《勾股定理》教学设计与反思

1、勾股定理教学设计与反思福建省福州市第二十四中学林艳群一、概述勾股定理是义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册第十八章第18.1 节第一课时的内容. 本课需要学生经历勾股定理的证明过程，理解并掌握勾股定理，能够简单地运用勾股定理由直角三角形的任意两边求得第三边.勾股定理在平面几何中占有非常重要的地位，无论其内容本身还是其证明方法，都蕴涵着深刻的数学思想，古往今来，很多数学家热衷于研究这一定理，迄今已有800 多种证明方法 . 因此，本内容的学习对学生的后续学习及思维能力的培养均有重要作用.二、学习目标分析1、知识与技能了解勾股定理的文化背景, 体验勾股定理的探索过程.理解并掌握勾股定理，能够熟

2、练地运用勾股定理由直角三角形的任意两边求得第三边.通过收集信息、处理信息，发展自主学习和终身学习能力2、过程与方法经历勾股定理的证明过程，领悟数形结合及面积割补法等数学思想方法, 增强逻辑思维能力 .3、情感态度价值观通过对勾股定理历史的了解, 感受数学文化, 激发学习热情.在探究活动中, 体验解决问题方法的多样性, 培养学生的合作交流意识和探索精神. 学习重点和难点教学重点：勾股定理的证明及其简单应用.教学难点：1. 勾股定理内容的再发现；2. 勾股定理的逻辑论证.三、学习者特征分析1 学生是福建省福州市第二十四中的初二的学生；2 学生对多媒体大屏幕环境下的课堂环境非常熟悉，对数学上常用的几

3、何画板有些了解；3 .学生自主学习能力和参与意识较强，善于提问，敢于发表自己的见解，对自己动手的活动兴趣很高；4 .学生已经接触过三角形的很多性质，掌握情况较好；5 .学生已经接触过几何图形的面积割补法.四、教学策略的选择与设计为提高课堂教学效率，培养学生自主学习、终身学习的意识和能力，教师提出“数学问 题创新教学法”，在日常教学中注重学生课前自主学习，为课堂教学做好充分的心理及知识 准备；课堂上，教师更注重学生对自主学习成果的交流与反馈，提倡学生大胆提出自己的观点，大胆发问，放手让学生在讨论、思辩中学习新知.因此，参与本课课堂教学的学生自主学习能力和参与意识较强，善于提问，敢于发表自己的见解

4、.本课依托“数学问题创新教学法”进行教学设计.五、资源(1)教师设计一份能引导学生进行自主学习的预习报告；(2)学生借助课本、相关书籍或现代信息途径(如网络)等工具完成预习报告；(3)教师自制的多媒体课件；(4)上课环境为多媒体大屏幕环境六、教学流程图七、教学过程1 .创设情境，提出猜想：问题1:把一根长12厘米的细绳折出一个整数边长的三角形，有多少种折法？其中直 角三角形有几个？其三边长多少？经过了课前自主学习和小组讨论，这个问题很快便有了结论.课前自主学习给了学生充分思考的余地，同时节约了课堂上的宝贵时间问题2:猜想直角三角形三边长有怎样的数量关系？有了前面的讨论基础，答案比较一致，集中在

5、以下两点：(1)直角三角形中任意两边之和大于第三边；(2)直角三角形的最长边的平方等于两条直角边的平方之和；教师在巡视时也发现有一、两个同学认为其三边长度成等差数列，在小组其他同学的举例说明之下也改变了观点 .2 .结合实例，描述关系：问题3:你找到的其他直角三角形三边长多少？是否符合你的猜想？试由此总结直角三 角形三边长的数量关系.问题4:请用数学语言描述你的猜想 .数学语言是世界上最优美、精练、跨越民族与国界的语言，在数学学习中应强调数学 语言的学习和应用，把它作为数学学习的主要目的之一在把文字语言数学化的过程中，直角三角形三边长的数量关系出现了三种表述形式：设直角三角形三边长分别为a、b

6、、c,则:(1) /A=90°(2) /B=90°(3) /C=902 u22.a = bc ；b2 ;c2a2；c2 =a2 b2.对这个问题的讨论让学生们不再盲目的记忆公式，而是真正理解了这一数量关系，当然,这一关系的正确性还有待验证 .3.合作交流，论证定理：问题5:什么是勾股定理？如何证明勾股定理？猜想毕竟只是猜想，虽然同学们把猜想的数学关系式应用于他们找到的每一个直角三角形都成立，但缺少了逻辑推理，它就不能称为“定理”,因此，论证定理是本节课最重要的内容.这次的小组讨论时间较长，是为了让每个组员都能有充足的时间发表并倾听各种论 证方法.有了这样一个初步学习的过程，

7、几种典型的证明方法浮出水面，大部分同学对这些 论证方法已有粗浅的了解，为后面的学习做了铺垫，降低了部分后进学生的认知难度，也 因此课堂上同学们的发言有了一定的水准，使这一部分内容的学习过程进行地比较顺利小组代表1：勾股定理是描述直角三角形三边关系的，即直角三角形中斜边的平方等于两条直角边的平方和.已知：在 Rt ABC中，/ C=90° ,三边长分别 a、b、c求证：c2 = a2 , b2.（以上由学生口述，教师板书）小组代表2：我们小组的证明方法是根据正方形的面积得到的， （学生通过实物投影仪投影出图形二，并边板书边讲解如下：证明：设四边形 ABCM边长是a+ b的正方形，在它的

8、四条边上顺次取点 E、F、G H (如图二)使 AE=BF=CG=DH=b则 设 EH= c, AE=BF=CG=DH=bZ A=Z B=Z C=Z D=90 , AH=BE=CF=DG=a AAEIH ABFEi ACGF DHGEH=EF=FG=GH=,c/AEHW EFB /AEH廿 BEF=90 ,即 / HEF=90一四边形EFGH1边长为c的正方形；1c由面积公式可以得到：(a b)2 =4 ab c2,2AH=BE=CF=?G=<a| | &IIB J p a C(图二)a2 2ab b2 =2ab c2, 222a b = c .小组代表3:我们小组的证明方法也是

9、根据正方形面积割补得到的, （他上讲台演示图形）如图三，四边形 ABCM边长是c的正方形，可以证出四边形为（b -a）的正方形；EFGH边长由面积公式可以得到:2c =4a2 2ab b2 = 2ab c2,222a b = c .12ab (b - a) 2只是图形画法不同,（图三）小组代表4:事实上，上面两种证明可以说是一种：把图一的四个小直角三角形沿它们 的斜边翻折180。，刚好拼成图二，因此我们小组认为这两种证明方法是统一的.同学们对这一提法很感兴趣，一时议论纷纷.教师表扬了这个小组，并提议课后制作折纸验证他们提出的观点，同时也指出虽然两种图形可以相互转化，但因为面积求法略有不 同，应

10、该算两种方法.DB小组代表5：我们小组还找到了一种更简单的证明方法，也是利用面积，但不是正方形（上讲台演示）如图四，四边形 ABCD一个上底长a、下底长b ,直角腰 长a+b的直角梯形，在 BC上取点E,使BE=b,则CE=a ,设由面同学们认可了这个方法,你们能不能介绍一下是怎么发现AE=c,可以证明4ADE是一个腰长为c的等腰直角三角形, 积公式得到：1 1 . 1 .（a - b）（a b） ab ab222恒等变形得：a2 b2=c2这个图形引起了全班同学的关注，在验证图形的可行性后, 同时对其出处表现出兴趣.教师：这种证明方法简洁明了，老师也是第一次看到， 它的？小组代表6:得意笑答

11、：这种方法是一位美国前总统发现的.（全班一片“哦”声响起，等安静下来后，他接着介绍）我在网上看到19世纪美国有个总统 J.A.Garfield ，他在当总统前两年发现了这种证明方法并发表在杂志上，后来很多选民就因为这个原因投了他的票.这个我没有预料到的插曲带给同学们的影响不言而喻，也再次把课堂气氛推向高潮.就在学生们津津乐道于“证明几何定理也能为当选总统拉选票”时，我认为，勾股定理的教 育意义可以发挥作用了 .教师：好，我们用三种方法论证了勾股定理，三种方法都围绕着面积割补进行现在谁能讲讲，为什么我们把直角三角形三边的这种数量关系叫做“勾股定理”？小组代表7:勾股定理是我国古代数学家最早发现的

12、.我国古代数学书上把直角三角形的三边分别称为“勾、股、弦” ，在很早的数学记载上 就出现了勾3股4弦5,它就是指直角三角形的斜边平方等于两直角边的平方和，因此称之 为勾股定理.教师：那么在国外有相同的定理吗？小组代表8:有，叫毕达哥拉斯定理，不过，他们发现这个定理比我们晚了1千多年.4 .归纳总结，畅谈收获：小组代表9:勾股定理是描述直角三角形三边特有的关系的定理，内容是：直角三角形 中斜边的平方等于两条直角边的平方和.表示成数学语言是：2221. /A=90 a2 =b2 c2;- 2222. / B=90 b =c a ; 2223. / C=90 - c = a b .小组代表10：运用

13、勾股定理可以求直角三角形的三边长，比如：已知直角三角形的两条直角边为5和12,可以求出斜边的平方为 52 +122 ,因此斜边为5 +122 =13.小组代表11：在用勾股定理求边长时要求算术平方根（黑板板书）4. / a=90a=. b2c2;5. /B=90°b=. c2a2;6. /C=90c=. a2b2.小组代表12:用勾股定理求直角边长时要用斜边的平方减去已知直角边的平方，比如,已知直角三角形中，/ C=90° , c = 13, b = 5,可以求出a = J132 -52 =12.小组代表13：勾股定理是我国古代数学家最早发现的，说明我国古代在数学方面是比

14、较发达的，现在有点落后了，但我们肯定会赶上去的， 不久的将来我们在数学领域的发展会 超过美国.（同学们笑了）小组代表14:还有，学好数学可以为美国总统拉选票，我们也要好好学.以上小结与评价来自于学生，平时的教学中学生们常有惊人之语，这更让我坚信：学生们的潜力是非凡的，只要给他们一个空间，他们会越飞越高、越远 5 .课外拓展迁移创新：（1）课本P80练习；（2）预习报告：请收集应用勾股定理解决问题的例子，并总结勾股定理主要应用于那 些方面？八、总结与评价学生学习过程的评价教师的教学反思1 .全体学生在动口、动脑、动手中参与教学全过程 非常好（） 很好（）一般（）2 .学生能提出学习和研究的问题，

15、并且通过合作探究努力 解决问题非常好（）很好（）一般（）3 .学生思维活跃，积极主动发言非常好（）很好（）一般（）4 .学生间交往是多向的，学生是否积极参与小组讨论，发 表自己的见解，评论别人发言非常好（）很好（）一般（）5 .学生在学习中有愉悦的体验，每一名学生是否都有不同 程度的收获非常好（）很好（）一般（）6 .后进学生对本节课知识技能的掌握程度非常好（）很好（）一般（）7 .学生学习本节课还存在的问题：8 .学生存在问题的解决方法：1 .内容的安排与目标的制定是否 恰当？2 .教法的安排是否恰当？3 .目标完成情况如何？4 .成功的地方5 .不足与问题：6 .想法：九、教学反思现代认知

16、理论认为：知识存在的形态有显性和隐性两种，隐性知识必须在真实的情景及实践过程中被发现.因此学生的数学学习一定要注重自主性.本节课我通过让学生折三角形切实感受到直角三角形与其他三角形相比较的特殊性，引出直角三角形除了 “任意两边之和大于第三边”外，三边还具备更特殊的数量关系，激发了学生的求知欲 前射教学法注重学生课前自主学习，给了学生充分的自主学习时间，让学生的思考不再受课堂时间的束缚；而预习报告又使他们的思考不会太偏离将学知识点；课前学习也不受学习工具的束缚，可供学生们学习的资料丰富了，当然兴趣也更浓了.学生们找到的证明方法五花八门，有一些我也未曾见过 .他们未见得都能理解这些方法，但这种收集本身就是一种 学习体验.还有一些学生下载了勾股定理的教学案例给我，在这方面，我也有收获有了课前的大量准备，课堂上的小组讨论就是浓缩的精华了，而全班交流反馈的内容更加精练、丰富，在这种学习方式中， 教师的作用似乎转变为一个导演或解说员，讲台让给了 学生.这种角色的转变是在平时的教学中一点点进行的，因为这种转变，学生们确实学会了思考、提问，不再对教师和课本唯命是从.相应的，我的教学难度加大了，课堂上他们突如其来的问题经常是我意料不到的，这对我的课堂驾驭能力是一种挑战.我努力而欣喜地提高自己，尽力赶在学生们前