zzezze 的一个原函数为的一个原函数为 izzze11dizez 11)1(iie 1).1sin1(cosiie 本章主要内容本章主要内容有向曲线有向曲线复积分复积分积分存在的积分存在的条件及计算条件及计算积分的性质积分的性质Cauchy积分定理积分定理原函数原函数的概念的概念复合复合闭路闭路定理定理Cauchy积分公式积分公式高阶导数高阶导数公式公式积分公式积分公式及计算及计算注意1. 复积分的基本定理；复积分的基本定理；2. 柯西积分公式与高阶导数公式柯西积分公式与高阶导数公式; 3. 复合闭路定理与复积分的计算复合闭路定理与复积分的计算.第三章第三章 完

42、完习题习题: P99: 1, 2, 5, 6;7,9,18,22,30(3),31.)(;)( :其中.)(求.31223121332zzCzzzCd . ,(1 ,(-5)(-5), Ln 1/3的值)求 1.ii 3. , , D )(求并且析内解在区域),(),()(设zfyxyvyxivyxuzf.222.d42)1cos(21001zzzzzz 练习：练习：计算以下积分计算以下积分沿指定路径沿指定路径23: izC CCzzzzezzz.d)1()2(;d)1(1)1(22.10,d)1(3光滑曲线光滑曲线的闭的闭与与是不经过是不经过其中其中计算计算CzzzeCz 解解222442z

43、zzz , 1124 1 z当当 时时,. 0d42)1cos(21001 zzzzzz解答解答.d42)1cos(21001zzzzzz 利用柯西积分公式利用柯西积分公式,11)(121内解析内解析在在Czzf ,)(1)(22内解析内解析在在Cizzzf CCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(1222 21d)(1d)1(12CCzizizzzzz)(2)0(221iiffi 2122ii. i CCzzzzezzz.d)1()2(;d)1(1)1(22CCxyo iCi 由复合闭路定理有由复合闭路定理有则则及及为半径作圆为半径作圆以以为圆心为圆心及及以以分别分别及及内有两个奇点内有两个奇点在在,41,