无线通信信号处理_第2讲(现代谱估计-续)

1、1 第二讲（续）第二讲（续） 现代谱估计现代谱估计-高阶谱估计高阶谱估计南京邮电大学 郑宝玉2015.8.202研究的必要性研究的必要性高阶统计量高阶统计量高阶谱高阶谱高阶累积量和多谱的性质高阶累积量和多谱的性质三阶相关和双谱及其性质三阶相关和双谱及其性质累量与多谱估计累量与多谱估计基于高阶谱的相位谱估计基于高阶谱的相位谱估计基于高阶谱的模型参数估计基于高阶谱的模型参数估计多谱的应用多谱的应用 参考:姚天任等现代数字信号处理(184-199；204-205)3 研究高阶谱的必要性研究高阶谱的必要性v 关于关于模型参数估计问题模型参数估计问题所谓模型参数估计，就是根据有限长的数据序列所谓模型参数

2、估计，就是根据有限长的数据序列(如模如模型输出端所观测到的信号型输出端所观测到的信号y(n)来估计图中随机信号模型来估计图中随机信号模型的参数，的参数，)与前面所述不同之处在于：这里与前面所述不同之处在于：这里考虑考虑了观测过程所了观测过程所引引入入的的噪声噪声v(n). H ( z ) ( h ( n ) )v(n)y(n)x(n)u(n)图图14v 基于二阶统计量的模型参数估计方法的缺陷基于二阶统计量的模型参数估计方法的缺陷 前述模型参数估计方法中，估计得到的模型参数仅与前述模型参数估计方法中，估计得到的模型参数仅与 信号的自相关函数或功率谱包络相匹配；其功率谱不信号的自相关函数或功率谱包

3、络相匹配；其功率谱不 含信号的相位特性，亦称含信号的相位特性，亦称盲相盲相。即。即)()()(22aeHSju 这种模型这种模型只适合只适合于于高斯随机信号高斯随机信号，因为高斯信号仅用，因为高斯信号仅用 二阶统计量二阶统计量(均值和方差均值和方差)就能加以描述。就能加以描述。 研究高阶谱的必要性研究高阶谱的必要性5v二阶统计量方法的基本限制二阶统计量方法的基本限制 前面讨论的方法中，一般都假设：前面讨论的方法中，一般都假设： 信号模型中的系统信号模型中的系统H(z)是最小相位的。是最小相位的。 激励信号激励信号u(n)是均值为零是均值为零, 方差为方差为 的高斯白噪声。的高斯白噪声。 测量信

4、号测量信号v(n)是均值为零是均值为零, 方差为方差为 的高斯白噪声；且的高斯白噪声；且 v(n)与信号与信号x(n)统计无关统计无关, 即即v(n)不影响信号的谱形状不影响信号的谱形状 ,故有故有 2u2v)()()()()()()(22222mhmnynuEmRHSSuuyvuvxxyy(b) 由此可见由此可见,信号模型的冲激响应信号模型的冲激响应h(n) 必须由输入激励必须由输入激励 u(n) 与输出信号与输出信号y(n)的互相关才能得到。在许多实际应用中，的互相关才能得到。在许多实际应用中， 这是很困难的这是很困难的。但信号的高阶统计信号的高阶统计 量能够冲激响应量能够冲激响应h(n)

5、。 研究高阶谱的必要性（续）研究高阶谱的必要性（续）6v 二阶统计量方法存在的问题二阶统计量方法存在的问题 在许多实际应用在许多实际应用( (如地震勘探、水声信号处理、远程通如地震勘探、水声信号处理、远程通 信信) )中，往往不能满足上述假设；甚至系统是非线性的。中，往往不能满足上述假设；甚至系统是非线性的。 对于非高斯信号的模型参数，如仅仅考虑与自相关函数对于非高斯信号的模型参数，如仅仅考虑与自相关函数 匹配，就不可能充分获取隐含在数据中的信息。匹配，就不可能充分获取隐含在数据中的信息。 若信号不仅是非高斯的，而且是非最小相位的，采用基若信号不仅是非高斯的，而且是非最小相位的，采用基 于自相

6、关函数的估计方法所得到的模型参数，就不能反于自相关函数的估计方法所得到的模型参数，就不能反 映原信号的非最小相位特点。映原信号的非最小相位特点。 当测量噪声较大，尤其当测量噪声有色时，基于自相关当测量噪声较大，尤其当测量噪声有色时，基于自相关 函数的估计方法所得到的模型参数有较大的估计误差。函数的估计方法所得到的模型参数有较大的估计误差。 研究高阶谱的必要性（续）研究高阶谱的必要性（续）7v 解决问题的方法解决问题的方法 从观测数据中从观测数据中提取相位信息提取相位信息 信号分析必须具有信号分析必须具有抗有色噪声干扰抗有色噪声干扰的能力的能力 因此，必须用高阶谱因此，必须用高阶谱( (高阶统计

7、量高阶统计量) )来分析信号来分析信号 研究高阶谱的必要性（续）研究高阶谱的必要性（续）8随机信号的高阶特征随机信号的高阶特征 不同不同ARMA过程具有相同形状的功率谱过程具有相同形状的功率谱, ,即即模型的多重性模型的多重性两个具有零均值和相同方差的高斯白色噪声和指数分布两个具有零均值和相同方差的高斯白色噪声和指数分布 白色噪声显然是不同的随机过程白色噪声显然是不同的随机过程, ,但它们的功率谱相同但它们的功率谱相同用这样两个白色噪声激励同一个用这样两个白色噪声激励同一个ARMA模型模型, ,产生的两个产生的两个 ARMA过程显然是不同的随机过程过程显然是不同的随机过程, ,但它们的功率谱相

8、同但它们的功率谱相同两个灰度图相同的图像有可能是不同的图像。两个灰度图相同的图像有可能是不同的图像。以上事实说明以上事实说明:要准确地刻画随机信号要准确地刻画随机信号, 仅使用相关函数仅使用相关函数(二阶统计量二阶统计量)是不够的是不够的, 还必须使用更高阶的统计量。还必须使用更高阶的统计量。三阶和更高阶的统计量统称三阶和更高阶的统计量统称高阶统计量高阶统计量。相关函数相关函数(二阶二阶)： 刻画信号的粗糙像高阶统计量高阶统计量： 刻画信号的细节9v 特征函数与高阶矩特征函数与高阶矩 特征函数特征函数：随机变量：随机变量 x 的特征函数定义为的特征函数定义为)1 ()()(adxexfeEvj

9、vxjvx或或)1 ()()(bdxexfeEssxsx其中其中 f(x) 是随机变量是随机变量 x 的概率密度函数。的概率密度函数。 高阶矩高阶矩：对：对(1b)求求k 阶导数，得阶导数，得kksxkkdssdexEs)()(则随机变量则随机变量x 的的k 阶矩阶矩(即即k 阶原点矩阶原点矩)定义为定义为)2()()0(0skkkkkdssdxEm由于由于k 阶矩由阶矩由 生成，故特征函数生成，故特征函数 为随机变量为随机变量x的的矩生成函数矩生成函数(矩母函数矩母函数)，又成为，又成为第一特征函数第一特征函数。)(s)(s10v 累积量生成函数与高阶累积量累积量生成函数与高阶累积量(cum

10、ulant)累积量生成函数累积量生成函数)3()(ln)(avv或或)3()(ln)(bss称为称为累积量生成函数累积量生成函数(第二特征函数第二特征函数或或累积量母函数累积量母函数)。高阶累积量高阶累积量：随机变量：随机变量x x 的的k k 阶累积量阶累积量定义为定义为 ) 3()(0skkkdssdc即累积量生成函数的即累积量生成函数的k k 阶导数在原点的值。阶导数在原点的值。11v累积量生成函数与高阶累积量累积量生成函数与高阶累积量(cumulant)高阶矩与高阶累积量的关系高阶矩与高阶累积量的关系.)(61243)5()(23)(41412213122443131213321212

11、211mxEmmmmmmmcmxEmmmmcmxEmmcxEmc 关系关系:(注意注意：k 阶中心矩阶中心矩定义为定义为 ) 结论结论: 二、三阶累积量分别是二、三阶中心矩；均值为二、三阶累积量分别是二、三阶中心矩；均值为 零时零时, 就是二、三阶相关就是二、三阶相关(矩矩) 四阶以上的累积量不等于相应的中心矩四阶以上的累积量不等于相应的中心矩kxxE)(12v 累积量的物理意义累积量的物理意义 高斯随机变量的高阶矩与累积量高斯随机变量的高阶矩与累积量 高斯随机变量可用二阶矩完全描述高斯随机变量可用二阶矩完全描述。实际上。实际上,零均值高斯零均值高斯 随机变量的随机变量的k 阶矩阶矩(或零均值

12、的或零均值的k 阶中心矩阶中心矩)为为 高斯随机变量只有一阶和二阶累积量高斯随机变量只有一阶和二阶累积量；其二阶以上的累；其二阶以上的累 积量为零积量为零, 它不提供新的信息。即它不提供新的信息。即为奇数，为偶数kkkxEmkkk0,)1(,.,5 , 3 , 1 可见，其可见，其高阶矩高阶矩仍然仍然取决取决于于二阶矩二阶矩 。2 若若任一随机变量与高斯随机变量有相同的二阶矩任一随机变量与高斯随机变量有相同的二阶矩, 则累积则累积 量就是它们高阶矩的差。故有如下累积量的物理意义。量就是它们高阶矩的差。故有如下累积量的物理意义。) 3(0,221kccmck13v 累积量的物理意义累积量的物理意

13、义 一一阶累积量数学期望阶累积量数学期望:描述了概率分布的中心描述了概率分布的中心 二阶累积量方差：二阶累积量方差： 描述了概率分布的描述了概率分布的离散程度离散程度 三阶累积量三阶矩：三阶累积量三阶矩： 描述了概率分布的描述了概率分布的不对称程度不对称程度累积量累积量衡量衡量任意随机变量任意随机变量偏离偏离正态正态(高斯高斯)分布的分布的程度程度物理意义物理意义偏态与峰态偏态与峰态)0(133时当mcsx 将三阶矩除以均方差的三次方将三阶矩除以均方差的三次方 ,得偏态系数或得偏态系数或偏态偏态：3 将四阶累积量除以均方差的四次方将四阶累积量除以均方差的四次方 ,得得峰态峰态:4)0( 333

14、144444422444时当mmmmmcx结论结论：正态分布的偏态、峰态均为零。正态分布的偏态、峰态均为零。14高阶谱高阶谱功率谱的缺点功率谱的缺点：由功率谱只能恢复 ,不可能恢复基于自相关函数的辨识系统，无法辨识非最小相位系统 “模型的多重性” “自相关函数等价性” “功率谱等价性”)()()()(*2fXfXfXfpx)( fX)( fX15 含义含义：高阶谱高阶谱(Higher-order spectrum),又称多谱又称多谱(polyspectrum), 是信号多个频率的能量谱。是信号多个频率的能量谱。 111111)(1111),(),(krjkkxrkkxecS定义定义：高阶谱定义

15、为：高阶谱定义为k阶累积量的阶累积量的k-1维维DFT，即，即 条件： “绝对可求和”11),(11krkkxrc通常将通常将 的累积量谱称为的累积量谱称为高阶谱高阶谱或或多谱多谱。3k常用常用:常用的高阶谱是常用的高阶谱是三阶三阶谱谱(双谱双谱)和和四阶四阶谱谱(三谱三谱)。 高阶谱高阶谱 (续续)16222111)(21321),()(rjxrxecB二阶谱二阶谱即为即为功率谱功率谱(单谱单谱)，它是单个频率的谱它是单个频率的谱。三阶谱三阶谱为为双谱双谱(bispectrum)，即两个频率的谱即两个频率的谱四阶谱四阶谱为为三谱三谱(trispectrum)，即三个频率的谱即三个频率的谱33

16、3221121)(3214321),()(rjxrrxecT高阶谱高阶谱 (续续)17功率谱功率谱：2)()(Xpx双谱：)()()()()()(),(21*21212121XXXXXXBx三谱：)()()()()()()()(),(321*321321321321XXXXXXXXTx（1 1）双谱估计的直接方法双谱估计的直接方法：)()()(),()()(21*2121ffXfXfXffBfxnx高阶谱高阶谱 (续续)18（2）双谱估计的间接方法双谱估计的间接方法：双谱),()(3nmcnxx2D-FT峰度峰度224)(3)(txEtxEk归一化峰度归一化峰度)()(2241txEtxEk3

17、1k高斯信号亚高斯信号31k超高斯信号31k高阶谱高阶谱 (续续)19归零化峰度3)()(2242txEtxEk高斯信号： 零峰度亚高斯信号: 负峰度超高斯信号： 正峰度高阶谱高阶谱 (续续)20v 主要性质主要性质 (8个性质) 最重要的性质如下最重要的性质如下: )7()().()(),.,(1111,knkhknhnhnhC 和的累积量等于累积量之和，累积量因此得名。和的累积量等于累积量之和，累积量因此得名。 确定性序列的多谱确定性序列的多谱: 确定性序列确定性序列h(1),h(k)的的k阶累量阶累量相应的相应的 k 阶谱为阶谱为)8()()().()(),.,(11121121,kii

18、kkhkHHHHSnnjenhH)()(式中21v 卷积性质卷积性质 ,121,121,121( )( )* ( )( ,.,)( ,.,)*( ,.,)(9 )k xkk ukk hkx nu nh nCCCa 随机信号随机信号(如如非正态非正态平稳随机过程平稳随机过程u(n)通过线性系统通过线性系统h(n)后的后的累量累量 等于随机信号等于随机信号u(n)的累量与线性系统冲激响应的累量与线性系统冲激响应h(n)的累量的卷积：的累量的卷积：若则特别地，当特别地，当u(n)为为平稳平稳的的i.i.d非正态非正态过程时，有过程时，有,11,11( ,.,)( ) (). ()(9 )k xkk

19、uknCh n h nh nb其中 是随机变量的k阶累积量。对应的k阶谱分别是,k u1,121,1211(,.,)()().()()(10 )kk xkk ukiiSHHHHb ,121,121,121(,.,)(,.,)(,.,)(10 )k xkk ukk hkSSSa 22v 卷积性质的应用（注意结论）卷积性质的应用（注意结论）,121,121,121,121( ,.,)( ,.,)(,.,)(,.,)k ykk xkk ykk xkCCSS 考虑图考虑图1是平稳随机信号模型。激励是平稳随机信号模型。激励输入输入u(n)为平稳为平稳i.i.d.非正态过程非正态过程,线性线性系统系统h(

20、n)可以是可以是非最小相位非最小相位的线性系统的线性系统, 加性观测加性观测噪声噪声v(n)是是有有色正态色正态的的, 且与信号无关。利用卷积性能且与信号无关。利用卷积性能(9)(10),并注意到正态过程并注意到正态过程的高阶累量为零，测量到的平稳随机信号的高阶累量为零，测量到的平稳随机信号y(n)的累量及其多谱为的累量及其多谱为结论结论：高阶谱分析高阶谱分析具有很好的抗有色正态噪声有色正态噪声的能力。但的能力。但 功率谱分析功率谱分析，对，对有色正态噪声污染的有色正态噪声污染的信号来说，则有信号来说，则有( )( )yxSS 且在式且在式(b)中，中，v(n)的贡献不再是常数，而是一个有色谱

21、。的贡献不再是常数，而是一个有色谱。 这也是这也是用累量取代矩用累量取代矩的另一个的另一个重要原因。重要原因。23 信号的高阶累量决定信号模型的冲激响应信号的高阶累量决定信号模型的冲激响应 下面将会看到，信号的高阶累积量能够决定信号模型下面将会看到，信号的高阶累积量能够决定信号模型 的冲激响应的冲激响应h(n)，即用信号模型的输出信号，即用信号模型的输出信号(即观测到即观测到 的信号的信号)y(n)的高阶累积量就能决定的高阶累积量就能决定h(n)。 由式由式(b)可知，若基于相关函数，信号模型的冲激响应可知，若基于相关函数，信号模型的冲激响应h(n) 必须通过输入激励必须通过输入激励u(n)与

22、输出信号与输出信号y(n)的互相关才能得到。的互相关才能得到。 在许多实际应用中，这是很困难的在许多实际应用中，这是很困难的。 H ( z ) ( h ( n ) )v(n)y(n)x(n)u(n)()()()()()()(22222mhmnynuEmRHSSuuyvuvxxyy(b)图1243,3,( , )( )( ,0)yyCq kh kCq4,3,( ,0, )( )( ,0,0)yyCqkh kCq 信号的高阶累量决定信号模型的冲激响应（续）信号的高阶累量决定信号模型的冲激响应（续）以以MA(q)模型模型为例为例, 有基于观测信号有基于观测信号y(n)三、四累量的公式三、四累量的公式

23、:和和以以ARMA(p,q)模型模型为例为例, 基于观测信号基于观测信号y(n)k阶累量的公式阶累量的公式:,0,0(, ,0,.,0)( )(,0,0,.,0)pjk yjpjk yja Cqj nh na Cqj25v用高阶累积量作为时间序列分析工具的原因用高阶累积量作为时间序列分析工具的原因 用高阶累量而不是高阶矩作为时间序列分析工具的原因：用高阶累量而不是高阶矩作为时间序列分析工具的原因： 理论上，使用高阶累积量可避免高斯有色噪声的影响，理论上，使用高阶累积量可避免高斯有色噪声的影响， 高阶矩不能做到这一点。高阶矩不能做到这一点。高阶白噪声的高阶累积量是多维冲激函数高阶白噪声的高阶累积

24、量是多维冲激函数, 其谱是多维其谱是多维 平坦的平坦的, 但高阶白噪声的高阶矩及其谱无此特性和优点；但高阶白噪声的高阶矩及其谱无此特性和优点；累积量问题的解具有唯一性累积量问题的解具有唯一性(因特征函数唯一地确定概因特征函数唯一地确定概 率密度函数率密度函数)，但矩问题不具有唯一性；，但矩问题不具有唯一性；两个统计独立的随机过程的累积量等于各随机过程累积两个统计独立的随机过程的累积量等于各随机过程累积 量之和，这一结论对高阶矩不成立。量之和，这一结论对高阶矩不成立。 26 三阶相关：三阶相关： 设设x(n)为零均值的实平稳序列，其三阶相关函数为为零均值的实平稳序列，其三阶相关函数为)()()(

25、),(2121mnxmnxnxEmmRx双谱双谱 Rx(m1,m2)的二维傅立叶变换就是双谱，其表达式为的二维傅立叶变换就是双谱，其表达式为2, 1)(2121,),(),(221112mmjmmxxemmRBv 性质性质 三阶相关函数的对称性三阶相关函数的对称性 双谱的对称性、周期性和共轭性双谱的对称性、周期性和共轭性v 定义定义27)()()(),(21*1121HHHBhv双谱中的相位信息双谱中的相位信息其中nnjenhH)()(这表明这表明双谱包含包含信号模型的相位信息 ；而功率谱 不含相位信息 。 设设)(),(2121)()(),(),(21jjhheHHeBB则有则有)()()(

26、),()()()(),(212121212121HHHBh且有)()(),(),(2121时当MnhnyBBhy)()(Sv确定性序列的双谱确定性序列的双谱 设设h(n)表示有限长确定性序列，其双谱可表示为表示有限长确定性序列，其双谱可表示为28 在图在图1的信号模型中的信号模型中,信号信号x(n)的累量可根据式的累量可根据式(9b)由信由信号模型的冲激响应号模型的冲激响应h(n)来计算来计算;但在许多实际应用中但在许多实际应用中,信号的累信号的累量只能从观测到的有限长数据序列来估计。量只能从观测到的有限长数据序列来估计。23,1121( ,)( ) () ()xn RRCx n x nx n

27、N 先估计累量先估计累量( (用时间平均代替统计平均用时间平均代替统计平均) )：直接法 其中二阶累量估值其中二阶累量估值 就是二阶自相关估值，即就是二阶自相关估值，即24,11232,12,232,22,312,32,121( ,)( ) () () ()( )()()()()()xn RRxxxxxxCx n x nx nx nNCCCCCC 2,xC211( ) ()xn RRCx n x nN然后对然后对 作傅里叶变换，即得多谱估计作傅里叶变换，即得多谱估计 。,k xC,k xS29由对有限长数据段由对有限长数据段x(n)作傅里叶变换得作傅里叶变换得X(),然后用其取然后用其取代式代

28、式(8)中的中的H(),即的多谱估计，即间接法间接法即1 11111()1111(,)( ,)kjkxkkxkrrSce1,1211211(,.,)()().()()kk hkkiiSXXXX 缺点缺点：这种近似方法会使分辨率下降30v自相关函数丢失了信号的相位特性，而累积量可以得到自相关函数丢失了信号的相位特性，而累积量可以得到信号的相位谱。信号的相位谱。v实际应用中，基于三阶累积量的双谱和基于四阶累积量实际应用中，基于三阶累积量的双谱和基于四阶累积量的三谱已经够用。的三谱已经够用。31v基本原理基本原理 与与AR功率谱估计功率谱估计(即单谱估计即单谱估计)相类似，相类似，AR过程的多谱过程的多谱 估计与已知的多谱相匹配的程度，也可用线性预测的多估计与已知的多谱相匹配的程度，也可用线性预测的多 谱来衡量，亦即可用多谱的平坦度来衡量。说明如下：谱来衡量，亦即可用多谱的平坦度来衡量。说明如下： 设用设用p 个值个值x(n)作线性预测，即作线性预测，即pkkknxanx1)()( 则预测误差则预测误差pkkknxanxnxne0)()( )()(利用利用(10b)