概率论第八章

1、，XX Xiidn1( (一一) ) 两类问题两类问题1 1、参数假设检验 总体分布已知, 参数未知, 由观测值x x1 1, , , x, xn n检验假设 H H0 0： = = 0 0；H H1 1： 0 02 2、非参数假设检验 总体分布未知, 由观测值x x1 1, , , x, xn n检验假设H H0 0：F(x)=FF(x)=F0 0(x;(x; ); H); H1 1： F(x)F(x)F F0 0(x;(x; ) ) 1,( ; ),iidnXXf x 以样本(X1, , Xn)出发制定一个法则, 一旦观测值(x1, , xn )确定后, 我们由这个法则就可作出判断是拒绝H

2、0还是接受H1, 这种法则称为H0对H1的一个检验法则, 简称检验法。 样本观测值的全体组成样本空间S, 把S分成两个互不相交的子集W W和W W* *, 即S=WW=WW* *, WW, WW* *= = 假设当(x(x1 1, , , x, xn n ) W) W时, 我们就拒绝H H0 0；当(x(x1 1, , , x, xn n ) W) W* *时, 我们就接受H H0 0。子集W W S S就称为检验的拒绝域(或临界域 )。(二二) ) 检验法则与拒绝域检验法则与拒绝域( (三三) ) 检验的两类错误检验的两类错误 称 H H0 0真而被拒绝的错误为第一类错误或弃真错误；称 H

3、H0 0假而被接受的错误为第二类错误或取伪错误。记 p(I)=p p拒绝H H0 0| | H H0 0真; ; = =p p 接受H H0 0| | H H0 0假对于给定的一对H H0 0和H H1 1, 总可找出许多临界域, 人们自然希望找到这种临界域W, 使得犯两类错误的概率都很小。奈曼皮尔逊 (NeymanPearson)提出了一个原则：“在控制犯第一类错误的概率不超过指定值 的条件下, 尽量使犯第二类错误 小”按这种法则做出的检验称为“显著性检验”, 称为显著性水平或检验水平。怎样构造的拒绝域方可满足上述法则？ 如:对总体XN( , 1), 要检验 H0： = =0 0；H H1

4、1： =1=1显著性检验的思想和步骤：显著性检验的思想和步骤：(1)根据实际问题作出假设H H0 0与H H1 1；(2)构造统计量, 在H H0 0真时其分布已知；(3)给定显著性水平 的值, 参考H H1, 1, 令P拒绝H H0 0| H| H0 0真= , , 求出拒绝域W W；(4) 计算统计量的值, 若统计量W, 则拒绝H H0 0, , 否则接受H H0 0。：；：检验假设，值，由观测给定检验水平，设0100n12iidn1HHxx),(NXX 1 1、 2 2已知的情形-U检验)1000，N(nXnX U真H 对于假设H H0 0： = = 0 0；H H1 1：0 0, 构造

5、查表, 计算, 比较大小, 得出结论)2()2( UU，UUp可得拒绝域：由说明：说明：(1) H H0 0： = = 0 0；H H1 1：m m0 0称为双边HTHT问题；而 H H0 0： = = 0 0；H H1 1： 0 0( (或 0 0 或H H0 0：0 0；H H1 1：uuu 0 0,)10 H 00，N(nX U下)()2( UUW，UUp可得拒绝域：由现考虑完备的右边HTHT问题H H0 0：0 0；H H1 1： 0 0,00)10 H ，N(nX 下)(UUW若取拒绝域为则犯第一类错误的概率为)(| )(00UnXPUUP)(0nUnXPnU0)(1)(1U于是|

6、)(sup00UUP)(UUW故是H H0 0：0 0；H H1 1： 0 0,的水平为的拒绝域 例1：设某厂生产一种灯管, 其寿命X N(X N( , 200, 2002 2), ), 由以往经验知平均寿命 =1500=1500小时, 现采用新工艺后, 在所生产的灯管中抽取2525只, 测得平均寿命16751675小时, 问采用新工艺后, 灯管寿命是否有显著提高。(=0.05)解:1500:1500:10HH)10252001500 H 0，N(X U下645. 1)05. 0()2( UU，UUp可得拒绝域：由这里645.1375.42520015001675 u拒绝H0左边HTHT问题H

7、 H0 0： = = 0 0；H H1 1： 0 0,或或H H0 0：0 0；H H1 1： 1.96,故拒绝H0,说明可以认为该日铁水的平均含碳量显著异于4.55.但无法说明是显著高于还是低于4.55.不合题意若用右边检验, H0：4.55；H1：4.55,则拒绝域为645. 1)05. 0(UU由U=-3.780, 或H0： 0 ；H1： 0,) 1(:00ntnSXT时由pTpT t t (n (n 1) =1) = , , 得水平为的拒绝域为Tt(n1),例4：某厂生产镍合金线，其抗拉强度的均值为10620 (kg/mm2)今改进工艺后生产一批镍合金线，抽取10根,测得抗拉强度(kg

8、/mm2)为: 10512, 10623, 10668, 10554, 10776, 10707, 10557, 10581, 10666, 10670. 认为抗拉强度服从正态分布,取=0.05 ,问新生产的镍合金线的抗拉强度是否比过去生产的合金线抗拉强度要高?解:H0：=10620；H1：10620) 1(:00ntnSXTH真时由pTt0.05(9) =0.05, 得拒绝域为Tt0.05(9)=1.8331这里8331. 145. 01081106204 .10631t接受H0左边HT问题 H H0 0： = = 0 0 ；H H1 1： 0 0, , 或或 H H0 0： 0 0 ；H

9、H1 1： 0 0, ,) 1(:00ntnSXT时由pTpT - t - t (n (n 1) =1) = , , 得水平为的拒绝域为T T - t - t (n (n 1)1)例5：设正品镍合金线的抗拉强度服从均值不低于设正品镍合金线的抗拉强度服从均值不低于10620 10620 (kg/mm(kg/mm2 2) )的正态分布的正态分布, , 今从某厂生产的镍合金线中抽取今从某厂生产的镍合金线中抽取1010根根, ,测得平均抗拉强度测得平均抗拉强度10600 (kg/mm10600 (kg/mm2 2) ,) ,样本标准差为样本标准差为80.,80.,问该问该厂的镍合金线的抗拉强度是否不合

10、格厂的镍合金线的抗拉强度是否不合格? (? ( =0.1)=0.1) 解:H0：10620；H1：10620)9(1010620:10620tSXT时由pT pT - - t t0.10.1(9) =0.1, (9) =0.1, 得拒绝域为T T - - t t0.10.1(9) =1.383(9) =1.383这里8331. 179. 010801062010600t接受H020212020：；：HH。：；：检验假设，值，由观测，给定检验水平，设20212020n12iidn1HHxx)(NXX 假定假定 未知,双边检验:对于假设)(n)S(n-H11220220下22221)(n)或(np

11、112222212由。或) 1() 1(22/222/12nn得水平为的拒绝域为。可解得拒绝域：，：；：而对单边问题；可解得拒绝域：，：；：对于单边问题) 1() 1(222021202021220212020nHHnHH例5:电工器材厂生产一批保险丝，取10根测得其熔化时间（min）为42, 65, 75, 78, 59, 57, 68, 54, 55, 71.问是否 可 以 认 为 整 批 保 险 丝 的 熔 化 时 间 的 方 差 小 于 等 于80?(=0.05) , 熔化时间为正态变量.)80802120：；：HH)9(809802222S时)9(222p由得水平为=0.05的拒绝域

12、为这里20229S7 .13808 .1219接受H0023.19)9()9(2025.0222例6:设保险丝的融化时间服从正态分布，取9根测得其熔化时间（min）的样本均值为62,标准差为 10. (1)是否可以认为整批保险丝的熔化时间服从N(60, 92 ) ? (=0.05) (2)是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差显著大于70?(=0.05)答:(1) |t|=0.62.306,接受60;2.18X2=9.87717.535,接受 10(2) X2=11.421.3304,故拒绝H0,认为甲安眠药比乙安眠药疗效显著例2：上题中,试检验是否乙安眠药比甲安眠药疗效显著?8.3.2 方差

13、比的假设检验方差比的假设检验，设),(NYY);,(NXX222iidn1211iidn121 两样本独立, 给定检验水平 , 由观测值12112222012112 H Hnnxxyy， ；，检验假设：；：假定假定 1, 2未知) 11(,2122210nnFSSFH，真时由pFpF F F1 1/2/2(n(n1 1 1, n1, n2 2 1)1)或F F F F /2/2(n(n1 1 1, n1, n2 2 1) = 1) = F F1 1/2/2F F /2/2得拒绝域F F F F1 1/2/2(n(n1 1 1, n1, n2 2 1) 1) 或F F F F /2/2(n(n1

14、 1 1, n1, n2 2 1)1)而对应的单边问题211210211210:;:;:HHHH或拒绝域为F F F F (n(n1 1 1, n1, n2 2 1)1)F F F F1 1(n(n1 1 1, n1, n2 2 1)1)211210211210:;:;:HHHH或拒绝域为例例1 1：有甲乙两种机床：有甲乙两种机床, ,加工同样产品加工同样产品, ,从这两台机床加工的产从这两台机床加工的产品中品中 随随 机机 地地 抽抽 取取 若若 干干 产品产品, ,测得产品直径为测得产品直径为( (单单位位:mm):mm):甲甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.9, 19.6, : 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.9, 19.6, 19.9.19.9.乙乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2. : 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2. 假定甲假定甲, ,乙乙 两台