梁的弯曲(应力、变形)

1、12第九章第九章 梁的弯曲梁的弯曲9-39-3、用内力方程法绘制剪力图和弯矩图、用内力方程法绘制剪力图和弯矩图9-19-1、平面弯曲、平面弯曲9-49-4、用微分关系法绘制剪力图和弯矩图、用微分关系法绘制剪力图和弯矩图9-29-2、梁的弯曲内力、梁的弯曲内力-剪力和弯矩剪力和弯矩9-59-5、用叠加法画弯矩图、用叠加法画弯矩图9-69-6、梁弯曲时的应力和强度计算、梁弯曲时的应力和强度计算9-79-7、梁的变形、梁的变形9-89-8、梁的应力状态、梁的应力状态3回顾与比较内力内力AF应力应力PITFAyFSM?4梁段梁段CDCD上，只有弯矩，没有剪力上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲纯弯曲Pure

2、bending 梁段梁段ACAC和和BDBD上，既有弯矩，又有剪力上，既有弯矩，又有剪力剪力弯曲剪力弯曲Bending by transverse force 9-6 9-6 梁的弯曲时的应力及强度计算梁的弯曲时的应力及强度计算一、弯曲正应力弯曲正应力 Normal stress in bending beam5研究对象：等截面直梁研究对象：等截面直梁研究方法：实验研究方法：实验观察观察假定假定6q 横线仍是直线，但发生横线仍是直线，但发生 相对转动，仍与纵线正交相对转动，仍与纵线正交q 纵线弯成曲线，且梁的纵线弯成曲线，且梁的 下侧伸长，上侧缩短下侧伸长，上侧缩短实验观察实验观察梁表面变形特

3、征梁表面变形特征以上是以上是外部外部的情况，的情况，内部内部如何？如何？ 想象想象 梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度 透明的梁就好了，我们用计算机模拟透明的梁就好了，我们用计算机模拟 透明的梁透明的梁78 总之总之 ，由外部去，由外部去想象内部想象内部 得到得到 梁弯曲假设梁弯曲假设：q横截面保持为平面横截面保持为平面 变形后，仍为平面，且垂直变形后，仍为平面，且垂直 于变形后梁的轴线，只是绕于变形后梁的轴线，只是绕 梁上某一轴转过一个角度梁上某一轴转过一个角度q 纵

4、向各水平面间无挤压纵向各水平面间无挤压 均为单向拉、压状态均为单向拉、压状态9 弯曲中弯曲中梁的梁的中性层中性层neutral surface 既不伸长又不缩短的纵面既不伸长又不缩短的纵面 截面的截面的中性轴中性轴neutral axis 中性层与横截面的交线中性层与横截面的交线10纯弯曲时正应力公式纯弯曲时正应力公式变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系yEyE静力学关系静力学关系Z1EIMZIMy为梁弯曲变形后的曲率为梁弯曲变形后的曲率1为曲率半径为曲率半径11 梁截面上正应力梁截面上正应力1、沿、沿 y 轴线性分布轴线性分布2、与、与 z 坐标无关坐标无关zymaxcminzminyI

5、M maxtmaxzmaxyIM yIMz 12正应力计算公式适用范围正应力计算公式适用范围yIMzq剪力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成立但当梁跨度剪力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成立但当梁跨度 l 与高度与高度 h 之比大于之比大于5（即为细长梁）时，弹性力学指出：上述公式（即为细长梁）时，弹性力学指出：上述公式近似成立近似成立q截面惯性积截面惯性积 Iyz = 0 q推导时用到郑玄推导时用到郑玄-胡克定律，但可用于已屈服的梁截面胡克定律，但可用于已屈服的梁截面P124例题9-1313BAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K1.1.C 截面上截面上K

6、点正应力点正应力2.2.C 截面上截面上最大最大正应力正应力3.3.全梁全梁上上最大最大正应力正应力4.4.已知已知E=200GPa，C 截面的曲率半径截面的曲率半径 Vx90kN90kNmkN605 . 0160190CM1. 求支反力求支反力kN90AyFkN90ByF4533Zm10832. 51218. 012. 012bhIMPa7 .61Pa107 .6110832. 510)302180(10606533ZKCKIyM解：解：xm67.5kN8/2qlM14BAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K FSx90kN90kN2. C 截面最大正应力C 截面弯矩m

7、kN60CMC 截面惯性矩45Zm10832. 5IMPa55.92Pa1055.9210832. 510218010606533ZmaxmaxIyMCCxm67.5kN8/2qlM15BAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K FSx90kN90kN3. 全梁最大正应力全梁最大正应力最大弯矩最大弯矩mkN5 .67maxM截面惯性矩截面惯性矩45m10832. 5zIMPa17.104Pa1017.10410832. 5102180105 .676533ZmaxmaxmaxIyMxm67.5kN8/2qlM16BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/

8、2ql 30zy180120K FSx90kN90kN4. C 截面曲率半径截面曲率半径C 截面弯矩截面弯矩mkN60CMC 截面惯性矩截面惯性矩45Zm10832. 5Im4 .194106010832. 510200359CZCMEIEIM117二、弯曲剪应力弯曲剪应力 Shearing stress in bending beamV为横截面上的剪力Sz*为面积A*对中性轴的静矩A*VVVAFS23 V)4(2 )2(21)2(22*yhbyhybyhyAScz矩形梁截面上的切应力分布矩形梁截面上的切应力分布 bISFZZsmax,maxmax最大剪应力18)41 (23 )4(2)(22

9、22hybhVyhIVyZ 讨讨 论论1、沿高度方向抛物线分布、沿高度方向抛物线分布2、y=0时，切应力值最大时，切应力值最大3、梁上下表面处切应力为零、梁上下表面处切应力为零123bhIz19腹板为矩形截面时腹板为矩形截面时 VbISyzz*)()yh(b)hH(B)yh(y)yh(b)hH(h)hH(B yAS*c*z222242822122221222yzBHhbtyA*腹板腹板翼板翼板工字形梁腹板上的切应力分布工字形梁腹板上的切应力分布20)4(2)(8)(2222yhbhHBbIVyzBh H 讨讨 论论1、沿腹板高度方向抛物线分布、沿腹板高度方向抛物线分布2、y=0时，切应力值最大

10、时，切应力值最大3、腹板上下边处切应力最小、腹板上下边处切应力最小8)(822maxhbBBHbIVz22min8hHBbIVz211 1、弯曲正应力强度条件、弯曲正应力强度条件 IyMzmaxmaxmax1.1.弯矩最大的截面上弯矩最大的截面上2.2.离中性轴最远处离中性轴最远处4.4.脆性材料脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑ttmax,ccmax,3.3.变截面梁要综合考虑变截面梁要综合考虑 与与MzI三、梁的强度条件三、梁的强度条件22P126 例题9-142 2、弯曲剪应力强度条件、弯曲剪应力强度条件 bISFZsZ*maxmax,max23

11、作弯矩图，寻找需要校核的截面作弯矩图，寻找需要校核的截面ccttmax,max,要同时满足要同时满足分析：分析： 非对称截面，要寻找中性轴位置非对称截面，要寻找中性轴位置 T T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。试校核梁的强度。 MPa,60,MPa30ct例题9-124mm522012020808020120102080cy（2 2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z z的惯性矩的惯性矩462323m1064. 728120201212020422080122080zI （1 1）求截面形心）求截面形心z1yz52解：解：25（4 4）B B截面校核截

12、面校核 ttMPa2 .27Pa102 .271064. 710521046633max, ccMPa1 .46Pa101 .461064. 710881046633max,（3 3）作弯矩图）作弯矩图kN.m5 .2kN.m426（5 5）C C截面要不要校核？截面要不要校核？ ttMPa8 .28Pa108 .281064. 71088105 . 26633max,（4 4）B B截面校核截面校核（3 3）作弯矩图）作弯矩图 ttMPa2 .27max, ccMPa1 .46max,kN.m5 .2kN.m427 悬臂梁由三块木板粘接悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为而成。跨度为1m1m。胶

13、合面。胶合面的许可切应力为的许可切应力为0.34MPa0.34MPa，木材的木材的= 10 MPa= 10 MPa，=1MPa=1MPa，求许可载荷。，求许可载荷。 21maxmax6bhlFWMz1.1.画梁的剪力图和弯矩图画梁的剪力图和弯矩图2.2.按正应力强度条件计算许可载荷按正应力强度条件计算许可载荷 V FM Fl 3.75kNN375061015010010692721 lbhF bhFAV2/32/32max3.3.按切应力强度条件计算许可载荷按切应力强度条件计算许可载荷 kN01N100003/101501001023/2662 bhF Fl100505050z解：解：例题92

14、28 gZZbhFbbhhbFbIVS341233323*g4.4.按胶合面强度条件按胶合面强度条件计算许可载荷计算许可载荷 3.825kNN382541034. 010150100343663 gbhF 5.5.梁的许可载荷为梁的许可载荷为 3.75kNkN825. 3kN10kN75. 3minmin iFFFl100505050M FlzV F29ZmaxmaxWM1. 1. 降低降低 M Mmaxmax 合理安排支座合理安排支座合理布置载荷合理布置载荷提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施30合理布置支座合理布置支座FFF31合理布置载荷合理布置载荷F322. 2. 增大增大 W W

15、Z Z 合理设计截面合理设计截面合理放置截面合理放置截面ZmaxmaxWM33合理设计截面合理设计截面3462bhWZ左62hbWZ右合理放置截面合理放置截面353、等强度梁、等强度梁 b xh3637一一. .基本概念基本概念挠曲线方程：挠曲线方程：)(xyy 由于小变形，截面形心在由于小变形，截面形心在x x方向的位移忽略不计方向的位移忽略不计挠度转角关系为：挠度转角关系为：dxdy tan挠曲线挠曲线yxxy挠度挠度转角转角挠度挠度y y：截面形心：截面形心在在y y方向的位移方向的位移y向下为正向下为正转角转角：截面绕中性轴转过的角度。：截面绕中性轴转过的角度。顺时针为正顺时针为正9-

16、7梁的变形梁的变形 Beam deformation38 变形后梁轴变形后梁轴 线挠曲线线挠曲线 挠度：挠度：y y 变形后梁截面：仍为平面变形后梁截面：仍为平面 梁截面转角：梁截面转角： PxyC C1f变形前梁截面：平面变形前梁截面：平面39叠加原理：叠加原理： 承受复杂载荷时，可承受复杂载荷时，可分解分解成几种成几种简单载荷简单载荷，利用利用简单载荷作用下的简单载荷作用下的位位移计算结果移计算结果，叠加后得在复杂载荷作叠加后得在复杂载荷作用下的挠度和转角用下的挠度和转角条件：条件： 材料服从材料服从胡克定律胡克定律和和小变形小变形 挠度和转角均与载荷成线性关系挠度和转角均与载荷成线性关系

17、二二. .用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形例例 按叠加原理按叠加原理 求求 A A点转角点转角 和和 C C点挠度点挠度解：解：载荷分解如图载荷分解如图查梁的简单载荷变形表，查梁的简单载荷变形表， 得到变形得到变形EIPafPC63EIPaPA42EIqLfqC2454EIqaqA33AqPBCaa=+PABqAB例题例题9-3EIPafPC63EIPaPA42EIqLfqC2454EIqaqA33叠加叠加qAPAA)43(122qaPEIaEIPaEIqafC624534AqPBCaa=+PABqAB42三、刚度条件三、刚度条件,maxmax yy一般钢筋混凝土梁的许可挠度：一般钢筋混凝

18、土梁的许可挠度：200300ll钢筋混凝土吊车梁的许可挠度：钢筋混凝土吊车梁的许可挠度：500600ll43四、提高弯曲刚度的一些措施四、提高弯曲刚度的一些措施1 1、减小梁的跨度、减小梁的跨度2 2、选择合理截面形状，提高抗弯刚度、选择合理截面形状，提高抗弯刚度EIEI3 3、改善梁的受力和支座位置、改善梁的受力和支座位置4 4、预加反弯度、预加反弯度5 5、增加支座、增加支座44选择合理的截面形状选择合理的截面形状45改善结构形式，减少弯矩数值改善结构形式，减少弯矩数值改改变变支支座座形形式式46改改变变载载荷荷类类型型%5 .6212CCww改善结构形式，减少弯矩数值改善结构形式，减少弯

19、矩数值Lq0MABAq0LRBABxEIq0LABf或或用变形比较法解简单超静定用变形比较法解简单超静定梁梁(补充补充)处理方法：处理方法：3 3种方程（变形协调、物理、平衡）相结合，种方程（变形协调、物理、平衡）相结合， 求全部未知力求全部未知力解：解：建立静定基建立静定基 确定超静定次数确定超静定次数 用反力代替多余约束用反力代替多余约束 得新结构得新结构 静定基静定基等价等价几何方程几何方程变形协调方程变形协调方程0BBRBqBfffq0LRBAB=+RBABq0AB物理方程物理方程补充方程补充方程EILRfEIqLfBBRBqB3;83403834EILREIqLB83qLRB求解其它

20、问题求解其它问题 （反力、应力、变形等）（反力、应力、变形等）499-8 梁的应力状态梁的应力状态脆性材料扭转时为什么沿脆性材料扭转时为什么沿4545螺旋面断开？螺旋面断开？低碳钢低碳钢铸铸 铁铁50123yxz x y z xy yx yz zy zx xz 单元体上没有切应力的面称为单元体上没有切应力的面称为主平面主平面；主平面上的正应力；主平面上的正应力称为称为主应力，主应力，分别用分别用 表示，并且表示，并且该单元体称为该单元体称为主应力单元。主应力单元。321,321 通过受力构件的一点的各个截面上的应力情况的集合，称为该该点的应力状态。点的应力状态。 51空间（三向）应力状态：三个

21、主应力均不为零空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零应力状态分类52x xy yx y yx xya a 0 nF 0 tF1.1.斜截面上的应力斜截面上的应力 y a a xyd dA Axyx平面应力状态分析平面应力状态分析-解析法解析法53 0 nF0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy 0 tF0cos)sin(sin)sin(sin)cos(cos)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy y a

22、 a xyd dA Axyx54利用三角函数公式利用三角函数公式)2cos1(21cos2 )2cos1(21sin2 2sincossin2 并注意到并注意到 化简得化简得xyyx 2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyx55x xy yx y yx xya a使微元顺时针方向使微元顺时针方向转动为正；反之为负。转动为正；反之为负。角：角：由由x x 轴正向逆时针转轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反到斜截面外法线时为正；反之为负。之为负。 y a a xyntxyxxP136例题9-22562sin2cos)(21)(21xyyxyx确定正应力极值确定

23、正应力极值2cos22sin)(xyyxdd设设0 0 时，上式值为零，即时，上式值为零，即02cos22sin)(00 xyyx正正应力极值和方向应力极值和方向0 02 2cos2cos2sin2sin22 2) )( (2 20 00 0 xyxy0 0y yx x即即0 0 时，切应力为零时，切应力为零主应力、主平面、主切应力主应力、主平面、主切应力57yxxy 22tan0 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。为最大正应力和最小正应力所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为：所以，最大和最小正应力分别为： 2

24、2max4212xyyxyx 22min4212xyyxyx 主应力主应力按代数值按代数值排序：排序：1 1 2 2 3 358yxminmax22max421xyyx22min421xyyx对于同一个点，所截取的不同方位的单元体，其相互垂直面对于同一个点，所截取的不同方位的单元体，其相互垂直面上的正应力之和是一个不变量上的正应力之和是一个不变量。最大切应力、最小切应力最大切应力、最小切应力：最大切应力等于两个主应力之差的一半。592sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyxxyyxyx2222)2()2( 这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆或莫尔圆这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆或莫尔圆图解法图解法-应力圆应力圆60 xyyxyx2222)2()2(RCxyyxR22)2( 2yx1. 1. 应力圆：应力圆： 10-4 10-4 图解法图解法-应力圆应力圆612.2.应力圆的画法应力圆的画法D( x , xy)D/( y , yx)c xy 2RxyyxR22)2( y yx xyDDx 10-4 10-4 图解法图解法-应力圆应力圆62点面对应点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一截面上的正应力和切应力微元某一截面上